湖南师大附中2016--2017学年度高二下学期期中考试数学(文)试题含答案

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湖南师大附中2016－2017学年度高二

下学期期中考试数学(文)试题

时量：120分钟满分：150分

第Ⅰ卷(共100分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{－1，1}，则集合C＝{a＋b|a∈A，b∈B}中元素的个数为

A．2 B．3 C．4 D．5

2．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α在

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．设a＝7－12，b＝17－13，c＝log712，则下列关系中正确的是

A．c

4．设p：0＜x＜2，q：2x>1，则p是q成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．如图所示的程序框图中，输出的S的值是

A．80 B．100 C．120 D．140

6．函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是

A B C D

7．下列函数的最小正周期为π的是

A．y＝cos2x B．y＝sinx2

C．y＝sin x D．y＝tanx2

8．一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是 2

A.π3＋23 B.π3＋3

C．π＋23 D.2π3＋3

9．已知直线x＋y－5＝0与两坐标轴围成的区域为M，不等式组y≤5－xx≥0y≥3x所形成的区域为N，现在在区域M中随机放置一点，则该点落在区域N的概率是

A.34 B.12

C.14 D.23

10．已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，a≠1)，若g(2)＝a，则f(2)＝

A．2 B.154

C.174 D.234

第Ⅰ卷 选择题答题卡

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得 分

答 案

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

11．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆x2＋y2＋2x＝0相切，则p＝________．

12．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝________．

13．已知△ABC的面积为53，A＝π6，AB＝5，则BC＝________．

三、解答题(本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

14．(本小题满分11分)

已知数列{an}满足a1＝15，且当n>1，n∈N*时，有an－1－an－4an－1an＝0.

(Ⅰ)求证：数列1an为等差数列，并求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)令bn＝an·an＋1，设数列{}bn的前n项的和为Sn，证明：Sn<120.

15.(本小题满分12分) 3

已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4，记f(x)＝m·n.

(Ⅰ)若f(x)＝1，求cosx＋π3的值；

(Ⅱ)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)·cos B＝bcos C，求f(2A)的取值范围．

16.(本小题满分12分)

传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图．

(Ⅰ)若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95%的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

优秀 合格 合计

大学组

中学组

合计

注：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.005

k0 2.706 3.841 7.879

(Ⅱ)若参赛选手共6万人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；

(Ⅲ)在优秀等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在良好等级的选手中取6名，依次编号为1，2，3，4，5，6，在选出的6名优秀等级的选手中任取一名，记其编号为a，在选出的6名良好等级的选手中任取一名，记其编号为b，求使得方程组ax＋by＝3x＋2y＝2有唯一一组实数解(x，y)的概率．

第Ⅱ卷(共50分)

一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

17．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3 BD→，||AD→＝1，则AC→·AD→＝

A．23 B.32 4

C.33 D.3

18．已知函数f(x)＝（4a－3）x＋2a－4，x≤t2x3－6x，x>t，无论t取何值，函数f(x)在R上总是不单调，则实数a的取值范围是

A．(－∞，1) B.14，＋∞ C.34，＋∞ D.－∞，34

19．已知函数f(x)＝x(m＋e－x)(其中e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数m的取值范围是

A．(0，e－2) B．(e－2，＋∞)

C．(0，e2) D．(e2，＋∞)

第Ⅱ卷 选择题答题卡

题 号 17 18 19 得 分

答 案

二、解答题(本大题共3个小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20．(本小题满分10分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，PD＝6，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．

(Ⅰ)证明：平面EAC⊥平面PBD；

(Ⅱ)若PD∥平面EAC，求三棱锥P－EAD的体积．

21.(本小题满分12分)

如图，已知抛物线y2＝4x，过点P(2，0)作斜率分别为k1，k2的两条直线，与抛物线相交于点A、B和C、D，且M、N分别是AB、CD的中点．

(Ⅰ)若k1＋k2＝0，AP→＝2PB→，求线段MN的长；

(Ⅱ)若k1·k2＝－1，求△PMN面积的最小值．

22.(本小题满分13分)

已知函数f(x)＝ln x－ax2在x＝1处的切线与直线x－y＋1＝0垂直．

(Ⅰ)求函数y＝f(x)＋xf′(x)(f′(x)为f(x)的导函数)的单调区间； 5

(Ⅱ)记函数g(x)＝f(x)＋32x2－(1＋b)x，设x1，x2(x1

参考答案

第Ⅰ卷(共100分)

一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案 D B B A C B A A C B

1.D

2．B

3．B【解析】由题意得，c＝log712<0，又b＝17－13＝713>7－12＝a>0，所以c

4．A

5．C 6

6．B【解析】f(x)是偶函数，其定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(x)在(1，＋∞)上是增函数，选B.

7．A

8．A【解析】该几何体为半圆锥和正三棱柱的组合体，

故体积为13×12π×12×2＋12×2×3×2＝π3＋23，故选A.

9．C【解析】由线性规划的知识可知，则该点落在区域N的概率是P＝12×5×5412×5×5＝14，故选C.

10．B【解析】可知f(x)＋g(x)－2为奇函数，故f(2)＋g(2)－2＋f(－2)＋g(－2)－2＝0，g(2)＝2＝a，f(2)＋g(2)＝22－2－2＋2＝234，f(2)＝154.本题还可直接求出f(x)，g(x)的表达式后再求解．

二、填空题

11．4

12．－3

13.13【解析】由三角形的面积公式可得AC＝43，再由余弦定理可得BC＝13.

三、解答题

14．【解析】(Ⅰ)由已知an－1－an－4an－1an＝0.两边同除以an·an－1得

1an－1an－1＝4(n>1，n∈N*)3分

∴1an是以1a1＝5为首项，d＝4为公差的等差数列．

∴1an＝1a1＋(n－1)d＝4n＋1，

故an＝14n＋1.5分

(Ⅱ)由题知：bn＝14n＋1·14（n＋1）＋1＝1414n＋1－14（n＋1）＋1，8分

∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn

＝1415－19＋19－113＋„＋14n＋1－14n＋5

＝1415－14n＋5＝120－14·14n＋5<120.

故原命题得证.11分

15．【解析】(Ⅰ)f(x)＝m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sinx2＋π6＋12，

由f(x)＝1，得sinx2＋π6＝12，

所以cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12.6分

(Ⅱ)因为()2a－ccos B＝bcos C，由正弦定理得： 7

()2sin A－sin Ccos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，

所以2sin Acos B＝sin()B＋C，因为A＋B＋C＝π，

所以sin()B＋C＝sin A，且sin A≠0，所以cos B＝12，

又0

则A＋C＝23π，A＝23π－C，

又0

所以32

故函数f()2A的取值范围是3＋12，32.12分

16．【解析】(Ⅰ)由条形图可知2×2列联表如下

优秀 合格 合计

大学组 45 10 55

中学组 30 15 45

合计 75 25 100

K2＝100×（45×15－10×30）275×25×45×55＝10033≈3.030<3.8414分

∴没有95%的把握认为优秀与文化程度有关.5分

(Ⅱ)由条形图知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为75100＝34.

∴所有参赛选手中优秀等级人数约为6×34＝4.5万人.8分

(Ⅲ)a从1，2，3，4，5，6中取，b从1，2，3，4，5，6中取，故共有36种，

要使方程组ax＋by＝3x＋2y＝2有唯一一组实数解，则ab≠12，共33种情形．

故概率P＝3336＝1112.12分

第Ⅱ卷(共50分)

一、选择题

17．D【解析】因为AD⊥AB，所以·＝0，则·＝(＋)·＝·＋·＝3 ·＝3(－)·＝3 2＝3，故选D.

18．D【解析】因三次函数y＝2x3－6x在(1，＋∞)是增函数，若4a－3>0，总存在t，使得(4a－3)t＋2a－4≤2t3－6t，这样f(x)为增函数，要保证无论t取何值，函数f(x)在R上总是不单调，故只需要4a－3≤0，即a≤34.

19．A【解析】曲线存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，等价