正弦定理优秀课件

A 300 , B 1350 , a 2
,
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 解三角形 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
sin A sin B
a b c sin A sin B sin C
定理结构特征: 含三角形的三边及三内角,由己知二角一边 或二边一角可表示其它的边和角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
a b c 正弦定理： sin A sin B sin C
a b c sin A sin B
sin C 1
a b c sin A sin B sin C
思考: 对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
1.1.1 正弦定理
(1)当 ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢? C 如图:作AB上的高是CD,根椐 E 三角形的定义,得到 b a CD a sin B, CD b sin A A 所以 a sin B b sin A B D a b c
abcsinsinsin正弦定理在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等即含三角形的三边及三内角由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角定理结构特征
第一章:解三角形
1.问题的引入:
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事.明月 . 高悬 ,我们仰望夜空,会有无限遐想,不禁会问, 月亮离我们地球有多远呢?科学家们是怎样 测出来的呢？
a sin C c 49.57 sin A

第11页，共21页。
1.1.1 正弦定理
3.定理的应用举例
例1 在 ABC已知 A 300 , B 1350 , a , 2
解三角形.
变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正
弦定理可以求出三角形中的其它元素。
第12页，共21页。
B=300
(2)在ABC中，已知A 600, a 4,b 10 3 ,求B 3
无解
第15页，共21页。
探究课题引入时问题(2)的解决方法
如图：若测得a＝48.1m，B＝43 ° ， C＝69 °，求AB。
A.
解：
A＝180
°－（43
B °＋. 69
a .C
°）＝68
°
在 ABC中，由正弦定理得：
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a b c
sin A sin B sin C
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1.1.1 正弦定理
(2)当ABC 是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
C
b a
D
Bc
A
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1.1.1 正弦定理
正弦定理 在一个三角形中，各边和它所 对角
的正弦的比相等，即 a b c sin A sin B sinC
第17页，共21页。
课后探究（: 1）你还可以用其它方法证明正弦
定理吗？
（2）若 a b c k， sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
作业： P10 A组 1（1），2（1） B组 1

(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
由此，
故有
同理可
B D .从而这个结论在锐角三角形中成立。
利用三角形的高证明正弦定理
(2)当△ABC 是钝角三角形时，过点C作AB 边上的高，交AB 的延长线 于点D, 根据锐角三角函数的定义，有CD=asin∠CBD=asin∠ABC,
由
所以△ABC中 ，BC 的长为2 √2。
4, 请你用正弦定理来求出
B
3
知识梳理
正 弦 定 理
图形语言 文字语言
A
C
b
BCa源自在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
符号语言
sin sin B
s(
CD=bsin A。 由此，可得
由 ( 1 ) ( 2 ) 可 知 ， 在 △ ABC中 ，
成立。
从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即
我们除了以上两种方法，还有哪些证明方法 呢?
利用三角形面积证明正弦定理
利用三角形的外接圆证明正弦定理
练一练
在△ABC中，若A=30°,B=45°,AC= 边BC的长? 解：已知：A=30°,B=45°,AC=4
Rt△ABC 边与它对角的正弦比为：
关系式：
思考一下：对于锐角三角形和钝角三角形，以上关系式是 否仍然成立?
向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角 的正弦。如何实现转化?
由诱导公式co
可知，我们可以通
过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系
转化为正弦关系。
利用向量法证明正弦定理
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂

则 AC 的长为( )
A．4 3
B．2 3
C． 3 【答案】B
D．
3 2
3．已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，∠B＝60°，
那么∠A 等于____________． 【解析】根据正弦定理sina A＝sinb B得sin2A＝sin 630°，
所以 sin A＝
2 2.
又因为 a<b，所以∠A<∠B，
2．判断三角形的形状，有两个途径： (1)化角为边； (2)化边为角．灵活运用正弦定理的变形公式进行边角 互化，是解题的关键．
失误防范 (1)利用正弦定理解“已知两边及其中一边对角，求另 一角”的问题时，由于三角形内角正弦值都为正，而 这个内角可能为锐角，也可能为钝角，容易把握不准 出错．做题时结合图形并根据“大边对大角”来进行 判断，作出正确的取舍．
2．在△ABC 中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C， 则△ABC 是________三角形．
【解析】由已知得 sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定 理知 a2－b2＝c2，故 b2＋c2＝a2.所以△ABC 是直角三 角形． 【答案】直角
探究点 4 正弦定理的综合应用 例 4 已知△ABC 的三个内角∠A，∠B，∠C 所对的边分 别是 a，b，c，向量 m＝(1，1－ 3sin A)，n＝(cos A，1)， 且 m⊥n. (1)求∠A； (2)若 b＋c＝ 3a，求 sin(B＋π6)的值．
解：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 代入coas A＝cobs B＝cocs C中， 得2cRossinAA＝2cRossinBB＝2cRossinCC，

详细描述
通过向量的数量积和向量的模长，利用向量的性质和运算规则，最终证明出正 弦定理。这种方法能够拓展学生的数学思维，提高他们的数学素养和解题能力 。
Part
03
正弦定理的应用
在解三角形问题中的应用
01
02
03
确定三角形形状
通过正弦定理，可以判断 三角形的形状，例如是否 为直角三角形、等腰三角 形或等边三角形。
工程问题
在工程建设中，经常需要 计算结构的稳定性，可以 通过三角函数来求解。
正弦定理的发现与证明
发现过程
正弦定理的发现经历了漫长的过 程，最初是通过观察和实验得出 的结论。
定理的应用
正弦定理在解决实际问题中具有 广泛的应用，如测量、物理、工 程等领域。
证明方法
正弦定理的证明方法有多种，可 以通过几何证明和三角恒等式证 明。
正弦定理的变式
角度形式
sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c，其中A、B、C是三角形的三 个内角，a、b、c是对应的边长
。
边角形式
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)，表示三角形的边长与其 对应角的正弦值之比是常数。
三角恒等式形式
基础习题2
在三角形ABC中，已知sinA=1/2，且 角A为锐角，求角A的大小。
提高习题
提高习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2b，且角B=60度，求证：三角形ABC 是直角三角形。
提高习题2
在三角形ABC中，已知角A、B、C的度数之比为1:2:3，求角C的度数。
利用三角形的面积公式推导正弦定理
总结词
利用三角形面积公式推导正弦定 理，直观易懂，适合初学者理解 。

实例演示：使用正弦定理解决航海问题
通过应用正弦定理，我们可以解决航海问题，如计算船只的航向和航速，以及规划最佳航线。
使用正弦定理解决等比例分点问题
正弦定理可以用于解决等比例分点问题，如确定线段上某点与线段两个端点的距离比例。
正弦定理在建筑工程中的应用
1 1. 斜坡角度计算：
正弦定理可用于计算斜坡的角度，以 ABC 的两个内角、边长，求解三 角形的周长和面积。
通过应用正弦定理和相关公式计算三角形的 周长和面积。
使用正弦定理解决反三角函数 问题
正弦定理和反三角函数之间有密切的关联，通过应用正弦定理，我们可以解 决涉及反正弦函数的问题，例如角度的求解。
正弦定理在向量问题中的应用
2 2. 危险程度评估：
通过应用正弦定理，可以评估建筑物的倾斜程度和稳定性。
使用正弦定理解决视角问题
通过应用正弦定理，我们可以解决视角问题，如计算观察者与物体之间的夹角和距离。
1 1. 向量叉乘：
正弦定理可用于计算两个向量之间的夹角， 从而求解其叉乘。
2 2. 复杂向量运算：
通过应用正弦定理，可以简化复杂向量问题 的计算过程。
正弦定理在物理学中的应用
1 1. 力的分解：
2 2. 振动运动：
正弦定理可用于计算合力的分解方向和大小， 帮助解决物体静力学问题。
正弦定理可用于计算振动系统的周期和频率， 并预测物体的运动。
2
步骤 2
假设 AD 是边 BC 的高，垂足为 D。
3
步骤 3
应用正弦定理推导出 AD、BD 与 CD 之间的关系。
实例演示：使用正弦定理求解未知量
1 问题：
2 解法：
已知三角形 ABC 的两个内角和一条边的长度， 求解另外两条边的长度。

C
得 sin B bsin A 16
3 sin30
3
a
16
2
16 3 16
16
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
变式：在ABC中，已知 A 450,a 2,b 2,求B
例4.已知VABC的周长为32,sinA+sinB=2sinC,求边长c
课后探究（: 1）你还可以用其它方法证明 正弦定理吗？
（2）
ab sin A sin B
c sin C
k
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有
关的量来表示吗?
b
1.1.1 正弦定理
2.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系? c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？
Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
abc sin A sin B sinC
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
1.1.1 正弦定理
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2、已知a=16， b=16 3， A=30°in A sin B
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
判断满足下列的三角形的个数:
(1)b=11, a=20, B=30o
两解

a=42.9cm，解三角形.
（一）思路：
B
（二）点评：
c
b
（三）规范答题：
A
a
C
解：∵A+B+C=1800 ∴C=1800-（A+B）
=1800-（32.00+81.80）=66.20
根据正弦定理，
b
a sin B sin A
42.9 sin 81.80 sin 32.00
80.1(cm)
（二）内角和：A+B+C=
（三） Rt△ABC中最基本三角函数：
a sin A b sin B
c
c
B
c a
C
b
A
二、提出问题：
三角形中的边与角的关系能够通过哪些式子 精确量化的表达？
探究一：在Rt△ABC中，结合三角函数，探究
边角关系？
A
a sin A b sin B
c
c
a b c
确到1cin A 20
3 sin 600 3
1
a
20
2
∵00<B<1800
∴B=300或B=1500
(对的解法)解：根据正弦定理，
sin B b sin A 20
3 sin 600 3
1
a
20
2
∵00<B<1800且a>b
∴B=300
……
问题：已知任意两角和一边，能否 求其它边和角?
C b
DA
普通性结论：把三角形的三个角A，B，C和三 条边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的 几个元素求其它元素的过程叫做解三角形。
知识回想：应用正弦定理解 三角形需要几个元素？什么