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A.60 B.45或135
C.120
D30
C
b
aห้องสมุดไป่ตู้
解析：cos C a2 b2 c2
2ab
Ac
B
a2 c2 b2 abcosC ab 1 C 60
2ab 2
三.判断三角形的形状
由推论我们能判断三角形的角的情况C吗?
推论： cos A b2 c2 a2 2bc
b
a
提炼：设a是最长的边，则
2
A 60
cosB a2 c2 b2 ( 6)2 ( 3 1)2 22
2ac
2 6 ( 3 1)
2 2
B 45
C 180 A B 180 60 45 75
变式：
1.在三角形ABC中，若a 3,b 1, c 2,则A 6_0_________
2.在三角形ABC中，a2 c2 b2 ab,则角C的大小为___A_____
例3、在△ABC中，若a 2 b2 c 2，
则△ABC的形状为（ ）
Ａ、钝角三角形 Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形 Ｄ、不能确定
那a2 b2 c2呢?
例 在ABC中, a 1, b 2, c 7, 试判断这个
三 角 形 的 形 状.
90 C 180
cosC 0
a2 b2 c2
千岛湖
情景问题
千岛湖
岛屿A
岛屿B
120°
?
岛屿C
情景问题
千岛湖
在△ABC中，已知AB=5km，BC=3km，
∠B=120o，求 AC
岛B 屿B
A岛屿A
120°
?
岛C 屿C
用正弦定理能否直接求出 AC？
余弦定理
A
a2=b2+c2-2bccosA
c b b2=c2+a2-2cacosB
B a C c2=a2+b2-2abcosC
你能用文字说明吗？
三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和减去这两边与 它们夹角的余弦的积的两倍.
想一想： 余弦定理能够解决什么问题？
a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC
方程思想：四个量，知三求一
1. 已知两边b,c和它们的 夹角A求另一边a（直 接用）；
复习回顾：
1.正弦定理的内容 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即在ABC中， a b c 2R sin A sin B sinC
2.用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？
（1）已知三角形的两角和一边
（2）已知两边和其中一边的对角。
若已知三角形的三边，或者是两边及其 夹角，能否用正弦定理来解三角形呢？
2
3 232
3cos30 3
B
c
A
a 3
由正弦定理 a b 得
sin A sin B
sin B
b sin
A
3 1 2
3
a
32
b c,B 60
C
C 180 A B 90 b a
变式：
Ac
B
1、若b 3, c 1, A 60,则a ____7____
2、在ABC中，AB 2，BC 1，cosC 3 ,则AC _2__
B 180 A C 180 30 120 30
二、已知三角函数的三边解三角形
例2、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1 解三角形(依次求解A、B、C). 解：由余弦定理得
cos A b2 c2 a2 22 ( 3 1)2 ( 6)2 1
2bc
2 2( 3 1)
巩固提高
4.在ABC中,若a b c,且c 2 a 2 b2 ,则ABC为（）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C .钝 角 三 角 形
D.不存在
5.已知一个锐角三角形的边长分别为2,3, x,则x的 取值范围是
6在ABC中, a b 2, b c 2,且最大角的正弦值
等于 3 ,则三角形的三边长为 2
4
3
在ABC中，a 1, b 1,C 120 , 解三角形.
解： c 2 a 2 b2 2abcosC c 2 12 12 2 11 cos120 3
c 3
又 a c
a sinC 1 sin120 1
sin A
sin A sinC
c
3
2
A 30 或150
但 是 由 于c a,所 以C A,因 此 ，A 30
Ac
B
△ABC是钝角三角形 b2 c2 a2 0
△ABC是锐角三角形 b2 c2 a2 0 △ABC是直角三角形 b2 c2 a2 0
由a2=b2+c2－2bccosA可得
A
A
b b
cc
C
B
（1）若A为直角，则a²=b²+c² a
（2）若A为锐角，则a²<b²+c²
（3）若A为钝角，则a²>b²+c²
巩固提高
1.在ABC中,已知a 2 b2 c 2 bc,则角A为（）
A.
B.
C. 2
D. 或 2
3
6
3
33
2.在ABC中,已知a : b : c 3 : 5 : 7,求这个三角形
的最大内角.
3.在ABC中,已 知a 7, b 8,cosC 13 ,求 最 大 角
14 的 余 弦 值.
结论：
在ABC中， 0 A 90 cos A 0 b2 c2 a2
A 90 cos A 0 b2 c 2 a 2
练习：
90 A 180 cos A 0 b2 c2 a2
一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为 （ ）A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6
课堂小结
1.余弦定理及变形
a 2 b2 c 2 2bc cos A b2 a 2 c 2 2ac cos B c 2 a 2 b2 2abcosC
52 32 2 5 3cos120o
C
49
AC 7
答：岛屿A与岛屿C的距离为 7 km.
一、已知三角形的两边及夹角求解三角形
例1、在ABC中，已知b 3, c 2 3, A 30,
求角B、C和边a的值
C
解：由余弦定理知， a2 b2 c2 2bc cos A
a
b
32 2
变
一
变 乐
变形
在
其
中
2.已知三边求角（变形）.
cosA= b2+c2 - a2 2bc
cosB= c2+a2 - b2 2ca
cosC= a2+b2 - c2 2ab
A cb BaC
解决实际问题
在△ABC中，已知AB=5km，BC=3km，
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cos B
