数学分析第五版

14.2 曲面积分一．第一型曲面积分第一型曲面积分也是从实际问题中抽象出来的。

例如，物质曲面的质量问题就可归结为第一曲面积分。

设在三维欧式空间错误!未找到引用源。

中有光滑或者逐片光滑的曲面块S，三元函数f(x,y,z)在曲面S上有定义。

首先，用曲面S 上的曲线网，将曲面S任意分成n个小曲面：错误!未找到引用源。

，…，错误!未找到引用源。

，将此分法记为T。

设第k个小曲面错误!未找到引用源。

的面积是错误!未找到引用源。

在第k个小曲面错误!未找到引用源。

上任取一点错误!未找到引用源。

，作和错误!未找到引用源。

∑=∆=nkkkkkn fQ1),,(σζηξ(1)称为三元函数f(x,y,x)在曲面S的积分和。

令错误!未找到引用源。

定义设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑的曲面S有定义。

若当错误!未找到引用源。

时，三元函数f(x,y,z)在曲面S的积分和（1）存在极限L，即错误!未找到引用源。

=L,则称L是三元函数f(x,y,z)在曲面S的第一型曲面积分，记为L=错误!未找到引用源。

,期中是曲面S的面积微元。

不难得到，如果物质曲面S上任意点P(x,y,z)的面密度是错误!未找到引用源。

，则物质曲面S的质量m是第一型曲面积分，即m=错误!未找到引用源。

,第一曲面积分有类似于第一曲线积分的那些性质，读者可以仿照第一曲线积分的性质写第一曲面积分的性质。

关于第一曲面积分的存在性及其计算方法下面有定理。

定理1 若曲面：x=x(u,v)，y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v)错误!未找到引用源。

,是光滑的或逐片光滑的，其中D是有界闭区域。

三元函数f(x,y,z)在曲面S连续，则三元函数f(x,y,z)在S的第一曲面积分存在，且错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

(2)其中E=错误!未找到引用源。

F=错误!未找到引用源。

G=错误!未找到引用源。

证法与第一曲面积分相应定理完全相同，从略。

公式（2）指出，求第一曲面积分可以化为二重积分。

曲面的面积微元d错误!未找到引用源。

如果光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误!未找到引用源。

D,其中D 是有界闭区域，则错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

(3)例1 计算曲面积分错误!未找到引用源。

，其中S是球面错误!未找到引用源。

被平面z=h（0<h<a）所截的顶部(z>=h).解：曲面S的方程是z=错误!未找到引用源。

曲面S在xy平面上的投影区域D是错误!未找到引用源。

由式（3），有=错误!未找到引用源。

=2a错误!未找到引用源。

例2 计算曲面积分错误!未找到引用源。

，其中曲面S是螺旋面x=rcos错误!未找到引用源。

的一部分。

解：错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

d错误!未找到引用源。

设D(错误!未找到引用源。

),由公式（2）得二．第二型曲面积分第二型曲面积分的定义和计算与第二型曲线积分的完全类似。

已知第二型曲线积分的曲线的方向有关，同样，第二型曲面积分与曲面的方向也有关。

因此要讨论曲面的正向和负向。

在光滑曲面S上任取一点错误!未找到引用源。

，过点错误!未找到引用源。

的法线有2个方向，选定一个方向为正。

当点P在曲面S上连续变动（不越过曲面的边界）时，法线也连续变动。

当动点P从错误!未找到引用源。

出发沿着曲面S上任意一条闭曲线又回到错误!未找到引用源。

点时，如果法线的正方向与出发时的法线正向相同，称这种曲面S是双侧曲面，否则为单侧曲面。

通常所遇到的曲面都是双侧曲面。

单侧曲面也是存在的，例如，将长方形纸条的一端扭转180°，在与另一端粘合起来，就是单侧曲面。

我们只讨论双侧曲面，因为双侧曲面有正向和负向，所以同一块曲面由于方向不同，在坐标面上的投影的面积就带有不同的符号。

首先讨论流量问题。

在三维欧式空间3R有界体W中有流体稳定（也时间无关）流动。

已知流体在任意一点P （x,y,z ）的流速是A （P ），即A （P ）是向量函数A （P ）=(错误!未找到引用源。

其中错误!未找到引用源。

是向量A （P ）分别在x 轴，y 轴，z 轴上的分量，并且都在W 连续，于是，W 构成了流体速度场。

设在W 内有一块光滑双侧曲面S 。

在单位时间内，流体速度场流过曲面S 的流体体积V ，称为流过曲面S 的流量。

下面计算流量。

将曲面S 分为n 个小曲面：nS S S ,,21，将此分法记为T 。

设第k 个小曲面k S 的面积是k σ∆，在第k 个小曲面k S 上任取一定错误!未找到引用源。

，以A(错误!未找到引用源。

)近似代替k S 上每一点的流速，则流体速度场A （P ）通过第k 个小曲面k S 的流量错误!未找到引用源。

近似等于以k S 为底，以向量A(错误!未找到引用源。

)为母线的斜柱体的体积。

已知斜柱体的体积等于同底等高的直柱体的体积，于是其中错误!未找到引用源。

代表点错误!未找到引用源。

的法线正向的单位向量。

设错误!未找到引用源。

与x 轴，y 轴，z 轴的正向夹角分别是错误!未找到引用源。

，则设小曲面k S 在yz 平面，zx 平面，xy 平面投影的面积分别是错误!未找到引用源。

所以不难得到错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

, 错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

从而，流体速度场A （P ）通过曲面S 的流量Q 近似等于于是，流体速度场A （P ）通过曲面S 的流量错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

有抽去上式中的实际意义就是第二型曲面积分。

设三元函数f(x,y,z)在双侧光滑或逐片光滑曲面S 上有定义，选定曲面S 一侧为正。

将曲面S 分成n 个小曲面：n S S S ,,21，将此分法记为T ，用k σ∆表示第k 个小曲面k S 的面积, k S 在xy 平面投影的小区域的面积是错误!未找到引用源。

，在第k 个小曲面k S 上任取一点),,(kk k k P ζηξ。

作和 ∑=∆∆=n k kk k k k n y x f R 1),,(ζηξ(4)称为三元函数f(x,y,z)在曲面S 关于xy 平面的积分和。

令{})(,),(),(max )(21ns d s d s d T =δ 定义 设三元函数f(x,y,z)在光滑或逐片光滑曲面S 有定义。

若当0)(→T δ时，三元函数f(x,y,z)在曲面S 关于xy 的积分和（4）存在极限xy I ，即xy nk k k k k k T n T I y x f R =∆∆=∑=→→10)(0)(),,(lim lim ζηξδδ 则称xy I 是f(x,y,z)dxdy 在曲面S 的第二型曲面积分，记为⎰⎰=Sxy dxdy z y x f I ),,(其中dxdy 是曲面微元错误!未找到引用源。

在xy 平面上投影的面积微元（注意，因为曲面S 的正侧取法不同，它带有正号或负号）。

类似地，设小曲面k S 在yz 平面与zx 平面的投影小区域的面积分别是 k k z y ∆∆ 与 k k x z ∆∆ ，有f(x,y,z)dydz 与f(x,y,z)dzdx 在曲面S 的第二型曲面积分，即⎰⎰S dydz z y x f ),,(＝∑=→∆∆nk k k k k k T z y f 10)(),,(lim ζηξδ ⎰⎰S dzdx z y x f ),,(＝∑=→∆∆nk k k k k k T x z f 10)(),,(lim ζηξδ不难看到，流体速度场A （P ）=(错误!未找到引用源。

通过光滑曲面S 的流量Q 是它的三个分量函数错误!未找到引用源。

关于错误!未找到引用源。

在曲面S 上的第二型曲面积分之和，即通常简写为其中(n,x),(n,y),(n,z)分别是点P处法线n的正向与x轴，y轴，z 轴的正向夹角。

于是，两类曲面积分之间的转换关系是Dydz=cos (n,x)d错误!未找到引用源。

,dzdx=cos (n,y) d错误!未找到引用源。

,dxdy=cos (n,z) d错误!未找到引用源。

如果错误!未找到引用源。

与S表示同一曲面，而方向相反，则如果S是闭曲面，则f(x,y,z)dxdy在S的第二型曲面积分记为除特殊说明外，闭曲面S上的第二型曲面积分都是取S外则为正（或向外的法线方向是正向）。

定理2 若有光滑曲面S：z=z(x,y),(x,y)错误!未找到引用源。

其中D是有界闭区域，三元函数f(x,y,z)在S连续，则f(x,y,z)dxdy 在曲面S的第二型曲面积分存在，且其中符号错误!未找到引用源。

由曲面S的正侧外法线与z轴正向的夹角余弦的符号决定。

例 3 计算曲面积分⎰⎰xyzdxdy其中曲面S是四分之一球面S2a222x=+)+yz≥yx,取球面外侧为正。

,0(≥解：曲面S 在xy平面的上下两部分的方程分别是曲面错误!未找到引用源。

外法线与z轴正向夹角是锐角。

曲面错误!未找到引用源。

外法线与z轴正向夹角是钝角，而曲面错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

在xy平面上的投影都是扇形区域错误!未找到引用源。

于是错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

dr = 错误!未找到引用源。

例 4 计算曲面积分⎰⎰Sdydzx2，其中S是椭球面1222222=++czbyax的≥x的部分，取椭球面外侧为正侧。

解：当0≥x时，椭球面的方程是错误!未找到引用源。

于是错误!未找到引用源。

dydz=错误!未找到引用源。

rdr=错误!未找到引用源。

(设错误!未找到引用源。

三奥—高公式格林公式给出了平面区域上的二重积分与围成该区域的闭曲线上的曲线积分之间的联系。

奥—高公式是格林公式在三维欧式空间错误!未找到引用源。

的推广，它给出了三维欧式空间错误!未找到引用源。

中有界体上的三重积分与围成该有界体边界的闭曲面上的曲面积分之间的联系。

首先考虑错误!未找到引用源。

中的有界闭体：V={(x,y,z)错误!未找到引用源。

其中错误!未找到引用源。

是V在xy坐标面上的投影，是光滑或逐段光滑闭曲线所围成的有界闭区域。

错误!未找到引用源。

, 错误!未找到引用源。

是光滑或逐片光滑的曲面。

有界闭体V有曲面错误!未找到引用源。

，曲面错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

以及垂直于错误!未找到引用源。

的边界的母线所构成的柱面错误!未找到引用源。

所围成，称这样的V 是xy 型有界闭体。

类似地，有yz 型与zx 型有界闭体。

定理3 设V 是错误!未找到引用源。

中双侧闭曲面S 所围成的xy 型（同时即是yz 型，又是zx 型）有界闭体。

若三元函数P （x ，y ，z ），Q （x ，y ，z ），R （x ，y ，z ）及其偏导数在包含V 的区域上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂=++VS dxdydz z R y Q x P Rdxdy Qdzdx Pdydz )((5)其中曲面S 的外侧为正，公式（5）为奥—高公式。