【名师导学】2020届高三数学一轮总复习同步测试卷文科数学(五)

考 点 集 训 【p 177】A 组1.a 3a ·5a 4 (a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710【解析】原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710. 故选D.【答案】D2．若f (x )＝()1－2x －34有意义，则x 的取值范围是( )A ．x ∈RB ．x ≠12C ．x ≤12D ．x <12【解析】因为(1－2x )－34＝14（1－2x ）3，所以1－2x >0即x <12，故应选D. 【答案】D3．函数y ＝a x －a (a ＞0，a ≠1)的图象可能是( )【解析】由于当x ＝1时，y ＝0，即函数y ＝a x －a 的图象过点(1，0)，故排除A 、B 、D.故选C.【答案】C4．设y 1＝0.90.2，y 2＝0.90.48，y 3＝1.20.1，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】由于y ＝0.9x 单调递减，且0.2＜0.48，所以0.90.2＞0.90.48，即y 1＞y 2, 又易知1.20.1＞1＞0.90.2，所以y 3＞y 1＞y 2，故选A.【答案】A5．若函数f ()x ＝ax 2－2x ＋1在()1，3上是减函数，则关于x 的不等式a x >1的解集为( )A.{}x |x >1 B ．{x |x <1}C.{}x |x >0 D ．{x |x <0}【解析】因为f ()x ＝ax 2－2x ＋1在()1，3上是减函数，且t ＝x 2－2x ＋1在()1，3上是增函数，所以函数y ＝a t 在()－∞，＋∞上是减函数，所以0<a <1.由a x >1得x <0，选D.【答案】D6．函数f (x )＝3x 2＋1的值域为__________．【解析】∵x 2＋1≥1，∴3x 2＋1≥31＝3，∴f (x )≥3.∴函数f (x )的值域为[3，＋∞)．【答案】[3，＋∞)7．函数f (x )＝a x (0<a <1)在[1，2]中的最大值比最小值大a 2，则a 的值为__________． 【解析】∵0<a <1，∴函数f (x )＝a x 在区间[1，2]上单调递减，所以f (x )max ＝a ，f (x )min ＝a 2，由题意得a －a 2＝a 2，又0<a <1，故a ＝12. 【答案】128．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13g （x ）的值域为(0，＋∞)．应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0.(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )故f (x )的值域为(0，＋∞)时，a 的值为0.B 组1．某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，这样细胞分裂x 次后，得到细胞总数y 与x 的函数关系是( )A ．y ＝2x ＋1－1(x ∈N *)B ．y ＝2x (x ∈N *)C ．y ＝2x －1(x ∈N *)D ．y ＝2x ＋1(x ∈N *)【解析】由于1个细胞分裂成2个，2个分裂成4个，经过x 次后应分裂为2x 个，故函数关系为y ＝2x ，x ∈N *，故选B.2．已知函数f (x )＝a x ，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2【解析】因为以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，所以x 1＋x 2＝0. 因为f (x )＝a x ，所以f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1.【答案】A3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在x ∈[－3，2]上的值域是( )A.⎣⎡⎭⎫34，57 B ．[1，2]C.⎣⎡⎦⎤34，57 D ．[1，2)【解析】因为x ∈[－3，2]，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤14，8， 则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， 当t ＝12时，y min ＝34； 当t ＝8时，y max ＝57.所以所求函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.【答案】C4．当x ∈[1，2]时，函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎦⎤14，2 D.⎣⎡⎦⎤14，2 【解析】当a ＝1时，满足题意；当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12·22≥a 2，即1<a ≤2； 当0<a <1时，如图②所示，需满足12·12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷理科数学(十一) 【p 305】(推理证明及数学归纳法)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行．则正确的结论是( )A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【解析】由平面中线的性质，可类比空间中面的性质，即为②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行．①在空间中易得反例(可相交)，④反例为(相交)．【答案】C2．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”补充以上推理的大前提( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形【解析】用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由“四边形ABCD 为矩形”，得到“四边形ABCD 的对角线相等”的结论，∴大前提一定是“矩形的对角线相等．”【答案】B3．用反证法证明命题“若x ，y>0，且x ＋y>2，则1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2”时，假设的内容应该是( )A ．假设1＋x y ，1＋y x都小于2 B ．假设1＋x y ，1＋y x都大于2 C ．假设1＋x y ，1＋y x都大于或等于2 D ．以上都不对【解析】由于“1＋x y ， 1＋y x 中至少有一个小于2 ”的反面是： “1＋x y ， 1＋y x都大于或等于2 ”，故用反证法证明命题： “若x>0，y>0 且x ＋y>2，则1＋x y ， 1＋y x中至少有一个小于2”时，应假设1＋x y ， 1＋y x 都大于或等于2，故答案为1＋x y 和1＋y x都大于或等于2.【答案】C4．数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n)＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)成立时，从n ＝k 到n ＝k ＋1右边需增加的乘积因式是( )A ．2(2k ＋1) B.2k ＋1k ＋1C ．2k ＋1 D.2k ＋3k ＋1【解析】当n ＝k 时，左边＝2k ×1×3×…×(2k －1)，当n ＝k ＋1时，左边＝2k ＋1×1×3×…×(2k －1)×[2(k ＋1)－1]＝2k ＋1×1×3×…×(2k －1)×(2k ＋1)．【答案】A5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( ) A.1（n －1）（n ＋1） B.12n （2n ＋1）C.1（2n －1）（2n ＋1）D.1（2n ＋1）（2n ＋2）【解析】由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n ，求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1（2n －1）（2n ＋1）. 【答案】C6．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起(有一轴穿过它们的圆心)，两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x 1，x 2，x 3，x 4，大圆盘上所写的实数分别记为y 1，y 2，y 3，y 4，如图所示．将小圆盘逆时针旋转i (i ＝1，2，3，4)次，每次转动90°，记T i (i ＝1，2，3，4)为转动i 次后各区域内两数乘积之和，例如T 1＝x 1y 2＋x 2y 3＋x 3y 4＋x 4y 1. 若x 1＋x 2＋x 3＋x 4<0, y 1＋y 2＋y 3＋y 4<0，则以下结论正确的是( )A ．T 1，T 2，T 3，T 4中至少有一个为正数B ．T 1，T 2，T 3，T 4中至少有一个为负数C ．T 1，T 2，T 3，T 4中至多有一个为正数D ．T 1，T 2，T 3，T 4中至多有一个为负数 【解析】根据题意可知：(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)>0，又(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)去掉括号即得：(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)(y 1＋y 2＋y 3＋y 4)＝T 1＋T 2＋T 3＋T 4>0，所以可知T 1，T 2，T 3，T 4中至少有一个为正数．【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．)7．给出下列演绎推理：“整数是有理数，________，所以－3是有理数．”如果这个推理是正确的，则其中横线部分应填写________．【解析】由演绎推理三段论可知，整数是有理数，－3是整数，所以－3是有理数．【答案】－3是整数8．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 边的边长为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 边的距离记为h i (i ＝1，2，3，4)，若a 11＝a 23＝a 35＝a 47＝k ，则h 1＋3h 2＋5h 3＋7h 4＝2S k.类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 23＝S 35＝S 47＝k ，H 1＋3H 2＋5H 3＋7H 4＝____________．【解析】因为平面上的边长与空间中的面积、平面上的面积与空间中的体积可以对应并进行类比，所以运用类比推理的思维方式可得：H 1＋3H 2＋5H 3＋7H 4＝3V k. 【答案】3V k9．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．【解析】由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．【答案】1和310．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是____________ .【解析】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第2 015行公差为22 014，故第1行的第一个数为：2×2－1，第2行的第一个数为： 3×20，第3行的第一个数为： 4×21，…第n 行的第一个数为： (n ＋1)×2n －2，表中最后一行仅有一个数，则这个数是2 018×22 015.【答案】2 018×22 015三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(16分)(1)已知x ∈R ，a ＝x 2－1，b ＝2x ＋2.求证： a 、b 中至少有一个不小于0.(2)已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 【解析】(1)假设 a <0且b <0，由a ＝x 2－1<0得－1<x <1，由b ＝2x ＋2<0得x <－1，这与－1<x <1矛盾，所以假设错误，所以a 、b 中至少有一个不小于0.(2)因为m >0，所以1＋m >0， 所以要证⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m ， 即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 12．(16分)是否存在常数a ，b ，c 使等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2＝n （n ＋1）12(an 2＋bn ＋c )对一切正整数n 都成立？若存在，用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由．【解析】把n ＝1，2，3代入得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝24，4a ＋2b ＋c ＝44，9a ＋3b ＋c ＝70，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝11，c ＝10，猜想：等式1·22＋2·33＋…＋n (n ＋1)2＝n （n ＋1）12(3n 2＋11n ＋10)对一切n ∈N *都成立． 下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，由上面的探求可知等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＝k （k ＋1）12(3k 2＋11k ＋10)，当n ＝k ＋1时，1·22＋2·32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k （k ＋1）12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k （k ＋1）12(3k ＋5)(k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝（k ＋1）（k ＋2）12[k (3k ＋5)＋12(k ＋2)] ＝（k ＋1）（k ＋2）12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10] 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，∴由(1)(2)知猜想成立，即存在a ＝3，b ＝11，c ＝10使命题成立．13．(18分)已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝13a 3n ＋23a n ，n ∈N *. (1)求证：12·⎝⎛⎭⎫23n －1≤a n ≤12·⎝⎛⎭⎫34n －1，n ∈N *； (2)求证：当n ∈N *时，1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n ≥a 2a 1＋a 3a 2＋a 4a 3＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1112n . 【解析】(1)∵a n ＋1a n ＝13a 4n ＋23a 2n且a 1>0，∴a n >0. ∵a n ＋1－1＝13a 3n ＋23a n －1＝13(a n －1)(a 2n ＋a n ＋3)， 又a 2n ＋a n ＋3>0，∴a n ＋1－1与a n －1同号．∵a 1－1<0，∴a n <1.∴a n ＋1－a n ＝13a n (a 2n －1)≤0，则0<a n ＋1≤a n ≤a 1＝12. ∴a n ＋1a n ＝13a 2n ＋23∈⎝⎛⎦⎤23，34. 当n ≥2时，a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1≤12·⎝⎛⎭⎫34n －1， 且a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1>12·⎝⎛⎭⎫23n －1， 又12×⎝⎛⎭⎫230≤a n ≤12×⎝⎛⎭⎫340， ∴12×⎝⎛⎭⎫23n －1≤a n ≤12×⎝⎛⎭⎫34n －1，n ∈N *. (2)∵1－a n ＋11－a n －a n ＋1a n ＝a n －a n ＋1a n （1－a n ）＝13(1＋a n )， 又a n ＋1＋1＝13(a 3n ＋2a n ＋3)＝13(a n ＋1)(a 2n －a n ＋3)， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝13(a 2n －a n ＋3)≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫122－12＋3＝1112. 当n ≥2时，a n ＋1＝(a 1＋1)·a 2＋1a 1＋1·a 3＋1a 2＋1·…·a n ＋1a n －1＋1≥32·⎝⎛⎭⎫1112n －1. 又a 1＋1＝32·⎝⎛⎭⎫11121－1，∴13(a n ＋1)≥12·⎝⎛⎭⎫1112n －1.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n －⎝⎛⎭⎫a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n ＝13[(a 1＋1)＋(a 2＋1)＋…＋(a n ＋1)] ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1112＋…＋⎝⎛⎭⎫1112n －1＝12·1－⎝⎛⎭⎫1112n 1－1112＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1112n . ∴1－a 21－a 1＋1－a 31－a 2＋1－a 41－a 3＋…＋1－a n ＋11－a n≥a 2a 1＋a 3a 2＋…＋a n ＋1a n ＋6⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫1112n .。

课时规范练A 组 基础对点练1．(2018·合肥质检)已知圆C ：(x －6)2＋(y ＋8)2＝4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为( C ) A ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝100 B ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝100 C ．(x －3)2＋(y ＋4)2＝25 D ．(x ＋3)2＋(y －4)2＝252．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( A ) A ．k <－35或k >35 B.－35<k <35 C ．－34<k <34D.k <－34或k >343．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝14．已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2by ＋b 2＝0(a >0，b >0)关于直线x －y －1＝0对称，则ab 的最大值是( B ) A.12 B.18 C.14D.245．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝9__.6．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是__(－2，－4)__，半径是__5__.7．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为__x 2＋(y －1)2＝1__.8．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是__x ＋y －3＝0__.9．在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎨⎧36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.10．(2018·广州测试)已知定点M (1,0)和N (2,0)，动点P 满足|PN |＝2|PM |. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若A ，B 为(1)中轨迹C 上两个不同的点，O 为坐标原点．设直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为k 1，k 2，k .当k 1k 2＝3时，求k 的取值范围． 解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )， 因为M (1,0)，N (2,0)，|PN |＝2|PM |， 所以(x －2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 整理得x 2＋y 2＝2.所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b .由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝2，y ＝kx ＋b消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2bkx ＋b 2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk )2－4(1＋k 2)(b 2－2)>0，得b 2<2＋2k 2.① 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－2bk1＋k 2，x 1x 2＝b 2－21＋k 2.②由k 1·k 2＝y 1x 1·y 2x 2＝kx 1＋b x 1·kx 2＋bx 2＝3，得(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝3x 1x 2，即(k 2－3)x 1x 2＋bk (x 1＋x 2)＋b 2＝0.③ 将②代入③，整理得b 2＝3－k 2.④由④得b 2＝3－k 2≥0，解得－3≤k ≤ 3.⑤ 由①和④，解得k <－33或k >33.⑥ 要使k 1，k 2，k 有意义，则x 1≠0，x 2≠0，所以0不是方程(*)的根，所以b 2－2≠0，即k ≠1且k ≠－1.⑦由⑤⑥⑦，得k 的取值范围为[－3，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3]．B 组 能力提升练1．(2018·贵阳监测)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( D ) A ．π B.2π C ．3πD.4π解析：法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎨⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二 根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.2．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( A ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B.x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D.x 2＋(y ＋3)2＝3解析：依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1，故选A.3．方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( D ) A ．一个椭圆B.一个圆C ．两个圆 D.两个半圆解析：由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，故选D.4．已知圆M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且⊙M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则圆M 的方程是( A ) A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝0解析：抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，设圆心M 的坐标为(x 0，y 0)(y 0>0)，则|x 0|＝y 0＋1，又x 20＝4y 0，所以联立⎩⎨⎧|x 0|＝y 0＋1，x 20＝4y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝±2，y 0＝1，因此圆M 的方程为(x ±2)2＋(y －1)2＝22，展开整理得x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0，故选A.5．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37 解析：如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455>1，OA ＝(－2)2＋32＝13，OB ＝(－2)2＋(－1)2＝5，OC ＝62＋(－1)2＝37，∴以原点为圆心的圆若与△ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)， ∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.6．一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 .解析：由题意知，圆过椭圆的三个顶点(4,0)，(0,2)，(0，－2)，设圆心为(a,0)，其中a >0，由4－a ＝a 2＋4，解得a ＝32，所以该圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.7．已知平面区域⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为__(x －2)2＋(y －1)2＝5__.解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__(x －2)2＋(y －1)2＝1__.解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.9．直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 内切圆的方程为__(x －1)2＋(y －1)2＝1__.解析：由题意设△OAB 的内切圆的圆心为M (m ，m )，则半径为|m |. 直线l 的方程x 4＋y3＝1可化为3x ＋4y －12＝0，由题意可得|3m ＋4m －12|32＋42＝m ，解得m ＝1或m ＝6(不符合题意，舍去)．∴△OAB 内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.10．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 ； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 －2－1 .解析：(1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC (图略)，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B (0，2＋1)， 所以直线BC 的斜率为k ＝(2＋1)－20－1＝－1.由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1.令y ＝0得，x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若点P 到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上， 从而得⎩⎨⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎨⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎨⎧x 0＝0，y 0＝1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.∴圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.12．(2018·重庆六校联考)已知定点Q (3，0)，P 为圆N ：(x ＋3)2＋y 2＝24上任意一点，线段QP 的垂直平分线交NP 于点M .(1)当P 点在圆周上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝0(O 为坐标原点)，证明直线l 与某个定圆相切，并求出定圆的方程．解析：(1)连接MQ ，依题意可得圆N 的圆心N (－3，0)，半径为26，|MP |＝|MQ |， 则|MN |＋|MQ |＝|MN |＋|MP |＝|NP |＝26>23＝|NQ |，根据椭圆的定义，得点M 的轨迹是以N ，Q 为焦点，长轴的长为26的椭圆， 即2a ＝26，2c ＝23，所以b ＝a 2－c 2＝ 3. 所以点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与椭圆的方程⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝6，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， 由Δ＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－6)>0，得m 2<6k 2＋3.①由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－6k 21＋2k 2.因为OA →·OB →＝0，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即2m 2－61＋2k 2＋m 2－6k 21＋2k 2＝0，整理得m 2＝2k 2＋2，满足①式， 所以|m |k 2＋1＝2，即原点到直线的距离为2， 所以直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切． 当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝t (－6<t <6)， 不妨设A ⎝⎛⎭⎪⎫t ，6－t 22，B ⎝⎛⎭⎪⎫t ，－6－t 22. 因为OA →·OB →＝0，所以t 2－3＋t 22＝0⇒t ＝±2.此时直线l 的方程为x ＝±2，显然也与圆x 2＋y 2＝2相切． 综上，直线l 与定圆相切，且定圆的方程为x 2＋y 2＝2.。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(三)　【p 257】(基本初等函数)时间：60分钟　总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．设a ＝lg 0.2，b ＝log 32，c ＝5，则( )12A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a【解析】a ＝lg 0.2<lg 1＝0, 0＝log 31<b ＝log 32<log 33＝1, c ＝5>50＝1，则a<b<c ，故选A .12【答案】A 2．函数y ＝(x ∈[－π，0)∪(0，π])的图象大致是( )sin xx【解析】根据题意，由于函数y ＝(x ∈[－π，0)∪(0，π])，变量不能为零，且为偶sin xx函数，排除B ，C ；对于A ，D ，则根据当x ＝π时，函数值为零，故选A .【答案】A 3．函数f(x)＝ 的最大值是( )11－x (1－x )A .B .4554C .D .3443【解析】因为f ＝＝(x )11－x (1－x )1x 2－x ＋1＝≤＝，1(x －12)2 ＋3413443所以f 的最大值是.故选D .(x )43【答案】D4．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x >0时，f (x )＝若f (－{ax ＋log 5x ，x >4，x 2＋2x ＋3，0<x ≤ 4.)5)<f (2)，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．(－2，＋∞)D ．(2，＋∞)【解析】因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－5)＝f (5)＝5a ＋log 55＝1＋5a ，则不等式f (－5)<f (2)可化为f (5)<f (2)，又f (2)＝4＋4＋3＝11，所以由5a ＋1<11可得a <2，应选答案B.【答案】B5．设f (x )＝若f (a )＝f (a ＋1)，则f ＝( ){x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1，)(1a－1)A ．8B ．6C ．4D ．2【解析】由题意，当a ∈(0，1]时，f (x )＝{x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1，)若f (a )＝f (a ＋1)，可得＝2a ，解得a ＝，a 14则f ＝f (3)＝2×(3－1)＝4；(1a－1)当a ∈[1，＋∞)时，f (x )＝{x ，0＜x ＜1，2（x －1），x ≥1，)若f (a )＝f (a ＋1)，可得2(a －1)＝2a ，显然无解，综上可得f ＝4，故选C.(1a－1)【答案】C6．若偶函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则y ＝f (x )的图象与y ＝log 4|x |的图象的交点个数是( )A ．3B ．4C ．8D ．6【解析】由题意，因为f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[0，1]时f (x )＝x ，可得函数f (x )是以2为周期的偶函数，且函数y ＝log 4|x |也是偶函数，所以函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 4|x |的图象的交点个数，只需考虑x ＞0的情况即可，在同一坐标系内做出当x ＞0时，两个函数的图象，如图所示，可得当x ＞0时，函数y ＝f (x )与函数y ＝log 4|x |的图象有三个交点，所以函数y ＝f (x )与函数y ＝log 4|x |交点的个数为6，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．)7．函数y ＝的定义域为______________．1log 2（x －2）【解析】由x －2＞0且log 2(x －2)≠0得x ＞2且x ≠3.【答案】(2，3)∪(3，＋∞)8．已知f (x )＝则f [f (－2)]＝{x 2，x ≥0，－log 2(－x )＋3，x <0，)________________________________________________________________________.【解析】由题意得f ＝－log 22＋3＝2，(－2)∴f ＝f ＝4.(f (－2))(2)【答案】49．如果(m ＋4)－＜(3－2m )－，则m 的取值范围是1212________________________________________________________________________．【解析】∵(m ＋4)－＜(3－2m )－，1212∴m ＋4＞3－2m ＞0，解得－＜m ＜，故m 的取值范围为－＜m ＜.13321332【答案】(－13，32)10．已知函数f (x )＝，则f (x )的值域是__________．3x －2－x3x ＋2－x【解析】f (x )＝＝＝＝1－，3x －2－x 3x ＋2－x 6x －16x ＋16x ＋1－26x ＋126x ＋1∵0＜＜2，26x ＋1∴f (x )＝1－∈(－1，1)．26x ＋1【答案】(－1，1)三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)已知函数f (x )＝a x －1的图象经过点，其中a >0且a ≠1.(2，12)(1)求a 的值；(2)若函数g (x )＝x a ，解关于t 的不等式g >g .43(t －1)(3－2t )【解析】(1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点，(2，12)∴＝a 2－1，即a ＝.1212(2)因g (x )＝x ，由g (x )是偶函数且在(－∞，0)上是减函数，在是增函数知，23[0，＋∞)原不等式转化为>，解得<t <2.|t －1||3－2t |4312．(13分)将二次函数y ＝f 的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，便得到(x )函数g ＝ax 2＋1的图象．(x )(1)当a ＝－1时，求y ＝f 的解析式；(x )(2)讨论函数y ＝f 在上的最大值h .(x )[－1，3](a )【解析】(1)当a ＝－1时， g ＝－x 2＋1，(x )将其图象向上平移3个单位得， y ＝－x 2＋1＋3＝－x 2＋4，再将其图象向右平移2个单位得， y ＝－＋4＝－x 2＋4x ，(x －2)2所以，函数f (x )的解析式为f (x )＝－x 2＋4x .(2)同理，由(1)可得，函数f 的解析式为f ＝ax 2－4ax ＋4(a ≠0)，(x )(x )(a ＋1)当a >0时，开口向上，其对称轴为x ＝2，此时最大值为h ＝f ＝9a ＋4；(a )(－1)当a <0时，开口向下，其对称轴为x ＝2，此时最大值为h ＝f ＝4.(a )(2)综上得， h ＝(a ){9a ＋4（a >0），4（a <0）.)13．(14分)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )(其中a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )＋g (x )的定义域；(2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合．【解析】(1)由题意得{x ＋1>0，1－x >0，)∴－1<x <1，∴所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)函数f (x )－g (x )为奇函数，令H (x )＝f (x )－g (x )，定义域为(－1，1)，则H (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )＝log a ，x ＋11－x∵H (－x )＝log a，－x ＋11＋x＝－log a ＝－H (x )，x ＋11－x∴函数H (x )＝f (x )－g (x )为奇函数．(3)∵f (x )＋g (x )＝log a (x ＋1)＋log a (1－x )，＝log a (1－x 2)<0＝log a 1.∴当a >1时，0<1－x 2<1，∴0<x <1或－1<x <0.当0<a <1时，1－x 2>1，不等式无解，综上：当a >1时，使f (x )＋g (x )<0成立的x 的集合为{x |0<x <1或－1<x <0}．。

[课时跟踪检测][基础达标]1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验解析：A、B是系统抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次；D是简单随机抽样．答案：D2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为()A．50B．60C．70D．80解析：由分层抽样方法得33＋4＋7×n＝15，解得n＝70.答案：C3．(2018届商丘模拟)从学号为0～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是() A．1,2,3,4,5 B．2,4,6,8,10C．4,14,24,34,44 D．5,16,27,38,49解析：50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，∴每一组号码间距相同.4,14,24,34,44，∴C有可能．答案：C4．中央电视台为了调查近三年的春晚节目中各类节目的受欢迎程度，用分层抽样的方法，从2014年至2016年春晚的50个歌舞类节目，40个戏曲类节目，30个小品类节目中抽取样本进行调查，若样本中的歌舞类和戏曲类节目共有27个，则样本容量为()A．36 B．35C．32 D．30解析：设从30个小品节目中抽取x个，则有x30＝2750＋40，解得x＝9.则27＋9＝36，所以样本容量为36.答案：A5．(2017届四川资阳)某班有男生36人，女生18人，用分层抽样的方法从该班全体学生中抽取一个容量为9的样本，则抽取的女生人数为() A．6 B．4C．3 D．2解析：1836＋18×9＝3，故选C.答案：C6．(2017届安徽马鞍山第一次质检)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号，31号，44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是()A．8 B．13C．15 D．18解析：因为系统抽样是等距抽样，由于44－31＝13，所以5＋13＝18.答案：D7．(2017届兰州双基测试)从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则()A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3解析：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3.答案：D8．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1 000双C ．1 200双D ．1 500双解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一，根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．答案：C9．(2017届江苏南通二调)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．解析：根据系统抽样的特点，共有80个产品，抽取5个样品，则可得组距为805＝16，又其中有1个为28，则与之相邻的为12和44，故所取5个依次为12,28,44,60,76，即最大的编号为76.答案：7610．(2018届北京模拟)某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，……，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．解析：因为每小组有5个人，第5组抽出的号码为22，所以第8组应抽出的号码为22＋15＝37，又因为40岁以下人数占50%，所以样本中也应占50%，故40岁以下年龄段应抽取20人．答案：37 2011．(2017届湖南七校联考)某高中共有学生1 000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人．如果在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，现采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，则应在高三年级中抽取的人数等于________．解析：因为该高中共有学生1 000名，在全校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为0.19，所以高二年级女生有1 000×0.19＝190(人)，则高二年级共有学生180＋190＝370(人)，所以高三年级共有学生1 000－370－380＝250(人)，则采用分层抽样(按年级分层)在全校抽取100人，应在高三年级中抽取的人数为2501 000×100＝25.答案：2512．在某市今年的公务员考试成绩中随机抽取500名考生的笔试成绩，按成绩分组，得到频率分布表如下：12名考生进行第二轮选拔，分别求第3,4,5组每组进入第二轮选拔的考生人数．解：由题意可知，第2组的频数为500×0.350＝175，所以第3,4,5组共有考生500－25－175＝300名，则第4组有100名考生．所以第3组抽取的人数：150300×12＝6，第4组抽取的人数：100300×12＝4，第5组抽取的人数：50300×12＝2.[能力提升]1．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在A 营区，从301到495在B 营区，从496到600在C 营区，则三个营区被抽中的人数依次为( )A ．26,16,8B ．25,17,8C ．25,16,9D ．24,17,9解析：依题意及系统抽样的意义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k (k ∈N *)组抽中的号码是3＋12(k －1)．令3＋12(k －1)≤300，得k ≤1034，因此A 营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k －1)≤495，得1034<k ≤42，因此B 营区被抽中的人数是42－25＝17；故C 营区被抽中的人数为50－25－17＝8.故选B.答案：B2．某中学有高中生3 500人，初中生1 500人．为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A ．100B ．150C ．200D ．250解析：样本抽取比例为703 500＝150，该校总人数为1 500＋3 500＝5 000，则n 5 000＝150，故n ＝100，选A.答案：A3．一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：辆，其中有A 类轿车10辆，则z 的值为________．解析：由题意可得50100＋300＋150＋450＋z ＋600＝10100＋300，解得z ＝400.答案：4004．(2017届北京海淀模拟)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50(件)；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015(小时)．答案：50 1 0155．哈六中2016届有840名学生，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．解析：使用系统抽样方法，从840名学生中抽取42人，即从20人中抽取1人．所以从编号1～480的人，恰好抽取48020＝24(人)，接着从编号481～720共240人中抽取24020＝12(人)．答案：12。

1单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第5单元 解三角形注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin120sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===，故角π3C =，故答案为B ． 3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A． B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯，所以sin C ==，所以11sin 7322S ab C ==⨯⨯=． 故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式S =92a b cp ++==，所以S =，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形， 故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD 4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ） ABC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C =，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号27．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（ ）A．m B． C ．60 m D ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，120CBD \??，sin 45BC =，BC \=，tan3020AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，AC 2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+，则ABC △的面积为（ ） A．BCD【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则sin BCD ∠=所以11si n 2322BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30︒的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==， 又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==． 所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒． 所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（ ） A．⎛ ⎝⎭B．⎡⎢⎣⎦C．⎡⎢⎣⎭ D．⎛ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（ ） A ．5 B．CD．【答案】C【解析】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-．①∵3ABC S =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==，∴||sin 2AB A =．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴23πsin 4AB ==在ABC △中，由余弦定理得222223π2cos323294BC AB AC AB AC ⎛=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯= ⎝⎭， ∴BC =C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦C．⎫⎪⎪⎝⎭D．12⎛ ⎝⎭【答案】 A 【解析】，，，，3 ，，三角形为锐角三角形，，，，ππ2230π222πBBB⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos22sin sin344πf x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos22sin cos cos2sin243π342x x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin26x⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()sin2π6f B B⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为2π2π3B<<，6π5π226πB∴<-<，所以()112f B<<．故选A．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC△的内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知60B=︒，3b=，c=则A=________．【答案】75︒【解析】由正弦定理sin sinb cB C=，得sinsinc BCb===又c b<，则C B<，45C∴=︒，18075A B C∴=︒--=︒，本题正确结果75︒．14．已知ABC△的边a，b，c的对角分别为A，B，C，若a b>且sin cosA Ca b=，则角A的大小为_____．【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos1sin sinA CA B==，即cos sinC B=，cos0C∴>，π0,2C⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b>，A B∴>，π0,2B⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sinC B=，得πsin sin2C B⎛⎫-=⎪⎝⎭，π2C B∴-=，即2πB C+=，()ππ2A B C∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB高(30-m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面M点（B、M、D三点共线）测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为______m．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM∠=︒，105AMC∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM∠=︒．在ABMRt△中，sinsin15AB ABAMB AMAM∠=⇒=︒．在ACM△中，由正弦定理可知：sin45sin45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM ABCMACM CAM⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCMRt△中，sin45sin sin60sin6060sin15sin30CD ABCMD CD CMCM⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒．16．ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sin(2)tanb C a b B=+，c=，则ABC△面积的最大值为______．【答案】3【解析】()()sin2sin2tan2sin sin2sin sincosBb C a b B B C A BB=+⇒=+⋅()2cos sin2sin sin2sin sin2sin cos2cos sin sinB C A B B C B B C B C B⇒=+=++=++1cos22π3CC⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos12c a b ab C a b ab=+-=++=，222a b ab+≥，1223ab ab ab∴≥+=4ab⇒≤，当且仅当a b=时取等号，max11sin422S ab C∴==⨯=3．4三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，b ，（1）求a 的值； （2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，b =所以4sin 5A =，sin B =，由正弦定理可得4sin sin 5a b a A B =⇒85a ∴=． （2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+4355=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值；（2）若，且，求的面积．【答案】（1；（2【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =，又，所以sin B，sin tan cos B B B =． （2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为2196sin sin 27S ac B c B ====19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7A D C D ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积． 【答案】（1）π3D =；（2） 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-． 在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -．∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =． （2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=． 20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC =，sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =． 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-，所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =．所以3b =，ABC △的周长为4+521．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，CD =，BC =，BF BC <，梯形ABCD1，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积． 【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）1)S Ω=． 【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ，因为sin h BCD BC ∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒， 所以()sin sin 180sin CBF BCD BCD ∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠=，解得sin 2BFC ∠=． 又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即21)0BF BF -+=，解得2BF =，BF =．因为11sin 2122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△，所以1)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）13BD =；（2）1698． 【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠． （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当BC DC ==。

【新课改专版】2020年高考数学一轮复习课时精练50.抛物线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－182．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．92C ．3D ．44．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－1695．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π36．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝14x 的焦点坐标是________．、[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 22．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则点F 到MN 的距离为( )A.12 B ．1 C. 3D ．24．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．85．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．2D ．36．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝1633，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2k 1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．18．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22 B ． 2C ．322D ．3 29．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )A ．－74B ．74C ．94D ．－9410．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．11．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．13．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.14．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.(1)求直线l的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线．解析50.抛物线[A 级 基础题——基稳才能楼高]1．(2019·石家庄模拟)抛物线y ＝2x 2的准线方程是( ) A ．x ＝12 B ．x ＝－12 C ．y ＝18 D ．y ＝－18解析：选D 抛物线y ＝2x 2的标准方程为x 2＝12y ，其准线方程为y ＝－18.2．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A ．y 2＝±22x B ．y 2＝±2x C ．y 2＝±4xD ．y 2＝±42x解析：选D 由题意知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线C 的方程为y 2＝±2px (p ＞0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线C 的方程为y 2＝±42x .故选D.3．(2019·齐齐哈尔一模)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．194 B ．92C ．3D ．4解析： 选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义可知，5＝n ＋1，得n ＝4，故选D.4．(2019·衡水金卷高三联考)抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3,1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x 可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由题可知，直线AB 经过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43，故选B.5．(2019·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3 C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1，23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角等于2π3，故选B.6．(2019·江苏高邮模拟)抛物线y 2＝14x 的焦点坐标是________．解析：由于抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因此抛物线y 2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0[B 级 保分题——准做快做达标]1．(2019·武汉调研)过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，若|NF |＝4，则M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．2 3 C ．3 3D ．2 2解析：选B ∵直线MF 的斜率为3，MN ⊥l ，∴∠NMF ＝60°，又|MF |＝|MN |，且|NF |＝4，∴△NMF 是边长为4的等边三角形，∴M 到直线NF 的距离为2 3.故选B.2．(2019·长沙质检)设经过抛物线C 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，那么抛物线C 的准线与以AB 为直径的圆的位置关系为( )A ．相离B ．相切C ．相交但不经过圆心D ．相交且经过圆心解析：选B 设圆心为M ，过点A ，B ，M 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，M 1，则|MM 1|＝12(|AA 1|＋|BB 1|)．由抛物线定义可知|BF |＝|BB 1|，|AF |＝|AA 1|，∴|AB |＝|BB 1|＋|AA 1|，|MM 1|＝12|AB |，即圆心M 到准线l 的距离等于圆的半径，故以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切．3．(2019·河南中原名校质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则点F 到MN 的距离为( )A.12B ．1C. 3 D ．2解析：选B 由题可知|MF |＝2，设点N 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可得d ＝|NF |，因为|NF |＝32|MN |，所以cos ∠NMF ＝d |MN |＝|NF ||MN |＝32，所以sin ∠NMF ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫322＝12，所以点F 到MN 的距离为|MF |sin ∠NMF ＝2×12＝1，故选B.4．(2019·辽宁五校协作体模考)抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．4 3D ．8解析：选C 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |，∵直线AF 的斜率为33，∴直线AF 的倾斜角为30°，∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝ 60°，故△AHF 为等边三角形．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m ＞0，由|AF |＝|AH |，得m 24－1＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边△AHF 的边长|AH |＝4，∴△AHF 的面积是12×4×4sin 60°＝4 3.故选C.5．(2019·邯郸质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，其准线与x 轴交于点B ，直线AB 与抛物线的另一个交点为M ，若MB ―→＝λAB ―→，则实数λ为( )A ．13B ．12C ．2D ．3解析：选C 把点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入抛物线的方程得2＝2p ×12，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，则B (－1,0)，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2M 4，y M ，则AB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，MB ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－y 2M 4，－y M ，由MB ―→＝λAB ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－y 2M 4＝－32λ，－y M ＝－2λ，解得λ＝2或λ＝1(舍去)，故选C.6．(2019·辽宁葫芦岛期中)已知直线l ：3x －y －a ＝0与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，若|MN |＝1633，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选D ∵直线l 的方程为3x －y －a ＝0，∴直线l 的倾斜角为60°，∵直线l 与抛物线x 2＝4y 交于P ，Q 两点，过P ，Q 分别作l 的垂线与y 轴交于M ，N 两点，且|MN |＝1633，∴|P Q|＝1633sin 60°＝8.设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立方程，得⎩⎨⎧3x －y －a ＝0，x 2＝4y ，得x 2－43x ＋4a ＝0，由Δ＞0得a ＜3，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝4a ，∴|P Q|＝1＋3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝8，即48－16a ＝16，∴a ＝2，故选D.7．(2019·华大新高考质检)已知抛物线C ：y 2＝4x ，点D (2,0)，E (4,0)，M 是抛物线C 上异于原点O 的动点，连接ME 并延长交抛物线C 于点N ，连接MD ，ND 并分别延长交抛物线C 于点P ，Q ，连接P Q ，若直线MN ，P Q 的斜率存在且分别为k 1，k 2，则k 2k 1＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则直线MD 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2，代入抛物线C ：y 2＝4x ，整理得y 2－x 1－y 1y －8＝0，所以y 1y 3＝－8，即y 3＝－8y 1，从而x 3＝16y 21，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 21，－8y 1，同理可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫16y 22，－8y 2，因为M ，E ，N 三点共线，所以y 1x 1－4＝y 2x 2－4，得y 1y 2＝－16，所以k 2＝－8y 2＋8y 116y 22－16y 21＝8y 1＋y 2，k 1＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1y 224－y 214＝4y 1＋y 2，所以k 2k 1＝2.故选C.8．(2019·辽宁五校联考)抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，N 为准线l 上一点，M 为y 轴上一点，∠MNF 为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则△MNF 的面积为( )A ．22 B ． 2C ．322D ．3 2解析：选C 如图所示，不妨设点N 在第二象限，连接EN ，易知F (1,0)，因为∠MNF 为直角，点E 为线段MF 的中点，所以|EM |＝|EF |＝|EN |，又E 在抛物线C 上，所以EN ⊥l ，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，所以N (－1，2)，M (0，22)，所以|NF |＝6，|NM |＝3，所以△MNF 的面积为322，故选C.9．(2019·河南百校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ―→·MF ―→＝( )A ．－74B ．74C ．94D ．－94解析：选A 不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，所以OM ―→·MF ―→＝14－2＝－74.故选A.10．(2019·石家庄毕业班摸底)若抛物线y 2＝4x 上有一条长度为10的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离为________．解析：设抛物线的焦点为F ，准线为l ：x ＝－1，弦AB 的中点为M ，则点M 到准线l 的距离d ＝|AF |＋|BF |2≥|AB |2，所以点M 到准线l 的距离的最小值为5，所以点M 到y 轴的最短距离为5－1＝4. 答案：411．(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：由题知直线l 的方程为x ＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2a )(a ＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4a ＝4，即a ＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．答案：(1,0)12．(2019·广州海珠区一模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为________．解析：∵双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y 2＝8x ，∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.∵点A 在第一象限，∴A (1，22)，∴直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.答案：－2 213．(2019·唐山五校摸底)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：法一：设直线AB 的倾斜角为α，分别过A ，B 作准线l 的垂线AA ′，BB ′，垂足分别为A ′，B ′，则|AA ′|＝6，|BB ′|＝3，过点B 作AA ′的垂线BC ，垂足为C ，则|AC |＝3，|BC |＝62，∠BAC ＝α，所以sin α＝629＝223，所以|AB |＝2psin 2α＝9，解得p ＝4. 法二：设直线AB 的倾斜角为α，不妨设A 在x 轴上方，B 在x 轴下方，则|AF |＝p1－cos α，|BF |＝p1＋cos α，则有p 1－cos α＝2×p 1＋cos α，解得cos α＝13，又|AF |＝p1－cos α＝6，所以p ＝4.法三：由结论1|AF |＋1|BF |＝2p ，得16＋13＝2p ，解得p ＝4.答案：414．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线的交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 的面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解：由题意知，直线AB 的斜率一定存在，∴设直线AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入抛物线C 的方程得x 2－2pkx －2p ＝0，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① (1)由x 2＝2py 得y ′＝x p ，则A ，B 处的切线斜率的乘积为x 1x 2p 2＝－2p， ∵点N 在以AB 为直径的圆上， ∴AN ⊥BN ，∴－2p＝－1，∴p ＝2.(2)易得直线AN ：y －y 1＝x 1p (x －x 1)，直线BN ：y －y 2＝x 2p(x －x 2)，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝x1px －x 1，y －y 2＝x2px －x 2，结合①式，解得⎩⎨⎧x ＝pk ，y ＝－1，即N (pk ，－1)．|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 24p 2k 2＋8p ，点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， 则S △ABN ＝12·|AB |·d ＝ppk 2＋3≥22p ，当k ＝0时，取等号，∵△ABN 的面积的最小值为4，∴22p ＝4，∴p ＝2，故抛物线C 的方程为x 2＝4y .15．(2019·贵阳摸底)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8.11 (1)求直线l 的方程；(2)若A 关于x 轴的对称点为D ，抛物线的准线与x 轴的交点为E ，求证：B ，D ，E 三点共线． 解：(1)F 的坐标为(1,0)，则l 的方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由题意知k ≠0，且[－(2k 2＋4)]2－4k 2·k 2＝16(k 2＋1)＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 由抛物线的定义知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，∴2k 2＋4k 2＝6，∴k 2＝1，即k ＝±1， ∴直线l 的方程为y ＝±(x －1)．(2)证明：由抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)，又E (－1,0)，∴k EB －k ED ＝y 2x 2＋1－－y 1x 1＋1＝y 2x 1＋＋y 1x 2＋x 1＋x 2＋，y 2(x 1＋1)＋y 1(x 2＋1)＝y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋1＋y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224＋1 ＝y 1y 24(y 1＋y 2)＋(y 1＋y 2)＝(y 1＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1y 24＋1. 由(1)知x 1x 2＝1，∴(y 1y 2)2＝16x 1x 2＝16，又y 1与y 2异号，∴y 1y 2＝－4，即y 1y 24＋1＝0，∴k EB ＝k ED ，又ED 与EB 有公共点E ，∴B ，D ，E 三点共线．。

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十二) 【p 275】(推理与证明)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．由“12<23， 23<45， 24<57”得出：“若a>b>0且m>0，则b a <b ＋m a ＋m”这个推导过程使用的方法是( )A ．数学归纳法B ．演绎推理C ．类比推理D ．归纳推理【解析】根据部分成立的事实，推断出一个整体性的结论，这种推理是归纳推理中的不完全归纳法，所以选D .【答案】D2．用反证法证明“如果a>b ，那么3a>3b ”，假设的内容应是( )A .3a ＝3bB .3a<3bC .3a ＝3b 且3a<3bD .3a ＝3b 或3a<3b 【解析】3a>3b 的反面是3a ≤3b ， 即3a ＝3b 或3a<3b.故选D .【答案】D3．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【解析】欲证2－3<6－7，只需证2＋7<3＋6，只需证()2＋72<()3＋62，故选C .【答案】C4．给出下面三个类比结论：①对于向量a ，有||a 2＝a 2；类比复数z ，有||z 2＝z 2； ②对于实数a ，b ，有()a ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2；类比向量a ，b ，有()a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；③对于实数a ，b ，有a 2＋b 2＝0，则a ＝b ＝0；类比复数z 1，z 2，有z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.其中类比结论正确的命题个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【解析】①z ＝i 时， ||z 2＝z 2不成立；对于②，向量的运算满足完全平方公式，故对；对于③，例如z 1＝i ，z 2＝1满足z 21＋z 22＝0，但z 1≠z 2≠0，故错．故选B.【答案】B5．5个黑球和4个白球从左到右任意排成一排，下列说法正确的是( )A ．总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B ．总存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C ．总存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D ．总存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个【解析】5为奇数，4为偶数，故总存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多，故选A.【答案】A6．如图所示，是某个小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴， …，则第2 020个图形用的火柴根数为( )A ．2 018×2 021B ．2 019×2 020C ．2 019×2 021D ．3 030×2 021【解析】第1个图形需要火柴的根数为3×1，第2个图形需要火柴的根数为3×()1＋2，第3个图形需要火柴的根数为3×()1＋2＋3，…，第n 个图形需要火柴的根数为3×()1＋2＋3＋…＋n ，所以第2 020个图形需要火柴的根数为3×()1＋2＋3＋…＋2 020＝3 030×2 021，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．)7．用反证法证明命题“若直线AB 、CD 是异面直线，则直线AC 、BD 也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A 、B 、C 、D 四点共面，所以AB 、CD 共面，这与AB 、CD 是异面直线矛盾； ②所以假设错误，即直线AC 、BD 也是异面直线；③假设直线AC 、BD 是共面直线．则正确的序号顺序为__________．【解析】结合反证法的证明步骤可知：假设直线AC 、BD 是共面直线，则A 、B 、C 、D 四点共面，所以AB 、CD 共面，这与AB 、CD 是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC 、BD 也是异面直线．其正确步骤为③①②.【答案】③①②8．在公差为d 的等差数列{a n }中，我们可以得到a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N ＋)．通过类比推理，在公比为q 的等比数列{b n }中，我们可得______________．【解析】在公比为q 的等比数列{b n }中，设其首项为b 1，则b m ＝b 1q m －1，所以b 1＝b m qm －1，则b n ＝b 1q n －1＝b m qm －1q n －1＝b m q n －m . 【答案】b n ＝b m ·q n －m9．“扫雷”游戏，要求游戏者找出所有的雷，游戏规则是：一个方块下面有一个雷或没有雷，如果无雷，掀开方块下面就会标有数字(如果数字是0，常省略不标)，此数字表明它周围的方块中雷的个数(至多八个)，如图甲中的“3”表示它的周围八个方块中有且仅有3个雷．图乙是小明玩的游戏中的局部，根据图乙中信息，在ABCDEFG 这七个方块中，有雷的方块为__________．【解析】第4行第7个数字2，所以F 、G 方块有雷．第4行第6个数字4，说明E 方块没有雷．由于第4行第4个数字3，说明C 、D 中必有一个有雷．由于第6行第5个数字2，故C 无雷，D 有雷．由于第4行第3个数字1，所以B 无雷，由于第4行第2个数字1，所以A 有雷．故有雷的是A 、D 、F 、G.【答案】ADFG10．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为________.【解析】易知前19∴第20行的第4列的奇数为2×77－1＝153，∴第20行第3列的数字与第20行第2列数字分别为155，157.∴它们的和为312.【答案】312三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)设函数f (x )＝cos x ＋sin x ，问是否存在α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立？证明你的结论． 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，它的最小正周期为2π. 假设存在α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立， 则T ＝2α是它的周期．a ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴T ＝2α∈(0，π)，这与它的最小正周期为2π相矛盾， ∴不存在α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立． 12．(13分)用综合法或分析法证明：(1)如果a >0，b >0，那么lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2； (2)设x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.【解析】(1)综合法：a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab ， ∴lg a ＋b 2≥lg ab ， 又lg ab ＝12lg ab ＝lg a ＋lg b 2，∴lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2. 分析法：∵a >0，b >0，∴a ＋b >0，要证lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b 2只需证2lg a ＋b 2≥lg ab ， 即证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥lg ab .只需证⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，即证(a ＋b )2≥4ab ，即证(a －b )2≥0. 而(a －b )2≥0恒成立，故原不等式成立．(2)∵x >0，y >0，∴要证明(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13，只需证明(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 2y 2(3x 2－2xy ＋3y 2)>0，只需证3x 2－2xy ＋3y 2>0.∵3x 2－2xy ＋3y 2＝3⎝⎛⎭⎫x －y 32＋83y 2>0恒成立， ∴原式成立．13．(14分)设数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝2a n －1＋1a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n ＋1为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝(3n ＋1)a n ，证明：数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列．【解析】(1)证明：由条件，a n －1＝2a n －1＋1a n －1＋2－1＝a n －1－1a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，① a n ＋1＝2a n －1＋1a n －1＋2＋1＝3（a n －1＋1）a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)，② 由a 1＝12知a n >0, ∴a n ＋1>0. ①②得，a n －1a n ＋1＝13·a n －1－1a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *) 且a 1－1a 1＋1＝12－112＋1＝－13≠0， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －1a n ＋1是首项为－13，公比为13的等比数列． 因此，a n －1a n ＋1＝－13·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－⎝⎛⎭⎫13n ，∴a n ＝3n －13n ＋1. (2)证明：由(1)得，c n ＝(3n ＋1)a n ＝3n －1，(反证法)假设存在正整数l ，m ，n 且1≤l <m <n ，使得c l ，c m ，c n 成等差数列． 则2(3m －1)＝3l ＋3n －2，即2·3m ＝3l ＋3n ，则有2·3m －l ＝1＋3n －l ，即2·3m －l －3n －l ＝1，则有3m －l ·[2－3n －l －(m －l )]＝1，即3m －l ·(2－3n －m )＝1.∵l ，m ，n ∈N *且1≤l <m <n ，∴3m －l ∈N *.∴⎩⎨⎧2－3n －m ＝1，3m －l ＝1，∴⎩⎨⎧n －m ＝0，m －l ＝0，∴l ＝m ＝n ，与l <m <n 矛盾， 故假设不成立，所以数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列．。

试卷类型：A2020届高三新课标原创月考试题五数学适用地区：新课标地区考查范围：必考全部内容（集合、简易逻辑、函数、导数、数列、三角、向量、不等式 、解析几何、立体几何、排列、组合、二项式定理、概率与统计、复数，算法，推理与证明）建议使用时间：2020年12月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2020·大连沈阳联考）已知集合{}{}2|320,|log 42x A x x x B x =-+===,则A B =U （ ） A.{}2,1,2- B.{}1,2 C.{}2,2- D.{}2 2. (2020·银川一中月考)若tan α＝2，则ααααcos 2sin cos sin 2+-的值为( )A.0B.34C.1D.543.[2020·课标全国卷]复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是（ ）A.2＋iB.2－iC.－1＋iD.－1－i 4.（2020·北京海淀二模）已知命题p ：1,sin 2x x x $?R . 则p Ø为（ ） A.1,sin 2x x x $?R B.1,sin 2x x x "?R C.1,sin 2x xx $纬R D.1,sin 2x x x "纬R 5.（2020·郑州质检）已知递减的等差数列{}n a 满足2921a a =，则5a = （ ） A. -1 B.0 C.-1或0 D.4或56.（理）（2020·昆明一中二摸）曲线e 2xy x =+在点()01，处的切线方程为（ ）A.1y x =+B.1y x =-C.31y x =+D.1y x =-+（文）（2020·昆明一中二摸）曲线e xy x =+在点()01，处的切线方程为（ ）A.21y x =+B.21y x =-C.1y x =+D.1y x =-+7. (2020·银川一中二模)某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中的靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ） A.12B.13C.14D.198. （理）（2020·郑州质检）在二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为（ ）A. 32B. -32C. 0D. 1（文）（2020·潍坊模拟）林管部门在每年3•12植树节前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图1.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）图1A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐9. [2020·课标全国卷]如果执行图2的程序框图，输入正整数N (N ≥2)和实数a 1，a 2，…，a N ，输出A ，B ，则（ ）A.A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和B.A ＋B 2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D.A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数图210.（2020·郑州质检）已知某几何体的三视图如图3所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ） A.21π+32B.41π+36 C.21π+66D.21π+32图311. [2020·山东卷]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ） A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 12.（理）[2020·山东卷]函数cos622x xxy -=-的图象大致为（ ）图4（文）（2020()2210x y +-=所表示的曲线的图形是（ ） 图5第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.13.（2020·许昌新乡平顶山三调）设向量a,b 的夹角为θ，且()()3,321,1--a =,b a =,则=θcos .14.（2020·昆明第一中学一摸）若实数,x y 满足不等式组0,,220,x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为 .15. [2020·陕西卷]观察下列不等式1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为______________. 16.（2020·长春三模）如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x mm m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是_______________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）（2020·大连沈阳联考）已知向量吗m 21+cos 2sin ,sin 2x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，n 1cos 2sin 2,2sin 22x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设函数()f x =m •n ，x ∈R . (1)求函数()f x 的最小正周期；(2)若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 值域.18.（本小题满分12分）(2020`银川一中二模)在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，22b S q =. （1）求n a 与n b ； （2）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T .19.（本小题满分12分）（理）[2020·天津卷]现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.（文）[2020·天津卷]某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.（1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， ①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率.20.（本小题满分12分）（理）[2020·湖南卷]如图1－6，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，AD ＝5，∠DAB＝∠ABC ＝90°，E 是CD 的中点. （1）证明：CD ⊥平面PAE ；（2）若直线PB 与平面PAE 所成的角和PB 与平面ABCD 所成的角相等，求四棱锥P －ABCD 的体积.（文）[2020·湖南卷]如图6，在四棱锥P －，底面ABCD 是等腰梯形， AD ∥BC ，AC ⊥BD .（1）证明：BD ⊥PC ；（2）若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积.图621.（本小题满分12分）[2020·浙江卷]如图7，在直角坐标系xOy 中，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 被直线OM 平分. （1）求p ，t 的值；（2）求△ABP 面积的最大值.22.（本小题满分12分）（理）(2020·武汉调研）已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 在x ＝－12处的切线的斜率为1.（1）求a 的值及f (x )的最大值；（2）证明：1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)（n ∈N *）；（3）设g (x )＝b (e x－x )，若f (x )≤g (x )恒成立，求实数b 的取值范围.（文）（2020·武汉调研）设a ∈R ，函数f (x )＝ln x －ax .（1）讨论函数f (x )的单调区间和极值；（2）已知1x =e 为自然对数的底数）和x 2是函数f (x )的两个不同的零点，求a 的值并证明：x 2＞e 23.试卷类型：A2020届高三新课标原创月考试题五答案数学1. B 【解析】A ={1,2}，由log 42x =,得24x =，又因为0x >，所以2x =，故B ={2}.则{}1,2A B =U .2. B 【解析】2sin cos 2tan 13sin 2cos tan 24αααααα--==++.3. D 【解析】因为z ＝－3＋i2＋i＝－3＋i 2－i2＋i2－i＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.故选D.4. D 【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即:p ⌝,sin 2x x x ∀∈≥R . 5. B 【解析】由题意知19a a =-，且10a >，从而19520a a a +==，得50a =.6.（理）C 【解析】e 2xy '=+，00|e 23x k y ='==+=，则切线方程为13y x -=，即31y x =+. （文）A 【解析】e 1xy '=+，00|e 12x k y ='==+=，则切线方程为12y x -=，即21y x =+.7. D 【解析】由几何概型得，所求概率为22π21π69P ⨯==⨯. 8. （理）C 【解析】在二项式21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中，令1x =，得21101n⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故展开式中各项系数的和为0. （文）D 【解析】甲种树苗的平均高度为19+20+21+23+25+29+37+33+32+31==2710x 甲，甲种树苗的高度的方差为()()()()()222222222228+7+6+4+2+2+10+6+5+4==3510s -----甲；乙种树苗的平均高度为10+14+10+26+27+30+44+46+46+47==3010x 乙，乙种树苗的高度的方差为()()()()()2222222222220+16+20+4+3+0+14+16+16+17==207.810s -----乙比较可知，乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐，选D.9. C 【解析】由程序框图可知，当x >A 时，A ＝x ；当x ≤A 且x <B 时，B ＝x ，所以A 是a 1，a 2，…，a N 中的最大数，B 是a 1，a 2，…，a N 中的最小数.故选C. 10. C 【解析】由三视图可知，该几何体的上方是一个直三棱锥（三棱锥的底面是腰长为1的等腰直角三角形，高为1）；下方是一个半径为2212112+=的半球.故所求几何体的体积为11141113223V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯322π1π266⎛⎫⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭. 11. D 【解析】由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为()2，2，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确.12.（理）D 【解析】由函数y ＝cos6x2x －2－x 为奇函数，排除选项A ，当x 无限大时，y 趋向于0，排除选项C ，当x 从正数趋向于0时，y 趋向于正无穷大，故选D.（文）D 【解析】由题意可得10x -=或()22lg 10x y +-=，即1x =或222x y +=.但是要使得该方程有意义还要满足221,10,x x y ≥⎧⎨+->⎩综上可知图象选D. 13.10103 【解析】设(),x y b =.由()()21,123,23x y -=-=--b a ，得1,2x y ==，所以cos 310θ===g a b a b 310. 14. 6【解析】作出不等式组0,,220x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的可行域（如下图阴影部分所示,含边界），可知当直线2z x y =+经过直线220y x x y =-+=和直线的交点()2,2A 时，2z x y =+取得最大值，且max 6z =.15. 1＋122＋132＋142＋152＋162<116【解析】从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1＋122＋132＋142＋152＋162，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：1＋122＋132＋142＋152＋162<116.16. 34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据指数函数的性质，可知函数()()110,1x f x m m m +=+>≠恒过定点()1,2-.将点()1,2-代入2140ax by -+=，可得7a b +=. 由于点()1,2-始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +≤. 由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得3,4,a b =⎧⎨=⎩或4,3,a b =⎧⎨=⎩，这说明点(),a b 在以()3,4A 和()4,3B 为端点的线段上运动，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17.解:（1）因为()f x =m •n211cos 222sin 1cos 2sin 22222x x x x x -+=--=π1sin 26x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ··············· 4分所以其最小正周期为2ππ2T ==.·················· 6分 （2）由（1）知()π1sin 26f x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. 所以π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.·················· 10分 所以()π31sin 20,62f x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.即函数()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ·············· 12分18.解:（1）设{}n a 的公差为d .因为⎪⎩⎪⎨⎧==+,,122222b S q S b 所以⎪⎩⎪⎨⎧+==++．，q d q d q 6126解得 3=q 或4-=q （舍），3=d .故()3313n a n n =+-= ，13-=n n b . （2）由（1）可知，()332n n n S +=， 所以()122113331n n c S n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭. 故()21111121211322313131n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦…. 19. （理）解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0,1,2,3,4)，则P (A i )＝C i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫13i ⎝ ⎛⎭⎪⎫234－i.（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P (A 2)＝C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝827.（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4， 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝19.所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3)＝4081，P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4)＝1781.所以ξ的分布列是随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×27＋2×81＋4×81＝81.（文）解：（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.（2）①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A 1，A 2，A 3，2所中学分别记为A 4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种.②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种.所以P (B )＝315＝15.20. （理）解：解法1：（1）如下图（1），连结AC .由AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，得AC ＝5.又AD ＝5，E 是CD 的中点，所以CD ⊥AE . 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PA ⊥CD .而PA ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .（2）过点B 作BG ∥CD ，分别与AE 、AD 相交于点F ，G ，连结PF .由（1）CD ⊥平面PAE 知，BG ⊥平面PAE .于是∠BPF 为直线PB 与平面PAE 所成的角，且BG ⊥AE .由PA ⊥平面ABCD 知，∠PBA 为直线PB 与平面ABCD 所成的角.由题意∠PBA ＝∠BPF ，因为sin ∠PBA ＝PA PB ，sin ∠BPF ＝BF PB， 所以PA ＝BF .由∠DAB ＝∠ABC ＝90°知，AD ∥BC ，又BG ∥CD ，所以四边形BCDG 是平行四边形.故GD ＝BC ＝3.于是AG ＝2.在Rt △BAG 中，AB ＝4，AG ＝2，BG ⊥AF ，所以BG ＝AB 2＋AG 2＝25，BF ＝AB 2BG ＝1625＝855. 于是PA ＝BF ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝ 13×16×855＝128515.解法2：如上图（2），以A x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.设PA ＝h ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (4,3,0)，D (0,5,0)，E (2,4,0)，P (0,0，h ).（1）易知CD →＝(－4,2,0)，AE →＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，h ).因为CD →·AE →＝－8＋8＋0＝0，CD →·AP →＝0，所以CD ⊥AE ，CD ⊥AP .而AP ，AE 是平面PAE 内的两条相交直线，所以CD ⊥平面PAE .（2）由题设和（1）知，CD →，PA →分别是平面PAE ，平面ABCD 的法向量.而PB 与平面PAE 所成的角和PB与平面ABCD 所成的角相等，所以|cos 〈CD →，PB →〉|＝|cos 〈PA →，PB →〉|，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·PB →|CD →|·|PB →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·PB →|PA →|·|PB →|. 由（1）知，CD →＝(－4,2,0)，PA →＝(0,0，－h )，又PB →＝(4,0，－h )，故⎪⎪⎪⎪⎪⎪－16＋0＋025·16＋h 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋h 2h ·16＋h 2. 解得h ＝855. 又梯形ABCD 的面积为S ＝12×(5＋3)×4＝16，所以四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝ 13×16×855＝128515. （文）解：（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又AC ⊥BD ，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC .而PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .（2）设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由（1）知，BD ⊥平面PAC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角.从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD ⊥PO .在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°，得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形.从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3， 于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9. 在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22， 所以PD ＝2OD ＝42，PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P －ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×9×4＝12.21.解：（1）由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2pt ＝1，1＋p 2＝54，得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝12，t ＝1.（2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为Q (m ，m )，由题意知，设直线AB 的斜率为k (k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2. 故k ·2m ＝1.所以直线AB 方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x 消去x ，整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0， 所以Δ＝4m －4m 2＞0，y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2.设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|1－2m ＋2m 2|1＋4m2. 设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝|1－2(m －m 2)|·m －m 2. 由Δ＝4m －4m 2＞0，得0＜m ＜1.令u ＝m －m 2，0＜u ≤12，则S ＝u (1－2u 2)， 设S (u )＝u (1－2u 2)，0＜u ≤12，则S ′(u )＝1－6u 2. 由S ′(u )＝0得u ＝66∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以S (u )max ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫66＝69. 故△ABP 面积的最大值为69.22. （理）解：（1）函数f (x )的定义域为（－1，＋∞）.求导数，得f ′(x )＝11＋x－a . 由已知，得f ′(－12)＝1，即11＋(－12)－a ＝1，所以a ＝1. 此时f (x )＝ln(1＋x )－x ，f ′(x )＝11＋x －1＝－x 1＋x， 当－1＜x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，该极大值即为最大值，所以f (x )max ＝f (0)＝0.……………………………………………………………（4分）（2）法一：由（1），得ln(1＋x )－x ≤0，即ln(1＋x )≤x ，当且仅当x ＝0时，等号成立.令x ＝1k （k ∈N *），则1k ＞ln(1＋1k )，即1k ＞ln k ＋1k， 所以1k＞ln(k ＋1)－ln k （k ＝1，2，…，n ）. 将上述n 个不等式依次相加，得1＋12＋13＋ (1)＞(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋...＋[ln(n ＋1)－ln n ]， 所以1＋12＋13＋ (1)＞ln(n ＋1)（n ∈N *）.…………………………………（10分） 法二：用数学归纳法证明.①当n ＝1时，左边＝1＝lne ，右边＝ln2，所以左边＞右边，不等式成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)＞ln(k ＋1). 那么1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋1k ＋1， 由（1），知x ＞ln(1＋x )（x ＞－1，且x ≠0）.令x ＝1k ＋1，则1k ＋1＞ln(1＋1k ＋1)＝ln k ＋2k ＋1，所以ln(k ＋1)＋1k ＋1＞ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＝ln(k ＋2)， 所以1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞ln(k ＋2). 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立.…………………………………（10分）根据①②，可知不等式对任意n ∈N *都成立.（3）因为f (0)＝0，g (0)＝b ，若f (x )≤g (x )恒成立，则b ≥0.由（1），知f (x )max ＝f (0)＝0.①当b ＝0时，g (x )＝0，此时f (x )≤g (x )恒成立；②当b ＞0时，g ′(x )＝b (e x －1)，当x ∈（－1，0）时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ∈（0，＋∞）时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增.所以g (x )在x ＝0处取得极小值，即为最小值，所以g (x )min ＝g (0)＝b ＞0≥f (x )，即f (x )≤g (x )恒成立.综合①②可知，实数b 的取值范围为[0，＋∞）.………………（14分）（文）解：（1）函数f (x )的定义域为（0，＋∞）.求导数，得f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x. ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )是（0，＋∞）上的增函数，无极值；②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝1a. 当x ∈（0，1a）时，f ′(x )＞0，f (x )是增函数； 当x ∈（1a，＋∞）时，f ′(x )＜0，f (x )是减函数. 所以当x ＝1a 时，f (x )有极大值，极大值为f (1a )＝ln 1a－1＝－ln a －1. 综上所述，当a ≤0时，f (x )的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a ＞0时，f (x )的递增区间为（0，1a），递减区间为（1a，＋∞），极大值为－ln a －1.…（8分） （2）因为x 1＝e 是函数f (x )的零点，所以f )＝0，即12－0，解得a 所以f (x )＝ln xx .因为f (e 23)＝32－e 2＞0，f (e 25)＝52－2e 2＜0，所以f (e 23)f (e 25)＜0.由（1）知，函数f (x )在（，＋∞）上单调递减，所以函数f (x )在区间（e 23，e 25）上有唯一零点，3因此x2＞e2.………………………………………………………………（14分）。

2020年高考文科数学一轮复习大题篇—圆锥曲线综合问题【归类解析】题型一 范围问题【解题指导】 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.【例】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 23－y 2＝1的离心率互为倒数，且直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不过原点O 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，求△OMN 面积的取值范围.【解】 (1)∵双曲线的离心率为233， ∴椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 又∵直线x －y －2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a ＝2，c ＝3，b ＝1，∴椭圆方程为x 24＋y 2＝1. (2)由题意可设直线的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－11＋4k 2， 于是y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.又直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等比数列，故y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km x 1＋x 2＋m 2x 1x 2＝k 2， 则－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0. 由m ≠0得k 2＝14，解得k ＝±12. 又由Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)>0，得0<m 2<2，显然m 2≠1(否则x 1x 2＝0，x 1，x 2中至少有一个为0，直线OM ，ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾).设原点O 到直线的距离为d ，则S △OMN ＝12|MN |d ＝12·1＋k 2·|x 1－x 2|·|m |1＋k 2故由m 的取值范围可得△OMN 面积的取值范围为(0,1).【训练】如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围. (1)【证明】 设P (x 0，y 0)，A ⎝⎛⎭⎫14y 21，y 1，B ⎝⎛⎭⎫14y 22，y 2. 因为P A ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝⎛⎭⎫y ＋y 022＝4·14y 2＋x 02，即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 20＝0的两个不同的实根.所以y 1＋y 2＝2y 0，所以PM 垂直于y 轴.(2)【解】 由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20，所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0， |y 1－y 2|＝22y 20－4x 0. 所以△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝()322003244y x -.因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)， 所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4,5]，所以△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104. 题型二 最值问题1 利用三角函数有界性求最值【解题指导】 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.【例】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是【解】 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ， 则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4. 2 数形结合利用几何性质求最值【例】在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，求实数c 的最大值为。