精英新课堂2017年春八年级数学下册1.1第1课时直角三角形的性质和判定课件新版湘教版

方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面
积S1、S2、S3之间有什么关系呢？
S3
4 B 3 C A
S2
S1
3
S3
4 B 3
A
S2
C
S1
由图可知，S1=32，S2=42， 为了求S3，我们可以先算 出红色区域内大正方形 的面积，再减去4个小三 角形的面积，得S3=52. ∵32+42=52， ∴S1+S2=S3.
c
A
b
a），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长
相等.设斜边长为c.
B
a
C
5
步骤2：再剪出1个边长为c的正方形，如下图所示.
c
6
步骤3：把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的 图形.
由于△DHK≌△EIH，
∴∠2=∠4. 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠1+∠4=90°. 又∠KHI=90°， ∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一 条直线上. D
A
5
15
练习
1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处 测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得 小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有 暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁危险？
北
答案：不会有触礁危险.
60 ° 30 ° B
第一章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）
1
思考
如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都 在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这 个直角三角形斜边的长度. c=5 我量得c为5.

第1章 三角形的证明
1.2 直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
教学目标
1.了解直角三角形两锐角互余及互逆命题的转化 2.运用勾股定理逆定理判定直角三角形
重难点
1.熟练掌握勾股定理逆定理的证明方法 2.互逆命题的真假性判定
提出问题，导入新课
问题1 直角三角形的定义是什么？ 有一个是直角的三角形叫直角三角形.
归纳新知
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方．
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形．
条件和结论互换
上面两个定理的条件和结论有什么关系吗？ 与同伴交流.
探求新知
再视察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角.
知识回顾
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理.
a
c
b
勾
弦
股
提出问题 探求新知
勾股定理是一个真命题，那么把这个命题的条件和结论颠 倒过来，形成一个新的命题：
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这 个三角形是直角三角形．
解：（1）多边形是四边形.原命题是真，逆 命题是假.（2）同旁内角互补，两直线平行.原 命题是真，逆命题是真.（3）如果那么 a = 0， b = 0，那么 ab = 0.原命题是假，逆命题是真.
课堂小结
角的性质
直角三 角形
边的性质
定理1：直角三角形的两 个锐角互余 定理2：有两个角互余的 三角形是直角三角形
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.

腰三角形“三线合一”的性质解题．
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
性 质
直角三角形的两个锐角互余
判 有两个角互余的三 定 角形是直角三角形
直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半.
第1章 直角三角形
1.1 直角三角形的性质和判定（Ⅰ）
第2课时 含30°角的直角三角形的性质及其应用
学习目标
1.理解和掌握有关30°角的直角三角形的性质和应用; （重点）
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
应用格式：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
典例精析 例3 如图，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形吗？为什么？
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形.
可得BC=CD=
1 2
AB.
B
C
D
证法1
证明：取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD为Rt△ABC斜边AB上的中线，
CD

1 2
AB =
BD
C
∵∠BCA =90°，且∠A=30°，
∴∠B=60°，
B
∴△CBD为等边三角形，
BC
=
BD

1 2
AB.
证明方法： 中线法
30° A D
证法2
证明：在△ABC 中， ∵ ∠C =90°，∠A =30°, ∴ ∠B =60°．
第1章直角三角形
1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ）

新课讲授
证明：∵PE⊥OA，PF⊥OB， ∴∠OEP＝∠OFP＝90°. 在Rt△POE和Rt△POF中，由勾股定理易得OE＝OF， ∴△POE≌△POF. ∴∠AOP＝∠BOP，即OP是∠AOB的平分线． 即在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的 平分线上． 故定理“角平分线上的点到角的两边的距离相 等” 有逆定理．
新课讲授
（3）一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 与同伴交流.
新课讲授
1．在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆 命题．
分析：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题 的题设和结论部分互换，写出原命题的逆命题，最 后判断逆命题的真假．
新课讲授
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a ＞b.逆命题是假命题．
新课讲授
练一练
1.小明把一副含45°，30°的直角三角尺如图摆放，其中 ∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等 于( B ) A．180° B．210° C．360° D．270°
新课讲授
知识点2 直角三角形中边角关系
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于 斜边的平方.
D．6
当堂小练
2.下列说法正确的是( B ) A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D．真命题的逆命题是真命题
拓展与延伸
一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D )

第十四页，共四十六页。
A.AD=2CD C.AD=3BD
B.AC=2CD D.AB=2BC
第十五页，共四十六页。
知识点一 含30°角的直角三角形性质(xìngzhì)的应用 (P4动脑筋拓展) 【典例1】如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=2∠A，AB=8， CD⊥AB于点D.求BC，AD的长.
风中于离地面4米处折断倒下，倒下部分与地面成30°
夹角，这棵树在折断前的高度为 (
)C
第十二页，共四十六页。
A.4米 C.12米
B.8米 D.(3+3 3 )米
第十三页，共四十六页。
3.(2019·南通市海安县期末)在△ABC中，∠ACB=90°， CD是斜边AB上的高，∠A=30°，以下说法(shuōfǎ)错误的是 ( A)
第三十三页，共四十六页。
★2.(2019·合肥(hé féi)瑶海区期末)如图，在△ABC中， AB=AC=2，∠B=75°，则点B到边AC的距离为______.1
第三十四页，共四十六页。
★★3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是直角(zhíjiǎo)边AC 上的点，且AD=BD=2a，∠A=15°，求BC边的长.世纪金榜导
1.1 直角三角形的性质(xìngzhì)和判定(Ⅰ) 第2课时
第一页，共四十六页。
【知识再现(zàixiàn)】
1.直角三角形的两个锐角_______互__余.
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的____一__半__(_yī.bàn)
第二页，共四十六页。
【新知(xīn zhī)预习】阅读教材P4-6，归纳结论： 1.按要求画图：
第四十四页，共四十六页。
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°-∠EDC=30°.

（1）四边形是多边形； 真 逆命题：多边形是四边形 假
（2）两条直线平行，同旁内角互补； 真 逆命题：同旁内角互补两直线平行 真
（3）如果ab=0，那么a=0，b=0. 假 逆命题：如果a=0，b=0，那么ab=0. 真
小结：由此可知，一个命题是真命题，它的逆 命题不一定是真命题；如果一个定理的逆命题 经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其 中一个定理称之为另一个定理的逆定理。如定 理1和定理2是一对互逆定理，定理3和定理4也 是一对互逆定理。
解：
A
∵∠A=∠B=45°
∴ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC=180°-(∠A+∠B)
=180°-90°=90°,
且 AC=BC
又∵BC=3,∴在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 3 2
C
B
2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,E为BC上一点， 且∠BAE=25°，∠CDE=65°,AE=2,DE=3,求AD的长。
∴这个三角形是直角三角形
几何语言： ∵在Rt△ABC中， ∠A+∠B=90°
∴△ABC是直角三角形
勾股定理
我们曾经利用数方格和割补的方法得到了勾股定理。事 实上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理 （参见读一读）
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
随堂小练：
1、在△ABC中，已知∠A=∠B=45°,BC=3,求AB长。
本课小结
1、学习了直角三角形的性质定理
定理1：直角三角形两锐角互余
定理3：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2、学习了直角三角形的判定定理
定理2：有两锐角互余的三角形是直角三角形
定理4：勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第 三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形

么？
第十页，共二十六页。
例1 证明(zhèngmíng)此命题：
A
C
B
已知：如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 求证(qiúzhèng):△ABC是直角三角形． 分析：构造一个直角三角形与△ABC全等，你能自己写
出证明过程吗？
第十一页，共二十六页。
A
证明(zhèngmíng)：作Rt△DEF,使∠E=90°,
b
为 (a+b)2 ；
c
也可以表示为
c2+
4
1 2
a b；
∵ (a+b)2 = c2+
4 1 a，b
2
c
b a2+2ab+b2 = c2+2ab，
a
∴a2+b2=c2.
第八页，共二十六页。
3．赵爽弦图
大正方形的面积可以(kěyǐ)表示为 c2 ；
也可以表示为
4
1 2
ab
+(b-．a)2
c
a
b
b
b
边的平方．
定理(dìnglǐ):如果一个三角形两边的平方和等于第三边
的平方,那么这个三角形是直角三角形． 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件．
第十四页，共二十六页。
说出下列命题的条件和结论：
1.两直线平行(píngxíng),内错角相等；
2.内错角相等,两直线平行； 3.如果(rúguǒ)小明患了肺炎,那么他一定会发烧； 4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
第二十四页，共二十六页。
互逆命题
概念
第一个命题的条件(tiáojiàn)是第二个 命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命

探究新知
在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题， 其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题 来说，另一个就为原命题．
探究新知
再来看“议一议”中的三组命题，它们就称为互逆命题， 如果称每组的第一个命题为原命题，另一个则为逆命题．请 同学们判断每组原命题的真假．逆命题呢?
探究新知
忆一忆 回顾直角三角形有哪些性质和判定方法？与同伴交流． （1）直角三角形的两个锐角有怎么样的关系？为什么？ （2）如果一个直角三角形有两个角互余，那么这个三角 形是直角三角形吗？ 定理：直角三角形的两个锐角互余． 定理：有两个角互余的三角形是直角三角形．
探究新知
（1）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
课堂练习
3．如图，EA⊥AB，BC⊥AB，EA
＝AB＝2BC，D为AB中点，有以下
结论：（1）DE＝AC；（2）
DE⊥AC；（3）∠CAB＝30°；
（4）∠EAF＝∠ADE，其中结论正
确的是（D ） A． （1），（3）
在第一组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第二组中，原命题是真命题，而逆命题是假命题． 在第三组中，原命题和逆命题都是真命题． 由此我们可以发现： 原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题．
想一想
探究新知
要写出原命题的逆命题，需先弄清楚原命题的条件和
结论，然后把结论变换成条件，条件变换成结论，就得到
北师大版·统编教材八年级数学下册
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形 第 1 课时
学习目标
1．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力. 2．证明直角三角形的性质定理和判定定理. 3．结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命 题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.

1 直角三角形的性质与判定
问题1：直角三角形的两个锐角有怎样的关系？为什么？
△ABC 是直角三角形， ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A +∠B = 90°. 又∵∠C = 90°，
问题2：如果一个三角形有两个角互余，那 么这个三角形是直角三角形吗? 为什么?
∵∠A +∠B +∠C = 180°， 又∵∠A +∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴△ABC 是直角三角形 定理1 直角三角形的两个锐角互余.
b ca
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× 1 ab + c2
2
cb a
= c2 + 2ab， ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab， ∴ a2 +b2 = c2.
证法2 赵爽弦图
大正方形的面积可以表示为 c 2 ；
也可以表示为
4×1
2
ab
+
(
b
-
a
)
2
．
a
c
一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等.
视察上面三组命题，你发现了什么?
归纳总结
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题 就叫做它的逆命题.
想一想
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们
上面两个定理的条件和结 论有什么关系？
3 互逆命题与互逆定理
合作探究
视察上面第一个定理和第二个定理，它们的条件 和结论之间有怎样的关系?