高数一第一章复习题

高等数学第一章练习题一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在区间(-∞, +∞)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 不存在3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = x + 14. 若函数f(x)在x=a处连续，则：A. f(a) = 0B. f(a) = f'(a)C. lim(x→a) f(x) = f(a)D. f'(a) = 05. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数为：A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3C. 3x^2 + 3D. x^3 - 3x^26. 曲线y = x^2在点(1, 1)处的切线斜率为：A. 0B. 1C. 2D. 47. 以下哪个选项是二阶导数？A. f'(x)B. f''(x)C. f'''(x)D. f(x)8. 函数f(x) = e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = x^210. 函数f(x) = ln(x)的定义域为：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的极值点为______。

2. 极限lim(x→∞) (x^2 - 3x)/(x^3 + 2x)的值为______。

3. 若函数f(x)在x=a处有极值，则f'(a) = ______。

4. 曲线y = x^3 - 3x^2 + 2x在点(1, 0)处的切线方程为y = ______。

第一章参考答案习题1-1（P9）1、（1）]5,2(；（2）]2,2[-；（3）]34,32[；（4）),1()3,(+∞-⋃--∞；2、（1）不同，定义域不同；（2）相同；（3）不同，定义域不同；（4）不同，定义域不同；3、（1）}1,2{±≠-≥x x x 且；（2）Ｒ；（3）Ｒ；（4）]3,1[-；（5）),1(+∞-；（6）R ；4、x x x f x xx f x x x f f f -=++-=++=-==222)1(,231)1(,23)(,0)1(,2)0(； 5、⎩⎨⎧>≤=--=-==1,41,)1(,1)2(,4)2(,1)0(x x x x f f f f ；6、（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）偶函数；7、略； 8、32π； |9、（1）31-=x y ；（2）11-+=x x y ；（3）21-=-x e y ；（4）yyy -=12log ；10、（1）x y 3sin =；（2）13-≤≤-u ，不能构成复合函数；（3）x y 2cos 2+=；11、（1）x u u y tan ,2==；（2）2,,x v v e u e y u =-==； （3）x v v u u y sin ,,arcsin ===；（4）2,1,1,ln 3x t t v v u u y =+=+==；12、略；13、⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g ；习题1-2（P13） （1）0；（2）0；（3）2；（4）∞；（5）0；（6）2； 习题1-3（P17） .1、（1）0；（2）8；（3）4-；（4）21；（5）0；（6）∞； 2、解：)(lim )(lim ,7)12(lim )(lim ,3lim )(lim 333333x f x f x x f x x f x x x x x x +-++--→→→→→→≠=+===显然所以)(lim 3x f x →不存在3、证明：)(lim )(lim ,1lim lim ,1lim lim 00000x f x f x xx x xx xx x x x x x x +-++--→→→→→→≠==-=-=显然所以xx x 0lim→不存在习题1-4（P19）（1）9；（2）0；（3）2；（4）0；（5）49；（6）6；（7）2；（8）21；（9）x 2；（10）3； （11）32；（12）31；（13）0；（14）2-；（15）322；（16）2；（17）41；（18）6；'习题1-5（P24）1、（1）3；（2）25；（3）34；（4）0；（5）2；（6）1； （7）x x x x x n nn n n n =⋅=∞→∞→22sin lim2sin 2lim ； （8）xx x x xx xx x x x x x 203030sin cos cos 1lim sin sin cos sin lim sin sin tan lim ⋅-=-=-→→→ 21sin cos )2()2(2sin 2lim sin cos 2sin 2lim 2222220220=⋅⋅⋅⋅=⋅=→→xxx x x x x x x x x x ；2、（1）e 1；（2）4e ；（3）e1；（4）21221)21()21(lim )21(lim 1)121(lim e tt t x t x tt t t x x =+⋅+=++=++-⋅∞→-∞→∞→令 21221)121()121(lim )121(lim e xxx xx x x =++⋅++=++-⋅+∞→∞→； （5）2-e ；（6）e1；《习题1-6（P28）1、（1）无穷大；（2）无穷小；（3）无穷小；（4）无穷大；2、当1→x 时函数无穷大，当∞→x 时函数无穷小；3、（1）0；（2）0；4、2322x x x x --是比高阶的无穷小； 5、（1）同阶；（2）同阶；（3）等价；6、（1）原式⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→mn m n mn x x m nx ,,1,0lim 0；（2）原式44lim 220==→x x x ；（3）原式2323lim 0-=-=→x x x ；习题1-7（P33） 1、（1）1=x ，跳跃间断点；（2）2-=x ，无穷间断点；（3）0=x ，可去间断点； 、（4）1=x 可去间断点，3=x ，无穷间断点； 2、不连续；3、连续区间：),2()2,3()3,(+∞⋃-⋃--∞，21)(lim 0=→x f x ，58)(lim 3-=-→x f x ，∞=→)(lim 2x f x 4、函数在定义域]2,0[内连续；5、（1）2221e e +-；（2）22sin lim cos 2cos sin 2lim )cos(22sin lim 444-=-=-=-→→→x x x x x x x x x ππππ； 6、证明：设x e x f x3)(-=，显然)(x f 在]1,0[上连续因为0)3)(01()1()0(<--=⋅e f f ，由零点存在定理知，至少存在一点)1,0(0∈x ，使0)(0=x f ，即0300=-x e x所以方程x e x3=在区间)1,0(内至少有一个实根。

高等数学复习第一章第一篇：高等数学复习第一章高等数学复习第一章一，函数的概念与性质1函数定义有两个要素；○2构成复合函数的条件；○3初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成，○且能用一个解析式子来表示的函数；4函数的奇偶性，周期性，有界性，单调性。

○二，极限1，数列和函数极限的定义2，极限的性质：唯一性，有界性，保号性；3，极限四则运算法则；4，复合函数极限运算；5，极限存在准则：（1）单调有界准则：单调有界的数列必有极限（2）夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某点的极限相等都为A，则f(x)在那点的极限也为A。

（证明题中最常用）三，无穷小与无穷大1，把极限为零的量称为无穷小（0当然也就是最小的无穷小了），绝对值无限大的变量称为无穷大（正无穷和负无穷）；2，无穷小的比较：看两者之商的极限。

3，无穷小的重要性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小（xsinx-1为x趋于0的无穷小），有限个无穷小的积，差，和仍然为无穷小（无穷的不一定，x个x-1就是常数1呢）；4，常见的等价无穷小：x~sinx~tanx~ln(x+1)~ex-1 ax-1~xlna(1+x)n~1+nx.四，函数的连续性1，函数在某点左极限等于右极限，且等于该点函数值，则函数在此点连续； 2，间断点的分类：第一类间断点：函数在某点的左右极限都存在可去间断点：左右极限相等为A，但是该点的函数值不为A跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点：某点左右极限至少有一个不存在无穷间断点：某点左或者右极限为无穷大的时候，此点为无穷间断点振荡间断点：函数在某点左右极限都不存在，但又不是无穷大的时候，此点为振荡间断点。

（比如sinx-1在x=0处）3，介值定理和零点定理。

（用于证明根的存在性问题，相当有用）总结人：自1103程顺均2011年12月12日星期一第二篇：高等数学复习高等数学2考试知识点总题型：填空（10空），选择题（5个），计算题（A-9,B-8），证明题（2个）第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程；计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程；第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件；计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值；证明题型：证明与偏导数有关的等式；第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序；计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算（球面坐标结合高斯公式），曲顶柱体的体积；第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分；计算题型：曲线型构建的质量（已知线密度，且曲线为圆弧），对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式（积分区域为球的三重积分），全微分求积（求原函数）第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数；计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开（分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围）；证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的；第三篇：高等数学复习教程高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质 2.极限3.连续二、题型与解法 A.极限的求法函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.（等价小量与洛必达）2.已知解：（洛必达）3.（重要极限）4.已知a、b为正常数，解：令（变量替换）5.解：令（变量替换）6.设连续，求（洛必达与微积分性质）7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念）三、补充习题（作业）1.（洛必达）2.（洛必达或Taylor）3.（洛必达与微积分性质）第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分2.微分中值定理3.应用二、题型与解法 A.导数微分的计算B.曲线切法线问题C.导数应用问题D.幂级数展开问题导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导）会求平面曲线的切线与法线方程理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理会用定理证明相关问题会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图会计算曲率（半径）基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.决定，求 2.决定，求解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则4.求对数螺线处切线的直角坐标方程。

高数第一章考试例题答案解析在学习高等数学时，一章考试是一个重要的环节。

在这里，我们将介绍一些常见的高等数学第一章考试例题及其答案解析，从而帮助广大学子更好地学习、运用和修正高等数学知识。

1.题：在平面直角坐标系中，若设$frac{dx}{dt}=6$,$frac{dy}{dt}=4$,并$x_0=2$,$y_0=0$，求点$(x,y)$的位置。

答案：其中$frac{dx}{dt}=6$表示$x$在$t$的变化率为$6$，而$frac{dy}{dt}=4$表示$y$在$t$的变化率为$4$，根据提供的条件，当$t=0$时，$x_0=2$，$y_0=0$。

因此，当$t$变化时，可得$x=2+6t$，$y=0+4t$。

设$t=k$，则$x=2+6k$,$y=4k$，所以点$(x,y)$的位置为$(2+6k,4k)$。

2.题：求函数$y=x^2+2x-3$关于$x$的一阶导数。

答案：设函数$y=x^2+2x-3$，其关于$x$的一阶导数为$frac{dy}{dx}$，根据微分法则，有$frac{dy}{dx}=2x+2$。

3.题：已知$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值答案：设函数$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值，其一阶导数为$f(x)=4x-7$，求$f(x)$的零点为$x=frac{7}{4}$，此时函数$f(x)$取得极值，由$f(x)=2x^2-7x+6$，算得极值为$f(frac{7}{4})=frac{25}{8}$。

4.题：已知函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域。

答案：设函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域，由于分母$sin{x}$不能为零，因此$f(x)$的定义域为$ {cos{x}eq -3sin{x}}$。

从上述例题分析可知，高等数学中各章考试例题的答案解析有着非常清晰的规律性和解题思路，如果可以找到正确的解题方法，就可以轻松解答大部分考试例题。