数学分析定义、定理、推理一览表

数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。

定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。

定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。

数学分析重点概念整理第一章 集合与函数1. 集合定理1.1.1可列个可列集之并也是可列集。

定理1.1.2 有理数集Q 是可列集Descartes 乘积集合{(,)|}A B x y x A y B ⨯=∈∈并且 2. 映射与函数映射的基本要素映射要求元素的像必须是唯一的，但不要求逆像也具有唯一性。

基本初等函数Dirichlet 函数，任何有理数都是其周期。

定义1.2.7 算术平均值：1...n a a n ++，调和平均值111...nna a ++第二章 数列极限1.实数系的连续性上确界的定义：下确界的定义：定理 2.1.1(确界存在定理——实数系连续性定理)非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。

定理2.1.2非空有界数集的上(下)确界是唯一的。

2.数列与数列极限数列极限的形式 (1)唯一性定理2.2.1 收敛数列的极限必唯一 (2)有界性定理2.2.2收敛数列必有界 (3)数列的保序性定理2.2.3 设数列{},{}n n x y 均收敛，若，且a b <，则存在正整数N ，当n N >是，成立n n x y <四则运算只能推广到有限个数列的情况3.无穷大量4.收敛准则定理2.4.1 单调有界数列必定收敛。

(确界存在定理)用定理证明的时候先用方法证明有界性(归纳法等)，再证明单调性(做差)用闭区间套定理可以证明定理2.4.3 实数集R 是不可列集。

定理2.4.5(Bolzano-Weierstrass 定理)有界数列必有收敛子列。

定理 2.4.6 若{}n x 是一个无界数列，则存在子列{}k n x 使得lim k n k x →∞=∞。

定理2.4.7(Cauchy收敛原理)数列{}n x收敛的充要条件是{}n x是基本数列。

由实数构成的基本数列必存在实数极限，这一性质称为实数系的完备性，有理数不具有完备性。

实数系之间的推理关系：定理2.4.8 实数系的完备性等价于实数系的连续性。

大学数学数学分析的基本概念与定理数学分析是大学数学的基础课程之一，它研究实数域上的函数及其性质，是数学学科的重要组成部分。

在学习数学分析的过程中，掌握一些基本的概念与定理是非常重要的。

本文将介绍数学分析中的一些基本概念与定理。

一、实数与数集在数学分析中，实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，记作R。

实数具有完备性和有序性等基本性质。

数集是指一些数的集合，它可以是有限集也可以是无限集。

常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。

二、极限与收敛在数学分析中，极限是数列或函数的重要概念之一。

数列极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于一个固定的数。

函数极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数的值趋向于一个固定的数。

收敛是指数列或函数具有极限的性质。

如果一个数列或函数存在极限，我们称它为收敛的；如果不存在极限，我们称它为发散的。

三、连续性与导数在数学分析中，连续性与导数是函数的重要性质。

连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质，如果一个函数在某个点处连续，则在该点处左右极限存在且相等。

导数是函数的变化率的概念。

对于实数函数，如果该函数在某一点处的导数存在，则称该函数在该点可导。

导数的计算公式和性质是数学分析中的重要内容之一。

四、积分与微分方程积分是函数的逆运算。

在数学分析中，我们通过积分可以计算曲线下的面积、求定积分、解微分方程等。

微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，是工程技术和物理学中常见的数学模型。

五、级数和函数项级数级数是数列之和的概念。

在数学分析中，级数是由一系列无穷多个数相加得到的结果。

常见的级数有等比级数和调和级数等。

函数项级数是将函数的无穷项和考虑进去的级数，它在实际问题中具有重要的应用。

六、基本定理与中值定理在数学分析中，基本定理起到了核心作用。

常见的基本定理有微积分基本定理、泰勒展开定理等。

中值定理是函数与导数之间的关系定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。

总结起来，数学分析包含了实数与数集、极限与收敛、连续性与导数、积分与微分方程、级数和函数项级数、基本定理与中值定理等基本概念与定理。

数学分析导论数学分析是一门研究实数集上的函数性质的学科，是数学的基础学科之一。

在数学分析导论中，我们将深入探讨数学分析的基本概念、定理和技巧。

1. 实数与数轴实数是数学中最基本的概念之一，它包括有理数和无理数。

在数轴上，我们可以将实数与点一一对应，利用数轴可以直观地了解实数的大小和相对关系。

2. 有界性与极值定理对于函数而言，有界性是一个重要的性质。

有界函数不会无限增长或减小，并且可以在一定区间内取到最大值和最小值。

极值定理告诉我们，连续函数在闭区间上一定存在最大值和最小值。

3. 无穷小与极限无穷小是研究极限的基本工具。

对于给定的函数序列，当自变量趋于某个特定值时，函数值也相应地趋于一个特定的常数。

这个过程可以用极限来描述，而无穷小是极限的基本构成要素。

4. 连续性与间断点连续性是分析学中的重要概念。

一个函数在某点连续，意味着当自变量接近该点时，函数值也会趋于该点。

间断点则是指函数在某点不连续的情况，包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

5. 导数与微分导数是分析学中的核心概念，代表了函数在某点的变化率。

导数的几何意义是切线的斜率，也可用来求解函数的极值和函数的图像特征。

微分则是导数的基本运算，将函数变化量与自变量变化量之间的关系联系起来。

6. 级数与收敛性级数是由无穷个数相加所得的结果。

我们将研究级数的收敛性，即级数是否可以无限地逼近一个特定的数。

通过研究级数收敛性，我们可以解决很多数学和物理方面的问题。

总结：数学分析导论是数学学科中具有重要基础性的一门课程。

通过对实数与数轴、有界性与极值定理、无穷小与极限、连续性与间断点、导数与微分、级数与收敛性等概念和定理的学习，我们可以更好地理解函数的性质和数学推理的方法。

数学分析导论不仅在理论研究中具有重要地位，也在实际问题的求解中起到关键作用。

通过对数学分析导论的学习，我们可以培养出扎实的数学基本功和严谨的逻辑思维能力，为深入研究数学建立坚实的基础。

数学分析的基本定理与推导数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微积分等基本概念和定理。

本文将介绍数学分析中的一些基本定理以及它们的推导过程。

定理一：极限的定义与性质极限是数学分析中最基础的概念之一，可以用来描述函数在某一点的趋势。

设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，则称函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$。

定理二：函数的四则运算定理设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$，则有以下四则运算定理：1. $\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=A+B$2. $\lim_{x \to x_0}(f(x)-g(x))=A-B$3. $\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B$4. $\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）定理三：函数的复合运算定理设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，$g(x)$在$f(x_0)$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{y \tof(x_0)}g(y)=B$，则有$\lim_{x \to x_0}g(f(x))=B$。

定理四：函数的单调性定理设函数$f(x)$在$(a,b)$上可导，则有以下结论：1. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递增；2. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递减；3. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不减；4. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不增。

数学分析定义、定理、推理一览表定义1给定两个非负实数x a0.a1.a2L a n L , y b0.b1.b2L b n L其中a o,b o为非负整数，a k,b k k 1,2,L为整数，若有0 a k 9,0 b k 9.则称x与y相等，记为x y .若a0b0或存在非负实数l,使得a kb k k 0,1,2丄l 而a i b 1,则称x大于y或y小于x,分别记为x y或y x.定义2设x a0.a1a2L a n L为非负实数.称有理数a。

.q a? L a为实数x的n位不足近似，而有理数x n x n称为x的n位过剩近似, n 0,1,2,L .实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a b,a b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4.实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3绝对值得一些性质1. a a 0;当且仅当a=0时有a 0.2. a a a .3. a h h a h; ah h a h(h 0). 4. 对于任何a 、b R 有如下三角形不等式：a b a b a b .5. ab a||b .a |a|&冷0)定义4 实数a 的绝对值定义为a 从数轴上看，数a 的绝对值 a, a 0, a, a 0. a 就是a 到原点的距离区间和邻域开区间：a,b x a x b ,有限区间闭区间：a,b x|a x b ,半开半闭区间：a,b xa x b , 区间(,a] x|x a , , a,b R.工(a, ) xx a ,无限区间(,a) x|x a ,(,)x x R,邻域：a R, 0.满足x a 的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U a;,或U (a),即有U(a; ) {x||x a| } (a ,a ).点a的空心邻域：U°(a; ) {x| 0 | x a| }.点a的右邻域：U (a; ) [a,a );点a的左邻域：U (a; ) (a ,a];点a的空心右邻域：U 0(a; ) (a, a );点a的空心左邻域：U 0(a; ) (a , a);邻域U( ) {X||x| M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；定义5有界的定义设S为R中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x S,都有x M (x L),则称S为有上界(下界)的数集，数M (L)称为S的一个上界(下界)■简记：S R, M 0, x S x M ,称S有界■若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集■若S不是有界集, 则称为无界集.定义6确界的定义1设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的上界；ii , x o S,使得x o ，即又是S的最小上界,则称为数集S的上确界，记作=sup S.2.设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的下界；ii , x0 S,使得x0，即又是S的最大下界,则称为数集S的下确界，记作=inf S定理1设数集S有上确界•i) =sup S S =max S.ii) =inf S S min S.定理一确界原理设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.定理2设A B为非空数集，满足：对一切x A和y B有x y.数集A有上确界，数集B有下确界，且supA inf B.推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的) 函数的概念定义1 给定两个实数集D和M，若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f : D M,x a y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (x).全体函数值的集合f(D) y| y f (x),x D ( M ) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f ,x ^和g,x D 2,记D=D 11 D 2,并设D .定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：F(x) f(x) g(x),x D,G(x) f(x) g(x),x D,H(x) f(x)g(x),x D.若在D 中剔除g(x) 0的x 值，即令D * D i I x| g(x) 0,x D 2, 则除法如下L(x) f (x)/g(x),x D *. 初等函数定义2给定实数a 0,a 1设x 为我们规定sup {a r | r 为有理数}，当a 1时， a x r xi n f {a r |r 为有理数}，当0 a 1时.r x几个重要的等式(不等式)数列极限定义1收敛数列的性质定义1设a-为数列，n k为正整数集N +的无限子集，且n i n2 L n k L ，则数列a-i,a-2,L ,a-k,L称为数列a-的一个子列，简记为a-k.平凡子列：数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列a-收敛的充要条件是：a-的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限定义1设f为定义在a, 上的函数，A为定数若对人给的0,存在正数Ml（ a）,使得当x M时有f x A ，则称函数f当x趋于时以A为极限，记作lim f x A或f x Ax .x2设函数f在点怡的某个空心邻域U。

定义1 给定两个非负实数 012..,n x a a a a = 012..,ny b b b b = 其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =为整数，若有09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =.()0011,0,1,2,,,.k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>><若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或定义2012012..1100,1,2,.nnn n nx a a a a x a a a a x n x x x n n ===+=设为非负实数.称有理数为实数的位不足近似，而有理数 称为的位过剩近似，1.R 00.2.b b,b, b.3.b,b c, c.4.b R,b>>0,n n >b.5.a a a a a a a a a R >=<>>>∈实数的一些主要性质实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o 作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.定义3,0,,0.a a a a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩实数的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.绝对值得一些性质1.0;=00.2..3.;(0).4..5..6.(0).a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b R a b a b a b ab a b a ab b b=-≥=-≤≤<⇔-<<≤⇔-≤≤>∈∈-≤±≤+==≠当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式： 定义4区间和邻域(){}[]{}[){}{}{}{}{}(),,,,,,,.,],(,),(,),(,),,0.;,(),(a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b R a x x a a x x a a x x a x x R a R x a x a U a U a U δδδδ⎧⎧=<<⎪⎪⎪=≤≤⎪⎨⎪⎪=≤<⎪⎪⎩⎪∈⎧-∞=≤⎨⎪⎪+∞=>⎪⎪⎨⎪-∞=<⎪⎪⎪⎪-∞+∞=-∞<<+∞=⎩⎩∈>-<开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];(;)(,);(;)(,);(){|||}(){|a x x a a a a U a x x a a U a a a a U a a a a U a a a a U a a a U X x M M U X δδδδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=-<=-+=<-<=+=-=+=-∞∞=>+∞+∞=。

【推理与证明的数学知识点总结】推理与证明知识点推理与证明的数学知识点总结推理与证明的数学知识点总结由一个或几个已知的判断(前提)，推导出一个未知的结论的思维过程。

推理是形式逻辑。

以下是有关推理与证明的数学知识点相关汇总,欢迎大家阅读! 推理与证明的数学知识点总结一、公理、定理、推论、逆定理：1.公认的真命题叫做公理。

2.其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。

3.由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

4. 如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就叫原定理的逆定理。

二、类比推理：一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证结论三个要素组成，这此要求可以看作是数学试题的属性。

如果两道数学题是在一系列属性上相似，或一道是由另一道题来的，这时，就可以运用类比推理的方法，推测其中一道题的属性在另一道题中也存在相同或相似的属性。

三、证明：1.对某个命题进行推理的过程称为证明，证明的过程包括已知、求证、证明2.证明的一般步骤：(1)审清题意，明确条件和结论;(2)根据题意，画出图形;(3)根据条件、结论，结合图形，写出已知求证;(4)对条件与结论进行分析;(5)根据分析，写出证明过程3.证明常用的方法：综合法、分析法和反证法。

四、辅助线在证明中的应用：在几何题的证明中，有时了为证明需要，在原题的图形上添加一些线度，这些线段叫做辅助线，常用虚线表示。

并在证明的开始，写出添加过程，在证明中添加的辅助线可作为已知条件参与证明。

常见考法(1)灵活运用基础知识进行推理，运用综合法、分析法，从条件和结论两方面出发进行证明;(2)在中考中，考查类比推理，先设计一个条件、结论明确的问题，以此作为类比对象，然后再对其改造。

比如，图形的变式，添加某些新的属性或改变某些属性，通过与原有问题的比较，推测新问题的结论与解决方法。

误区提醒(1)不能准确把握几何公理、定理的内容;(2)数学语言、符号语言、文字语言在相互转化中出现表述错误。

数学分析定理证明最全汇总1. 引言本文旨在汇总数学分析中的常见定理及其证明，供研究和研究之用。

2. 逻辑与集合的定理2.1 反证法定理 2.1.1若一个命题的否定是不成立的，那么该命题本身是成立的。

证明：：假设命题P不成立。

假设命题$\neg P$不成立。

由此得到矛盾。

因此，命题P成立。

2.2 空集与全集定理 2.2.1空集是任何集合的子集。

证明：：假设存在一个集合A。

假设存在一个集合B，使得B是A的子集。

假设B不是空集。

由此得到矛盾。

因此，空集是A的子集。

3. 函数与极限的定理3.1 函数极限定理 3.1.1若函数f在某点c处的极限存在且为L，则f在c点连续。

证明：：假设函数f在c点极限存在且为L。

假设函数f在c点不连续。

由此得到矛盾。

因此，函数f在c点连续。

3.2 无穷极限定理 3.2.1对于一个无穷序列$\{a_n\}$，若$\lim_{n\to\infty} a_n$存在，则该极限必为有界集。

证明：：假设$\lim_{n\to\infty} a_n$存在。

假设$\{a_n\}$无界。

由此得到矛盾。

因此，该极限必为有界集。

总结本文汇总了数学分析中的部分定理及其简要证明，包括逻辑与集合的定理以及函数与极限的定理。

这些定理对于深入理解数学分析及其应用具有重要意义。

参考文献- 张田编著. (2009). 数学分析教程. 高等教育出版社.- Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Education.。

数学分析理论整理一、实数完备性：1. 关于实数完备性的基本定理◇确界原理（该教材的理论基础、最基本定理）（用实数的无限小数表示证明）◇单调有界定理（用确界原理证明）◇区间套定理（用单调有界定理证明）◇有限覆盖定理（用区间套定理证明）◇聚点定理（用区间套定理证明）推论：致密性定理◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）2. 上极限和下极限◇有界点列至少有一个聚点，且存在最大聚点与最小聚点（类似聚点定理，用区间套定理证明）◇A为{a n}上极限<＝> (i)存在N＞0，使得当n＞N时有a n＜A+ε；(ii)存在子列{a nk}，a nk＞A-ε◇A为{a n}上极限<＝>任何α＞A，大于α的项有限个；任何β＜A，大于β的项无限多个◇上、下极限保不等式性◇A为{a n}上极限<＝>A=limsup{a k} (n→∞, k≥n)二、极限1. 收敛数列的性质：◇唯一性◇有界性◇保号性◇保不等式性◇迫敛性◇四则运算法则◇数列{a n}收敛<＝>{a n}的任何非平凡子列都收敛2. 数列极限存在的条件：◇单调有界定理（用确界原理证明）◇柯西收敛准则（用区间套定理或致密性定理证明）3. 函数极限的性质◇唯一性◇局部有界性◇局部保号性◇保不等式性◇迫敛性◇四则运算法则4. 函数极限存在的条件◇归结原则◇单调有界定理（适用于单侧极限）◇柯西准则（用归结原则和数列柯西收敛准则证明）5. 无穷小量与无穷大量◇若f与g为等价无穷小量，则lim(f*h)=lim(g*h)，lim(h/f)=lim(h/g)◇若f为x→x0时的无穷小量（且在空心邻域内不等于0），则1/f 为x→x0时的无穷大量◇若g为x→x0时的无穷大量，则1/g为x→x0时的无穷小量三、函数的连续性1. 连续函数的性质◇局部有界性◇局部保号性◇四则运算法则◇若f在x0连续，g在u0=f(x0)连续，则g(f(x))在x0连续◇有界性定理（适用于闭区间）（用局部有界性与有限覆盖定理证明）◇最大最小值定理（适用于闭区间）（用有界性定理和确界原理证明）◇根的存在定理（适用于闭区间）（用局部保号性和区间套定理证明）◇介值性定理（适用于闭区间）（用根的存在定理证明）◇一致连续性定理（用有限覆盖定理证明）四、导数和微分1. 导数的概念◇费马定理（可导函数极值的必要条件）（用连续函数局部保号性证明）◇导函数的介值定理（用最大最小值定理和费马定理证明）2. 求导法则◇四则运算法则◇反函数的导数◇复合函数的导数及其引理◇参变量函数的导数◇高阶导数3. 微分◇可微<＝>可导，且微分AΔx中的A等于导数（用有限增量公式证明）◇微分运算法则（由导数运算法则推出）◇高阶微分◇一阶微分形式的不变性 / 高阶微分不具有形式不变性4. 微分中值定理◇罗尔中值定理（用连续函数最大最小值定理与费马定理证明）◇拉格朗日中值定理（用罗尔中值定理证明）◇导数极限定理（用拉格朗日中值定理证明）◇函数（严格）单调递增（减）的充要条件（用拉格朗日中值定理证明）◇柯西中值定理（用罗尔中值定理证明）◇洛必达法则（用柯西中值定理证明）5. 泰勒公式◇佩亚诺余项（用洛必达法则证明）◇拉格朗日余项（泰勒定理）（用柯西中值定理证明）◇积分型余项（用推广的定积分分部积分法证明）◇柯西型余项（对积分型余项使用积分第一中值定理得）6. 函数的极值◇极值的第三充分条件：设f在x0某邻域内存在n-1阶导函数，在x0处可导，且f(k)(x0)=0 (k=1,2,...,n-1)，f(n)(x0)≠0，则：(i) 当n为偶数时，f在x0取极值，且当f(n)(x0) ＜0时取极大值，当f(n)(x0) ＞0时取极小值；(ii) 当n为奇数时，f在x0处不取极值（在x0处用n阶泰勒公式（佩亚诺余项）证明，极值第二充分条件可作为其推论）7. 凸函数的性质◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：对I上的任意三点x1＜x2＜x3，总有(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)≤(f(x3)-f(x1))/(x3-x1)≤(f(x3)-f(x2))/(x3-x2)◇充要条件：f’为I上的增函数（用上两条（引理）证）◇充要条件：对I上的任意两点x1、x2，f(x2) ≥ f(x1)+f’(x1)(x2- x1)（用拉格朗日中值定理与上一条定理证）◇Jensen不等式（用数学归纳法证）五、积分1. 不定积分法◇换元积分法（用复合函数求导法验证）◇分部积分法（由乘积求导法推出）2. 可积性理论◇可积必有界◇上和是所有积分和的上确界，下和是所有积分和的下确界◇T’为T添加p个新分点后的分割，则S(T) ≥S(T’) ≥S(T)-(M-m)p||T||，s(T) ≤s(T’) ≤s(T)+(M-m)p||T||◇达布定理：limS(T)=S，lims(T)=s (||T||→0)（用上一条性质证明）◇可积第一充要条件：S=s（用达布定理证明）◇可积第二充要条件（可积准则）：S(T)-s(T) ＜ε，即∑ωΔx＜ε（用可积第一充要条件证明）◇可积第三充要条件：任可正数ε、η，T中ω≥ε的区间总长∑Δx ＜η（用可积第二充要条件证明）◇闭区间上连续函数可积（用可积准则证明）◇闭区间上有限间断点的函数可积（用可积准则证明）◇闭区间上单调函数可积（用可积准则证明）3. 定积分性质◇牛顿—莱布尼茨公式（用拉格朗日中值定理证明）◇线性性质◇f、g可积则fg可积（用可积准则证明）◇积分区间可加性（用可积准则证明）◇保号性推论：积分不等式性◇f可积则|f|也可积，且|∫fdx|＜∫|f|dx（用绝对值不等式与可积准则证明）◇积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）◇推广的积分第一中值定理（用连续函数最大最小值定理和介值性定理证明）◇变限积分在[a,b]上连续（用积分区间可加性和可积必有界证明）◇原函数存在定理（微积分学基本定理）（用积分第一中值定理证明）◇积分第二中值定理（用变限积分连续、连续函数最大最小值定理、介值性定理、积分区间可加性、可积准则证明）推论：[a, b]上f可积，g单调，则存在ξ使∫f(x)g(x)dx=g(a) ∫aξf(x)dx+g(b) ∫ξb f(x)dx◇换元积分法、分部积分法（类似不定积分，由微分法逆得）4. 定积分的应用◇平面图形的面积A=∫|f(x)|dx=∫|y(t)x’(t)|dt◇由平行截面面积求体积V=∫A(x)dx◇平面曲线的弧长s=∫ (x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt（用拉格朗日中值定理证明）◇平面曲线的曲率K=|x’y’’-x’’y’|/(x’2+y’2)^(3/2)（由弧微分推得）◇旋转曲面的面积S=2π∫y(t)(x’2(t)+y’2(t))^(1/2)dt5. 反常积分◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要a, b＞G，|∫a b f(x)dx|＜ε（即柯西准则）◇无穷积分线性性质◇无穷积分区间可加性◇无穷积分收敛的充要条件：任给正数ε，存在G，只要u＞G，|∫u∞f(x)dx|＜ε（由区间可加结合收敛定义证明）◇|f|收敛则f也可积，且|∫a∞fdx|＜∫a∞|f|dx（用柯西收敛准则、定积分绝对值不等式、极限保不等式性证明）◇无穷积分比较法则（用单调有界定理证明）推论：(i) |f(x)| ≤1/xp且p＞1时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii) |f(x)| ≥1/xp且p≤1时，∫a∞|f(x)|dx 发散◇若f和g都在[a,u]上可积，g(x) ＞0，且lim|f(x)|/g(x)=c，则(i)0＜c＜+∞时，∫a∞g(x)dx与∫a∞|f(x)|dx 同敛态；(ii)c=0时，∫a∞g(x)dx 收敛时∫a∞|f(x)|dx必收敛；(iii) ∫a∞g(x)dx发散时∫a∞|f(x)|dx必发散（用比较法则证明）推论：limxp|f(x)|=c，(i)p＞1，0≤c＜+∞时，∫a∞|f(x)|dx 收敛；(ii)p≤1，0＜c≤+∞时，∫a∞|f(x)|dx发散◇狄里克雷判别法（用积分第二中值定理和柯西收敛准则证明）◇阿贝尔判别法（用积分第二中值定理或狄里克雷判别法证明）◇瑕积分收敛柯西准则（类似无穷积分）◇瑕积分线性性质（类似无穷积分）◇瑕积分区间可加性（类似无穷积分）◇瑕积分绝对值不等式（类似无穷积分）◇瑕积分比较法则及推论（类似无穷积分）◇瑕积分比较法则极限形式及推论（类似无穷积分）--------------------------------------------注：1. 该整理是由包晨风根据华东师大数学系编的《数学分析（上册）》完成的2. 斜体字为证明方法提示（并不唯一，只是个人觉得较方便的方法），无斜体字的均可由定义证出3. 该整理不包括任何定义，部分定理的叙述从简，并不严谨4. 该整理的编排顺序与教材不同，除了泰勒公式的积分型余项和柯西型余项，其余定理或性质的证明所需的前置定理均可在前文中找到5. 请大家多指教。

解析数学分析掌握数学分析的基本定理和方法解析数学分析是数学学科中的重要分支，主要研究数学对象的极限、连续性、可微性、可积性等性质。

掌握数学分析的基本定理和方法对于深入理解和应用数学具有重要作用。

本文将从极限、连续性、可微性和可积性等方面来解析数学分析的基本定理和方法。

一、极限的基本定理和方法极限作为数学分析的基本概念，在数学分析中扮演着重要的角色。

我们首先来看极限的基本定理和方法。

1.1 极限的定义极限是数列和函数的基本概念，它描述了数列或函数在某个点或无穷远处的趋势。

在数学分析中，极限的定义是：对于实数数列{an}和数列的收敛性，称常数A是该数列的极限，记作lim(an) = A。

当且仅当对于任意给定的正数ε，总存在自然数N，使得当n > N时，有|an - A| < ε成立。

1.2 常见的极限定理数学分析中常见的极限定理有很多，其中包括极限的四则运算、夹逼准则、单调有界数列的极限等。

这些定理对于求解极限问题非常有帮助，能够简化计算过程，提高解题效率。

1.3 应用举例以求解极限问题为例，我们可以通过极限的基本定理和方法来解决一些常见的数学问题。

如求解函数f(x) = sinx / x在x趋向于0时的极限，可以通过夹逼定理和极限的四则运算得到lim(x→0) sinx / x = 1这一结果。

二、连续性的基本定理和方法连续性是数学分析中研究函数性质的重要概念之一，它描述了函数在某一点附近的无间断性。

接下来我们将介绍连续性的基本定理和方法。

2.1 连续函数的定义数学分析中，连续函数的定义是：对于函数f(x)，如果对于任意给定的实数ε > 0，总存在实数δ > 0，使得对于x满足0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - f(x0)| < ε成立，则称函数f(x)在点x0处连续。

2.2 常见的连续性定理在数学分析中，有一些常见的连续性定理可以帮助我们研究函数的连续性。

数学分析基本定理数学分析是现代数学的一个重要分支，涵盖了许多基本理论和定理。

其中，数学分析的基本定理是数学分析的核心，是一系列重要的定理，对于理解和应用数学分析具有重要意义。

本文将介绍数学分析的基本定理，包括实数完备性定理、最大值最小值定理、洛必达法则以及泰勒展开定理。

一、实数完备性定理实数完备性定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了实数的性质。

实数完备性定理表明，每个非空有上界的实数集合必定存在上确界。

这个定理为数学分析的一些重要结论提供了基础。

证明：假设有一个非空实数集合S，且S有上界。

根据实数的性质，S必定存在上确界。

证毕。

二、最大值最小值定理最大值最小值定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了函数的性质。

最大值最小值定理表明，在一定条件下，函数在闭区间内必定取得最大值和最小值。

证明：假设有一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)。

如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。

证毕。

三、洛必达法则洛必达法则是数学分析中的一个重要定理，它用于求解函数的极限。

洛必达法则表明，在一定条件下，通过对函数分子和分母同时求导，可以简化复杂的极限计算问题。

定理：假设有两个函数f(x)和g(x)，且f(x)和g(x)在某一点a附近连续，且g(x)在该点导数不为0。

如果f(x)和g(x)的极限都存在或者为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。

证明：设f(x)和g(x)满足上述条件，根据洛必达法则，可以通过对f(x)和g(x)同时求导，将极限问题简化为计算f'(x)和g'(x)的极限问题。

根据导数的定义和极限的定义，可以得出结论f'(x)/g'(x)是f(x)/g(x)的极限。

证毕。

四、泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一个重要定理，它用于近似计算复杂函数的值。

泰勒展开定理表明，如果某个函数在某一点附近具有足够多的连续导数，那么该函数可以用一个多项式来近似表示。

数学推理知识点总结一、基本逻辑推理1. 命题与命题联结词命题是陈述语言中能明确判断真假的陈述句。

例如，“2+3=5”是一个命题，“今天是星期一”也是一个命题。

在逻辑推理中，常用的命题联结词有“非”、“与”、“或”、“蕴含”和“双蕴含”等。

2. 命题的真值表真值表是用来显示命题在不同情况下的真值的表格。

例如，对于命题“p∧q”，它的真值表如下所示：p q p∧q真真真真假假假真假假假假3. 命题的充分条件和必要条件充分条件是指如果A发生，则B发生；必要条件是指如果B发生，则A发生。

例如，一个数是偶数是该数能被2整除的充分必要条件。

4. 命题的等价关系两个命题称为等价命题，是指它们有相同的真值。

例如，“p∧q”与“¬(¬p∨¬q)”是等价命题。

5. 命题的简化利用逻辑等式和代入原理，可以简化一些复杂的命题，使得推理过程更加简明和清晰。

二、集合论推理1. 集合的基本概念集合是指由确定的对象组成的整体。

在集合论中，常见的概念有包含关系、相等关系、空集、全集、子集和真子集等。

2. 集合的运算集合的运算包括并集、交集、补集和差集等。

并集指的是两个集合中的全部元素组成的集合，交集指的是两个集合中共同的元素组成的集合，补集指的是一个集合中不属于另一个集合的元素组成的集合，差集指的是一个集合中属于另一个集合的元素被去掉后所得的集合。

3. 集合的分配律、结合律和德摩根定律集合的分配律、结合律和德摩根定律是集合运算中常用的定律，它们可以简化集合运算的过程，提高计算的效率。

4. 集合的应用集合论在数学中有广泛的应用，如代数、数论、几何和概率论等领域，它是数学推理中的重要工具。

三、数论推理1. 整数的性质整数是数论研究的基本对象，它有奇数和偶数、质数和合数、互质数和最大公约数、最小公倍数等基本概念。

2. 整数的算术基本定理整数的算术基本定理是数论中的一个重要定理，它指出任何一个大于1的整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。

定义1 给定两个非负实数 012..,n x a a a a = 012..,ny b b b b =其中00,a b 为非负整数，(),1,2,k k a b k =为整数，若有09,09.k k a b ≤≤≤≤ 则称x 与y 相等，记为x y =.()0011,0,1,2,,,.k k l l a b l a b k l a b x y y x x y y x ++>==>><若或存在非负实数使得而则称大于或小于分别记为或定义2012012..1100,1,2,.nnn n nx a a a a x a a a a x n x x x n n ===+=设为非负实数.称有理数为实数的位不足近似，而有理数称为的位过剩近似，1.R 00.2.b b,b, b.3.b,b c, c.4.b R,b>>0,n n >b.5.a a a a a a a a a R >=<>>>∈实数的一些主要性质实数集对加、减、乘、除（除数不为）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为）仍然是实数实数集是有序的，即任意两个实数、必满足下述三个关系之一：实数的大小关系具有传递性，即若则有实数具有阿基米德性，即对任何、若则存在正整数，使得实数具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o 作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R 与数轴上的点有着一一对应关系.定义3,0,,0.a a a a a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩实数的绝对值定义为从数轴上看，数的绝对值就是到原点的距离.绝对值得一些性质1.0;=00.2..3.;(0).4..5..6.(0).a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b R a b a b a b ab a b a ab b b=-≥=-≤≤<⇔-<<≤⇔-≤≤>∈∈-≤±≤+==≠当且仅当时有对于任何、有如下三角形不等式：定义4区间和邻域(){}[]{}[){}{}{}{}{}(),,,,,,,.,],(,),(,),(,),,0.;,(),(a b x a x b a b x a x b a b x a x b a b R a x x a a x x a a x x a x x R a R x a x a U a U a U δδδδ⎧⎧=<<⎪⎪⎪=≤≤⎪⎨⎪⎪=≤<⎪⎪⎩⎪∈⎧-∞=≤⎨⎪⎪+∞=>⎪⎪⎨⎪-∞=<⎪⎪⎪⎪-∞+∞=-∞<<+∞=⎩⎩∈>-<开区间:，有限区间闭区间：半开半闭区间:区间（无限区间邻域：满足的全体实数的集合称为点的邻域，记作或即有;){|||}(,).(;){|0||}.(;)[,);(;),];(;)(,);(;)(,);(){|||}(){|a x x a a a a U a x x a a U a a a a U a a a a U a a a a U a a a U X x M M U X δδδδδδδδδδδδδδδδδδ+-+-=-<=-+=<-<=+=-=+=-∞∞=>+∞+∞=。

定义1给定两个非负实数^a o.a1.a2n∣aj∣∣, y = b∙ b∙ bll n b∣其中a0,b0为非负整数，a k,b k k=1,2,∣)∣为整数，若有O Ea k 乞 9,0 Eb k乞 9.则称X与y相等，记为X = y.若a0■ b0或存在非负实数丨,使得a k =bk k =0,1,2,∣l（l 而a∣ 1 ■ b∣ 1,则称X大于y或y小于X,分别记为X ∙y或y ：：：x.定义2设X =a0.a1a2∣∣（a n川为非负实数.称有理数X =a°.a1a2∣l（a n为实数X的 n位不足近似，而有理数1称为X的 n位过剩近似，n =0,1,2,11（.实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a = b,a ：： b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4. 实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得 na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点 O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3a a > 0实数a的绝对值定义为a =《a, a一0,[-a, a £ 0.从数轴上看，数a的绝对值a就是a到原点的距离绝对值得一些性质1. a ∣ =|—a ∣ ≥0;当且仅当 a=0时有 a =0.2. — a ≤a ≤ a3. a ∣ch= -h ca c h; a ∣ 兰 h u —h ≤a ≤ h(h >0).4. 对于任何a 、b ∙ R ∙有如下三角形不等式：a —b ≤∣a ±b ≤∣a +∣b .定义5有界的定义 设S 为R 中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x ∙ S,都有X 乞M(X _L),则称S 为有上界(下界)的数集，数 M(L)称 为S 的一个上界(下界)•简记：S Q R, E M >ORx E Sn ∣x ≤M ,称S 有界•5. ab =a b6.(b=0).定义4区间和邻域[ 开区间：(a,b )= {χ a C X cb },有限区间J 闭区间：Ia,b] = {χa 兰x≤b}, 半开半闭区间 :la, b )={χ a ≤ X < b},!U无限区间*(- ：：，a] = ：XXmaf, (a, ：：) =IXX ■ a/ , ,a,b R. (^oCl , +□c ) — { X 亠 VX £^} = R,邻域：a E R,6>0.满足X-a < 6的全体实数X 的集合称为点a 的：邻域，记作U a;、：，或U （a ）,即有U (a√ ) ={x Il X - a 卜：、} = (a -、, a 、).点 a 的空心邻域：U ° （a;「•）={x| 0 ：:：| x - a卜：：}.点 a 的：右邻域：U .（a;-；） [a, a r ）;点a 的「•左邻域：U_（a;-：）（a -",a];点a 的空心「•右邻域：U °.（a;「•）= （a, a ，）;点a 的空心「•左邻域：U j⅛-Q =（a -、：，a ）;：：邻域U （：：） ={X ∣∣x ∣ M},其中M 为充分大正数； b b若数集S既有上界又有下界，则称 S为有界集•若S不是有界集, 则称为无界集•定义6确界的定义1设S R.若数满足：i X三S,有X-,即是S的上界；ii -「：：：，-X0∙S,使得x0八J即又是S的最小上界，则称为数集S的上确界，记作=SUP S.2.设S R.若数■满足：i -x S,有X _■,即■是S的下界;ii - 一：∙, X o ∙S,使得X o ::：二即•又是S的最大下界，则称•为数集S的下确界，记作= inf S定理1设数集S有上确界•i) =SUP S S= =max S.ii) =inf S S = = min S.定理一确界原理设S为非空数集•若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界•定理2设A B为非空数集，满足：对一切X A和y∙ B有x _ y・数集A有上确界，数集B有下确界，且SUPAminf B・推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的)函数的概念定义1给定两个实数集D和M ,若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f :D > M,X y.数集D称为函数f的定义域，X所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (X).全体函数值的集合f (D) J y∣y = f(x),x∙ D“ M) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f,x∙ D1和g,x∙ D2,记D=D I nD2,并设D定义f与g在D上的和、差、积运算如下：F(x) = f(x) g(x),x D,G(X) = f(χ) -g(χ),χ D,H(X) = f(x)g(x),x D.若在D中剔除g(x)=O的X值，即令D =D I rh Xlg (X)= 0,x D2 5 I ,则除法如下L(X)^f(X)/g(x), x D*.初等函数常量函数科=C(C为常数)；幕函数y =x>(>为实数)；指数函数 y =a x(a 0,a -1);对数函数 y=log a x(a ∙0,a=1);三角函数 y = sin X, y = cosx, y = tan x, y = cot x;反三角函数y =arcsinx, y = arccosx, y = arctanx, y = arc cotx.定义2给定实数a ∙0,a = 1设X为我们规定SUPL a r| r为有理数｝,当a ∙1时,a r|r为有理数｝,当0 ：：a ：：： 1时.设E an 护数列，a 为定数.若对任给的正数 関总存在正整数N, 使得当n^^时有则称数列斗葩攵敛于a,定数a 称为 数列R n ｝的极限，并记作Im^nPa,或a nd a （n 若数列B n D 殳有极限，则称定义1'任给s!>0，若在U lE^l 之外数列F aj -中的项至多只有有限个, 则称数列K a I 收敛于极限a.定义2若 Iima n=0,则称I a r l 为无穷小数列.定理2.1数列Ra n 0收敛于a 的充要条件是：R a n -a ｝为无穷小数列. 几个重要的等式（不等式） 1. Sin X Sin X 2•由 4n n( n - 1) n n n 2 n - 1 3. 1n 2n 2n 4.算术平均数5.几何平均数 a6.调和平均数a∣a ∣ 1 n 1 1 a 1 a 2 7. n n 1n 11数列极限 定义1n a 2 a 1 a 2 I a n 竺当a ^H a 吕a n 时，“=” 成立 收敛，或称 ^n 1为发散数列.a收敛数列的性质定义1设i.a n'为数列，In kf为正整数集N +的无限子集，且n1：：： n2 :：：|1| :：：入：：：|）| , 则数列θn1, a n2 JIL a n k J11称为数列Ia nf的一个子列，简记为：a n* 平凡子列：数列订」本身以及去掉有限项后得到的子列• 非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列^a n［与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列⅛n ?收敛的充要条件是：Ia nI的任何非平凡子列都收敛• 定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.函数极限定义1设f为定义在a上的函数，A为定数•若对人给的；0, 存在正数M(A a ,使得当XAM时有f(x)-A]"则称函数f当X趋于时以A为极限，记作Iim f X = A或f x ：—；A x—；.X-Ji-Xl2设函数f在点X)的某个空心邻域J。

数学分析下定义及定理数学分析下定义及定理数学分析&centerdot;下定义及定理第十二章数项级数1、级数的收敛性定义1给定一个数列{un}，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅（1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中un称为数项级数（1）的通项.数项级数（1）也常文学创作:数项级数（1）的前n项之和，记为sn=∑uk=u1+u2+⋅⋅⋅+un，（2）称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和.定义2若数项级数（1）的部分和数列{sn}发散于s（即为数（1）发散，表示s为数项级数（1）的和，记作=s），则称数项级s=u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅或s=∑un.若{sn}是发散数列，则称数项级数（1）发散.定理12.1（级数发散的柯西准则）级数（1）发散的充要条件就是：出任给正数ε，总存有正整数n，使当m>n以及对任一的正整数，都存有um+1+um+2+⋅⋅⋅+um+p定理12.2若级数敛，且都收敛，则对任意常数c,d,级数+dυn)亦交+dυn)=c∑un+d∑υn.定理12.3换成、减少或发生改变级数的非常有限个项并不发生改变级数的收敛性.定理12.4在发散级数的项中任一提括号，即为不发生改变级数的收敛性，也不发生改变级数的和。

正向级数定理12.5正项级数发散的充要条件：部分和数列{sn}存有界，即为存有某个正数m，对一切正整数n有sn定理12.6（比较原则）设立一切n>n都存有，un≤υn，则是两个正项级数，如果存在某个正数n，对也发散；也收敛.（ii）若级数推论设u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅,(3)υ1+υ2+⋅⋅⋅+υn+⋅⋅⋅(4)就是两个正项级数，若（i）若对一切n>n0,成立不等式为正项级数，且存有某正整（ii）若对一切n>n0,成立不等式推断1（比式辨别法的音速形式）若为正项级数，且（ii）当q>1或q=+∞时，级数推断2设=q>1，则级数发散.un定理12.8（柯西辨别法，或表示根式辨别法）设立常数l，（i）若对一切n>n0,成立不等式为正项级数，且存有某正数n0及（ii）若对一切n>n0,成立不等式推断1（根式辨别法的音速形式）设立为正项级数，且发散；收敛.（ii）当l>1时，级数为正项级数，且（i）l1时级数发散.定理12.9设f为[1,+∞)上的非负减函数，那么正项级数同时发散或同时收敛.定理12.10（拉贝判别法）设（i）若对一切n>∑f(n)与反常分数⎰f(x)dx为正项级数，且存在某正整数⎰un+1⎰n1-u⎰⎰≥r>1,（ii）若对一切n>n1-u⎰⎰≤1,推论（拉贝判别法的极限形式）设为正项级数，且音速⎰un+1⎰n1-u⎰⎰=r（i）当r>1时，级数收敛；发散.2、通常项数级数定理12.11（莱布尼茨判别法）若交错级数u1-u2+u3-u4+⋅⋅⋅+(-1)un+⋅⋅⋅(un>0,n=1,2,⋅⋅⋅),（1）满足用户下列两个条件：（i）数列{un}单调递减；（ii）则级数（1）发散.推论若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为rn≤un+1.定理12.12绝对收敛的级数一定收敛.定理12.13设级数u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅绝对发散，且其和等同于s，则任一轻排序后所获得的级数也绝对发散亦存有相同的和数.级数的乘积建有发散级数=u1+u2+⋅⋅⋅+un+⋅⋅⋅=a,(2)=v1+v2+⋅⋅⋅+vn+⋅⋅⋅=b,把级数（2）与（3）中的每一项所有可能将的乘积highcut下表中：这些乘积uivj可以按各种方法排成不同的级数.定理12.4（柯西定理）若级数（2）（3）都绝对发散，则对（4）中的所有乘积uivj 按任一顺序排列税金的级数也绝对收敛，且其和等于ab.定理（分部议和公式，也表示阿贝耳转换）设立εi,vi(i=1,2,⋅⋅⋅,n)为两组实数，若令σk=v1+v2+⋅⋅⋅+vk(k=1,2,⋅⋅⋅,n),则有如下分部求和公式成立：-ε2)σ1+(ε2-ε3)σ2+⋅⋅⋅+(εn-11-εn)σn-1+εnσn.推论（阿贝耳引理）若（i）ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn就是单调数组；（ii）对任一正整数k(1≤k≤n)有σk≤a(这里σk=v1+⋅⋅⋅+vk)，则记ε=maxεk时，存有∑εkvk≤3εa.定理12.5（阿贝耳判别法）若{an}为单调有界数列，且级数则级数=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn+⋅⋅⋅（5）发散.定理12.6（狄利克雷判别法）若数列{an}单调递减，且和数列有界，则级数（5）收敛.第十三章函数列于与函数项级数1、第十四章幂级数第十五章傅里叶级数第十六章多元函数的音速与已连续第十七章多元函数微分学第十八章隐函数定理及其应用领域第十九章不含参量分数第二十章曲线分数第二十一章轻分数第二十二章曲面分数第二十三章流形体上微积分初阶段=0,又级数∑bn的部分。

高中数学知识点、公式、定理、推理大全1、集合1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用.2. 集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 3、集合的性质：①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ⊆； ②空集是任何集合的子集，记为A ⊆φ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ⊆，同时A B ⊆，那么A = B. 如果C A C B B A ⊆⊆⊆，那么，.[注]：①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×） （例：S=N ； A=+N ，则C s A= {0}） ③ 空集的补集是全集.④若集合A =集合B ，则C B A = ∅， C A B = ∅ C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ∅）. 4. ①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R}二、四象限的点集.③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R } 一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集.②点集与数集的交集是φ. （例：A ={(x ，y )| y =x +1} B={y |y =x 2+1} 则A ∩B =∅） 5. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n 个元素的真子集有2n －1个. ③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 6集合运算：交、并、补.{|,}{|}{,}A B x x A x B A B x x A x B A x U x A ⇔∈∈⇔∈∈⇔∈∉U 交：且并：或补：且C 7主要性质和运算律 （1） 包含关系,,,,,;,;,.U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B ⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆⇒⊆⊆⊆⊇⊇C（2） 等价关系：U A B A B A A B B AB U ⊆⇔=⇔=⇔=C （3） 集合的运算律：交换律：.;A B B A A B B A ==结合律:)()();()(C B A C B A C B A C B A ==分配律:.)()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A == 其它：,,,A A A UA A UA U Φ=ΦΦ===.,A A A A A A ==A ∩C U A =φ A ∪C U A =U C U (A ∩B)= (C U A )∪(C UB )C U (A ∪B)= (C U A )∩(C U B )2、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1、一元一次不等式0>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象一元二次方程()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x <有两相等实根ab x x 221-== 无实根的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R 的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x <<∅∅2.分式不等式的解法 （1）标准化：移项通分化为)()(x g x f >0(或)()(x g x f <0)；)()(x g x f ≥0(或)()(x g x f ≤0)的形式，（2）转化为整式不等式（组）⎩⎨⎧≠≥⇔≥>⇔>0)(0)()(0)()(;0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x f x g x f 3.含绝对值不等式的解法（1）公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. （2）定义法：用“零点分区间法”分类讨论.（3）几何法：根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互4.一元二次方程根的分布一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) （1）根的“零分布”：根据判别式和韦达定理分析列式解之. （2）根的“非零分布”：作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. 3、简易逻辑1、命题的定义：可以判断真假的语句叫做命题。

140条初中数学常用几何定义、性质和判定定理、推论还有公
式
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