数学分析第一章

数学分析第一章实数集与函数§1.实数一、 实数及其性质1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。

2. 实数的六大性质：①（四则运算封闭性）：实数集R 对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。

②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b 必满足以下三种关系之一：a<b 、a=b 、a>b 。

③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c 则a>c 。

④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b ∈R, 若b>a>0,则存在正整数na>b.⑤(稠密性)：实数集R 具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，且既有有理数也有无理数。

⑥实数集R 与数轴上点一一对应。

二、 绝对值与不等式1. 实数绝对值的性质： ①0;00a a a a =-≥==当且仅当时有 ②-a a a ≤≤ ③;a h h a h a h h a h <<=>-<<≤<=>-≤≤ ④a b a b a b -≤±≤+三角不等式⑤ab a b = ⑥(0)a a b b b=≠ §2数集·确界原理一、 区间与邻域1. 有限区间：开区间：{}x a x b <<记作(),a b ；闭区间：{}x a x b ≤≤记作[],a b ；半开半闭区间：{}x a x b ≤<记作[),a b ，{}x a x b <≤记作(],a b无限区间：(]{},a x a -∞=≤，(){},a x x a -∞=≤，(){},a x x a +∞=>，(){},x x R -∞+∞=-∞<<+∞=2. 邻域：设a R ∈,0>,满足绝对值不等式x a -<的全体实数x 的集合称为点a 的邻域，记作();U a 或写作()U a ，即有(){}();,U a x x a a a =-<=-+。

第一章 实数集与函数（12学时）§１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一 实数及其性质 １、实数(,q p q p⎧⎧≠⎪⎨⎨⎩⎪⎩正分数,有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数.负分数,无理数:用无限不循环小数表示.{}|R x x =--为实数全体实数的集合．[问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：，则先将表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０例：2.001 2.0009999→ 3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较1） 定义１ 给定两个非负实数01n x a a a =，01n y b b b =. 其中00,a b 为非负整数，,k k a b (1,2,)k =为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,1,2,k k a b k ==，则称x与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在非负整数l ，使得,1,2,,k k a b k l ==，而11l l a b ++>，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何非负实数大于任何负实数．2） 实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）：01n x a a a =为非负实数，称有理数01nx a a a =为实数x 的n 位不足近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似；对于实数01n x a a a =-，其n 位不足近似01110n n n x a a a =--；n 位过剩近似01n n x a a a =-.注：实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有012;x x x x ≤≤≤≤过剩近似n x 当n 增大时不增，即有01x x x x ≥≥≥≥． 命题：记01n x a a a =，01n y b b b =为两个实数，则x y >的等价条件是：存在非负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不足近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满足x r y <<．证．由x y <，知：存在非负整数n ，使得nn x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且 n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）．● 封闭性（实数集Ｒ对,,,+-⨯÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数．● 有序性：任意两个实数,a b 必满足下列关系之一：,,a b a b a b <>=．● 传递性；,a b b c a c <>⇒>．● 阿基米德性：,,0a b R b a n N ∀∈>>⇒∃∈使得na b >．● 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数．● 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设,a b R ∀∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提示：反证法．利用“有序性”，取a b ε=-）二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）．１．绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩． ２． 几何意义：从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应，||x a -表示就是数轴上点x 与a 之间的距离．３．性质．１）||||0;||00a a a a =-≥=⇔=（非负性）；２）||||a a a -≤≤；３）||a h h a h <⇔-<<，||.(0)a h h a h h ≤⇔-≤≤>；４）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三角不等式）；５）||||||ab a b =⋅；６）||||a a b b =（0b ≠）．［练习］Ｐ４． ５［课堂小结］：实数：⎧⎨⎩一 实数及其性质二 绝对值与不等式.§２数集和确界原理教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念。

数学分析(mathematical analysis)课程简介一、背景:从切线、面积等问题引入.1极限 (limit) —— 变量数学的基本运算.2数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪, Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶——微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期.二、内容安排1.课时分配: 第一学期16×6=96; 第二学期18×6=108;第三学期18×4=72.2.内容分配: 第一学期一元函数微分学; 第二学期一元函数积分学与级数论; 第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P1—22§1 实 数（1时）一．实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1. 实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数, 规定: 对于正有限小数(包括正整数)x ,n a a a a x 210. 时,其中,90 i a ,0,,,2,1 n a n i 0a 为非负整数,记 9999)1(.210 n a a a a x ; 而当0a x 为正整数时,则记 9999).1(0 a x ;对于负有限小数(包括负整数)y ,则先将y 表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数0表示为 000.0.例如 010999.2011.2 , 999.78 .2. 实数的大小:定义1: (实数大小的概念)见[1]P1.定义2: (不足近似与过剩近似的概念)见[1]P2.命题: 设 210.a a a x 与 210.b b b y 为两个实数,则y x n ,使得n n y x .例1 设x 、y 为实数，y x .证明：存在有理数r 满足y r x . [1]P17E1.3. 实数的性质:⑴.四则运算封闭性:⑵.三歧性(即有序性):⑶.Rrchimedes 性:b na N n a b R b a ,,0,,.⑷.稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义.⑸.实数集的几何表示 ─── 数轴:⑺.两实数相等的充要条件: . ,0 b a b a二. 区间和邻域的概念:见[1]P5三.几个重要不等式:1. 绝对值不等式: 定义 . , max a a a [1]P2 的六个不等式.2. 其它不等式: ⑴ ,222ab b a .1 sin x . sin x x⑵ 均值不等式: 对,,,,21R n a a a 记,1 )(121 n i i n i a n n a a a a M (算术平均值) ,)(1121n n i i n n i a a a a a G(几何平均值) .1111111)(1121 n i i n i i n i a n a n a a a na H (调和平均值)有平均值不等式: ),( )( )(i i i a M a G a H 等号当且仅当n a a a 21时成立.⑶ Bernoulli 不等式: ,1 x 有不等式 . ,1)1(N n nx x n当1 x 且 0 x , N n 且2 n 时, 有严格不等式 .1)1(nx x n 证 由 01 x 且 111)1(1)1( ,01 nn x n x x).1( )1( x n x n n n .1)1( nx x n ⑷ 利用二项展开式得到的不等式: 对,0 h 由二项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h 有 n h )1( 上式右端任何一项. Ex [1]P4: 3，4，5，6；§2 确界原理（2时）一、有界数集:定义(上、下有界,有界), 闭区间、b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合 ) , ( ,sin x x y y E 也是有界数集.二、无界数集: 定义, ) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , ( 等都是无界数集,如集合) 1 , 0 ( ,1 x x y y E 也是无界数集. 三、确界:给出直观和刻画两种定义.例1 ⑴,) 1(1n S n 则._______inf ______,sup S S⑵.),0( ,sin x x y y E 则._________inf ________,sup E E例2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例3 设S 和A 是非空数集，且有.A S 则有 .inf inf ,sup sup A S A S .例4 设A 和B 是非空数集. 若对A x 和,B y 都有,y x 则有.inf sup B A证,B y y 是A 的上界,.sup y A A sup 是B 的下界,.inf sup B A 例5 A 和B 为非空数集, .B A S 试证明:. inf , inf m in inf B A S 证 ,S x 有A x 或,B x 由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf 或 . inf , inf m in .inf B A x B x 即 inf , inf m in B A 是数集S 的下界, . inf , inf m in inf B A S 又S A S , 的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界, S inf 是A 的下界, ;inf inf A S 同理有.inf inf B S 于是有inf , inf m in inf B A S . 综上, 有 inf , inf m in inf B A S .四、数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.五、确界与最值的关系:设E 为数集.⑴E 的最值必属于E , 但确界未必, 确界是一种临界点.⑵非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值.⑶若E max 存在, 必有 .sup max E E 对下确界有类似的结论.六、确界原理: Th (确界原理).Ex [1]P9: 2，4，5.§3 函数概念 ( 2时 )一. 函数的定义:1. 函数: [1]P10—11的四点说明.2. 定义域: 定义域和存在域.3. 函数的表示法:4. 反函数: 一 一对应, 反函数存在定理.5. 函数的代数运算:二.分段函数:函数1 ,,1 ,2,1 ,1)(2x x x x x x f 和 1 ,,1 ,2)(2x x x x x g ,123)( x x f 去掉绝对值符号.例2 .1 ,1,1 ,)(x x x x x f 求 ).2( ),1( ),0(f f f例3 设 .10 ,)5(,10 ,3)(x x f f x x x f 求 ).5(f三. 复合函数:例4 .1)( ,)(2x x g u u u f y 求 ).()(x g f x g f 并求定义域. 例5 ⑴ ._______________)( ,1)1(2 x f x x x f⑵ .1122x x x x f则) ( )( x fA. ,2xB. ,12 xC. ,22 xD. .22 x四. 初等函数:1. 基本初等函数:2. 初等函数:3. 初等函数的几个特例: 设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数, 则⑴ )( x f 是初等函数, 因为 .)( )( 2x f x f⑵ )( , )(m ax )(x g x f x 和 )( , )(m in )(x g x f x 都是初等函数, 因为 )( , )(m ax )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f ,)( , )(m in )(x g x f x )()()()(21x g x f x g x f .⑶ 幂指函数 0)( )()( x f x f x g 是初等函数,因为 .)()(ln )()(ln )()(x f x g x f x g e e x f x g五. 介绍一些特殊函数:1. 符号函数2. Dirichlet 函数3. Riemann 函数4. 取整函数5. 非负小数部分函数Ex [1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7, 8；§4 具有某些特性的函数 ( 1时 )一、有界函数: 有界与无界函数的概念. 例1 验证函数 325)(2 x xx f 在R 内有界.解法一 由,62322)3()2(32222x x x x 当0 x 时,有.3625625325325 )( 22 x xx xx xx f 30 )0( f ,对 ,R x 总有 ,3 )( x f 即)(x f 在R 内有界. 解法二 令 3252 x xy 关于x 的二次方程 03522 y x yx 有实数根.22245 y .2 ,42425,02 y y解法三 令2,2 ,23t tgt x 对应). , ( x 于是tt tt tg tgt tgt tgtx x x f 2222sec 1cos sin 65123353232235325)(.6252sin 625)( ,2sin 625t x f t例2 见[1]P17.例3 见[1]P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数 (略) ，参阅[1]P17—19， Ex [1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；。

第一章 实数集与函数§1 实数Ⅰ.教学目的与要求1．理解实数的概念,掌握实数的表示方法2.了解实数的性质, 并在有关命题中正确地加以应用3.理解绝对值的概念，掌握绝对值的性质，并在有关命题中正确地加以应用. Ⅱ.教学重点与难点重点: 实数的定义及性质、绝对值与不等式.难点: 实数的定义及其应用.Ⅲ.讲授内容一 实数及其性质实数的组成:实数由有理数与无理数两部分组成．有理数的表示:有理数可用分数形式q p(p ˛q 为整数，q ≠0)表示，也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示.无理数:无限十进不循环小数则称为无理数．有理数和无理数统称为实数．有限小数(包括整数)也表示为无限小数．规定如下：对于正有限小数（包括整数）x,当x=a 0.a1a 2n a K 时，其中0,9≤≤i a i=1,2,K n, ｎa ,0≠０a 为非负整数，记x=a 0.a 1a 2-n a (K 1)̣.999 9,K而当x=a 1为正整数时，则记x=(a 0—1)．999 9…，例如2．001记为2．000 999 9…；对于负有限小数(包括负整数)y ，则先将—y 表示为无限小数，再在所得无限小数之前加负号，例如—8记为—7．999 9…；又规定数0表示为0．000 0…．于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．我们已经熟知比较两个有理数大小的方法．现定义两个实数的大小关系． 定义1 给定两个非负实数x= 0a .a a 1n a K ,K y=,.210K K n b b b b其中00,b a 为非负整数，k k b a ,(k=1，2，…)为整数，0≤a k ≤9，0≤b k ≤9.若有==k b a k k ,0，1，2，,K 则称x 与y 相等，记为x=y ；若00b a >或存在非负整数L ，使得 a k =b k (k=0，1，2，…，L)而11++>l l b a ，则称x 大于y 或y 小于x ，分别记为x>y 或y<x ．对于负实数x ，y ，若按上述规定分别有y x -=-与y x ->-，则分别称x=y 与x<y(或y>x)．另外，自然规定任何非负实数大于任何负实数．定义2 : x =a 0.a 1a 2n a K K 为非负实数．称有理=n x a 0.1a a 2n a K K 为实数x 的n 位不足近似，而有理数=n x nn x 101+称为x 的n 位过剩近似，n=0,1,2,K . 对于负实数ΛΛn a a a a a x 3210.-=,其n 位不足近似与过剩近似分别规定为n n n a a a a a x 101.3210--=Λ与=n x n a a a a a Λ3210.-. 注 不难看出，实数x 的不足近似n x 当n 增大时不减，即有x 0≤x 1≤x 2≤…，而过剩近似n x 当n 增大时不增，即有0x ≥1x ≥2x ≥…．命题 设x=a 0.a 1a2K 与y=b 0.b 1b 2…为两个实数，则x>y 的等价条件是：存在非负整数n ，使得 x n >n y ，其中x n 表示x 的n 位不足近似，n y 表示y 的n 位过剩近似．例1 设x 、y 为实数，x<y.证明：存在有理数r 满足x y r <<.证 由于x y <,故存在非负整数n,使得n n y x <，令 r=),(21n n y x + 则r 为有理数,且有 x ,y y r x n n ≤<<≤即得 x<r<y ．全体实数构成的集合记为R,即 R =}.|{为实数x x实数的主要性质：1.实数集R 对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数．2．实数集是有序的，即任意两实数a 、b 必须满足下述三个关系之一：a <b, a =b ,a >b .3．实数的大小关系具有传递性，即若a >b ，b >c ，则有a >c ．4．实数具有阿基米德(Archimedes)性，即对任何a 、b ∈R ，若b >a >0，则存在正整数n ，使得n a >b ．5．实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数(见例1)，也有无理数．6．如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O 作为原点，指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向)，并规定一个单位长度,则称此直线为数轴．任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数．于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系．因此在以后的叙述中，常把“实数a ”与“数轴上的点a ”看作具有相同的含义﹒例2 设a 、b ∈R ．证明：若对任何正数ε有a <b +ε，则a ≤b ．证 用反证法．倘若结论不成立，则根据实数集的有序性，有a >b ．令a =εb -，则ε为正数且ε+=b a ，但这与假设a <b ε+相矛盾．从而必有a ≤b ．二 绝对值与不等式实数a 的绝对值定义为⎩⎨⎧<-≥=.0,,0,a a a a a 从数轴上看，数a 的绝对值a 就是点a 到原点的距离．实数的绝对值有如下一些性质：1． a a -=≥0；当且仅当a =0时有a =0．2．a -≤a ≤a ．3．a h <h a h <<-⇔；()0>≤≤-⇔≤h h a h h a ﹒4．对于任何a 、b ∈R 有如下的三角形不等式：b a b a b a +≤±≤-.5．b a ab =．6．()0≠=b ba b a ． 下面只证明性质4，其余性质由学生自行证明．由性质2有.,b b b a a a ≤≤-≤≤-两式相加后得到 .)(b a b a b a +≤+≤+-根据性质3，上式等价于.b a b a +≤+ ()1将(1)式b 换成b -，(1)式右边不变，即得b a b a +≤-，这就证明了性质4不等式的右半部分．又由）式有据（1,b b a a +-=.b b a a +-≤从而得.b a b a -≤- ()2 将(2)式中b 换成b -，即得得性质4.b a b a +≤-证.Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握实数的概念及其性质,牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及常见的不等式,并在有关命题证明中正确地加以运用.3、4、5、6、7、8、9.Ⅴ课外作业:P４。