余弦定理(优秀课件)

2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：

[解] 法一：由正弦定理得ssiinn CB＝bc， 由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝2ssiinnCB＝2cb. 又由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2， 所以2cb＝b2＋2cb2c－a2，
[活学活用] 1．已知在△ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求角 A
判断三角形的形状
[典例] 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 且2cos Asin B＝sin C，确定△ABC的形状．
[解] 法一：由正弦定理得ssiinn CB＝bc， 由2cos Asin B＝sin C，有cos A＝2ssiinnCB＝2cb. 又由余弦定理得cos A＝b2＋2cb2c－a2， 所以2cb＝b2＋2cb2c－a2，
的大小．
解：∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)， 令a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)， 由余弦定理得，cos A＝b2＋2cb2c－a2＝ 22， ∵0°<A<180°，∴A＝45°.
2．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C， 求cos B的值． 解：由正弦定理及6sin A＝4sin B＝3sin C， 可知6a＝4b＝3c，令6a＝4b＝3c＝12k，k>0， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k. 由余弦定理得cos B＝a2＋2ca2c－b2＝4k22＋×126kk×2－4k9k2＝1116.
c2 a2 b2 2ab cos C
a2 b2 c2 2bc cos A
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
设
a, b,求 边 c. CB a,CA b, AB c
由向量减法的三角形法则得

例1：在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41o， 解该三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）. 解：∵a²=b²+c²-2bccosA
=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82 ∴a≈41(cm) 故由正弦定理可得
∵c<a，故C是锐角 ∴利用计算器可求得 C≈33° ∴B=180o-(A+C)=180o-(41o+33o)=106°
（2）已知a=2，b= ，c=
，求A. 45o
➢比较 已知在△ABC中，a=8，b=7，B=60o，求c.
解：由余弦定理得 b2 a2 c2 2ac cos B 72 82 c2 2 8 c cos60 整理得 c2 8c 15 0 解得 c 3或c 5
练习：已知在△ABC中，a=1，b=
c=3
，B=60o，求c.
解三角形问题的四种基本类型：
（1）知两角及一边： 求法：先求第三角，再用正弦定理求另外两边. （2）知两边及其中一边的对角： 需要判断解的个数 求法：①先用正弦定理求剩下两角，再求第三边；
②先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （3）知两边及其夹角： 求法：先用余弦定理求第三边，再求剩下两角. （4）知三边： 求法：用余弦定理求三个角.
余弦定理
谢智强 舞阳中专
解：∵由正弦定理可得
又∵c<b ∴C是锐角
先确定角的范围
再确定角具体数值
解：∵b=2a ∴2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA
探究：如图，在△ABC中，BC=a，AC=b，边BC与AC的 夹角为C，试求AB边的长c. 思路2：依条件可知，
C
a b
Ac=？BFra bibliotek解题小结：

∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225

北师大版必修5· 新课标· 数学
第二章 解三角形
人 教 3．余弦定理与勾股定理 版 必 (1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达 修 2 2 2 2 2 2 一 式中令A＝90°，则a ＝b ＋c ；令B＝90°，则b ＝a ＋c ； 2＝a2＋b2. 令 C ＝ 90 °，则 c 新 课 (2) 在△ ABC 中，若 a2<b2 ＋ c2 ，则 A 为⑧ ________ 角， 标 反之亦成立；若 a2 ＝ b2 ＋ c2 ，则 A为⑨________ 角，反之亦 地 2>b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立． 成立；若 a 理
由正弦定理知，AC＝2rsinB， AC ∴r＝ ≈2.5(km)． 2sinB r2＋BC2－r2 由余弦定理知，cos∠OBC＝ ＝0.74， 2rBC ∴∠OBC≈42° . 故医院应建在△ABC 的内部的点 O 处， 使 OB 约 为 2.5 km，且∠OBC 约为 42° .
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人 教 版 必 修 一 · ·
6＋ 2 解析：cos15° ＝cos(45° －30° )＝ 4 . 由余弦定理知 c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2 2×( 6＋ 2)＝
新 课 8－4 3， 标 2 ∴ c ＝ 8 － 4 3 ＝ 6 － 2 ＝ 6－ 2. 地 理 a c 由正弦定理得sinA＝sinC，
· ·
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第二章 解三角形
人 教 解析：在△ABC中，由余弦定理： 版 必 BC2 ＝ AB2 ＋ AC2 － 2AB·AC·cos∠BAC ＝ 32 ＋ 52 － 修 一 2×3×5·cos120°＝49， ∴BC＝7， 新 课 设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理： 标 地 理

c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C

∴ C ≈ 36°或144°(舍).
例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,
求c及S△ABC
解 b 2 ： c 2 a 2 2 accB os 7 2 c 2 8 2 2 8 c c6 o 00 s
整理得：c2-8c+15=0
解得：c1=13, c2=5
SABC
a 2
c1s
inB
解：方法一： 根据余弦定理，
a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o
≈1 676.82， ∴a≈41(cm).
余弦定理优质课
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精 确到1 cm）. {接上页} 由正弦定理得，
隧道工程设计经常要测算山脚的长度工程技术人员先在地面上选一适当的位置a量出a到山脚bc的距离再利用经纬仪测出a对山脚bc即线段bc的张角最后通过计算求出山脚的长度bc已知
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1.1.2
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
三边(a,b,c)
正弦定理 余弦定理
由正弦定理求出角B,再求角C,最后 求出c边.可有两解,一解或无解.
先由余弦定理求出其中两个角,再利用内 角和为180°求出第三个角.
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练习 C A
1 20
练习
练习
ABC中,
（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝__1_3__；
（2）a = 2, b = 3, c = 4, 则C = _1_0_4_._5_°. （3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝_1_4_._6_°_.

a
b
3 2 2 3 2 2 3 2 3 c3 o 3 0 s
a 3
Bc
A
由正弦a定 理 b 得 sin A sin B
sinBbsinA312 3
a
32
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a= 2 21
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（2）解：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
பைடு நூலகம்
=
1 2
cos B
a2
c2 2ac
b2
=
2 2
A= 600 ，B= 450
则 C=1800 A B 750
例 1. 《余弦定理》优质课ppt北师大版1-精品课件ppt(实用版)
（1）在 ABC中，已知 b= 4 3 ，c= 2 3 ，A=1200 ，求 a. （2）在 ABC中，已知 a= 2 6 ，b= 2 2 ，c= 6 2 ，
求 A、B、C 的值。
解：（1） a 2 = b 2 + c 2 －2 b c ·cos A=84
12(3)221317
2
22 4
BC 7 2
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用余弦定理,可解决两类问题：
A
b
c
C
a
B
①已知两边和它们的夹角, 求 第三边和其它两个角；
②已知三边，求三个角.
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《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。

人教版A版 高中数学必修5 第一章《解三角形》
1.1.2 余弦定理
复习回顾
1.正弦定理
abc sin A sin B sin C
2.正弦定理的作用
C
(1)已知三角形的两角和任一边,求其它两边和
b
a
另一角;
(2)已知三角形的两边和其中一边的对角,求另
A
B 一边的对角(从而进一步求出其它的边和角).
在第二种情况下： 若知道的是大边的对角,只有唯一的一组解; 若给出的是小边的对角,则结果可能是两解或一解、或无解.
＝2R
（R为△ABC 外接圆半径）
补充作业
O
∴cosA＝ AB 2＋ AC 2－ BC 2 2 AB AC
＝2
√365
,
∴ A≈84°.
A C
x
加深提高： 1.在ABC中，已知 a 7，b 10， c 6，试判断 ABC的形状.
2.在ABC中，已知a：b：c 3：5：7， 求这个三角形的最大角.
动手实践:
在ABC中， 1.已知b 8，c 3，A 60,求a; 2.已知a 20,b 29, c 21,求B; 3.已知a 3 3, c 2, B 150,求b.
A
B
C
一、余弦定理
三角形任何一边的平方等于其它两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
a2 =b2 +c2-2bccosA
b2 =c2+a2-2accosB c2 =a2+b2-2abcosC
延伸变形：
cos
A
b2
c2
a2
，
2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ac
cos C a2 b2 c2 。 2ab

边.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1

D.−

B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）

A.


B.


C.

D.


跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )

敞开心胸，便会云蒸霞蔚，快乐将永远伴随着你！
a2=b2+c2－2bccosA
b2= a2+c2－2accosB
c2 =a2+ b2－2abcosC
例 1：已知在三角形 ABC 中 a＝5 3 ，b＝5，C＝30
求边 c.
变：已知在三角形 ABC 中，a＝5 3 ，b＝5，C＝150 求边 c. 练：(1)已知在三角形 ABC 中，b＝6，c＝4，A＝120 求边 a.
cosA＝ b2＋c2－a2 ; 2bc
b2=c2＋a2－2cacosB; a2=b2＋c2－2bccosA;
cosB＝ cosC＝
c2＋a2－b2 ; 2ca
a2＋b2－c2 . 2ab
2.余弦定理可解以下两种类型的三角形：
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边及夹角，求第三边和
其他两个角.
作业: P10A组:3,4
女子说，她也是母亲，也曾在山崩石裂瞬间，下车问路，一转头，车被人开走，而车上，有她还是稚婴的女儿。 她说她疯了一般扑向大团尾气和泥尘，手袋脱手而飞，惨号大叫，不知道自己说了什么，旁人也听不懂——她是归华美籍，此刻却忘尽英语，只用母语声声狂呼“救命”或者“放下我的孩子”。再也不可能是别的语言了。 高跟鞋妨碍她，一把拽脱劈手扔过去，她死命追赶。忘了人的速度不可能与车抗衡，看不见脚下的石砾、玻璃屑、柏油，唯一的念头就是：女儿。她只是一个纤细的亚裔女子，那一刻却如豹如鹰，势如疯虎，连歹徒也被吓倒了，弃车而逃。而她裙摆全撕，脚踝扭伤，脚底流下殷红的血。
没有人能忽略这样一张脸孔：泪眼纷纷，呜咽声声，“求求，求求你们。”黑夜在颤抖，墨镜里，必藏着一双红肿、深陷、因其绝望而绝美的眼睛。 她叫苏珊,她说：“这原本是一个温良秋夜，她开车带着3岁和14个月大的两个孩子，行驶在静谧的公路上，忽然一个歹徒窜上车，持枪威逼她下车，带着她的孩子们，扬长而去。