人教版高中数学必修五1.1.2余弦定理公开课教学课件 (共17张PPT)

cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
应用举例：
（二）已知三边，求角.
例2、在ABC中，已知a 4，b 5，c 21，求角C.
思考：已知△ABC的三边，则三角形的形状是确定的， 那么如何判断其形状？
cos C a2 b2 c2 。 2ab
人教A版数学必修5
1.1.2余弦定理
授课教师：厦门二中 谢小花 2018.02.24
新知探究
在Rt△ABC中，三边有如下的关系(设C=90°，如图)：
c2 a2 b2
A c
b
C
a
B
思考：
若 a,b边的长短不变，变换角C的大小时， c2与a2 b2 有什么关系呢?
A
A
c b
C
a
B
A A
c b
c2 a2 b2 2ab cos C b2 a2 c2 2ac cos B a2 b2 c2 2bc cos A
注:余弦定理适用于任何三角形！
余弦定理的向量法证明：
A
r
r
b b cc
a
C
r a
B
r rr c ab
向量法证明 过程请同学 们阅读课本 P5！
应用举例：
（一）已知两边及夹角，求第三边。
当C是锐角时
A c
b
当C是钝角时
A
b
c
C
Da
B
DC
a
B
无论C是锐角、钝角还是直角，△ABC都满足
同理可得，
c2 a2 b2 2ab cos C a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
余弦定理：三角形任何一边的平方等于 其它两边的平方和减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
在ABC中，
若cos C 0，则C为直角； 若cosC 0，则C为锐角；
若cosC 0，则C为钝角。
布置作业：
1、课本P10习题1.1A组3（2）、4（1） 2、导与练1.1.2 余弦定理
自主学习、基础达标
余弦定理的作用：
（1）已知两边和它们的夹角，求第三边； （2）已知三边，求角或判断三角形的形状；
动笔练练：
1.在ABC中，已知b 4，c 12，A 60,求a, B和C; 2.在ABC中，已知a 6,b 7,c 8,求C，并判断该三角形的形状。
应用举例：
例4、在ABC中，已知AC 7，BC 8，AB 9，求AB边的中线长.
C
A
B
D
课时小结：
1.余弦定理
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
3.余弦定理的作用
（1）已知两边及夹角， 求第三边；
（2）已知三边，求角或判断 三角形的形状。
2.余弦定理的推论
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
例1、 在ABC中，已知a 3,b 4,C 60,求c, A和B
思考：已知△ABC的三边，则三角形的形状是确定的， 那么如何求其三个角？
余弦定理的推论： a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2ab cosC
cos A b2 c2 a2 ，
2018.2.24
应用：判断三角形的形状 在ABC中，
若a2 b2 c2，则cosC =0,C为直角；
若a2 b2 c2，则cosC 0,C为锐角；
若a2 b2 c2，则cosC 0,C为钝角.
应用举例：
（三）已知三边，判断三角形的形状。
例3、在ABC中，已知a 7，b 10，c 6，判断ABC的形状.
C
a
B
如图 ，若C是锐角时， 由于AC与BC的长度不 变，所以AB的长度变短， 即
c2 a2 b2
如图 ，若C是钝角时， 由于AC与BC的长度不 变，所以AB的长度变长， 即
c2 a2 b2
问题1：边c的长度与对角C是否有关系呢？
问题2：当C 90时，c2 a2 b2 ? cos C
猜想： 当C 90时，c2 a2 b2 ?cos C