巴拿赫空间上有界线性算子

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** 第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子

算子

线性算子 非线性算子

无界线性算子 有界线性算子

§1 有界线性算子

1.1 有界线性算子的基本概念与性质

定义1.1 设E及1E都是实（或复的）线性空间，T是由E的某个子空间D到线性空间1E中的映射，如果对任意

Dyx,，有

TyTxyxT

则称T是可加的。若对任意的实（或复）数及任意的Dx，有

TxxT

则称T是齐次的。可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。D中使Tx的元素x的集合称为T的零空间。

设1E是实（或复）数域，于是T成为由D到实（或复）**

** 数域的映射，这时称T为泛函。如果T还是线性的，则称T为线性泛函。泛函或线性泛函常用gf,等符号表示。

定义1.2 设E及1E都是实或复的赋范线性空间，D为E的子空间，T为由D到1E中的线性算子。如果按照第六章§2.3定义2.6，T是连续的，则称T为连续线性算子。如果T将D中任意有界集映成1E中的有界集，则称T是有界线性算子。如果存在D中的有界集A使得AT是1E中的无界集，则称T是无界线性算子。

例 1 将赋范线性空间E中的每个元素x映成x自身的算子称为E上的单位算子，单位算子常以I表示.将E中的每个元素x映成的算子称为零算子.

容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子.

例 2 连续函数的积分

badttxxf

是定义在连续函数空间baC,上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊

例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.

定理1.1 设E,1E都是实赋范线性空间，T是由E的**

** 子空间D到1E中的连续可加算子.则T满足齐次性，因此T是连续线性算子.＊

推论 设E,1E都是复赋范线性空间，T是由E的子空间D到1E中的连续可加算子，且iTxixT)(，则T满足齐次性，因此T是连续线性算子.＊

定理 1.2 设E，1E都是赋范线性空间，T是由E的子空间D到1E中的线性算子.则T有界的充要条件是存在0M，使得对一切Dx，有xMTx.＊

＊定理1.3 设E，1E都是赋范线性空间，T是由E的子空间D到1E中的线性算子.则下列性质等价：

(i) T连续；

(ii) T在原点处连续；

(iii) T有界.

由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价.

为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量—算子的范数.

定义 1.3 设E，1E都是赋范线性空间，T是由E的子空间D到1E中的有界线性算子.使xMTx对一切Dx都成立的正数M的下确界称为T的范数，记为T.

因M是集合 **

** xDxxTx,:

的一个上界，因此算子T的范数T作为所有上界M的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，T是上述集合的最小上界，即上确界，亦即

xTxTDxxsup

由此容易导出下列结论：

(i) 对一切Dx，有xTTx.

＊(ii) TxTxTDxxDxx11supsup

现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.

例3 设njiaij.,2,1,,为一给定的nn方阵，ija均为实数，由等式

njjijia1 ni,,2,1

定义了一个由nR到nR的算子T：yTx.它将元素nx,,,21映成元素ny,,,21.在nR中任取两个向量2,1,,,,21kxknkkk，由等式 **

** njnjjijjijnjjjijaaa1121121

可知，T是可加的，类似地可以证明T是齐次的，因此T是线性算子，由柯西不等式，有

2112211,22112njjnjiijniia

故T有界，因此T连续，且212aijT.＊

例 4 我们用,C表示定义在,上有界连续函数构成的集，其中的线性运算与空间baC,的相同，在,C中定义范数如下：

tyytsup ,Cy

则,C是一个巴拿赫空间.＊

设,Lx，令

dttxesyTxyist:

T是定义在,L上而值域包含在,C中的线性算子.再由

dttxdttxesysTxist＊

可知，T有界因而连续，且1T.

例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求**

** 已知连续函数的近似多项式.设baCx,，在ba,中任取n个点，作多项式

nkkkkkknkkktttttttttttttttttl111111

其中nk,,2,1.再令

nkkkntltxtyxLy1:

则nL是由baC,到其自身的有界线性算子，且范数满足

nkkbtantlL1max （4）

nL的线性是明显的.今证nL有界且等式（4）成立.令

nkkbtatl1max

那么

xtxtltxxLbtankkkbtanmaxmax1

故

nL （5）

另一方面，由于nkktl1在ba,上连续，故存在bat,0使得 **

** nkktl10

取bax,0满足：nktltxxkk,,2,1,sgn,1000至于0x在ba,中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能超过1，并tx0保证在ba,上连续.于是

nkknkkknntltltltxLxL10100000sgn

故

nL （6）

由不等式（5）、（6）可得等式（4）.

例 6 设stK,是定义bsabta,在上的连续实函数.在空间baC,上定义如下的积分算子：

badssxstKtTxty,

则T为baC,到其自身的有界线性算子，且范数满足

babtadsstKT,max （7）

显然T是baC,到其自身的线性算子.今证T有界且等式（7）成立.令

babtadsstK,max **

** 则 xdsstKtxdssxstKTxbabtabtababta,maxmax,max

故T有界且T.

由于badsstK,是t的连续函数，故存在bat,0，使得

badsstK,0

记0,:00stKse.作函数

00,1,1etndetndtn

其中0,etd为t与0e的距离，则tn于ba,上连续，且1tn.注意到0e为闭集，tn还有下列性质：

netnettn当对一切00,1,1

由勒贝格控制收敛定理，当n时，有

babanndsstKdssstKtT,,000

于是 **

** TTTtTnnnn0lim

因此T.若原0e，则令0,:0stKse.

例 7 在连续函数空间1,0C中讨论微分算子dtdT.将在1,0上连续可微函数构成的集1,01C作为T的定义域，则T是定义1,01C在上，并在1,0C中取值的线性算子.我们证明T无界.

取nttxnsin，则1nx，但

nntnntdtdTxncossin （当n时）故T将1,01C中的单位球面映成1,0C中的无界集.T无界.