数理方程第二章作业2

数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为所以。

证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。

所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。

从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。

如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。

证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。

如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。

证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。

证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。

概率论与数理统计第二章课后习题答案概率论与数理统计课后习题答案第二章1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律. 【解】353524353,4,51(3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6C X P X P X P X ==========2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出的次品个数，求：（1） X 的分布律；（2）X 的分布函数并作图； (3)133{},{1},{1},{12}222P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<.【解】313315122133151133150,1,2.C 22(0).C 35C C 12(1).C 35C 1(2).C 35X P X P X P X ========== 故X 的分布律为（2）当x <0时，F （x ）=P （X ≤x ）=0当0≤x <1时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)=2235当1≤x <2时，F （x ）=P （X ≤x ）=P (X =0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时，F （x ）=P （X ≤x ）=1 故X 的分布函数0,022,0135()34,12351,2x x F x x x(3)3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】设X 表示击中目标的次数.则X =0，1，2，3.31232233(0)(0.2)0.008(1)C 0.8(0.2)0.096(2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512P X P X P X P X ============故X 的分布律为分布函数0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x=≤≥??(2)(2)(3)0.896P X P X P X ≥==+==4.（1）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=!k a kλ，其中k =0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a . （2）设随机变量X 的分布律为P {X =k }=a/N ，k =1，2，…，N ，试确定常数a . 【解】（1）由分布律的性质知1()e !kk k P X k a a k λλ∞∞======∑∑故e a λ-=(2) 由分布律的性质知111()NNk k aP X k a N======∑∑即1a =.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：（1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.【解】分别令X 、Y 表示甲、乙投中次数，则X~b （3，0.6）,Y~b (3,0.7)(1)(3,3)P X Y ==33121233(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)=++22223333C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7)+0.32076=(2)=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X 为某一时刻需立即降落的飞机数，则X ~b (200,0.02)，设机场需配备N 条跑道，则有()0.01P X N ><即2002002001C (0.02)(0.98)0.01k k kk N -=+<∑利用泊松近似2000.02 4.np λ==?=41e 4()0.01!kk N P X N k -∞=+≥<∑查表得N ≥9.故机场至少应配备9条跑道.7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？【解】设X 表示出事故的次数，则X ~b （1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X 满足P {X =1}=P {X =2}，求概率P {X =4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p ，则故所以4451210(4)C ()33243P X ===. 9.设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X 表示5次独立试验中A 发生的次数，则X ~6（5，0.3）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kk k k P X -=≥==∑(2) 令Y 表示7次独立试验中A 发生的次数，则Y~b （7，0.3）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293k k k k P Y -=≥==∑10.某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为（1/2）t 的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）32(0)eP X -== (2) 52(1)1(0)1eP X P X -≥=-==-11.设P {X =k }=kkkp p --22)1(C , k =0,1,2P {Y =m }=mmmp p --44)1(C ,m =0,1,2,3,4分别为随机变量X ，Y 的概率分布，如果已知P {X ≥1}=59，试求P {Y ≥1}. 【解】因为5(1)9P X ≥=，故4(1)9P X <=. 而2(1)(0)(1)P X P X p <===-故得24(1),9p -= 即1.3p =从而465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ≥=-==--=≈ 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X 为2000册书中错误的册数，则X~b (2000,0.001).利用泊松近似计算,20000.0012np λ==?=得25e 2(5)0.00185!P X -=≈=13.进行某种试验，成功的概率为34，失败的概率为14.以X 表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率. 【解】1,2,,,X k =113()()44k P X k -==(2)(4)(2)P X P X P X k =+=++=+321131313()()444444k -=++++ 213141451()4==- 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：（1）保险公司亏本的概率;（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X ，则X~b (2500,0.002)，则所求概率为(200030000)(15)1(14)P X P X P X >=>=-≤由于n 很大，p 很小，λ=np =5，故用泊松近似，有514e 5(15)10.000069!kk P X k -=>≈-≈∑(2) P (保险公司获利不少于10000)(30000200010000)(10)P X P X =-≥=≤510e 50.986305!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P （保险公司获利不少于20000）(30000200020000)(5)P X P X =-≥=≤55e 50.615961!kk k -=≈≈∑即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%15.已知随机变量X 的密度函数为f (x )=A e -|x |, -∞<+∞,<="" bdsfid="273" p="">求：（1）A 值；（2）P {0<="">()d 1f x x ∞-∞=?得||01e d 2e d 2x x A x A x A ∞---∞===??故12A =. (2) 11011(01)e d (1e )22x p X x --<<==-? (3) 当x <0时，11()e d e 22x x x F x x -∞==?当x ≥0时，0||0111()e d e d e d 222x x x x x F x x x x ---∞-∞==+11e 2x -=-故1e ,02()11e 02xx x F x x -?-≥??16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=<≥.100,0,100,1002x x x求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；（2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率；（3）F （x ）. 【解】（1）1501001001(150)d .3P X x x ≤==?33128[(150)]()327p P X =>==(2) 1223124C ()339p == (3) 当x <100时F （x ）=0 当x ≥100时()()d xF x f t t -∞=100100()d ()d xf t t f t t -∞=+?2100100100d 1xt t x==-故1001,100()0,x F x xx ?-≥?=??17.在区间［0，a ］上任意投掷一个质点，以X 表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a ］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X 的分布函数. 【解】由题意知X ~∪[0,a ]，密度函数为1,0()0,x af x a≤≤?=其他故当x <0时F （x ）=0 当0≤x ≤a 时01()()d ()d d xxxx F x f t t f t t t a a-∞====?当x >a 时，F （x ）=1即分布函数0,0(),01,x x F x x a a x a18.设随机变量X 在[2，5]上服从均匀分布.现对X 进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率. 【解】X ~U [2,5]，即1,25()30,x f x ?≤≤?=其他 5312(3)d 33P X x >==?故所求概率为22333321220C ()C ()33327p =+=19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从指数分布1()5E .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y 的分布律，并求P {Y ≥1}. 【解】依题意知1~()5X E ，即其密度函数为51e ,0()50,xx f x -?>?=??≤?x 0该顾客未等到服务而离开的概率为25101(10)e d e 5x P X x -∞->==?2~(5,e )Y b -,即其分布律为225525()C (e )(1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kk k P Y k k P Y P Y ----==-=≥=-==--=20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X 服从N （40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X 服从N （50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】（1）若走第一条路，X~N （40，102），则406040(60)(2)0.977271010x P X P Φ--??<=<==若走第二条路，X~N （50，42），则506050(60)(2.5)0.993844X P X P Φ--??<=<== ++故走第二条路乘上火车的把握大些.（2）若X~N （40，102），则404540(45)(0.5)0.69151010X P X P Φ--??<=<==若X~N （50，42），则504550(45)( 1.25)44X P X P Φ--??<=<=-1(1.25)0.1056Φ=-=故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设X ~N （3，22），（1）求P {2<="" 使p="" （2）确定c="" ＞3};="" ＞c="" ｜＞2}，p="">22X P X P ---??<≤=<≤11(1)(1)1220.841310.69150.5328ΦΦΦΦ=--=-+ ? ?=-+=433103(410)222X P X P ----??-<≤=<≤770.999622ΦΦ=--= ? ?????(||2)(2)(2)P X P X P X >=>+<-323323222215151122220.691510.99380.6977X X P P ΦΦΦΦ-----=>+< ? ?=--+-=+- ? ? ? ?????????=+-=333(3)()1(0)0.522X P X P Φ->=>=-=- (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度（cm ）X ~N （10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】10.050.12(|10.05|0.12)0.060.06X P X P ?-?->=>1(2)(2)2[1(2)]0.0456ΦΦΦ=-+-=-=23.一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布N （160，σ2），若要求P {120＜X ≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？【解】120160160200160(120200)X P X P σσσ---??<≤=<≤404040210.8ΦΦΦσσσ-=-=-≥ ? ? ???????故4031.251.29σ≤=24.设随机变量X 分布函数为F （x ）=e ,0,(0),00.xt A B x ,x λ-?+≥>?（2）求P {X ≤2}，P {X ＞3}；（3）求分布密度f （x ）.【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞→+→-==??得11A B =??=-?（2）2(2)(2)1eP X F λ-≤==-33(3)1(3)1(1e )e P X F λλ-->=-=--=(3) e ,0()()0,0x x f x F x x λλ-?≥'==?25.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=??<≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F（x ）.【解】当x <0时F （x ）=0当0≤x <1时00()()d ()d ()d xxF x f t t f t t f t t -∞-∞==+?20d 2xx t t ==? 当1≤x<2时()()d xF x f t t -∞=111122()d ()d ()d d (2)d 132222212xx f t t f t t f t tt t t tx x x x -∞==+=+-=+--=-+-?当x ≥2时()()d 1xF x f t t -∞==?故220,0,012()21,1221,2x x x F x x x x x26.设随机变量X 的密度函数为（1）f (x )=a e - |x |,λ>0;(2) f (x )=<≤<<.,0,21,1,10,2其他x xx bx试确定常数a ,b ，并求其分布函数F （x ）. 【解】（1）由()d 1f x x ∞-∞=?知||21ed 2e d x x aa x a x λλλ∞∞---∞===故2=即密度函数为e ,02()e 02xx x f x x λλλλ-?>??=? ≤??当x ≤0时1()()d e d e 22xxx x F x f x x x λλλ-∞-∞===?当x >0时0()()d e d e d 22xxx x F x f x x x x λλλλ--∞-∞==+?1e 2x λ-=-故其分布函数11e ,02()1e ,02xx x F x x λλ-?->??=??≤??(2) 由12201111()d d d 22b f x x bx x x x ∞-∞==+=+?得 b =1即X 的密度函数为2,011(),120,x x f x x x<=≤当x ≤0时F （x ）=0 当0<1时00<="" bdsfid="607" p=""> ()()d ()d ()d xxF x f x x f x x f x x -∞-∞==+?2d 2xx x x ==?当1≤x <2时01211()()d 0d d d xxF x f x x x x x x x -∞-∞==++?312x=- 当x ≥2时F （x ）=1 故其分布函数为20,0,012()31,1221,2x x x F x x x x ≤<27.求标准正态分布的上α分位点，（1）α=0.01，求z α; （2）α=0.003，求z α，/2z α. 【解】（1）()0.01P X z α>=即1()0.01z αΦ-= 即()0.09z αΦ= 故2.33z α=（2）由()0.003P X z α>=得1()0.003z αΦ-=即()0.997z αΦ= 查表得2.75z α=由/2()0.0015P X z α>=得/21()0.0015z α-Φ=即/2()0.9985z αΦ= 查表得/2 2.96z α=求Y =X 的分布律.【解】Y 可取的值为0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)615301(4)(2)511(9)(3)30P Y P X P Y P X P X P Y P X P Y P X =======-+==+====-=====29.设P {X =k }=(2)k, k =1,2,…,令 1,1,.X Y X ?=?-?当取偶数时当取奇数时求随机变量X 的函数Y 的分布律.【解】(1)(2)(4)(2)P Y P X P X P X k ===+=++=+242111()()()222111()/(1)443k =++++=-= 2(1)1(1)3P Y P Y =-=-==30.设X ~N （0，1）.（1）求Y =e X 的概率密度；（2）求Y =2X 2+1的概率密度；（3）求Y =｜X ｜的概率密度.【解】（1）当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时，()()(e )(ln )xY F y P Y y P y P X y =≤=≤=≤ln ()d yX f x x -∞=?故2/2ln d ()1()(ln ),0d y Y Y x F y f y f y y y y -===> (2)2(211)1P Y X =+≥=当y ≤1时()()0Y F y P Y y =≤=当y >1时2()()(21)Y F y P Y y P X y =≤=+≤212y P X P X ?-??=≤=≤≤ ? ???()d X f x x =故d ()()d Y Y X X f y F y f f y ?==+? ???(1)/4,1y y --=>(3) (0)1P Y ≥=当y ≤0时()()0Y F y P Y y =≤=当y >0时()(||)()Y F y P X y P y X y =≤=-≤≤()d yX yf x x -=?故d()()()()d Y Y X X f y F y f y f y y==+- 2/2,0y y -=> 31.设随机变量X ~U （0,1），试求：（1）Y =e X的分布函数及密度函数；（2）Z =-2ln X 的分布函数及密度函数. 【解】（1）(01)1P X <<=故(1e e)1XP Y <=<= 当1y ≤时()()0Y F y P Y y =≤=当1ln 0d ln yx y ==?当y ≥e 时()(e )1X Y F y P y =≤= 即分布函数0,1()ln ,1e 1,e Y y F y y y y ≤??=<故Y 的密度函数为11e ,()0,Y y y f y ?<=其他（2）由P （0(0)1P Z >=当z ≤0时，()()0Z F z P Z z =≤=当z >0时，()()(2ln )Z F z P Z z P X z =≤=-≤/2(ln )(e )2z zP X P X -=≤-=≥/21/2ed 1e z z x --==-?即分布函数-/20,0()1-e ,Z z z F z z ≤?=?>?0故Z 的密度函数为/21e ,0()20,z Z z f z z -?>?=??≤?032.设随机变量X 的密度函数为f (x )=22,0π,π0,.xx ?<试求Y =sin X 的密度函数. 【解】(01)1P Y <<=当y ≤0时，()()0Y F y P Y y =≤=当0(0arcsin )(πarcsin π)P X y P y X =<≤+-≤< arcsin π220πarcsin 22d d ππyy x x x x -=+?222211arcsin 1πarcsin ππy y =+--（）（）2arcsin πy =当y ≥1时，()1Y F y = 故Y 的密度函数为201π()0,Y y f y ?<其他 33.设随机变量X 的分布函数如下：≥<+=.)3(,)2(,)1(,11)(2x x x x F试填上(1),(2),(3)项.【解】由lim ()1x F x →∞=知②填1。

数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为所以。

证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。

所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。

从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。

如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。

证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。

如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。

证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。

证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。

1.长为 l 的均匀杆 ，侧面绝缘 ，一端 温度 为零 ，另 一端有 恒定 热流q 进入 (即单位时间内通过单位截面积流入的热量为 q )，杆的初始温度分布是()2x l x -,试写出相应的定解问题。

解：见下图，该问题是一维热传导方程，初始条件题中已给出，为()()()l x x l x x u ≤≤-=020, 现考虑边值条件，设在0=x 这个端点处温度为0，则有()()00,0>=t t u另一端l x =处有恒定的热流q 进入杆内，由傅里叶实验定律，在边界曲面∑上有n nq uk =∂∑|- 其中n q 为沿边界法向的热流强度，在l x =端，边界外法向就是x 轴的正向，而现在热量是流入杆内，表明热流方向与x 轴正向相反，故有n nq uk-|-=∂∑ 即n nq u k =∂∑|综上所述，相应的定解问题为()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-=>==><<=-l x x l x x u t k q t l u t u t l x u a u x xx t 0,20,0,,,0,00,0,02 2.长为l 的弦两端固定，开始时在c x =处受到冲量k 的作用，试写出相应的定解问题。

解：该问题为一维弦振动问题，边界条件是显然的。

由于弦两端固定，所以在这两点处位移为零，即()()0,,0==t l u t u现考虑初始条件，当冲量k 作用于c x =处时，就相当于在这点给出了一个初速度，我们考虑以c x =点为中心，长为δ2的一小段弦()δδ+-c c ,，设弦是均匀的，其线密度为ρ，则这一小段弦的质量为δρ2，受冲击时速度为()0,x u t ，由动量定理得()()δδδρ+≤≤-=c x c k x u t 0,2在这个小段外，初速度仍为零，我们想得到的是c x =处受到冲击的初速度，所以最后还要令0→δ。

此外，弦是没有初位移的，即()00,=x u ，于是初始条件为()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→≤->-==0,2,00,00,δδδρδc x k c x x u x u t所以定解问题为()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→≤->-=====-0,2,00,,00,0,,002δδδρδc x k c x x u x u t l u t u u a u t xx tt3.设有一根具有绝热的侧表面的均匀细杆，它的始温度为()x ϕ，两端满足下列边界条件之一：（1）一端()0x =绝热，另一端()x L =保持常温0u ； （2）两端分别有热流密度1q 和2q 进入；（3）一端()0x =温度为()1u t ，另一端()x L =与温度为()t θ的介质有热交换。

2018-2019数学北师大版必修2作业：第二章 2.2 圆的一般方程C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C.将圆的一般方程配方得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋122＝92，点在圆外，需⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1＋122>92，解得a ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 4．已知圆x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )A ．(0，－1)B ．(1，－1)C ．(－1，0)D ．(－1，1) 解析：选A.由x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，得圆的半径r ＝12 k 2＋4－4k 2 ＝12 4－3k 2. 所以当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－k 2，－22)，即(0，－1)，故选A. 5．若圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选D.由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a ，2a )，半径为2，则有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，|2a |>2，解得a >2. 6．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心到直线x －y －2＝0的距离为________．解析：已知圆的圆心坐标为(1，1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝|1－1－2|12＋12＝ 2. 答案： 27．若实数x ，y 满足x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0，则x 2＋y 2的最大值等于________．解析：依题意，点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＋24＝0上，即(x －3)2＋(y ＋4)2＝1，而x 2＋y 2表示点P 与原点O 距离的平方．由于已知圆的圆心为C (3，－4)，半径r ＝1，又|OC |＝5，所以点P 与原点O 距离的最大值为1＋5＝6，从而x 2＋y 2的最大值是36.答案：368．点M ，N 在圆x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积是________．解析：将x 2＋y 2＋kx ＋2y －4＝0化为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝5＋k 24，故圆心坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－k 2，－1.由题意知，直线x －y ＋1＝0过圆心，故－k 2＋1＋1＝0，解得k ＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.答案：9π9．求经过两点A (4，2)，B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D ； 令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，所以圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ；由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，所以D＋E＝－2.①又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0，③由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.10．等腰三角形的顶点A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．解：设底边另一个端点C的坐标是(x，y)，依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式得（x－4）2＋（y－2）2＝（4－3）2＋（2－5）2，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，这是以点A(4，2)为圆心，以10为半径的圆．又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且不能为圆A的一条直径的两个端点，所以点C 不能为(3，5)且x ＋32≠4，y ＋52≠2，即点C 也不能为(5，－1)，故点C 的轨迹方程为(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以A (4，2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．[B.能力提升]1．已知两点A (－2，0)，B (0，2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3－22 D.3－22解析：选 A.l AB ：x －y ＋2＝0，圆心(1，0)到l 的距离d ＝|3|2＝32， 所以AB 边上的高的最小值为32－1. 又因为|AB |＝22＋22＝22， 所以S △min ＝12×(22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1＝3－ 2. 故选A.2．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C.因为x 2＋2x ＋y 2＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝1，所以圆心C (－1，0)．又过点C 的直线与x ＋y ＝0垂直，所以其斜率为1.所以所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.3．设圆C 的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0，若此圆的一条弦AB 的中点为P (3，1)，则直线AB 的方程为________．解析：由题可设直线AB 的斜率为k .由圆的知识可知：CP ⊥AB .所以k CP ·k ＝－1.又k CP ＝1－03－2＝1⇒k ＝－1. 所以直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0.答案：x ＋y －4＝04．已知M (0，4)，N (－6，0)，若动点P 满足PM ⊥PN ，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由于PM ⊥PN ，所以动点P 的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3，2)，直径|MN|＝36＋16＝213，于是半径等于13，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)．答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)5．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey ＋F＝0，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b ＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b ＝0.(3)圆C必过定点(0，1)和(－2，1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式可得x＝0或x＝－2.所以圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．6．(选做题)已知Rt△AOB中，|OB|＝3，|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．解：如图，建立平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．设P(x，y)，内切圆半径为r，则有|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r＝|OA||OB|，所以r＝1.故内切圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝1， 化简为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0.①又|PA |2＋|PB |2＋|PO |2＝(x －4)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＋x 2＋y 2＝3x 2＋3y 2－8x －6y ＋25.②由①可知x 2＋y 2－2y ＝2x －1.将其代入②，则有|PA |2＋|PB |2＋|PO |2＝3(2x －1)－8x ＋25＝－2x ＋22，因为x ∈[0，2]，故|PA |2＋|PB |2＋|PO |2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和，S ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PA |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PB |22＋π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|PO |22＝π4(|PA |2＋|PB |2＋|PO |2)， π4×22＝11π2，π4×18＝92π， 所以所求面积和的最大值为11π2，最小值为9π2.。

第2课时一元二次方程根的估算知识点 1 一元二次方程的解及应用1．在数1，2，3，4中，是方程x2＋x－12＝0的解的为( )A．1 B．2 C．3 D．42．2017·兴义期末已知关于x的一元二次方程x2－5x＋b＝0的一个根是3，则实数b 的值为( )A．3 B．5 C．6 D．－63．已知m是方程x2－x－1＝0的解，则式子2m2－2m＋2018的值为( )A．2018 B．2019 C．2020 D．2021知识点 2 探索一元二次方程的近似解4．根据下列表格中代数式ax2＋bx＋c(a≠0，a，b，c为常数)与x的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x的大致范围是( )A.6<x<6.17 B．6.17<x<6.18C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.205．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：则方程x2＋px＋q＝0的解满足( )A．整数部分是0，十分位是5B．整数部分是0，十分位是8C．整数部分是1，十分位是1D．整数部分是1，十分位是26．若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n的值为( )A．1 B．2 C．－1 D．－27．2017·温州我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是( )A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－38．填写下表：通过此表探索方程2x2－x－15＝0的两个解．9．一小球以15 m/s的初始速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系式：h＝15t－5t2.(1)填写下表：(2)你能根据表格中的数据猜测何时小球达到最高处吗？10．教材习题2.2第1题变式题为了绿化学校校园，需将草皮移植到操场，若矩形操场的长比宽多14 m，而操场的面积是3300 m2，求操场的宽的取值范围(精确到0.1 m)．详解1．C2．C [解析] ∵一元二次方程x2－5x＋b＝0的一个根为3，∴32－5×3＋b＝0，∴b＝6.故选C.3．C4．C [解析] 方程的根就是满足方程左右两边相等的未知数的值．对本题而言方程的根必须使方程的左边等于0，而表格中的四个x值都不能使ax2＋bx＋c的值等于0，但当x ＝6.18时，ax2＋bx＋c＝－0.01；当x＝6.19时，ax2＋bx＋c＝0.02，所以方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的一个根的大致范围是6.18<x<6.19.5．C [解析] 根据表中x2＋px＋q的值随x变化的情况，可以确定x2＋px＋q＝0时，x 应该是大于1.1而小于1.2.所以解的整数部分是1，十分位是1.故选C.6．D [解析] 把x＝n代入方程得出n2＋mn＋2n＝0.因为n≠0，所以方程两边都除以n，得n＋m＋2＝0，求出m＋n＝－2.7．D [解析] 把方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0看作关于2x＋3的一元二次方程，所以2x＋3＝1或2x＋3＝－3，所以x1＝－1，x2＝－3.8．解：表格从左至右依次填：6，－5，－12，－15，－14，－9，0.由表可知：－3<x1<－2，x2＝3，当x＝－2.5时，2x2－x－15＝0，所以方程2x2－x－15＝0的两个解为x1＝－2.5，x2＝3.9．解：(1)表格从左至右依次填：3.4375，6.25，10，10.9375，11.25，10.9375，10，8.4375.(2)1.5 s时，小球达到最高处．10．解：设操场的宽为x m，根据题意，得x(x＋14)＝3300，即x2＋14x－3300＝0.∵3300≈3000＝50×60，且60－50＝10，也与14近似，∴x可从50附近取值进行估算．列表取值如下：从上表中可以看出，x的取值范围为50<x<51.再列表取值如下：所以操场的宽的取值范围为大于50.8 m且小于50.9 m.。