当前位置：文档之家 › 完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案

完整版因式分解的常用方法目前最牛最全的教案

  • 格式：docx
  • 大小：105.15 KB
  • 文档页数：42

1 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一， 它被广泛地应 用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法 灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需 的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独 特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组 分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解 的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

、提公因式法 .： ma+mb+mc=m（a+b+c） 、运用公式法 . 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因 式分解中常用的公式，例如： 2 2 2 2 ( 1) (a+b)(a -b) = a 2-b2 ------------ a 2- b2 =(a+b)(a -b) ；

(2) (a ±b)2 = a 2± 2ab+b2 ——— a 2±2ab+b2=(a ±b)2； 2 2 3 3 3 3 2 2 (3) (a+b)(a -ab+b ) =a +b ---------- a +b =(a+b)(a -ab+b ) ；

2 2 3 3 3 3 2 2 (4) (a -b)(a +ab+b ) = a -b ------------- a -b =(a -b)(a +ab+b ) ．

下面再补充两个常用的公式： 2 2 2 2 (5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；

(6) a 3+b3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca) ；

例•已知a，b, c是 ABC的三边，且a2 b2 则 ABC 的形状是（ ）

2 c ab bc ca

,

A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a 22 2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0a b c 三、分组分解法

（一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式： am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有 b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 2

虑两组之间的联系。 解：原式=(am an) (bm bn)

=a(m n) b(m n)— =(m n )(a b)

(二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x2 y2 ax ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因 式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式 =

(x =(x =(x 'y ) y)(x y)(x (ax ay) y)

a(x y a) y)

例4、分解因式： a2 2ab b2

2 c

解：原式 =(a2

2ab b2)

2 c

=(a b)2 c2 =(a b c)(a b c)

练习：分解因式 3、 2 x2 x 9y2 3y 4、 2 x 2 y

2

z 2yz

综合练习：(1) 3 x 2 x y 2 xy 3 y (2) 2 ax

bx2 bx ax a b

(3) x2 6xy 9y 2 16a 2 8a 1 (4) 2 a 6ab 12b 9b2 4a

(5) a4 2a3 2 a

9 (6) 4a2 x 4a" > y b2x b2y

(7) x2 2xy xz yz y 2 f (8) 2 a 2a b 2 , 2b 2ab 1

(9)y(y 2) (m 1)(m 1) (10) (a c)(a c) b(b 2 a)

(11)a2 (b c) b2 (a c) c2(a i b) 3 2abc( 12)a b3 3 c 3abc

四、十字相乘法• (一)二次项系数为 1的二次三项式

每组之间还有公因式! 例2、分解因式：2ax 10ay 5by 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。 解：原式=(2ax 10ay) (5by bx)

= 2a(x 5y) b(x 5y) =(x 5y)(2a b)

bx 解法二：第一、四项为一组； 第二、三项为一组。 原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =x(2a b) 5y(2a b) =(2a b)(x 5y)

练习：分解因式 1、a2 ab ac bc 2、xy x y 1 3

直接利用公式 x2 (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。 特点：(1)二次项系数是1 ； (2) 常数项是两个数的乘积； (3) —次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律? 例.已知Ov a < 5，且a为整数，若2x2 3x a能用十字相乘法分解因 式，求符合条件的a . 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c ,都要求 b2 4ac >0而且是一个完全平方数。 于是 9 8a为完全平方数，a 1

例5、分解因式：x2 5x 6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。 由于 6=2X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6)，从中可以发现只有 2X 3 的分解适合，即 2+3=5。 1 ... ... 2

解：x2 5x 6=x2 (2 3)x 2 3 1 3 =(x 2)(x 3) 1X 2+1 X 3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。

例6、 分解因式： 2

x 7x 6

解：原式= 2

x [(1) ( 6)]x ( 1)( 6)

1 二K二-1

= ：(x 1)(x 6) 1 -6

(-1) + (-6) = -7

练习 5、分解因式 2 (1) x 14 x 24 ⑵ a 15a 2 36 (3) x 4x 5

练习 6、分解因式 (1) x2 x 2 (2)

y 2y 15

2 ⑶ x 10x 24 4

（二）二次项系数不为 1的二次三项式一一 ax2 bx C 条件：（1） a a〔a2 a1 C1

（2） c C1C2 a X 2 C2

（3

） b C2 a?C1 b a〔 C

2 a2 C1

分解结果： ax 2 bx c = (a1x c1)(a2x C2)

例7、 分解因式： 3x2 11x 10

分析： 1 .. -2

3 -5 (-6) +( -5)= -11

解：3x2 11x 10 = (x 2)(3x 5)

练习 7、分解因式: （1） 5x2 7x 6

2

(2)3x2 7x 2

（三）二次项系数为 1的齐次多项式 例8分解因式：a2 8ab 128b2 分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相 乘法进行分解。

1 x：8b 1 "…-16b 8b+（-16b）= -8b 解：a2 8ab 128b2=a2 [8b （ 16b）]a 8b （ 16b）

=（a 8b）（a 16b）

2 (3) 10x 17x 3 2

(4) 6y 11y 10

练习8分解因式（1） x2 2 2 3xy 2y (2) m 2 2 2 6mn 8n (3) a ab 6b

（四）二次项系数不为 1的齐次多项式 例 9、2x2 7xy 6y2 2 2 例 10、x y 3xy 2

1

2 (-3y)+(-4y)= -7y 解：原式=(x 2y)(2x 3y)

把xy看作一个整体 1-1 1亠2

(-1)+(-2)= -3 解：原式= (xy 1)(xy 2)

练习9、分解因式：（1） 15x2 7xy 4y2 2 2 (2) a x 6ax 8

合集下载

初中数学因式分解教案5篇

初中数学因式分解教案5篇

初中数学因式分解教案5篇初中数学因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式(十字相乘法、求根)、因式分解一般步骤。

教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。

分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

分解因式的常用方法有：(1)提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

(2)运用公式法，即用写出结果。

(3)十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号;括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

(5)求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么1、教学实例：学案示例2、课堂练习：学案作业3、课堂：4、板书：5、课堂作业：学案作业6、教学反思：初中数学因式分解教案篇2教学目标1、知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力。

2、过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性。

3、情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值。

重、难点与关键1、重点：利用平方差公式分解因式。

因式分解(最终教案)

因式分解(最终教案)

因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数?相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3. 4．因式分解的公式：(1)平方差公式：a2-b2=（a+ b）（a- b）；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分组、四十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号；（3）全变号；（4）换元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整体；（7）灵活分组；（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项.7．完全平方式：能化为（m+n）2的多项式叫完全平方式；对于二次三项式x2+px+q，有“ x2+px+q是完全平方式? ”.1．分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

2．提公因式法基本步骤：（1）找出公因式（2）提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

因式分解教案

因式分解教案

精选因式分解教案通用一、教学内容本节课选自高中数学教材《数学》（人教版）第二册第四章《多项式与多项式方程》中的第三节“因式分解”。

具体内容包括：因式分解的定义与意义、提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法以及综合应用。

二、教学目标1. 理解因式分解的定义和意义，能够熟练运用提取公因式、平方差公式、完全平方公式进行因式分解。

2. 培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力，提高解决问题的能力。

3. 了解因式分解在实际问题中的应用，激发学生学习数学的兴趣。

三、教学难点与重点教学难点：提取公因式、平方差公式、完全平方公式的灵活运用。

教学重点：因式分解的定义和意义，以及基本方法的掌握。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：教材、练习本、笔。

五、教学过程1. 实践情景引入通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。

2. 教学新课（1）因式分解的定义与意义（2）提取公因式法（3）平方差公式法（4）完全平方公式法3. 例题讲解讲解教材中的典型例题，引导学生运用因式分解的方法解决问题。

4. 随堂练习让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 因式分解的定义与意义2. 提取公因式法3. 平方差公式法4. 完全平方公式法5. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目（1）分解因式：x^2 5x + 6（2）分解因式：4a^2 9b^2（3）分解因式：9x^2 + 30x + 252. 答案（1）(x 2)(x 3)（2）(2a + 3b)(2a 3b)（3）(3x + 5)^2八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课的教学效果如何，学生是否掌握了因式分解的方法。

2. 拓展延伸：研究因式分解在解决实际问题中的应用，提高学生的应用能力。

重点和难点解析：1. 教学难点与重点的确定2. 实践情景引入的设计3. 教学过程中的例题讲解和随堂练习4. 作业设计中的题目和答案5. 课后反思及拓展延伸的实施详细补充和说明：一、教学难点与重点的确定1. 方法的选择与应用：因式分解有多种方法，如提取公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。

因式分解优秀教案

因式分解优秀教案

因式分解优秀教案因式分解优秀教案（精选5篇）作为一无名无私奉献的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，编写教案有利于我们科学、合理地支配课堂时间。

那么优秀的教案是什么样的呢？以下是店铺为大家整理的因式分解优秀教案（精选5篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

因式分解优秀教案篇1教学目标：1、进一步巩固因式分解的概念;2、巩固因式分解常用的三种方法3、选择恰当的方法进行因式分解4、应用因式分解来解决一些实际问题5、体验应用知识解决问题的乐趣教学重点：灵活运用因式分解解决问题教学难点：灵活运用恰当的因式分解的方法，拓展练习2、3教学过程：一、创设情景：若a=101,b=99,求a2-b2的值利用因式分解往往能将一些复杂的运算简单化，那么我们先来回顾一下什么是因式分解和怎样来因式分解。

二、知识回顾1、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.判断下列各式哪些是因式分解?(让学生先思考，教师提问讲解，让学生明确因式分解的概念以及与乘法的关系)(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 因式分解 (2).2x(x-3y)=2x2-6xy 整式乘法(3).(5a-1)2=25a2-10a+1 整式乘法 (4).x2+4x+4=(x+2)2 因式分解(5).(a-3)(a+3)=a2-9 整式乘法 (6).m2-4=(m+4)(m-4) 因式分解(7).2πR+2πr=2π(R+r) 因式分解2、.规律总结(教师讲解): 分解因式与整式乘法是互逆过程.分解因式要注意以下几点: (1).分解的对象必须是多项式.(2).分解的结果一定是几个整式的乘积的形式. (3).要分解到不能分解为止.3、因式分解的方法提取公因式法：-6x2+6xy+3x=-3x(2x-2y-1) 公因式的概念;公因式的求法公式法: 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)24、强化训练试一试把下列各式因式分解:(1).1-x2=(1+x)(1-x) (2).4a2+4a+1=(2a+1)2(3).4x2-8x=4x(x-2) (4).2x2y-6xy2 =2xy(x-3y)三、例题讲解例1、分解因式(1)-x3y3+x2y+xy (2)6(x-2)+2x(2-x)(3) (4)y2+y+例2、分解因式1、a3-ab2=2、(a-b)(x-y)-(b-a)(x+y)=3、(a+b) 2+2(a+b)-15=4、-1-2a-a2=5、x2-6x+9-y26、x2-4y2+x+2y=例3、分解因式1、72-2(13x-7) 22、8a2b2-2a4b-8b3三、知识应用1、(4x2-9y2)÷(2x+3y)2、(a2b-ab2)÷(b-a)3、解方程：(1)x2=5x (2) (x-2)2=(2x+1)24、.若x=-3,求20x2-60x的值.5、1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?四、拓展应用1.计算:7652×17-2352×17 解:7652×17-2352×17=17(7652-2352)=17(765+235)(765-235)2、20042+2004被2005整除吗?3、若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.五、课堂小结：今天你对因式分解又有哪些新的认识?因式分解优秀教案篇2教学目标：1、掌握用平方差公式分解因式的方法；掌握提公因式法，平方差公式法分解因式综合应用；能利用平方差公式法解决实际问题。