数理方程第二章分类行波法线性叠加-1

u x 0 0 u x x l 0
tt
xx
X ' 'X 0 2 T ' 'a T 0
①λ<0 X(x)无非零解。 ②λ=0 X″=0=>X(x)=Ax+B X(0)=0=>X(x)=Ax X′(l)=0=>A=0 X(x)无非零解。
③λ>0
X ( x) Acos x B sin x

k
令w(x,t)=X(x)T(t)
（1）求解X″+λX=0： ①λ≤0时，为平庸解（前面已经叙过）。 ②λ>0时，
X ' 'X 0 2 T ' a T 0
X ( x) Acos x B sin x
X (0) 0 A 0 1 X ' (l ) 0 cos l 0 l (n ) 2 1 2 2 (n ) 2 2 (2n 1) 2 (n 0,1,2,) 2 2 l 4l (2n 1)

2、确定系数Cn、Dn
na na nx u ( x, t ) un ( x, t ) (Cn cos t Dn sin t ) sin l l l n1 n1 nx u ( x,0) ( x) Cn sin ( x)

na nx ut ( x,0) ( x) Dn sin ( x) l n 1 l
（2）求解T″+a2λT=0：
(2n 1)a (2n 1)a Tn (t ) Cn cos t Dn sin t 2l 2l (2n 1)a (2n 1)a (2n 1)x u n ( x, t ) [Cn cos t Dn sin t ] sin 2l 2l 2l

(3.3)
如果级数

k 1
c k uk ( x , t )
(3.4)
在G内 对t可 以 逐 项 求 导 一 次 ， 对 x可 逐 项 求 导 两 次 ， 则 和 函数
u ( x, t ) ck uk ( x, t )
k 1
是 非 下 面 齐 次 方 程 的. 解
2 u u a 2 2 ck f k ( x, t ) t x k 0
a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f
4.1
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-1 两个自变量的方程
在前面弦振动方程的达朗贝尔解法 (行波法)的学习中，我们 已看到变量变换的意义。变换是研究微分方程的一个有效手 段，通过适当的变换往往可以把复杂的方程转化为简单的， 把不易求解的方程转化为容易求解的。 方程(4.1)的二阶导数项
数学物理方程
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
§1-3 方程的分类
例题：把方程 x 2u xx + 2 xyuxy + y 2u yy = 0 分类并化为标准形式
2 2 2 解：该方程的 (2 xy) 4 x y 0 故该方程是抛物型的。
显然，该方程的特征方程为：
dy y dy 2 dy 2 x ( ) 2 xy ( ) y 0 dx x dx dx dy dx ln y ln x y x 从而得到方程的一族特征线为： x / y C
( x, y), ( x, y) 4.3
在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换是二次连续可微 的，且雅可比行列式

un( x, t )
=
( An
cos
naπt
l
+
Bn
sin
naπt
l
)
sin
nπx
l
=
Nn
sin(ωnt
+
Sn )sin
nπx
l
其中
Nn
=
( An2
+
Bn2
)
1 2
,
Sn
=
arctg
An Bn
,
ωn
=
nπ a l
特点
最大振幅
初位相
频率
⑴ 弦上各点的频率 ωn 和初位相 Sn 都相同，因而没 有波形的传播现象。
+
Sn )sin
nπx
l
u其有⑴ 特(x中弦点,t 上)N是各n最由=点大无(u振的A穷(幅nx2频多,+t率)个B=nω2振∑)n12 幅,∞n=S和、1n初u初频=n位(位率a相xr,、相ctSt)gn初BAnn位, 相ω都频n各率相=不同nπ相l，a 同因的而驻没
波波⑵叠形弦加的上而传各成播点。现振象幅。| N
⑵ 弦上各点振幅
|
Nn
sin
nπx
l
|
，因点而异 节点
在
x
=
0
,
l n
,
2l n
,...
(n−1)l n
,l
处，振幅永远为0
腹点
在
x
=
l 2n
,
3l 2n
,...
(2
n−1)l 2n
处，振幅最大,为
Nn
un( x, t )
=

达朗贝尔行波解
行波解的物理意义：
由任意初始扰动引起的自由振动弦总是以行波的形式向 正、反两个方向传播出去，传播的速度恰好等于泛定方 程中的常数 a ，这就是达朗贝尔公式的物理意义。达朗 贝尔解表示正行波和反行波的叠加给出波动特性。
特点： 基于波动特点； 引入坐标变换简化方程求解，解的形式简单。 缺点：适用范围窄，无界域的波动或相近问题。


utt a 2u xx f ( x, t ) u x, 0 x ut x, 0 x
I I utt a2uxx f ( x, t ) utt a2uxx 0 u |t 0 ( x) ＋ u |t 0 0 u t |t 0 0 u | ( x)
v(r, t ) ru(r, t )
vtt a vrr
2
从而：
v(r, t ) f1 (r at ) f 2 (r at )
v(r , t ) f1 (r at ) f 2 (r at ) u (r , t ) r r
代入边界条件得：
1 u ( M 0 , t0 ) 4 a t0
n 边
1 s 2 s 1 2 1 s 2 s
定解问题包括： 初值问题：泛定方程＋初始条件 边值问题：泛定方程＋边界条件 混合问题：泛定方程＋初始条件＋边界条件 例：设有一单位球，其边界球面上温度分布为 u |r 1 cos2 ， 试写出球内的稳定温度分布的定解问题。 解：
u 0 2 u |r 1 cos , u |r 0 有限

(M )
M0
Sat0
at0
ds
(M )
at0
Sat0 M 0