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数学物理⽅法第⼆篇第2章第⼆章数学物理⽅程和⼆阶线性偏微分⽅程分类§2.2.1数学物理⽅程数学物理⽅程（简称数理⽅程）通常是指从物理模型中导出的函数⽅程，特别是偏微分⽅程，我们这⾥着重讨论⼆阶线性偏微分⽅程.数学物理⽅程⼀般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类：1.振动与波（机械的、电磁的）称为波动⽅程.例如，在各向同性的固体中传播的横波或者纵波的⽅程.有⼀维波动⽅程xx tt u a u 2=（⾃由振动⽅程），),(2t x f u a u xx tt +=（强迫振动⽅程），这⾥u =u (x ,t )代表平衡时坐标为x 的点在t 时刻的横向或者纵向位移，a 是波的传播速度.tt u 表⽰22t u ??，xx u 表⽰22xu ??；⼆维波动⽅程u a u tt ?=2，?是拉普拉斯算符2222y x ??+??≡?（⼆维的），222222zy x ??+??+??≡?（三维的）. 2.输运过程称为扩散⽅程，热传导⽅程.例如，有⼀维的热传导⽅程xx t u a u 2=其中u =u (x ,t )表⽰x 点在t 时刻的温度，2a 称为扩散率或温度传导率.⽅程),(2t x f u a u xx t +=表⽰有热源的传导⽅程.3.稳定（或者静⽌、平衡）过程（或状态）称为拉普拉斯⽅程.02222=??+??≡?yu x u u . 在数学中，把⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类，其中有三种最重要的类型，分别称为双曲型⽅程、抛物型⽅程和椭圆型⽅程，⽽上⾯所指出的那些数理⽅程都是⼆阶线性偏微分⽅程.波动⽅程可以作为研究双曲型⽅程的模型，热传导⽅程可以作为研究抛物型⽅程的模型，拉普拉斯⽅程可以作为研究椭圆型⽅程的模型.对于仅有数理⽅程这类偏微分⽅程还不⾜以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到外界作⽤有关.从数学的⾓度考虑，物体运动的起始状态称为初始条件，物体运动的边界情况称为边界条件.求⼀个微分⽅程的解满⾜⼀定的初始条件或边界条件的问题称为定解问题.⽽初始条件、边界条件称为定解条件.若定解条件仅有初始条件的，则称该定解问题为初值问题，⼜叫哥西(Cauchy)问题；若定解条件为边界条件的，则称为边值问题.边界条件⼀般有三种类型，以⼀维的为例：在x =0点的第⼀边界条件：)(),0(t t u µ=；第⼆边界条件：)(),0(t v t u x =；第三边界条件：)(),0(),0(t t hu t u x θ=-，这⾥h 为已知常数，)(t µ，)(t v ，)(t θ为已知函数.如果)(t µ，)(t v ，)(t θ恒为零的边界条件称为齐次边界条件，⼀般将边界条件写成)()],(),([t f t M nu t M u D M =??+?∈βα，D ?表⽰区域D 的边界，n 是D ?的外法线⽅向，这⾥α，β不同时为零的常数，则是这三种边界条件的综合表述.如果⼀个定解问题中既有初始条件⼜有边界条件，则称为混合问题.例1．在杆的纵向振动时，假设(1)端点固定；(2)端点⾃由；(3)端点固定在弹性⽀承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件.设杆的两端的坐标分别为x =0与x =l ,(1)端点固定，表明端点⽆位移，所以有0),(,0),0(==t l u t u ,(2)端点⾃由，此时在端点处⽆外⼒作⽤，因此有边界条件0),0(=??t xu 或0),0(=t u x , 因为在端点x =0点的拉⼒为S t xu E ),0()0(，E 为杨⽒模量，S 为细杆的截⾯积.同理在端点x =l 处有边界条件0),(=??t l xu 或0),(=t l u x . (3)端点固定在弹性⽀承上，此时端点受的外⼒与⽀承的变形成⽐例.例如，在杆的左端x =0处有弹性⽀承,⽀承的弹性系数为k ，⽀承对杆的作⽤⼒为S t xu E),0()0(,且其正向与x 轴⽅向相反，因此杆对⽀承的作⽤⼒亦为S t xu E ),0()0(,但其正向与x 轴⽅向相同，⽀承的伸长与杆的位移⼀致，因此有),0(),0()0(t ku S t x u E =，亦即 0)(0=+??-=x u x u σ，其中S E k )0()0(==σσ.同理，对x =l 处弹性⽀承的情形，类似地有0)(=+??=lx u x u σ，这⾥S l E k l )()(==σσ. 例2．对于热传导问题的边界条件设物体所占的空间域为Ω，其边界为Σ，即Ω?=∑.(1)如果边界Σ上的温度已知，则边界条件为第⼀边界条件， ),,(t M u ?=ΣΣ∈M这⾥?为已知的函数.(2)如果边界Σ上流⼊的热流密度为已知),(t M Q n ψ=-Σ，这⾥n Q 代表热流密度在边界⾯的外法线⽅向n 的分量，ψ为已知的函数，按傅⽴叶定律，nu k Q n ??-=，因⽽得第⼆边界条件 ),,(1t M kn u ψ=??ΣΣ∈M 如果边界是绝热的.则0=ψ，即边界绝热的条件为0=??Σn u . (3)如果物体的表⾯与外界通过辐射或者对流等过程交换热量，则得边界条件为第三边界条件0][hu hu nu =+??Σ，这⾥0u 代表外界温度，h 是⼀个正的常数.§2.2.2⼆阶线性偏微分⽅程分类和简化2.2.2.1⼆阶⽅程的分类上⼀段我们讨论了三种典型的数理⽅程：波动⽅程：),(2t x f u a u xx tt +=,热传导⽅程或扩散⽅程：),(2t x f u a u xx t +=,拉普拉斯⽅程：0=+yy xx u u .这些⽅程各代表不同性质的物理过程，因此它们的解也各有不同的特性，但是这些⽅程都是⼆阶线性偏微分⽅程，这⾥以两个⾃变量的⼆阶线性偏微分⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx为例，讨论分类和简化，其中a ，b ，c ，d ，e ，f ，g 都只是⾃变量x 和y 的函数.⼆阶线性偏微分⽅程怎样进⾏分类和简化呢？我们通过作⾃变量的变换==),(),(y x y x ψη?ξ并假设在所考虑的平⾯区域内雅可⽐（Jacobi ）⾏列式0),(D ),(D ≠y x ηξ，将⽅程化为标准型，这⾥要求雅可⽐⾏列式不为零是为了保证这种变换是可逆的，从⽽对⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类，那么这样的),(),,(y x y x ψη?ξ==是如何确定的呢？为此，称⼀阶常微分⽅程02)(2=+-c xy b x y a d d d d 为⼆阶线性偏微分⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx 的特征⽅程.请注意，它的特征⽅程的系数与⼆阶线性偏微分⽅程的⼆阶偏导数yy xy xx u u u ,,的系数有⼀定的对应关系，xx u 的系数a 与特征⽅程中x y d d 的⼆次项系数相同，⽽xy u 的系数与特征⽅程中x y d d 的系数互为相反数，yy u 的系数与特征⽅程的常数项相⼀致.特征⽅程是关于xy d d 的⼀元⼆次⽅程，它的判别式ac b y x -≡?2),( 的符号决定着特征⽅程解的情况.依据判别式),(y x ?的符号对⼆阶线性偏微分⽅程进⾏分类：当0),(>?y x 时称⽅程为双曲型⽅程；当0),(=?y x 时称为抛物型⽅程；当0),(2.2.2.2⼆阶线性偏微分⽅程的标准形式现在分别就三种类型的⽅程讨论它的简化问题(1)双曲型⽅程例3．把⽅程06232=++--y x yy xy xx u u u u u化为标准形式，并确定它的类型.解：写出它的特征⽅程032)(2=-+xy x y d d d d ，解得 01=-x y d d ，或03=+x y d d . 积分得⽅程的通解1c x y =-，23c x y =+，21,c c 为任意常数.特征⽅程的解称为特征线，因此0),(2>-≡?ac b y x 有两族实的特征线.这⾥0431>=+=?，故这个偏微分⽅程属于双曲型⽅程. 作变量变换，令x y -=ξ，x y 3+=η，它的雅可⽐⾏列式041311),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，为⽅便仍⽤),(ηξu 记为),(y x u ，所以ηξηξu u u u u x 33)1(+-=?+-=, ηξu u u y +=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx 9633)1(33+-=?+-+?-=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xy 3233++-=++--=,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u yy ++=+++=2,把它们代⼊原⽅程，原⽅程就简化成012416=++-ηξξηu u u ，化简得双曲型⽅程的标准形式ηξξηu u u 4341+= (2)抛物型⽅程例4．确定⽅程02=+++++u cu bu au au au y x yy xy xx ，（0≠a 常数）的类型并把它化为标准形式.写出它的特征⽅程02)(2=+-a xy a x y a d d d d ，判别式022=-=?a a ，故⽅程是抛物型的，这时特征⽅程只有⼀族特征线 1c x y =-，那么做变量变换只有 x y -=ξ，另⼀个变量η怎么引进呢？可以做最简单的变换，只要保证这种变换的雅可⽐⾏列式不为零就可以.例如这⾥令x =η，那么有010111),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ记),(),(ηξu y x u =，就有ηξηξu u u u u x +-=?+-=1)1(, ξηξu u u u y =?+?=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+?-+--=2)1(1)()1(, ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=?+?+?-?-=0101,ξξξηξξu u u u yy =?+?=01,代⼊原⽅程中，化简为0)(=++--u bu u c b au ηξηη，得到这个⽅程的标准形式为u au a b u a c b u 1---=ηξηη. (3)椭圆型⽅程例5．试确定⽅程0254=++++y x yy xy xx u u u u u的类型，并把它化为标准型.写出它的特征⽅程054)(2=+-xy x y d d d d ，这时01522<-=-=?，所以⽅程是椭圆型的.解特征⽅程 0)2(=--i x y d d ，或0)2(=+-i xy d d 积分得两组复特征曲线：12c ix x y =+-，22c ix x y =--，取实部、虚部，引进变量变换，令y x +-=2ξ，x =η，这是实变量的实变换，且010112),(D ),(D ≠-=-=y x ηξ，记),(),(ηξu y x u =，于是有ηξηξu u u u u x +-=+-=2)2(, ξηξu u u u y =?+?=01,ηηξηξξηηηξξηξξu u u u u u u u xx +-=+-+-=44)2(24,ξηξξηηηξξηξξu u u u u u u xy +-=?+?+?--=201022,ξξξηξξu u u u yy =?+=0,代⼊⽅程，化简得0=++ηηηξξu u u ，于是有椭圆型⽅程的标准形式ηηηξξu u u -=+应当指出，由于所取的⾃变量的变换),(y x ?ξ=，),(y x ψη=的形式不是唯⼀的，所以⽅程的标准形式也不是唯⼀的，但⽅程的类型是不变的，即判别式ac b -=?2的符号与⾃变量变换的选取⽆关.因为判别式ac b -=?2⼀般是),(y x 的函数，因此⼀个⼀般的线性⽅程02=++++++g fu eu du cu bu au y x yy xy xx在不同区域内可以属于不同类型.例如特⾥⾕⽶(Tricomi)⽅程0=+yy xx u yu的判别式y -=?，因此，当0程是抛物型的；当0>y 时⽅程为椭圆型的.由此可见，数理⽅程中的波动⽅程),(2t x f u a u xx tt =-是双曲型⽅程；⼀维热传导⽅程),(2t x f u a u xx t =-是抛物型⽅程；拉普拉斯⽅程是椭圆型⽅程，这三类⽅程所描述的物理现象的本质不同，因⽽这三类⽅程的性质也不同，⽽⼆阶线性偏微分⽅程的分类正是这种客观现象的实际反映.。
