八年级数学下册直角三角形教案(新湘教版)(DOC)

湘教版八下数学1.1第1课时直角三角形的性质和判定教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.1第1课时直角三角形的性质和判定是本册教材中的重要内容，主要让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。

本节课的内容是学生学习几何知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作和推理能力。

但部分学生在解决实际问题时，仍存在对概念理解不深、运用不灵活的现象。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，引导他们深入理解直角三角形的性质和判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法，能运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和判定方法。

2.难点：直角三角形性质和判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入直角三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生观察、操作、推理，培养学生的自主学习能力。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，提高他们的合作能力。

六. 教学准备1.课件：制作直角三角形性质和判定方法的课件，以便于引导学生直观地观察和理解。

2.学具：为每个学生准备一份直角三角形的模型，以便于他们操作和观察。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入直角三角形的概念，如测量楼房高度、制作电视天线等。

引导学生思考：直角三角形有哪些特殊的性质？2.呈现（10分钟）展示直角三角形的性质和判定方法，引导学生观察、操作、推理，总结出直角三角形的性质和判定方法。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，用学具进行操作，验证直角三角形的性质和判定方法。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

湘教版数学八年级下册1.3《直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形全等的判定》是湘教版数学八年级下册1.3节的内容，本节内容是在学生已经掌握了全等图形的概念和判定方法的基础上进行授课的。

本节课的主要内容是让学生掌握HL（斜边-直角边）和SAS（边-角-边）两种判定方法，并能够灵活运用这些方法判断两个直角三角形是否全等。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了全等图形的概念，对全等图形有了一定的认识。

同时，学生也已经学习了勾股定理，对直角三角形的特点也有了一定的了解。

但是，学生对于全等三角形的判定方法还没有完全掌握，对于如何判断两个直角三角形是否全等还有一定的困难。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握HL和SAS两种直角三角形全等的判定方法，并能够灵活运用这些方法判断两个直角三角形是否全等。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、操作能力和表达能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：让学生掌握HL和SAS两种直角三角形全等的判定方法。

2.难点：如何让学生灵活运用HL和SAS方法判断两个直角三角形是否全等。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.启发式教学法：通过提问、引导等方式，启发学生思考，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备一些直角三角形的模型或图片，用于引导学生观察和操作。

2.准备一些相关的练习题，用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用情境教学法，展示一些实际生活中的直角三角形，如建筑工人测量高度、运动员投篮等，引导学生关注直角三角形的特点，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过提问和引导，让学生回顾全等图形的概念和判定方法，然后引入直角三角形全等的判定方法。

湘教版数学八年级下册《1.3 直角三角形全等的判定》教学设计一. 教材分析《1.3 直角三角形全等的判定》是湘教版数学八年级下册的教学内容。

本节内容主要介绍了直角三角形全等的判定方法，包括HL，ASA，AAS，SAS四种判定方法。

通过学习，学生能够熟练掌握直角三角形全等的判定方法，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了全等图形的概念，并掌握了全等三角形的判定方法。

但是，对于直角三角形全等的判定，学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将全等的判定方法与直角三角形的特点相结合，帮助学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法。

三. 教学目标1.了解直角三角形全等的判定方法，能够熟练运用到实际问题中。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.激发学生对数学的兴趣，提高学生的学习积极性。

四. 教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法。

2.教学难点：如何将全等的判定方法与直角三角形的特点相结合。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究直角三角形全等的判定方法。

2.利用几何画板等教学工具，直观展示直角三角形全等的判定过程。

3.学生进行小组讨论，培养学生的合作能力和沟通能力。

4.通过举例和练习，巩固学生对直角三角形全等判定方法的掌握。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备几何画板等教学工具。

3.准备练习题和拓展题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用几何画板展示一个直角三角形，引导学生观察和思考直角三角形全等的特点。

2.呈现（10分钟）介绍直角三角形全等的四种判定方法：HL，ASA，AAS，SAS。

并通过几何画板展示判定过程，让学生直观地理解直角三角形全等的判定方法。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生结合直角三角形的特点，运用所学的判定方法判断两个直角三角形是否全等。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一组练习题，让学生独立完成。

湘教版八下数学1.1.1《直角三角形的性质与判定（一）》教学设计一. 教材分析湘教版八下数学1.1.1《直角三角形的性质与判定（一）》是初中数学的重要内容，主要介绍了直角三角形的性质和判定方法。

本节课的内容是学生掌握直角三角形的基本性质，包括勾股定理、直角三角形的边角关系等，同时学习如何运用这些性质判定一个三角形是否为直角三角形。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质和判定方法，对勾股定理也有了一定的了解。

但部分学生对直角三角形的性质和判定方法的掌握程度不够深入，尤其是一些学生对理论证明的过程不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。

三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握直角三角形的判定方法。

2.能够运用勾股定理和直角三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.直角三角形的性质和判定方法的掌握。

2.勾股定理在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现问题，培养学生的独立思考能力。

2.使用多媒体课件，直观展示直角三角形的性质和判定方法，提高学生的学习兴趣。

3.小组讨论，让学生在合作中学习，提高团队协作能力。

4.通过课后练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.多媒体课件2.教学PPT3.直角三角形的相关教具七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示直角三角形的图片，引导学生回顾直角三角形的定义，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师讲解直角三角形的性质，包括勾股定理、直角三角形的边角关系等，并通过例题展示如何运用这些性质判定一个三角形是否为直角三角形。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一道练习题，运用所学知识进行解答，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）教师选取几道具有代表性的练习题，让学生上黑板演示解题过程，讲解解题思路，巩固所学知识。

湘教版数学八年级下册1.1《直角三角形的性质与判定》教学设计1一. 教材分析《直角三角形的性质与判定》是湘教版数学八年级下册1.1的内容。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数、勾股定理的基础上进行学习的，是学习几何后续内容的重要基础。

本节课主要让学生了解直角三角形的性质和判定方法，通过探索和证明，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了锐角三角函数、勾股定理等基础知识，具备了一定的观察、分析、推理的能力。

但学生对于证明过程的理解和运用还存在一定的困难，因此在教学过程中，需要引导学生积极参与，激发学生的学习兴趣，帮助学生理解和掌握直角三角形的性质与判定方法。

三. 教学目标1.了解直角三角形的性质，能运用性质进行判断。

2.学会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.通过探索和证明，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

4.提高学生合作交流的能力，激发学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.直角三角形的性质的理解和运用。

2.勾股定理的逆定理的证明和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、证明演示法进行教学。

通过设置问题，引导学生探索和发现直角三角形的性质，培养学生的问题解决能力；通过合作交流，让学生充分发表自己的观点，提高学生的沟通能力；通过证明演示，让学生理解并掌握直角三角形的判定方法。

六. 教学准备1.教学课件。

2.直角三角形的相关图片和实例。

3.证明演示所需的教具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用直角三角形的实例，如旗杆高度的测量、房间的面积计算等，引发学生对直角三角形的性质和判定方法的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现直角三角形的性质和判定方法，引导学生观察、分析、推理，引导学生发现直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，一条直角边等于另一条直角边的平方根等。

3.操练（10分钟）让学生运用直角三角形的性质进行判断，如给出一个三角形，判断它是否为直角三角形。

湘教版数学八年级下册《1.1 直角三角形的性质和判定（Ｉ）》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册第1.1节直角三角形的性质和判定（Ｉ）是初中数学的重要内容，主要介绍了直角三角形的性质和判定方法。

本节课的内容是学生学习几何学的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

教材从直角三角形的定义入手，介绍了直角三角形的性质，如直角三角形的两个锐角互余，直角三角形的斜边最长等。

接着，教材介绍了直角三角形的判定方法，如HL判定法、ASA判定法、AAS判定法等。

这些性质和判定方法在实际应用中具有广泛的应用价值。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对于三角形的分类和特点有一定的了解。

但是，对于直角三角形的特殊性质和判定方法，学生可能还没有完全掌握。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握直角三角形的性质和判定方法。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握直角三角形的性质和判定方法，能够运用这些性质和判定方法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、推理等数学活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：直角三角形的性质和判定方法。

2.难点：直角三角形的判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.引导发现法：通过提问、引导，让学生发现直角三角形的性质和判定方法。

2.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对直角三角形性质和判定方法的理解。

3.合作交流法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

六. 教学准备1.教具准备：直角三角形模型、多媒体课件等。

2.学具准备：直角三角形模型、剪刀、胶水等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件展示直角三角形的性质和判定方法，让学生初步了解这些知识。

1. 1. 2直角三角形的性质与判定教学目标1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”2、经历“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”性质的发现过程。

掌握直角三角形的性质，会运用直角三•角形的性质进行简单的推理和计算。

3、体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。

重点：直角三角形性质“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”。

难点：直角三角形性质的应用教学过程：一、知识回顾（出示ppt课件）1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。

RtAABC 中,ZC=90° , D 是AB 的中点ZA+ ZB 二90°CD=AD=BD=-AB22、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。

二、探究学习（出示ppt课件）按要一求画图：1、（1）画ZM0N,使ZMON=30°；（2）在0M上任意取点P,过P作0N的垂线PK,垂足为K,量一量PO, PK.的长度，PO, PK有什么关系；（3）在0M上再取点Q, R,分别过Q, R作ON的垂线QD, RE,垂足分别为D, E, 量—量QD, 0Q, .它们有什么关系？量一量RE, OR,它们有什么关系？由此你发现了什么规律？C2、探究直角三角形屮，如果有一个锐角等于3.0° , 那么它所对的直角边为•什么等于斜边的一半。

如图，在RtQBC中，Z购二90°,如果二30° ,那么腮与斜边/矽有什么关系呢？证明：取线段肋的中点〃，连结即Q为RlWBC斜边肋上的中线.则有：CD丄AB二BD®为Z加Z河0° ,且Z/二30° ,2则Z庐60°,所以ZXG劝为等边三角形，于是得：BC=CD=BD=-AB.2在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢?（让学生交流一，得出把AABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证•明）BA（1）延长BC到D,使CD=BC,连接AD（2）将AABC沿AC对折,得到轴对称图形AADC。

课题直角三角形的性质与判定I （二）本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第2课时，为本学期总第2课时 教学目标知识与技能：1、进一步掌握直角三角形的性质----直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；2、能利用直角三角形的性质解决一些实际问题。

过程与方法：经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”性质的发现过程。

掌握直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

会运用直角三角形的性质进行简单的推理和计算。

情感态度与价值观：体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。

重点 直角三角形性质：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半难点 直角三角形性质的应用教学方法课型教具教学过程：一、创设情境，导入新课 1、直角三角形有哪些性质？ (1)两锐角互余；（2）斜边上的中线等于斜边的一半。

2 按要求画图：（1）画∠MON ，使∠MON=30°，(2)在OM 上任意取点P ，过P 作ON 的垂线PK ，垂足为K ，量一量PO,PK 的长度，PO,PK 有什么关系(3)在OM 上再取点Q,R ，分别过Q,R 作ON 的垂线QD,RE,垂足分别为D,E ，量一量QD ，OQ ，它们有什么关系？量一量RE,OR ，它们有什么关系？ 由此你发现了什么规律？直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

为什么会有这个规律呢？这节课我们来研究这个问题. 二 合作交流，探究新知1、探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。

个案修改DCBAKPOM如图，Rr △ABC 中，∠A=30°，BC 为什么会等于12AB 分析：要判断BC=12AB,可以考虑取AB 的中点， 如果如果BD=BC ，那么BC=12AB ，由于∠A=30°, 所以∠B=60°,如果BD=BC,则△BDC 一定是等边三角形，所以考虑判断△BDC 是等边三角形，你会判断吗？（由学生完成）归纳：直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

湘教版八年级数学下册第1章《直角三角形》教案1．1直角三角形的性质和判定(Ⅰ)第1课时直角三角形的性质和判定1．掌握“直角三角形两个锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；(重点)2．探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质．(重点、难点)一、情境导入在小学时我们已经学习过有关直角三角形的知识，同学们可以用手上的三角板和量角器作直角三角形，并和小组成员一同探究直角三角形的性质．二、合作探究探究点一：直角三角形两锐角互余如图，AB∥DF，AC⊥BC于C，BC与DF交于点E，若∠A＝20°，则∠CEF等于()A．110°B．100°C．80°D．70°解析：∵AC⊥BC于C，∴△ABC是直角三角形，∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－20°＝70°，∴∠ABC＝∠1＝70°，∵AB∥DF，∴∠1＋∠CEF＝180°，即∠CEF＝180°－∠1＝180°－70°＝110°.故选A.方法总结：熟知直角三角形两锐角互余的性质，并准确识图是解决此类题的关键． 探究点二：有两个角互余的三角形是直角三角形如图所示，已知AB ∥CD ，∠BAF ＝∠F ，∠EDC ＝∠E ，求证：△EOF 是直角三角形．解析：三角形内角和定理是解答有关角的问题时最常用的定理，是解决问题的突破口，本题欲证△EOF 是直角三角形，只需证∠E ＋∠F ＝90°即可，而∠E ＝12(180°－∠BCD )，∠F ＝12(180°－∠ABC )，由AB ∥CD 可知∠ABC ＋∠BCD ＝180°，即问题得证． 证明：∵∠BAF ＝∠F ，∠BAF ＋∠F ＋∠ABF ＝180°，∴∠F ＝12(180°－∠ABF )．同理，∠E ＝12(180°－∠ECD )．∴∠E ＋∠F ＝180°－12(∠ABF ＋∠ECD )．∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＋∠ECD ＝180°.∴∠E ＋∠F ＝180°－12×180°＝90°，∴△EOF 是直角三角形． 方法总结：由三角形的内角和定理可知一个三角形的三个内角之和为180°，如果一个三角形中有两个角的和为90°，可知该三角形为直角三角形．探究点三：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．(1)若AB ＝10，AC ＝8，求四边形AEDF 的周长；(2)求证：EF 垂直平分AD .解析：(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE ＝AE ＝12AB ，DF ＝AF ＝12AC ，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．(1)解：∵AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ＝AE ＝12AB ＝12×10＝5，DF ＝AF ＝12AC ＝12×8＝4，∴四边形AEDF 的周长＝AE ＋DE ＋DF ＋AF ＝5＋5＋4＋4＝18；(2)证明：∵DE ＝AE ，DF ＝AF ，∴E 是AD 的垂直平分线上的点，F 是AD 的垂直平分线上的点，∴EF 垂直平分AD .方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形等条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质，连接中点和直角三角形的直角顶点进行求解或证明．探究点四：直角三角形性质的综合运用 【类型一】 利用直角三角形的性质证明线段关系如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，交BC于F ，交AB 于点E .求证：FC ＝2BF .解析：根据EF 是AB 的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF ，得到△AFB 为等腰三角形．又可求得∠B ＝∠C ＝∠BAF ＝30°，进而求得∠F AC ＝90°.取CF 的中点M ，连接AM ，就可以利用直角三角形的性质进行证明．证明：如图，取CF 的中点M ，连接AF 、AM .∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AF ＝BF .∴∠BAF＝∠B .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠B ＝∠BAF ＝∠C ＝12(180°－120°)＝30°.∴∠F AC ＝∠BAC －∠BAF ＝90°.在Rt △AFC 中，∠C ＝30°，M 为CF 的中点，∴∠AFM ＝60°，AM ＝12FC ＝FM .∴△AFM 为等边三角形．∴AF ＝AM ＝12FC .又∵BF ＝AF ，∴BF ＝12FC ，即FC ＝2BF .方法总结：当已知条件中出现直角三角形斜边上的中线时，通常会运用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，使用该性质时，要注意找准斜边和斜边上的中线．【类型二】 利用直角三角形的性质解决实际问题如图所示，四个小朋友在操场上做抢球游戏，他们分别站在四个直角三角形的直角顶点A 、B 、C 、D 处，球放在EF 的中点O 处，则游戏________(填“公平”或“不公平”)．解析：游戏是否公平就是判断点A 、B 、C 、D 到点O 的距离是否相等．四个直角三角形有公共的斜边EF ，且O 为斜边EF 的中点．连接OA 、OB 、OC 、OD .根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质可知，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝12EF ，即点A 、B 、C 、D到O 的距离相等．由此可得出结论：游戏公平．方法总结：题目中如果出现“直角三角形”和“中点”这两个条件时，应连接直角顶点与斜边中点，再利用“斜边上的中线等于斜边的一半的性质”解题． 【类型三】 利用直角三角形性质解动态探究题如图所示，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的数量关系；(2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，移动中保持AN ＝BM .请判断△OMN 的形状，并证明你的结论．解析：(1)由于△ABC 是直角三角形，O 是BC 的中点，得OA ＝OB ＝OC ＝12BC ；(2)由于OA 是等腰直角三角形斜边上的中线，因此根据等腰直角三角形的性质，得∠CAO ＝∠B ＝∠45°，OA ＝OB ，又AN ＝MB ，所以△AON ≌△BOM ，所以ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，于是有∠NOM ＝∠AOB ＝90°，所以△OMN 是等腰直角三角形．解：(1)连接AO .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，∴OA ＝12BC ＝OB ＝OC ，即OA ＝OB ＝OC ；(2)△OMN 是等腰直角三角形．理由如下：∵AC ＝BA ，OC ＝OB ，∠BAC ＝90°，∴OA＝OB ，∠NAO ＝12∠CAB ＝∠B ＝45°，AO ⊥BC ，又AN ＝BM ，∴△AON ≌△BOM ，∴ON ＝OM ，∠NOA ＝∠MOB ，∴∠NOA ＋∠AOM ＝∠MOB ＋∠AOM ，∴∠NOM ＝∠AOB ＝90°，∴△MON 是等腰直角三角形．方法总结：解决动态探究性问题，要把握住动态变化过程中的不变量，比如角的度数、线段的长和不变的数量关系，比如斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余．三、板书设计1．直角三角形的性质性质一：直角三角形的两锐角互余；性质二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2．直角三角形的判定方法一：一个角是直角的三角形是直角三角形；方法二：两锐角互余的三角形是直角三角形．通过练习反馈的情况来看，学生对于利用已知条件判定一个三角形是否为直角三角形这一考点比较容易上手一些，而往往忽略在直角三角形中告诉斜边上的中点利用中线这一性质解决问题．在今后的教学中应让学生不断强化提高这一点.第2课时 含30°锐角的直角三角形的性质及其应用1．理解并掌握含30°锐角的直角三角形的性质；(重点)2．能利用含30°锐角的直角三角形的性质解决问题．(难点)一、情境导入用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个等边三角形吗？说说理由，并把你的发现和大家交流一下．二、合作探究探究点一：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半等腰三角形的一个底角为75°，腰长4cm ，那么腰上的高是________cm ，这个三角形的面积是________cm 2.解析：因为75°不是特殊角，但是根据“三角形内角和为180°”可知等腰三角形的顶角为30°，依题意画出图形，则有∠A ＝30°，BD ⊥AC ，AB ＝4cm ，所以BD ＝2cm ，S △ABC ＝12AC ·BD ＝12×4×2＝4(cm 2)．故答案为2，4. 方法总结：作出准确的图形、构造含30°角的直角三角形是解决此题的关键．探究点二：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°如图所示，在四边形ACBD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AC ，且AC ＝12BC ，求∠DAC 的度数．解析：根据题意得∠CBA ＝30°，由平行得∠BAD ＝30°，进而可得出结论．解：∵AB ⊥AC ，∴∠CAB ＝90°.∵AC ＝12B BC ，∴∠CBA ＝30°.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝30°，∴∠CAD ＝∠CAB ＋∠BAD ＝120°.方法总结：如果题中出现直角三角形及斜边是直角边的两倍可直接得出30°的角，再利用相关条件求解．探究点三：含30°锐角的直角三角形性质的应用如图，某船于上午11时30分在A 处观测到海岛B 在北偏东60°方向；该船以每小时10海里的速度向东航行到C 处，观测到海岛B 在北偏东30°方向；航行到D 处，观测到海岛B 在北偏西30°方向；当船到达C 处时恰与海岛B 相距20海里．请你确定轮船到达C 处和D 处的时间．解析：根据题意得出∠BAC ，∠BCD ，∠BDA 的度数，根据直角三角形的性质求出BC 、AC 、CD 的长度．根据速度、时间、路程关系式求出时间．解：由题意得∠BCD ＝90°－30°＝60°，∠BDC ＝90°－30°＝60°.∴∠BCD ＝∠BDC ＝60°，∴△BCD 为等边三角形．在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°－60°＝30°，∠BDC ＝60°，∴∠ABD ＝90°，即△ABD 为直角三角形，∴∠ABC ＝30°.∵BC ＝20海里，∴CD ＝BD ＝20海里．又∵BD ＝12AD ，∴AD ＝40海里．∴AC ＝AD －CD ＝20(海里)．∵船的速度为每小时10海里，因此轮船从A 处到C 处的时间为2010＝2(h)，从A 处到D 处的时间为4010＝4(h)．∴轮船到达C 处的时间为13时30分，到达D 处的时间为15时30分． 方法总结：方位角是遵循“上北下南左西右东”的原则，弄清楚方位角是解决这类题的关键，再利用含30°角的直角三角形的性质解题．三、板书设计1．含30°锐角的直角三角形的性质(1)在直角三角形中，30度的角所对的边等于斜边的一半；(2)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.2．含30°锐角的直角三角形的性质的应用．在教学中，应该要注意强调这两个性质都是在直角三角形中得到的，如果是一般三角形是不能得到的；两边的二倍关系是斜边和直角边之间的关系，不是两直角边的关系，这在教学中要注意强调，这是学生常犯的错误.1．2直角三角形的性质和判定(Ⅱ)第1课时勾股定理1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并应用它解决简单的计算题；(重点)3．了解利用拼图验证勾股定理的方法．(难点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理【类型一】直接运用勾股定理已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：(1)AC的长；(2)S△ABC；(3)CD的长．解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据CD·AB＝BC·AC即可求出CD.解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12(cm)；(2)∵S△ABC＝12CB·AC＝12×5×12＝30(cm2)；(3)∵S△ABC＝12AC·BC＝12CD·AB，∴CD＝AC·BCAB＝6013(cm)．方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC边上的高AD＝12，试求△ABC周长．解析：本题应分△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论．解：此题应分两种情况：(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9，在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示，在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC 的周长为：15＋13＋4＝32，∴△ABC的周长为32或42.方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是否符合题意．【类型三】勾股定理与等腰三角形的综合如图所示，已知△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D 、F点，BD＝62，AE⊥BC于E，求AE的长．解析：欲求AE，需与BD联系，连接AD，由线段垂直平分线的性质可知AD＝BD.可证△ADE是等腰直角三角形，再利用勾股定理求AE的长．解：如图所示，连接AD.∵DF是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD＝62，∴∠BAD ＝∠B＝22.5°.∵∠ADE＝∠B＋∠BAD＝45°，AE⊥BC，∴∠DAE＝45°，∴AE＝DE.由勾股定理得AE2＋DE2＝AD2，∴2AE2＝(62)2，∴AE＝622＝6.方法总结：22.5°虽然不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，所以经常利用等腰三角形和外角进行转换．直角三角形中利用勾股定理求边长是常用的方法．探究点二：勾股定理与图形的面积探索与研究：方法1：如图：对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；方法2：如图：任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写一种证明勾股定理的方法吗？解析：方法1：根据四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋S△BFE，即b2＝12c2＋12(b＋a)(b－a)，整理得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；方法2：S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，即S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S△BCD，即12B b2＋12B a b＝12B c2＋12B a(b－a)，整理得b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，∴a2＋b2＝c2.方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理证明勾股定理．三、板书设计1．勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的应用3．勾股定理与图形的面积课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，可设计拼图活动，并自制精巧的课件让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点.第2课时勾股定理的实际应用1．熟练运用勾股定理解决实际问题；(重点)2．勾股定理的正确使用．(难点)一、情境导入如图，在一个圆柱形石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？二、合作探究探究点一：勾股定理在实际生活中的应用【类型一】勾股定理在实际问题中的简单应用如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳．问6秒后船向岸边移动了多少米(假设绳子是直的，结果保留根号)?解析：开始时，AC ＝5米，BC ＝13米，即可求得AB 的值，6秒后根据BC 、AC 长度即可求得AB 的值，然后解答即可．解：在Rt △ABC 中，BC ＝13米，AC ＝5米，则AB ＝BC 2－AC 2＝12米，6秒后，BC ＝13－0.5×6＝10米，则AB ＝BC 2－AC 2＝53米，则船向岸边移动距离为(12－53)米．方法总结：在实际生产生活中有很多图形是直角三角形或可构成直角三角形，在计算中常应用勾股定理．【类型二】 含30°或45°等特殊角的三角形与勾股定理的综合应用由于过度采伐森林和破坏植被，我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭，今日A 市测得沙尘暴中心在A 市的正西方向300km 的B 处，以107km/h 的速度向南偏东60°的BF 方向移动，距沙尘暴中心200km 的范围是受沙尘暴影响的区域，问：A 市是否会受到沙尘暴的影响？若不会，说明理由；若会，求出A 市受沙尘暴影响的时间．解析：过点A 作AC ⊥BF 于C ，然后求出∠ABC ＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC ＝12AB ，从而判断出A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，此时AD ＝200km ，利用勾股定理列式求出CD 的长，再求出受影响的距离，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解．解：如图，过点A 作AC ⊥BF 于C ，由题意得，∠ABC ＝90°－60°＝30°，∴AC ＝12AB ＝12×300＝150(km)，∵150＜200，∴A 市受沙尘暴影响，设从D 点开始受影响，则AD＝200km.由勾股定理得，CD ＝AD 2－AC 2＝2002－1502＝507 (km)，∴受影响的距离为2CD ＝1007km ，受影响的时间位1007÷107＝10(h)．方法总结：熟记“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质，知道方向角如何在图上表示，作辅助线构造直角三角形，再利用勾股定理是解这类题的关键．探究点二：勾股定理在几何图形中的应用 【类型一】 利用勾股定理解决最短距离问题如图，长方体的长BE＝15cm，宽AB＝10cm，高AD＝20cm，点M在CH上，且CM＝5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？解：分三种情况比较最短距离：如图①(将正面与上面展开)所示，AM＝102＋（20＋5）2＝529，如图②(将正面与右侧面展开)所示，AM＝202＋（10＋5）2＝25(cm)．∵529＞25，∴第二种短些，此时最短距离为25cm；如图③(将正面与左侧面展开)所示，AM＝（20＋10）2＋52＝537(cm).537＞25，∴最短距离为25cm.答：需要爬行的最短距离是25cm.方法总结：因为长方体的展开图不止一种情况，故对长方体相邻的两个面展开时，考虑要全面，不要有所遗漏．不过要留意展开时的多种情况，虽然看似很多，但由于长方体的对面是相同的，所以归纳起来只需讨论三种情况：前面和右面展开，前面和上面展开，左面和上面展开，从而比较取其最小值即可．【类型二】运用勾股定理与方程解决有关计算问题如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是()A．1.5 B．2C．2.25 D．2.5解析：设AM＝x，连接BM，MB′，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2，在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2，∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是()A.5＋1 B．－5＋1C.5－1D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A的距离是5，那么点A所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理和数轴的知识，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．三、板书设计1．勾股定理在实际生活中的应用2．勾股定理在几何图形中的应用就练习的情况来看，一方面学生简单机械地套用了“a2＋b2＝c2”，没有分析问题的本质所在；另一方面对于立体图形转化为平面问题在实际问题中抽象出数学模型还存在较大的困难，在今后的教学中要通过实例不断训练提高.第3课时勾股定理的逆定理1．能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；(重点)2．灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题．(难点)一、情境导入古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的逆定理【类型一】勾股数判断下列几组数中，一定是勾股数的是()A．1，2， 3 B．8，15，17C．7，14，15 D.35，45，1解析：选项A不是，因为2和3不是正整数；选项B是，因为82＋152＝172，且8、15、17是正整数；选项C不是，因为72＋142≠152；选项D不是，因为35与45不是正整数．故选B.方法总结：勾股数必须满足：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2＋b2＝c2，但是2.5、6.5不是正整数，所以它们不是勾股数；②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．【类型二】判断三角形的形状已知a，b，c为△ABC的三边，且满足(a－7)2＋(b－24)2＋(c－25)2＝0.试判断△ABC 的形状．解析：可先确定a，b，c的值，然后再结合勾股定理的逆定理进行判断．解：由平方数的非负性，得a－7＝0，b－24＝0，c－25＝0.∴a＝7，b＝24，c＝25.又∵a2＝72＝49，b2＝242＝576，c2＝252＝625，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形．方法总结：此题主要依据“若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0”这一性质来确定a，b，c的值．该知识点在解题时会经常用到，应注意掌握．【类型三】利用勾股定理逆定理解决与角有关的问题在如图的方格中，△ABC的顶点A、B、C都是方格线的交点，则三角形ABC的外角∠ACD的度数等于()A．130°B．135°C．140°D．145°解析：∵AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，AC2＝12＋32＝10，∴AC2＝AB2＋BC2，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B＝45°＋90°＝135°.故选B.方法总结：在网格图中求三角形的角度时可以运用勾股定理和一些特殊角的边角关系来解答，比如在直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，45°的直角三角形中两直角边相等．【类型四】运用勾股定理的逆定理解决面积问题如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，CD＝24，AD＝26，求四边形ABCD的面积．解析：连接AC，根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ABC和△ACD为直角三角形，然后代入三角形面积公式将两直角三角形的面积求出来，两者面积相加即为四边形ABCD的面积．解：连接AC，∵∠B＝90°，∴△ABC为直角三角形，∴AC2＝AB2＋BC2＝82＋62＝102，∴AC＝10，在△ACD中，∵AC2＋CD2＝100＋576＝676，AD2＝262＝676，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝12×6×8＋12×10×24＝144.方法总结：将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题，解题时要利用题目信息构造出直角三角形，如角度，三边长度等．探究点二：勾股定理逆定理的实际应用如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海．解析：已知走私艇的速度，求出走私艇的距离即可得出走私艇所用的时间，即可得出走私艇何时能进入我国领海．所以现在的问题是得出走私艇的距离，根据题意，CE即为走私艇所走的路程，可知，△ABE和△EBC均为直角三角形，可分别解这两个直角三角形即可得出．解：设MN与AC相交于E，则∠BEC＝90°，∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，由于MN⊥CE，所以走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，由S△ABC＝12AB·BC＝12AC·BE，得BE＝6013(海里)，由CE2＋BE2＝BC2，即CE2＋(6013)2＝122，得CE＝14413(海里)，∴14413÷13＝144169≈0.85(h)＝51(min)，9时50分＋51分＝10时41分．答：走私艇C最早在10时41分进入我国领海．方法总结：本题考查了对题意的准确把握和使用勾股定理解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出几何图形．三、板书设计1．勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形2．利用勾股定理逆定理求角和线段的长3．利用勾股定理逆定理解决实际问题学生在练习的过程中很容易受到固定思维模式的限制，往往不找最长边而总是按照先后顺序来解题，这样很容易发生错误，再就是利用勾股定理的逆定理进行有关的证明不是很得法，需在以后的学习中逐步训练提高.1．3直角三角形全等的判定1．熟练掌握“斜边、直角边定理”，以及熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；(重点)2．熟练使用“分析综合法”探求解题思路．(难点)一、情境导入前面我们学习了判定两个三角形全等的四种方法——SAS、ASA、AAS、SSS.当然这些方法也适用于判定两个直角三角形全等，那么直角三角形的全等的判定还有其他的方法吗？二、合作探究探究点一：运用“HL”判定直角三角形全等如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：F A＝FC.解析：要利用“等角对等边”证明F A＝FC，需先证∠F AC＝∠FCA，此结论可由三角形全等得到．证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中⎩⎪⎨⎪⎧EC＝AD，CA＝AC，∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠F AC＝∠FCA，∴F A＝FC.方法总结：在运用HL判定两个直角三角形全等时，要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．探究点二：直角三角形判定方法的灵活应用【类型一】解决线段相等问题已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.解析：根据已知条件证明现有的Rt △ABC 与Rt △BAD 全等，得出线段和角相等，再证Rt △ACE 和Rt △BDF 全等，从而解决问题．证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，BC ＝AD ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL)，∴AC ＝BD ，∠CAB ＝∠DBA ，∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，∴∠CEA ＝∠DFB ＝90°，在△CAE 和△DBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CEA ＝∠DFB ＝90°，∠CAE ＝∠DBF ，AC ＝BD ，∴△CAE ≌△DBF (AAS)，∴CE ＝DF .方法总结：一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL ”．【类型二】 灵活选用判定方法解决线段和差问题已知，如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在DE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE ＋CE .解析：先证△ABD ≌△ACE ，再根据等量代换得出结论．证明：∵BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，∴∠ADB ＝∠AEC ＝90°，又∵∠BAC ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠CAE ＋∠BAD ，∴∠ABD ＝∠CAE ，又∵AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE ，∴BD ＝AE ，AD ＝CE ，∵AE ＝AD ＋DE ，∴BD ＝CE ＋DE .方法总结：当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．探究点三：利用尺规作直角三角形已知：线段a ，如图．求作：Rt △ABC ，使BC ＝a ，AB ＝32a ，∠C ＝90°.解析：已知直角三角形的斜边和一条直角边，先考虑作出直角，然后截取直角边，再作出斜边即可．解：作法：如图所示，(1)作l2⊥l1于点C；(2)在l1上截取CB＝a；(3)以点B为圆心，以32a的长为半径画弧，交l2于点A；(4)连接AB，Rt△ABC 即为所求．方法总结：尺规作图时，应养成先画草图的习惯，再根据草图分析作图的先后顺序．三、板书设计1．斜边、直角边定理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等(简称“HL”)2．直角三角形判定方法的灵活应用使用“HL”定理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等．这在课堂教学中要反复强调，这是与前面四种方法的区别，是学生很容易犯的错误，同时学生利用尺规作直角三角形还不熟练，要注重培养他们的动手操作能力.1．4角平分线的性质1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点)一、情境导入在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】利用角平分线的性质求线段长。