《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)

巩固练习一.选择题1．下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（ ）．A ．()()22422m n m n m n -=+-B ．()()2111m m m +-=-C ．()23434m m m m --=--D ．()224529m m m --=--2.多项式22215x xy y --的一个因式为（ ）A ．25x y -B ．3x y -C ．3x y +D ．5x y - 3. 下列多项式能分解因式的是（ ）A ．22x y+ B ．22x y -- C ．222x xy y -+- D ．22x xy y -+ 4. 将2m ()2a -＋()2m a -分解因式，正确的是（ ）A ．()2a -()2m m -B ．()()21m a m -+C ．()()21m a m --D ．()()21m a m --5. 下列四个选项中，哪一个为多项式28102x x -+的因式？（ ）A ．2x －2B ．2x ＋2C ．4x ＋1D ．4x ＋26. 若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.27. 2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-因式分解的结果是（） A ．2)5(b a - B ．2)5(b a + C ．)23)(23(b a b a +- D ．2)25(b a -8. 下列多项式中能用平方差公式分解的有（ ）①22a b --； ②2224x y -； ③224x y -； ④()()22m n ---； ⑤22144121a b -+； ⑥22122m n -+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二.填空题9.分解因式：()241x x -- ＝________.10.把23x x c ++分解因式得：23x x c ++＝()()12x x ++，则c 的值为________. 11．若221x y -=，化简()()20122012x y x y +-＝________．12. 若2330x x +-=，32266x x x +-＝__________.13.分解因式：32244a a b ab -+= ．14.把多项式22ax ax a --分解因式_________.15. 当10x =，9y =时，代数式22x y -的值是________. 16.把2221x y y ---分解因式结果正确的是_____________.三.解答题17.分解因式：（1）234()12()x x y x y ---；（2）2292416a ab b -+；（3）21840ma ma m --.18. 已知10a b +=，6ab =，求：（1）22a b +的值；（2）32232a b a b ab -+的值．19.请你说明：当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除．20. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成()()219x x --，另一位同学因看错了常数项而分解成()()224x x --，请将原多项式分解因式．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】因式分解是把多项式化成整式乘积的形式.2. 【答案】B ；【解析】()()22215253x xy y x y x y --=+-．3. 【答案】C ；【解析】A ．不能分解；B ．2222()x y x y --=-+，不能分解；C ．()2222x xy y x y -+-=--，故能够分解；D ．不能分解． 4. 【答案】C ；【解析】2m ()2a -＋()2m a -＝2m ()2a -()2m a --＝()()21m a m --．5. 【答案】A ； 【解析】将28102x x -+进行分解因式得出()()281024122x x x x -+=--，进而得出答案即可．6. 【答案】D ；【解析】2(3)(5)215x x x x -+=+-.7. 【答案】A【解析】2222)(4)(12)(9b a b a b a ++-+-＝()()()22325a b a b a b -++=-⎡⎤⎣⎦. 8. 【答案】D ；【解析】③④⑤⑥能用平方差公式分解.二.填空题9. 【答案】()22x -；【解析】()()22241442x x x x x --=-+=-. 10.【答案】2；【解析】()()21232x x x x ++=++. 11.【答案】1；【解析】()()()()()201220122012201222201211x y x y x y x y x y +-=+-=-==⎡⎤⎣⎦.12.【答案】0； 【解析】()3222662362360x x x x x x x x x +-=+-=⨯-=.13.【答案】()22a a b - ；【解析】原式=()()222442a a ab ba ab -+=-． 14.【答案】()()21a x x -+；【解析】22ax ax a --＝()()2(2)21a x x a x x --=-+. 15.【答案】19；【解析】()()()()2210910919x y x y x y -=+-=+-=. 16.【答案】()()11x y x y ++--；【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．三.解答题17.【解析】解：（1）234()12()x x y x y ---＝224()[3()]4()(32)x y x x y x y y x ---=--；（2）22292416(34)a ab b a b -+=-；（3）()()()2218401840202ma ma m m a a m a a --=--=-+. 18.【解析】解：∵10a b +=，6ab =，则（1）()2222a b a b ab +=+-＝100－12＝88； （2）()()2322322224a b a b ab ab a ab bab a b ab ⎡⎤-+=-+=+-⎣⎦＝6×（100－24）＝456． 19.【解析】解：整体上看符合平方差公式.原式=（n+7+n ﹣5）（n+7﹣n+5）=24（n+1），则当n 为自然数时，（n+7）2﹣（n ﹣5）2能被24整除．20.【解析】解：设原多项式为2ax bx c ++（其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0）．∵()()()22219210922018x x x x x x --=-+=-+，∴a ＝2，c ＝18；又∵()()()2222426821216x x x x x x --=-+=-+，∴b ＝－12．∴原多项式为221218x x -+，将它分解因式，得 ()()2222121826923x x x x x -+=-+=-．。

专题4.11 《因式分解》全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1. 理解因式分解概念，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2. 掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等四种基本方法，并能进行因式分解；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，直到每一项不能再分解为止。

【典型例题】 类型一、提取公因式1．（2020·上海市梅陇中学七年级期中）28()2()()m n m n m n +-+- 【答案】2()(35)m n m n ++ 【分析】先提公因式2（m+n ），再化简计算即可解答． 解：原式=2（m+n ）[4(m+n)﹣（m ﹣n ）]=2(m+n)(4m+4n ﹣m+n) =2(m+n)(3m+5n)．【点拨】本题考查因式分解、合并同类项，熟练掌握用提公因式法分解因式的方法，找到公因式是解答的关键． 举一反三：【变式】（2020·耒阳市冠湘中学八年级月考）分解因式：2318()12()a b b a ---【答案】26()(322)a b a b -+-【分析】原式先变形为()()231812a b a b +--，再利用提公因式法分解． 解：原式=()()231812a b a b +--=()26()32b a b a +--⎡⎤⎣⎦=()()23622a b b a +--．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题目，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．类型二、公式法2．（2019·山西九年级专题练习）分解因式：()()229x y x y -+-． 【答案】()()422x y x y ++ 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．解：()()()()()()2222229333x y x y x y x y x y x y -=-=⎡⎤⎣⎦+-+-+--∵()()()()()()22=3333334224x y x y x y x y y y x x x x y y ++-+-+=+++-- ∵()()()()()()224224=2942x y x y y x x y x y x y +++-=++-．【点拨】本题考查了平方差公式、整式运算的知识；求解的关键是熟练掌握平方差公式进行分解因式，即可得到答案． 举一反三：【变式】（2020·北京西城区·北师大实验中学八年级期中）因式分解；22(2)(2)a b a b +-+．【答案】3()(-)+a b a b【分析】利用平方差公式进行因式分解后，再进行化简即可. 解:原式=[][](2)+(2)(2)(2)+++-+a b a b a b a b=(33)(-)+a b a b =3()(-)+a b a b【点拨】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底．3（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）()()243624x y x y ++-+ 【答案】()243x y +- 【分析】先提公因式4，将（x+y ）看成一个整体，利用完全平方公式2222()a ab b a b ++=+分解因式即可．解：原式()()2496x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦()243x y =+-．【点拨】本题考查了提公因式法和完全平方公式法分解因式，解答的关键是掌握完全平方公式的结构特征，公式中的a 、b 可以表示数、字母，也可以是整式． 举一反三：【变式】（2020·辽宁沈阳市·八年级期末）分解因式：（1）3x －12x 3； （2）4m 2＋2mn ＋14n 2． 【答案】（1）3(12)(12)x x x +-；（2）21(4)4m n +． 【分析】（1）先提取公因式3x ，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式14，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 解：（1）原式23(1)4x x =-231(2)x x ⎡⎤=-⎣⎦3(12)(12)x x x =+-；（2）原式221(1684)m mn n +=+ 2281(4)4m mn n =++⎡⎤⎣⎦ 21(4)4m n =+． 【点拨】本题考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，因式分解的主要方法包括：提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．类型三、十字相乘法4．（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）因式分解：()()2550x y x y -+-- 【答案】()()105x y x y -+--【分析】将（x -y ）当做一个整体，发现-50=-5×10，-5+10=5，因此利用十字相乘法进行分解即可．解：()()2550x y x y -+--=()()105x y x y -+--．【点拨】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，对二次三项式进行因式分解时，若无法使用公式法和提取公因式法因式分解，则考虑使用十字相乘法分解．本题中注意整体思想的运用． 举一反三：【变式】 （2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）32233672m n m n mn -- 【答案】()()364mn m n m n -+【分析】先提公因式3mn ，再利用十字相乘法分解因式即可． 解：原式()223224mn m mn n=--()()364mn m n m n =-+．【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和十字相乘法分解因式是解答的关键． 类型四、分组分解法5．（2020·上海松江区·七年级期末）因式分解：323412x x y x y +--． 【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y -+-=22(4)3(4)x x y x -+- =2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解． 举一反三：【变式】（2019·上海奉贤区·七年级期末）分解因式：256152x y x xy +--．【答案】(3)(52)x x y --【分析】先分组，再利用提公因式法分解因式．解：256152x y x xy +-- =2(515)(62)x x y xy -+- =5(3)2(3)x x y x -+- =(3)(52)x x y --．【点拨】此题考查分解因式：分组分解法、提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、因式分解法，根据每个多项式的特点选用适合的分解方法是解题的关键．6．（2020·信阳市商城思源实验学校八年级月考）分解因式 x 2-y 2-z 2-2yz 【答案】 ()()x y z x y z ++-- 【分析】 （3）原式后三项运用完全平方公式分解，最后运用平方差公式进行因式分解即可； 解： x 2-y 2-z 2-2yz ；=222(2)x y z yz -++ =22()x y z -+； =()()x y z x y z ++--【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答此题的关键．【变式】（2020·上海市澧溪中学七年级月考）因式分解：2221--+x y x【答案】(1)(1)x y x y -+--【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有x 的二次项，x 的一次项，有常数项．所以要考虑后三项x 2-2x+1为一组．解：x 2-y 2-2x+1，=-y 2+（x 2-2x+1）， =-y 2+（x -1）2， =（x+y -1）（x -y -1）．【点拨】本题考查了分组分解法分解因式，难点是采用两两分组还是三一分组．比如本题有x 的二次项，x 的一次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组．类型五、综合练习7．（2020·山东东营市·丁庄镇中心初级中学八年级月考） （一）因式分解（1）()()323a m n m n +++ （2）()222224a b a b +-（二）用简便方法计算 （1）2222211111111...1123420182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）29991002998-⨯ ．【答案】（一）（1）(2)(3)a m n ++；（2）22()()a b a b -+；（二）（1）10102019；（2）1995- 【分析】（一）（1）根据提取公因式的方法分解即可；（2）首先运用平方差公式分解，然后运用完全平方公式继续分解； （二）（1）运用平方差公式解答便可； （2）根据平方差公式计算即可． 解：（一）（1）原式(2)(3)a m n =++； （2）原式2222()(2)a b ab =+-，2222(2)(2)a b ab a b ab =+-++， 22()()a b a b =-+；（二）（1）原式11111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)22334420192019=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯⋯⨯-⨯+， 1324352018202022334420192019，1202022019=⨯， 10102019=； （2）原式2(10001)(10002)(10002)=--+⨯-，2210002000110004=-+-+，1995=-．【点拨】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解以及平方差公式的应用，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，熟记公式是解答本题的关键．8.（2020·重庆南开中学八年级开学考试）()()()222222x y x y x y -+++-+- 【答案】84-+xy 【分析】运用完全平方公式、平方差公式进行计算． 解：原式()()222222x y x y =-+-+()()222222x y x y =--++()()22224x y x y x y x y =-++---+()424x y =⋅-+ 84xy =-+．【点拨】本题考查完全平方公式、平方差公式，灵活变形应用平方差公式是关键． 举一反三：【变式】（2020·上海市静安区实验中学七年级课时练习）利用分解因式计算： （1）359910088⨯ （2）2220152253851-+⨯ 【答案】（1）39999964；（2）253000 【分析】（1）利用平方差公式运算；（2）先利用平方差公式进行运算，然后再提公因式继续运算即可． 【详解】（1）原式5510010088⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2251008⎛⎫=- ⎪⎝⎭251000064=- 39999964= （2）原式()()2015220152253851=+⨯-+⨯253149253851=⨯+⨯ ()253149851=⨯+2531000=⨯ 253000=【点拨】本题考查了因式分解，根据具体数据分析确定因式分解的方法是解题的关键． 类型六、因式分解的应用9．（2020·江西九江市·八年级期末）解答下列问题：()1一正方形的面积是()22690,0a ab b a b ++>>，则表示该正方形的边长的代数式是 ．()2求证：当n 为正整数时， ()()222121n n +--能被8整除．【答案】（1）3a b +；（2）见解析 【分析】（1）根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，分解因式即可；（2）原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断． 解：（1）∵()22269=+3++a ab b a b ， 该正方形的边长的代数式是3a b +，故答案为：3a b +．（2）证明：∵ ()()()()()()22212121212121n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+--=++-+--⎣⎦⎣⎦=42n ⨯ =8n∵原式能被8整除．【点拨】本题考查了因式分解，是分解因式的实际应用，要知道分解所得的因式在实际环境中所表示的意思．同时还考查了用公式法进行因式分解．能用公式法进行因式分解的式子的结构特点需要熟记． 举一反三：【变式】 （2020·成都市金牛实验中学校七年级月考）若a ，b ，c 为ABC 的三边． （1）化简：|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|；（2）若a ，b ，c 都是正整数，且a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝0，ABC 的周长． 【答案】（1）a ﹣b ；（2）9 【分析】（1）根据三角形的三边关系化简即可；（2）根据非负数的性质和三角形的三边关系化简即可得到结论． 解：（1）∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边，∵a ﹣b+c ＞0，c ﹣a ﹣b ＜0，a+b ＞0，∵|a ﹣b+c|+|c ﹣a ﹣b|﹣|a+b|＝a ﹣b+c ﹣c+a+b ﹣a ﹣b ＝a ﹣b ；（2）∵a 2+b 2﹣2a ﹣8b+17＝（a 2﹣2a+1）+（b 2﹣8b+16）＝（a ﹣1）2+（b ﹣4）2＝0，∵a ＝1，b ＝4，∵a ，b ，c 为∵ABC 的三边， ∵4﹣1＜c ＜4+1， ∵3＜c ＜5，∵若a ，b ，c 都是正整数，。

如果因式分解的所有办法都不可用，试着 先化简，然后再做因式分解. 同类练习：第17题
技巧归纳
本章能力技巧总结： （1）观察多项式（从整体上来看）是否有公因式。如 果有，提出公因式，并且利用整式的乘法确定另一个因 式是什么（公因式要提尽；求另一个因式时，能合并同 类项的要合并同类项）； （2）观察求出的另一个因式能不能利用公式法进行因 式分解（一定要注意因式分解要彻底）； （3）如果整体没有而局部有公因式，选择分组因式分 解； （4）如果直接没有公因式解是二次三项式，试着用十 字相乘法解决； （5）当然，利用公式法解决问题时，我们有时需要利 用整体思想使问题变得简单。
基基础础巩巩固固与理解
知识点二：因式分解的基本方法
(提公因式法） 理解：什么是公因式？怎么确定公因式？
典例2.请说出下列格式的公因式 ①2x³y²与6x²y ② 与 xm yn1 2xm1 yn 典例3.把下列各式进行因式分解 ①2x³y²+6x²y(变式： -2x³y²+6x²y） ② xm yn1 2xm1 yn ③ (x+3)(x-2)²-3(2-x)²
同类练习：试卷第12题

基础巩固与理解
（公式法）
理解：把各式与公式相对照，找到公式里面的a与b 是多少(或整体思想），然后套用公式计算即可。
典例4.把下列各式因式分解： ① 9x2 16 y2 ② (3x y)2 (2x y)2 同类练习：第16题
能力提升
知识点三：因式分解常见方法的灵活运用
典例5.把下列各式因式分解：
① 2a3 8a2 8a
② x3 x ③（分组因式分解）
a2 ab ac bc x3 6x2 x 6
④ （十字相乘法）
6x2 5x 1

【巩固练习】一.选择题1. 下列式子变形是因式分解的是（ ）A ．()25656x x x x -+=-+B ．()()25623x x x x -+=--C ．()()22356x x x x --=-+D ．()()25623x x x x -+=++2. 已知：△ABC 的三边长分别为a b c 、、，那么代数式2222b c ac a -+-的值（ ）A.大于零B.等于零C.小于零 D 不能确定3．已知31216x x -+有一个因式是4x +，把它分解因式后应当是（ ）A ．2(4)(2)x x +-B ．2(4)(1)x x x +++C ．2(4)(2)x x ++D ．2(4)(1)x x x +-+4．若()()2x a x b x px q ++=++，且0p >，0q <，那么a b ，必须满足条件( )． A.a b ，都是正数B. a b ，异号，且正数的绝对值较大C.a b ，都是负数D. a b ，异号，且负数的绝对值较大 5.（2016•张家港市期末）把2288x y xy y -+分解因式，正确的是（ ）A ．()2244x y xy y -+B ．()2244y x x -+ C ．()222y x - D ．()222y x + 6．将下述多项式分解后，有相同因式1x -的多项式有 ( ) ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个7. 已知()()()()1931131713171123x x x x -----可因式分解成()()8ax b x c ++，其中,,a b c 均为整数，则a b c ++=（ ）A ．－12B ．－32C ．38D ．728. 将3223x x y xy y --+分组分解，下列的分组方法不恰当的是（ ）A. 3223()()x x y xy y -+-+B. 3223()()x xy x y y -+-+C. 3322()()x y x y xy ++--D. 3223()x x y xy y --+二.填空题9.（2016•诸城市一模）因式分解：()222416x x +-= ． 10. 分解因式：()()229a b a b +--＝_____________.11.已知2226100m m n n ++-+=，则mn ＝ ．12.分解因式：()()223a a a +-+＝__________.13．若32213x x x k --+有一个因式为21x +，则k 的值应当是_________.14.把多项式22ac bc a b -+-分解因式的结果是__________.15.已知5,3a b ab +==，则32232a b a b ab -+＝ ．16.分解因式：（1）4254x x -+＝________；（2）3322a m a m am +--＝________. 三.解答题17.求证：791381279--能被45整除．18.（2015春•焦作校级期中）已知x 2+x=1，求x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015的值．19.（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；②由此，你可以得出的一个等式为：________.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图等方法推出22252a ab b ++因式分解的结果，画出你的拼图．20.下面是某同学对多项式()()642422+-+-x x x x ＋4进行因式分解的过程：解：设y x x =-42原式＝()()264y y +++ （第一步）＝2816y y ++ （第二步）＝()24+y （第三步）＝()2244+-x x （第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）A ．提取公因式 B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？______________(填彻底或不彻底)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()122222++--x x x x 进行因式分解.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】A.()25656x x x x -+=-+右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；B.()()25623x x x x -+=--是整式积的形式，故是分解因式，故本选项正确； C.()()22356x x x x --=-+是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误； D.()()25623x x x x -+=--，故本选项错误． 2. 【答案】C ；【解析】()()()222222a ac c b a c b a c b a c b -+-=--=-+--，因为a b c 、、为三角形三边长，所以0,0a b c a b c +->--<，所以原式小于零.3. 【答案】A【解析】代入答案检验.4. 【答案】B ；【解析】由题意00a b ab +><，，所以选B.5. 【答案】C ；【解析】2288x y xy y -+()2244y x x =-+()222y x =- 6. 【答案】C ；【解析】①，③，⑤，⑥分解后有因式1x -.7.【答案】Ａ；【解析】原式＝()()()()131719311123131788x x x x x ---+=--，∵可以分解成()()8ax b x c ++，∴13,17,8a b c ==-=-∴a b c ++=－12．8. 【答案】D ；【解析】A 、B 各组提公因式后，又有公因式可提取分解，所以分组合理，C 第一组运用立方和公式，第二组提取公因式后，有公因式x y +，所以分组合理，D 第一组提取公因式后与第二组无公因式且又不符公式，所以分解不恰当.二.填空题9. 【答案】()()2222x x +-；【解析】()222416x x +-=()()224444x x x x +-++=()()2222x x +-10.【答案】()()422a b a b ++；【解析】()()()()()()22933a b a b a b a b a b a b +--=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦＝()()4224a b a b ++＝()()422a b a b ++．11.【答案】－3；【解析】()()22222610130,1,3m m n n m n m n ++-+=++-==-=.12.【答案】()()14a a -+；【解析】()()223a a a +-+＝234a a +-＝()()14a a -+．13.【答案】－6；【解析】由题意，当12x =-时，322130x x x k --+=，解得k ＝－6.14.【答案】()()a b a b c -++；【解析】22ac bc a b -+-＝()()()c a b a b a b -++-＝()()a b a b c -++．15.【答案】39；【解析】原式＝()()()2224353439ab a b ab a b ab ⎡⎤-=+-=⨯-⨯=⎣⎦.16.【答案】()()()()1122x x x x +-+-；()()2a m a m -+；【解析】()()()()()()422254141122x x x x x x x x -+=--=+-+-；()()332222a m a m am a a m m a m +--=---()()()()222a m a m a m a m =--=-+.三.解答题 17.【解析】证明：原式＝1499132827269939333-⨯-=--＝()2623331--＝262435345⨯=⨯．所以能被45整除．18.【解析】解：∵x 2+x=1，∴x 2=1﹣x ，x 2﹣1=﹣x ，∴x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015=x 2（x 2﹣1）+x 3﹣x 2﹣x+2015=x 2（﹣x ）+x 3﹣x 2﹣x+2015=﹣（x 2+x ）+2015=﹣1+2015=2014．即x 4+x 3﹣2x 2﹣x+2015=2014．19.【解析】解：（1）①长方形的面积＝221a a ++；长方形的面积＝()21a +；②()22211a a a ++=+；（2）①如图，可推导出()2222a ab b a b ++=+；②()()2225222a ab b a b a b ++=++．20.【解析】解：（1）C ；（2）不彻底；()42x -；（3）设22x x y -=，原式＝()22121y y y y ++=++()()()22421211y x x x =+=-+=-.。

温馨提示：所求代数式能不能进行因式分解，分解 解：原式=xy(a2-2ab+b2) 成含有xy,和a-b的样子。然后代入求值。 =xy(a-b)2 当xy=5,a-b=6时 原式=5×62 =180
知识点②
与因式分解有关的开发题
1 1 1、给出三个多项式： x2+2x-1, x2+4x+1, 2 2 1
=(1-2)+(2-3)+…+(999-1000) =1-1000
=-999
今天我们的收 获
。
知识点①
巧用整体思想因式分解
1、因式分解：(x+2)(x+4)+x2-4
温馨提示：全部展开计算费事哦，能不能把某些 解原式=(x+2)(x+4)+(x+2)(x-2) 部分看成一个整体呢？ =(x+2)(x+4+x-2)
=(x+2)(2x+2) =2(x+2)(x+1)
2、已知xy=5,a-b=6,求xya2+xyb2-2abxy的值
第四章因式分解
复习与巩固
执教：桐林中学曾志谋
要点归纳
一、因式分解
1、因式分解：把一个多项式化成几个整式 乘积 的形 式叫做因式分解。 2、因式分解的方 法:(1) 提公因式法 ;(2) 运用公式法
.
3、因式分解的一般步骤：
（1）如果一个多项式各项有公因式，一般应 先 。 提公因式
（2）如果一个多项式各项没有公因式，一般应先 考虑 运用公式法 ； 如果多项式有两项应考虑 用 平方差公式 应考虑用 完全平择你喜欢的两个多项式进行加法 x 2 运算，并把结果因式分解。

中考数学“因式分解”典例及巩固训练（1）一、典型例题例1、（2017•广东省）分解因式：a 2+a = ．解：答案为a (a+1)例2、（2019•黄冈市）分解因式3x 2﹣27y 2＝ ． 解：原式＝3（x 2﹣9y 2）＝3（x +3y ）（x ﹣3y ），故答案为：3（x +3y ）（x ﹣3y ）例3、因式分解：221222x xy y ++. 解：22221122(44)22x xy y x xy y ++=++21(2)2x y =+．二、巩固训练1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．x 2+2x ﹣1=(x ﹣1)2B ．(a +b )(a ﹣b )=a 2﹣b 2C ．x 2+4x +4=(x +2)2D ．ax 2﹣a =a (x 2﹣1)2．下列多项式可以用平方差公式分解因式的是( )A ．224x y +B ．224x y -+C ．224x y --D ．324x y -3. 下列各式中，能用完全平方公式分解的个数为( )①21025x x -+：②2441a a +-；③221x x --；④214m m -+-；⑤42144x x -+ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．如果代数式2425x kx ++能够分解成2(25)x -的形式，那么k 的值是( )A ．10B ．20-C ．10±D ．20±5. 分解因式：（1）a 2b ﹣abc = ．（2）3a (x ﹣y )﹣5b (y ﹣x )= ．6．分解因式：4a 2﹣4a +1= ．7．分解因式：2a 2﹣4a +2= ．8．（2017•广州市）分解因式：xy 2﹣9x = ．9.分解因式：x 6﹣x 2y 4= ．10．（2018•黄冈市）因式分解：x 3﹣9x = ．11．（2018•葫芦岛市）分解因式：2a 3﹣8a = ．12．因式分解： （1）2218x -； （2）224129a ab b -+； （3）3221218x x x -+；13．（2019·河池市）分解因式：2(1)2(5)x x -+-．14．分解因式：4224816x x y y -+．15.分解因式：（1）22()+x y x y -- ； （2）22()()a x y b x y ---； （3）229()()m n m n +--.★★★★1.阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式22(41)(47)9x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -=原式(1)(7)9y y =+++（第一步）2816y y =++（第二步）2(4)y =+（第三步）22(44)x x =-+（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；A ．提取公因式法B ．平方差公式法C ．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果： ；（3）请你用换元法对多项式22(2)(22)1x x x x ++++进行因式分解．2．【阅读材料】对于二次三项式222a ab b ++可以直接分解为2()a b +的形式，但对于二次三项式2228a ab b +-，就不能直接用公式了，我们可以在二次三项式2228a ab b +-中先加上一项2b ，使其成为完全平方式，再减去2b 这项，（这里也可把28b -拆成2b +与29b -的和），使整个式子的值不变．于是有：2228a ab b +-222228a ab b b b =+-+-2222(2)8a ab b b b =++--22()9a b b =+-[()3][()3]a b b a b b =+++-(4)(2)a b a b =+-我们把像这样将二次三项式分解因式的方法叫做添（拆)项法．【应用材料】（1）上式中添（拆)项后先把完全平方式组合在一起，然后用 法实现分解因式．（2）请你根据材料中提供的因式分解的方法，将下面的多项式分解因式：①268m m ++；②4224a a b b ++★★★★★1．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A 类、C 类正方形卡片和B 类长方形卡片．用若干张A 类、B 类、C 类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解：2223(2)()a ab b a b a b ++=++．（1）如图3，用1张A 类正方形卡片、4张B 类长方形卡片、3张C 类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ；（2）若解释因式分解2234()(3)a ab b a b a b ++=++，需取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形；（3）若取A 类、B 类、C 类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面题1图积为22++，则m的值为，将此多项式分解因式5a mab b为．巩固训练参考答案1．C2．B3. B4．B5. （1） ab (a ﹣c) ． （2）(3a+5b )(x ﹣y ) ．6．（2a ﹣1）2．7．2(a ﹣1)2．8．x (y +3)(y ﹣3)．9. x 2(x 2+y 2)(x +y )(x ﹣y ) ．10．x (x +3)(x ﹣3)．11．2a (a +2)(a -2)．12．解：（1）；（2）；（3）原式．13．解：原式．14．解：原式．15.解：（1）原式=；（2）原式；（3）原式．★★★★1.解：（1）故选：；2218x -22(9)x =-2(3)(3)x x =+-224129a ab b -+22(2)12(3)a ab b =-+2(23)a b =-222(69)2(3)x x x x x =-+=-221210x x x =-++-29x =-(3)(3)x x =+-22(4)x y =-22(2)(2)(2)x y x y x y =+-+22())(x y x y ---)[2(1])(x y x y =---)(22(1)x y x y =---22()()x y a b =--()()()x y a b a b =-+-22[3()]()m n m n =+--(33)(33)m n m n m n m n =++-+-+4(2)(2)m n m n =++C（2），设，原式，，，，；故答案为：；（3）设，原式，，，，．2．解：（1）上式中添（拆项后先把完全平方式组合在一起，然后用公式法实现分解因式． 故答案为：公式；（2）①；②．22(41)(47)9x x x x -+-++24x x y -=(1)(7)9y y =+++2816y y =++2(4)y =+22(44)x x =-+4(2)x =-4(2)x -22x x y +=(2)1y y =++221y y =++2(1)y =+22(21)x x =++4(1)x =+)268m m ++2691m m =++-22(3)1m =+-(31)(31)m m =+++-(4)(2)m m =++4224a a b b ++4224222a a b b a b =++-2222()()a b ab =+-2222()()a b ab a b ab =+++-★★★★★1．解：（1）由图可得，，故答案为：；（2）如右图所示；（3）由题意可得，，，故答案为：6，．2243()(3)a ab b a b a b ++=++2243()(3)a ab b a b a b ++=++6m =2256(5)()a ab b a b a b ++=++(5)()a b a b ++中考数学“因式分解”典例及巩固训练（2）一、典型例题例1、因式分解：222a ab b ac bc ++++．解：原式22(2)()a ab b ac bc =++++2()()a b c a b =+++()()a b a b c =+++例2、用十字相乘法进行因式分解：232x x ++.解：原式(1)(2)x x =++．例3、在实数范围内进行分解因式：35x x -．解：原式2(5)x x =-(x x x =+-．二、巩固训练1．用分组分解法进行因式分解：（1）2221x y xy +--； （2）3223x x y xy y +--．2．（2017•百色市）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x 2﹣x ﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3)，验算：“交叉相乘之和”； 题2图1×3+2×(﹣1)=1 1×(﹣1)+2×3=5 1×(﹣3)+2×1=﹣1 1×1+2×(﹣3)=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×(﹣3)+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1． 即：(x +1)(2x ﹣3)=2x 2﹣3x +2x ﹣3=2x 2﹣x ﹣3，则2x 2﹣x ﹣3=(x +1)(2x ﹣3)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x 2+5x ﹣12= ．3.用十字相乘法分解因式：（1）x 2+2x ﹣3= ．（2）x 2﹣4x +3= ．（3）22x x +-= .（4）2215a a --= .（5）4x 2+12x ﹣7= ．4．选择恰当的方法进行分解因式：（1）26x x --； （2）2363a a -+； （3）226a ab b --；（4）29(2)(2)a x y y x -+-； （5）2222a b a b --+；（6）34x x -；5．分解因式：（1）22430y y --； （2）224414a b b +--.6．在实数范围内将下列各式分解因式：（1）22363ax axy ay -+； （2）35x x -．7．在实数范围内分解因式：（1）9a 44b - 4； （2）x 22- 3+；（3）x 5﹣4x .★★★★1．阅读下面的问题，然后回答，分解因式：223x x +-，解：原式22113x x =++--2(21)4x x =++-2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++- (3)(1)x x =+-上述因式分解的方法称为配方法．请体会配方法的特点，用配方法分解因式： （1）243x x -+； （2）24127x x +-．2．在实数范围内分解因式221x x --．3．因式分解是数学解题的一种重要工具，掌握不同因式分解的方法对数学解题有着重要的意义．我们常见的因式分解方法有：提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等．在此，介绍一种方法叫“试根法”例：32331x x x -+-，当1x =时，整式的值为0，所以，多项式有因式(1)x -，设322331(1)(1)x x x x x ax -+-=-++，展开后可得2a =-，所以3223331(1)(21)(1)x x x x x x x -+-=--+=-根据上述引例，请你分解因式：（1）2231x x -+； （2）32331x x x +++．★★★★★1．请看下面的问题：把44x +分解因式．分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？19世纪的法国数学家苏菲·热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和222()2x +的形式，要使用公式就必须添一项24x ，随即将此项24x 减去，即可得：4422222222224444(2)4(2)(2)(22)(22)x x x x x x x x x x x x +=++-=+-=+-=++-+人们为了纪念苏菲·热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”. 请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解． （1）444x y +；（2）2222x ax b ab ---． 2．【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式2ax bx c ++进行因式分解呢？我们已经知道，2211221212211212122112()()()a x c a x c a a x a c x a c x c c a a x a c a c x c c ++=+++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++．我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c ，如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到1221a c a c +，如果1221a c a c +的值正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解为1122()()a x c a x c ++，其中1a ，1c 位于图的上一行，2a ，2c 位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子26x x --分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即111=⨯，把常数项6-也分解为两个因数的积，即62(3)-=⨯-；然后把1，1，2，3-按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1(3)121⨯-+⨯=-，恰好等于一次项的系数1-，于是26x x --就可以分解为(2)(3)x x +-．题2图请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法” 分解因式：26x x +-= (3)(2)x x +- ．【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：（1）2257x x +- ；（2）22672x xy y -+= ． 【探究与拓展】对于形如22ax bxy cy dx ey f +++++的关于x ，y 的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图④，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b +=，pk qj e +=，mk nj d +=，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式()()mx py j nx qy k =++++，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：（1）分解因式2235294x xy y x y +-++-= ．（2）若关于x ，y 的二元二次式22718524x xy y x my +--+-可以分解成两个一次因式的积，求m 的值．（3）已知x ，y 为整数，且满足2232231x xy y x y ++++=-，请写出一组符合题意的x ，y 的值．巩固训练参考答案1．解：（1）．解：（2）原式． 2．(x +3)(3x ﹣4)． 3.（1）(x +3)(x -1) ． （2）(x ﹣1)(x ﹣3) ． （3） . （4） . （5）(2x +7)(2x ﹣1) ．4．解：（1）原式． （2）原式； （3）原式； （4）原式．（5）原式． （6）原式； 5．.解：（1）原式 ；（2）原式．6．解：（1）原式；2221x y xy +--2()1x y =--(1)(1)x y x y =-+--3223222()()()()()()x x y xy y x x y y x y x y x y =+-+=+-+=+-(2)(1)x x +-(5)(3)a a -+(2)(3)x x =+-23(21)a a =-+23(1)a =-(3)(2)a b a b =-+29(2)(2)a x y x y =---2(2)(91)x y a =--(2)(31)(31)x y a a =-+-()()2()()(2)a b a b a b a b a b =+---=-+-2(4)(2)(2)x x x x x =-=+-22(215)y y =--2(5)(3)y y =-+224(144)a b b =--+224(12)a b =--(221)(221)a b a b =+--+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-（2）原式，．7．解：（1）原式； （2）原式．（3）原式=★★★★1．解：（1）（2）2．解：．3.解：（1）当时，整式的值为0，所以，多项式有因式， 于是； （2）当时，整式的值为0，多项式中有因式，2(5)x x =-(x x x =222222(32)(32)(32)a b a b a b =+-=++2(x =2(2)(x x x x +243x x -+24443x x =-+-+2(2)1x =--(21)(21)x x =-+--(1)(3)x x =--24127x x +-2412997x x =++--2(23)16x =+-(234)(234)x x =+++-(27)(21)x x =+-221x x --22111x x =-+--2(1)2x =--(11x x =---1x =(1)x -2231(1)(21)x x x x -+=--1x =-∴32331x x x +++(1)x +于是可设，，， ，，．★★★★★1．解：（1）原式； （2）原式． 2．解：【阅读与思考】分解因式：； 故答案为：； 【理解与应用】（1）； （2）；故答案为：（1）；（2）； 【探究与拓展】（1）分解因式； 故答案为：（2）∵关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 存在其中，，；而，，或，故的值为43或；（3），为整数，且满足，可以是，（答案不唯一）．32232331(1)()(1)()x x x x x mx n x m x n m x n +++=+++=++++-13m ∴+=3n m +=2m ∴=1n =3223331(1)(21)(1)x x x x x x x ∴+++=+++=+442222222222222444(2)4(22)(22)x y x y x y x y x y x y xy x y xy =++-=+-=+++-22222222()()()(2)x ax a a b ab x a a b x b x a b =-+---=--+=+--26(3)(2)x x x x +-=+-(3)(2)x x +-2257(1)(27)x x x x +-=-+22672(1)(27)x xy y x x -+=-+(1)(27)x x -+(1)(27)x x -+2235294(21)(34)x xy y x y x y x y +-++-=+--+(21)(34)x y x y +--+x y 22718524x xy y x my +--+-∴111⨯=9(2)18⨯-=-(8)324-⨯=-71(2)19=⨯-+⨯51(8)13-=⨯-+⨯271643m ∴=+=72678m =--=-m 78-x y 2232231x xy y x y ++++=-1x =-0y =。

（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式： 分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相 乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= = 练习8、分解因式(1)(2)(3)
（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式= 练习9、分解因式：（1） （2）
一、填空：（30分） 1、若是完全平方式，则的值等于_____。 2、则=____=____ 3、与的公因式是＿ 4、若=，则m=_______，n=_________。 5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的 有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若是完全平方式，则m=_______。 7、 8、已知则 9、若是完全平方式M=________。 10、， 11、若是完全平方式，则k=_______。 12、若的值为0，则的值是________。 13、若则=_____。 14、若则___。 15、方程，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式的公因式是（ ） A、－a、 B、 C、 D、 2、若，则m，k的值分别是（ ） m=4， A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、D k=12、 3、下列名式：中能用平方差公 式分解因式的有（ 4、计算的值是（ ） ） A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
解法2——添项。 = == =
七、待定系数法。 例16、分解因式 分析：原式的前3项可以分为，则原多项式必定可分为 解：设=

因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

专题4.12 《因式分解》全章复习与巩固（专项练习）一、单选题1．（2020·山东淄博市·八年级期中）下列变形：①()222x x y x xy -=-，①2222(2)x xy y x y x y ++=++，①()()2933x x x -=+-，①2x y x x y =⋅⋅，其中是因式分解的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2021·全国八年级）多项式x 2+7x ﹣18因式分解的结果是（ ） A ．（x ﹣1）（x +18） B ．（x +2）（x +9） C ．（x ﹣3）（x +6）D ．（x ﹣2）（x +9）3．（2021·全国八年级）下列各式：①﹣x 2﹣y 2；①﹣14a 2b 2+1； ①a 2+ab +b 2； ①﹣x 2+2xy ﹣y 2；①14﹣mm +m 2n 2，用公式法分解因式的有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（2021·山东淄博市·八年级期末）计算20202021(2)(2)-+-所得的结果是（ ）． A ．20202-B ．20212-C ．20202D ．-25．（2021·重庆綦江区·八年级期末）下列各选项中，因式分解正确的是（ ） A ．222()a b a b +=+ B ．224(2)x x -=- C ．2244(2)m m m -+=-D ．2262(3)y y y y -+=-+6．（2021·河南焦作市·八年级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2211()a a a a a-=- B ．2(3)(1)23a a a a -+=-- C ．2()a ab a a b -=-D ．2632a b ab a =⋅7．（2021·全国八年级）在多项式22x y +，22y x -+，22x y --，21x x 4++，2x 2x 1-+-，24x 14x +-中，能用公式法分解因式的有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个8．（2020·黑龙江齐齐哈尔市·八年级期末）下列因式分解中，正确的是 （ ） A ．a (x -y )+b (y -x )=(x -y )(a -b ) B ．ax +xy +a =x (x +y ) C ．x 2-4y 2=(x -4y )(x +4y )D ．4x 2+9=(2x +3)29．（2020·首都师范大学附属育新学校八年级月考）下列因式不能整除322344x y x y xy ++（ ） A ．xyB ．2x y +C ．22x xy +D ．22xy y +10．（2020·南通市八一中学八年级月考）我们所学的多项式因分解方法主要有：①提公因式法；①平方差公式法；①完全平方公式法．现将多项式3()4()x y y x -+-进行因式分解，使用的方法有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①11．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）把3x 3−12xy 2分解因式，结果正确的（ ） A ．3（x +2xy ）（x −2xy ） B ．3x （x 2−4y 2） C ．3x （x −2y ）（x +2y ）D ．3x （x −4y 2）12．（2021·甘肃定西市·八年级期末）已知1x y +=，则2212x y 1xy+2+ ＝（ ） A ．1B ．12C ．2D ．1或213．（2020·广西防城港市·八年级月考）若a+b=1，则22a b 2b -+的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．114．（2020·山西八年级期末）下列多项式中，能分解出因式1m +的是（ ） A ．221m m -+B ．21m +C ．21m m ++D ．2m m +15．（2021·北京顺义区·八年级期末）化简22a b ab b a--结果正确的是（ ）A ．abB ．ab -C ．22a b -D ．22b a -16．（2021·河南信阳市·八年级期末）多项式a 2﹣4与a 2﹣2a 的公因式是（ ） A ．a +2B ．a ﹣2C ．aD ．a ﹣117．（2020·昭通市昭阳区第一中学八年级月考）小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：-a b ，x y -，x y +，+a b ，22x y -，22a b -分别对应下列六个字：通、爱、我、昭、丽、美、现将()()222222x y a xy b ---因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A ．我爱美丽B ．美丽昭通C ．我爱昭通D ．昭通美丽18．（2020·唐河县桐寨铺镇第一初级中学八年级月考）长和宽分别为a ，b 的长方形的周长为16，面积为12，则22 a b ab +的值为（ ） A ．24B ．48C ．96D ．19219．（2021·天津河西区·八年级期末）若a ＝1，则2933a a a -++的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-20．（2021·山东滨州市·八年级期末）对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，①4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，①是乘法运算D ．①是乘法运算，①是因式分解二、填空题21．（2020·焦作市第十七中学七年级期中）计算：（﹣2）100+（﹣2）99＝_____．22．（2020·北京海淀区·人大附中八年级月考）若,x y 是正整数，则2228160x xy y ---=，则x y +=____________23．（2020·四川自贡市·成都实外八年级期中）若多项式252mx x -+有一个因式为(1)x -，那么m =________．24．（2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学九年级其他模拟）把322ax ax ax -+分解因式的结果是______．25．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）因式分解2ax a -=_________．26．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x ，y 的长方形纸片围成一个大正方形ABCD ，中间是空的小正方形EFGH ．若AB a ，EF b =，判断以下关系式：①x y a +=；①x y b -=；①222a b xy -=；①22x y ab -=；①22222a b x y ++=．正确的是_____________（填序号）．27．（2020·山东泰安市·泰山外国语学校八年级月考）分解因式：2232ax a x a -+=______． 28．（2019·淮安外国语学校九年级期末）分解因式x 2y －2xy ＋y ＝_________29．（2020·南通市通州区兴仁中学八年级月考）因式分解：236x y y -=__________． 30．（2020·吉林长春市·八年级期末）分解因式：3244x x x -+=__________． 31．（2020·湖北黄冈市·思源实验学校八年级月考）计算：2020×512－2020×492的结果是________．32．（2020·武汉市卓刀泉中学八年级月考）因式分解：228x x --=______．33．（2020·南通市启秀中学八年级月考）若①ABC 三边a 、b 、c 满足20a ab ac bc --+=，则①ABC 是___________三角形．34．（2021·庆云县第二中学八年级期末）分解因式：324x xy -=___________________________________．35．（2020·吉林四平市·八年级期末）若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____． 36．（2021·全国八年级）已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0，则b c a +＝__． 37．（2020·吉林长春市·八年级期末）若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．38．（2019·浙江杭州市·九年级期末）因式分解：316m m -=________． 39．（2021·河南周口市·八年级期末）因式分解269x y xy y -+-=______． 40．（2021·山东滨州市·八年级期末）分解因式：32m n m -=________．41．（2021·河南周口市·八年级期末）已知210x x +-=，则代数式3222020x x ++的值为________．三、解答题42．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）某园林公司现有A 、B 两个区，已知A 园区为长方形，长为()x y +米，宽为()x y -米；B 园区为正方形，边长为(3)x y +米． （1）请用代数式表示A 、B 两园区的面积之和并化简；（2）现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11)x y -米，宽减少(2)x y -米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米． ①求x ，y 的值；①若A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C 、D 两种花投入的费用与收益如表：比较整改后A 、B 两园区的净收益的大小关系．（净收益=收益-投入）43．（2021·福建泉州市·八年级期末）所谓完全平方式，就是对一个整式M ，如果存在另一个整式N ，使2M N =，则称M 是完全平方式，如：422()x x =、222)2(x xy y x y =+++，则称4x 、222x xy y ++是完全平方式．（1）下列各式中是完全平方式的编号有 ．①2244a a b ++；①24x ；①22x xy y -+； ①21025y y --；①21236x x ++；①2124949a a -+ （2）已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边长，满足22222()a b c c a b ++=+，判定ABC ∆的形状．（3）证明：多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．44．（2021·河南郑州市·八年级期末）（1）计算：()()()()23232121a a a a a -++-+-（2）分解因式：244xy xy x -+45．（2021·河南驻马店市·八年级期末）因式分解 （1）m 3﹣36m （2）（m 2+n 2)2-4m 2n 2参考答案1．A【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，分别进行判断可得答案．【详解】解：①是整式的乘法，故①不是因式分解；①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；①一个多项式转化成几个整式积的形式，故①是因式分解；①原式不是多项式，故①不是因式分解；所以本题是因式分解的有：1个，故选：A．【点拨】本题考查了因式分解的定义，能准确掌握因式分解的定义所表示的含义是解题的关键．2．D【分析】将原式利用十字相乘法分解即可．【详解】用十字相乘法可得x2+7x﹣18＝（x﹣2）（x+9），故选：D．【点拨】此题考察了因式分解的十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键．3．B【分析】根据每个多项式的特征，结合平方差公式、完全平方公式的结构特征，综合进行判断即可．【详解】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），因此①不能用公式法分解因式；①﹣14a2b2+1＝1﹣21()2ab＝（1+12ab）（1﹣12ab），因此①能用公式法分解因式；①a2+ab+b2不符合完全平方公式的结果特征，因此①不能用公式法分解因式；①﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x2﹣2xy+y2）＝﹣（x﹣y）2，因此①能用公式法分解因式；①14﹣mm+m2n2＝（12﹣mn）2，因此①能用公式法分解因式；综上所述，能用公式法分解因式的有①①①，故选：B．【点拨】本题考查平方差公式、完全平方公式，掌握公式的结果特征是应用的前提．4．A【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可．【详解】(−2)2020+(−2)2021=(−2)2020×(1−2) =−22020．故选：A．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键．5．C【分析】分别对各式因式分解得到结果，即可作出判断．【详解】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式=（x+2）（x-2），不符合题意；C、原式=（m-2）2，符合题意；D、原式=-2y（y-3），不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．C【分析】根据因式分解的定义进行判断，即，把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解，【详解】A ．没有把多项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意；B ．是整式的乘法，故不符合题意；C ．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故符合题意；D ．把一个单项式转化成几个整式积的形式，故不符合题意； 故选：C ． 【点拨】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解的意义是解答本题的关键． 7．B 【分析】根据平方差公式和完全平方公式分析即可． 【详解】解： 2x ＋2y 两项符号相同，无法运用公式法进行因式分解；()()22y x x y x y -+=+-，能用公式法分解因式；2x -－2y ，两项符号相同，不能用公式法分解因式；2211x x x 42⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，能用公式法分解因式；()()222x 2x 1x 2x 1x 1-+-=--+=--，能用公式法分解因式；()()2224x 14x 2x 22x 12x 1+-=-⨯+=-，能用公式法分解因式．综上，正确的有4个． 故选B ． 【点拨】本题考查了平方差公式和完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a 2-b 2=(a+b ) (a -b )，a 2±2ab +b 2=(a ±b )2是解答本题的关键． 8．A 【分析】各式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A 、原式()()x y a b =--，符合题意；B 、原式不能因式分解，不符合题意；C 、原式(2)(2)x y x y =-+，不符合题意；D 、原式不能在实数范围内因式分解，不符合题意．故选：A ． 【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 9．C 【分析】先将4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3按照因式分解的方法进行变形，则可得出哪些整式可以整除多项式4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3，则问题得解． 【详解】解：①4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3 ＝xy （4x 2＋4xy ＋y 2） ＝xy （2x ＋y ）（2x ＋y ） ＝x （2xy ＋y 2）（2x ＋y ）①xy 、（2x ＋y ）、（2xy ＋y 2）均能整除4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3，x 2＋2xy 不能整除4x 3y ＋4x 2y 2＋xy 3． 故选：C ． 【点拨】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法并正确对原式变形是解题的关键． 10．A 【分析】直接利用提取公因式法以及平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解：3()4()x y y x -+- =3()4()x y x y --- =（x -y ）[（x -y ）2-4]=（x -y ）（x -y+2）（x -y -2），故将多项式（x -y ）3+4（y -x ）进行因式分解，使用的方法有：①提公因式法；①平方差公式法；故选：A ．【点拨】本题考查综合运用公式法和提取公因式法因式分解．一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项，则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止． 11．C【分析】先提取公因式3x ，然后再利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：()()()223234331222x x yx x y x y x xy =--=+-； 故选C ．【点拨】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．12．B【分析】首先提公因式，再利用完全平方公式分解因式，然后将1x y +=代入计算即可．【详解】 解：2212x y 1xy+2+ 22122x xyy 212x y当1x y +=时，原式2111=22， 故选：B ．【点拨】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，代数式的求值，熟悉相关运算法则是解题的关键．13．D【分析】把22a b 2b -+进行变形，代入a+b=1，计算，再次代入即可求解．【详解】解：()()22a b 2b=a+b a-b 2b=a-b+2b=a+b=1-++． 故选：D【点拨】本题考查了对式子变形求解，熟练掌握平方差公式是解题关键，本题也可以把a+b=1变形为a=1-b ，代入求值．14．D【分析】利用完全平方公式和提公因式法进行计算并作出判断即可．【详解】A 、原式=()21m -，该式不能分解出因式1m +，本选项不符合题意；B 、原式不能分解，本选项不符合题意；C 、原式不能分解，本选项不符合题意；D 、原式=()1m m +，能分解出因式1m +，本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 15．B【分析】把分子分解因式后与分母约分即可．【详解】 解：22a b ab b a--=()ab a b b a --=ab -． 故选B ．【点拨】本题考查了分式的约分，解题的关键是确定公因式：取各系数的最大公因数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最低次幂，本题也考查了因式分解．16．B【分析】先把两个多项式分解因式，进而求得公因式．【详解】①a2﹣4=(a+2)(a-2)，a2﹣2a=a(a-2)，①多项式a2﹣4与a2﹣2a的公因式是：a-2.故选B．【点拨】本题主要考查多项式的公因式，把多项式分解因式，是解题的关键．17．C【分析】将式子先提取公因式再用平方差公式因式分解可得：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），再结合已知即可求解．【详解】解：（x2-y2）a2-（x2-y2）b2=（x2-y2）（a2-b2）=（x+y）（x-y）（a+b）（a-b），由已知可得：我爱昭通，故选：C．【点拨】本题考查了因式分解的应用；将已知式子进行因式分解，再由题意求解是解题的关键．18．C【分析】根据已知条件长方形的长与宽之和为8，长与宽之积为12，然后分解因式代入即可．【详解】①长方形的周长为16，①8+=，a b①面积为12，ab=，①12①()2212896a b ab ab a b +=+=⨯=， 故选：C ．【点拨】本题考查的是因式分解的应用，以及长方形周长和面积的计算，熟练掌握长方形的周长和面积的计算公式是解答本题的关键．19．B【分析】根据同分母分式减法法则计算，再将a=1代入即可求值．【详解】2933a a a -++=293a a -+=a -3， 当a=1时，原式=1-3=-2，故选：B．【点拨】此题考查分式的化简求值，掌握因式分解及同分母分式的减法计算法则是解题的关键． 20．D【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；①4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，①因式分解．故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．21．299【分析】原式提取公因式992后，计算即可得到结果．【详解】解：原式＝()()99221--+992=．故答案为：992．【点拨】本题考查因式分解提取公因式的方法，熟练掌握提取公因式方法是解题的关键． 22．7【分析】先把16移到等号右边，对等号左边的多项式分解因式，再根据,x y 是正整数，进行分类讨论，即可求解．【详解】①2228160x xy y ---=，①(2)(4)16x y x y +-=，①x ，y 是正整数，①x+2y 是正整数，①①2248x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：41x y =⎧⎨=-⎩（舍去）； ①21416x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：652x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去）； ①2444x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：40x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ①21641x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：1152x y =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）； ①2842x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：61x y =⎧⎨=⎩， ①x+y=6+1=7故答案是：7【点拨】本题主要考查因式分解以及二元一次方程组的解法，熟练掌握十字相乘因式分解，是解题的关键．23．3【分析】设另一个因式为()mx n +，则2()(1)()mx n x mx n m x n +-=+--，根据各项系数列式求出m 和n 的值．【详解】解：假设另一个因式为()mx n +，则252()(1)mx x mx n x -+=+-． 2()(1)()mx n x mx n m x n +-=+--，52n m n -=-⎧∴⎨-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩， 故答案是：3．【点拨】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．24．()21ax x -【分析】原式提取ax ，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：322ax ax ax -+ ()221ax x x =-+2(1)ax x =-．故答案为：2(1)ax x -．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．25．()()11a x x -+【分析】先提取公因式a ，再利用平方差公式分解．【详解】解：原式=()()()2111a x a x x -=-+． 故答案为：()()11a x x -+．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 26．①①①①【分析】根据图形可得x y a +=，x y b -=，利用完全平方公式和平方差公式即可判断①和①，小长方形的面积可表示为224a b xy -=，利用完全平方公式即可判断①． 【详解】解：由图形可得x y a +=，x y b -=，故①①正确；①()()22224a y x y x y b x =+--=-，故①错误； ()()22x y ab x y x y =+-=-，故①正确；①小长方形的面积224a b xy -=， ①()222222222224x a b x y b a a y xy -=-==⨯+-++，故①正确； 故答案为：①①①①．【点拨】本题考查完全平方公式、因式分解的应用、整式的混合运算，利用图形得到x y a +=、x y b -=、224a b xy -=是解题的关键． 27．()2a x a -【分析】原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解．解：原式=()()2222a x ax aa x a -+=-． 故答案为：()2a x a -．【点拨】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是关键． 28．2(1)y x -【分析】原式提取公因式y ，再运用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：x 2y －2xy ＋y=2(21)y x x -+=2(1)y x -故答案为：2(1)y x -． 【点拨】此题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法的公式法是解本题的关键．29．y(x+6)(x -6)【分析】首先提公因式y ，再利用平方差进行二次分解即可．【详解】原式＝y(x 2-36)=y(x+6)(x -6)，故答案为：y(x+6)(x -6)【点拨】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 30．2(21)x x -【分析】先提取公因式x ，然后再运用完全平方公式解答即可．解：3244x x x -+=()2441x x x -+=()222221x x x ⎡⎤-⨯+⎣⎦=2(21)x x -故答案为：2(21)x x -．【点拨】本题主要考查了因式分解，掌握提公因式法和完全平方公式法是解答本题的关键． 31．404000【分析】先提取公因式2020，再根据平方差公式分解后计算可得答案．【详解】2020×512－2020×492=2020×（512－492）=2020×（51+49）×(51-49)=2020×100×2=404000,故答案为：404000．【点拨】此题考查提公因式法，平方差公式，熟练掌握计算公式及因式分解的方法是解题的关键． 32．()()42x x -+【分析】利用十字相乘法因式分解．【详解】解：()()22842x x x x --=-+． 故答案是：()()42x x -+．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是掌握用十字相乘法因式分解的方法．33．等腰【分析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a ，b ，c 的关系，即可作出判断．【详解】①20a ab ac bc --+=，①()()0a a c b a c ---=，①()()0a b a c --=，①0a b -=或0a c -=，①a b =或a c =，①①ABC 是等腰三角形，故答案为：等腰．【点拨】本题考察因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 34．()()22x x y x y +-【分析】先提取公因式，再用平方差公式分解即可．【详解】解：x 3-4xy 2，=x(x 2-4y 2)，=x(x+2y)(x -2y)，故答案为：x(x+2y)(x -2y)【点拨】本题考查了分解因式，分解因式要先提取公因式，再运用公式；注意：分解要彻底． 35．36-【分析】先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．解：()22222x y xy xy x y +=+， ①6x y +=，3xy =-，①原式()23636=⨯-⨯=-．故答案是：36-．【点拨】本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．36．2【分析】 由()()()214b c a b c a -=--可得：()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得：()220,b c a +-=从而得到：2,b c a +=于是可得答案． 【详解】解： ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++，()()22440,b c a a b c ∴++-+= ()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为：2．【知识点】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．37．4ab ．应用平方差把多项式22x y -因式分解，再整体代入即可．【详解】解：22()()x y x y x y -=+-，把2x y a +=，2x y b -=代入，原式=224a b ab ⨯=，故答案为：4ab ．【点拨】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键．38．m （m+4）（m -4）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：316m m -=m （m 2-16）=m （m+4）（m -4），故答案为：m （m+4）（m -4）【点拨】此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．39．-y （x -3）2【分析】提公因式-y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x 2y+6xy -9y=-y （x 2-6x+9）=-y （x -3）2，故答案为：-y （x -3）2；本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．40．(1)(1)m mn mn -+【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：原式=3222(1)m n m m m n -=-，=(1)(1)m mn mn -+故答案为：(1)(1)m mn mn -+.【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 41．2021．【分析】根据条件转换成x 2+x =1，后一个代数式化简后将条件代入即可．【详解】解：由题意得：x 2+x =1，①x 3+2x 2+2020=[x (x 2+x )+x 2]+2020=x +x 2+2020=1+2020=2021，故答案为：2021．【点拨】本题考查代数式的整体代入求解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体． 42．（1）（x+y ）（x -y ）+（x+3y ）2；2x 2+6xy+8y 2；（2）①x=30，y=10；①相等【分析】（1）根据长方形的面积等于长乘以宽，正方形的面积等于边长的平方，最后再求和， （2）①根据整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米．列方程组求解即可，①计算出A 园区的净收益和B 园区的净收益，再比较大小．【详解】解：（1）（x +y ）（x -y ）+（x +3y ）2，＝x 2-y 2+x 2+6xy +9y 2，＝2x 2+6xy +8y 2；（2）①由题意得，()()()()()()()()()112350211243980x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧⎡⎤⎡⎤++-----⎪⎣⎦⎣⎦⎨⎡⎤++-+---++⎪⎣⎦⎩＝＝，整理得，12350270x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解得：x ＝30，y ＝10，答：x ＝30，y ＝10．①A 园区整改后长为12x 米，宽为y 米，A 园区的净收益（22-12）×12xy ＝36000元，B 园区的净收益为（26-16）（x +3y ）2＝36000元，①B 园区的净收益等于A 园区的净收益．【点拨】本题考查二元一次方程组、整式的加减、多项式乘以多项式的计算方法等知识，正确的列出多项式，并化简是解决问题的关键．43．（1）①①①；（2）ABC ∆是等边三角形；（3）见详解【分析】（1）根据完全平方公式的结构特征和完全平方式的定义，逐一判断即可；（2）把等式右边的代数式移到左边，再利用完全平方公式写成平方和的形式，从而即可得到a ，b ，c 的关系，进而即可得到结论；（3）利用完全平方公式进行因式分解，把原式写成一个整式的平方的形式，即可得到结论．【详解】（1）①24x =2(2)x ；①21236x x ++=2(6)x +；①2124949a a -+=21(7)7a -是完全平方式，①2244a a b ++；①22x xy y -+； ①21025y y --不是完全平方式，各式中完全平方式的编号有①①①，故答案为：①①①；（2）①22222()a b c c a b ++=+，①()()2222220a ac cb bc c -++-+=， ①()()220a c b c -+-=，①a -c=0且b -c=0，①a=b=c ，①ABC ∆是等边三角形；（3）①原式=2(8)(4)64x x x +++=22(8)(816)64x x x x ++++=222(8)16(8)64x x x x ++++=22(8)8x x ⎡⎤++⎣⎦ =()2288x x ++，①多项式2(4)(8)64x x x +++是一个完全平方式．【点拨】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．44．（1）10；（2）()22x y -【分析】（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；（2）先提取x ，再根据完全平方公式即可因式分解．【详解】（1）解：原式222366941a a a a a =-+++-+ 10=()2解：原式()244x y y =-+()22x y =-．【点拨】此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．45．（1）m (m +6)(m -6)；（2）（m +n ）2（m -n ）2【分析】（1）首先提取公因式法进行因式分解，再利用平方差公式因式分解即可；（2）首先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：（1）m3﹣36m= m（m2﹣36）=m(m+6)(m-6)（2）（m2+n2）2-4m2n2=（m2+n2）2-（2mn）2=（m2+n2+2mn）（m2+n2-2mn）=（m+n）2（m-n）2【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．。

因式分解全章教案和练习题一、教学目标1. 让学生掌握因式分解的基本概念和方法。

2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学逻辑思维和运算能力的培养。

二、教学内容1. 因式分解的定义和意义2. 提公因式法3. 公式法4. 交叉相乘法5. 分解因式的应用三、教学重点与难点1. 重点：掌握因式分解的方法和步骤。

2. 难点：灵活运用因式分解解决实际问题。

四、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索因式分解的方法。

2. 通过例题讲解，让学生逐步掌握因式分解的技巧。

3. 设计练习题，巩固所学知识，提高学生应用能力。

五、教学过程1. 导入：回顾整式的相关知识，引出因式分解的概念。

2. 讲解：讲解因式分解的定义、意义及基本方法。

3. 示范：举例子，演示因式分解的步骤和技巧。

4. 练习：让学生独立完成练习题，检验掌握程度。

5. 总结：对本节课的内容进行归纳总结，强调重点和难点。

6. 作业布置：布置课后练习题，巩固所学知识。

教案练习题：1. 请简述因式分解的意义和作用。

3. 分解因式：x^2 5x + 64. 分解因式：x^2 + 2x + 15. 分解因式：x^2 46. 分解因式：3x^2 97. 分解因式：2x^3 8x8. 分解因式：x^2 + 3x + 29. 分解因式：4x^3 16x10. 分解因式：x^2 2x 3答案：1. 因式分解的意义和作用：将一个多项式表示为几个整式的乘积形式，便于理解和计算，可以用来解决一些实际问题，如求解多项式方程等。

2. 因式分解方法：a. 提公因式法：适用于多项式中存在公因式的情况。

b. 公式法：适用于能够运用公式进行分解的情况，如平方差公式、完全平方公式等。

c. 交叉相乘法：适用于两组数或多组数交叉相乘后能够得到原多项式的情况。

3. 分解因式：x^2 5x + 6 = (x 2)(x 3)4. 分解因式：x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^25. 分解因式：x^2 4 = (x + 2)(x 2)6. 分解因式：3x^2 9 = 3(x^2 3) = 3(x + √3)(x √3)7. 分解因式：2x^3 8x = 2x(x^2 4) = 2x(x + 2)(x 2)8. 分解因式：x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)9. 分解因式：4x^3 16x = 4x(x^2 4) = 4x(x + 2)(x 2)10. 分解因式：x^2 2x 3 = (x 3)(x + 1)因式分解全章教案和练习题（续）六、教学内容1. 结合公式法与十字相乘法2. 提公因式与公式法的综合运用3. 分解因式在实际问题中的应用4. 因式分解的进一步拓展七、教学重点与难点1. 重点：掌握不同因式分解方法的组合运用。

专题4.14因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）【知识点一】因式分解与整式乘法的识别把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。

【知识点二】因式分解的方法（1）提取公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++（2）运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-；完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。

（5）运用求根公式法：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是1x 、2x ，则有：))((212x x x x a c bx ax --=++【知识点三】因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。

（4）最后考虑用分组分解法。

【典型例题】类型一、因式分解的概念✭✭求参数1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（）A ．()2212x x x x+=+B ．()()2111a a a -=+-C ．()()2111x x x +-=-D ．()222312a a a -+=-+【答案】B【分析】根据因式分解的定义解答即可．解：A ．()2212x x x x +=+不是将多项式化成整式乘积的形式，故A 选项不符合题意；B ．()()2111a a a -=+-是将多项式化成整式乘积的形式，故B 选项符合题意；C ．()()2111x x x +-=-不是将多项式化成整式乘积的形式，故C 选项不符合题意；D ．()222312a a a -+=-+不是将多项式化成整式乘积的形式，故D 选项不符合题意；故选：D ．【点拨】本题主要考查了分解因式的定义，掌握定义是解题的关键．即把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做分解因式．举一反三：【变式】下列各式，从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A ．()a m n am an+=+B ．()()2222a b c a b a b c+-=+--C ．()2221x x x x -=-D ．()()2166446x x x x -+=+-+【答案】C【分析】根据因式分解的定义去判断即可．解：A 、因为()a m n am an +=+是单项式乘以多项式，不是因式分解，故A 不符合题意；B 、因为()()2222a b c a b a b c +-=+--不是因式乘积的形式，不是因式分解，故B 不符合题意；C 、因为()2221x x x x -=-是因式分解，故C 符合题意；D 、因为()()2166446x x x x -+=+-+不是因式乘积的形式，不是因式分解，故D 不符合题意；故选C ．【点拨】本题考查了因式分解即把一个多项式写成几个因式积的形式，熟练掌握定义是解题的关键．2．三个多项式：24x y y -，22x y xy -，244x y xy y -+的最大公因式是（）A ．()2y x +B ．()4y x -C ．2(2)y x -D ．()2y x -【答案】D【分析】先把三个多项式因式分解，再进行解答即可．解：∵()()2422x y y y x x -=+-，()222x y xy xy x -=-，2244(2)x y xy y y x -+=-，∴最大公因式是()2y x -．故选D ．【点拨】本题主要考查了最大公因式，熟练掌握最大公因式的定义，将三个多项式分解因式，是解题的关键．举一反三：【变式】下列各组中，没有公因式的一组是（）A ．ax bx -与by ay -B ．ab ac -与ab bc -C ．268xy x y -与43x -+D ．()3a b -与()2b ya -【答案】B【分析】将每一组因式分解，找公因式即可解：A.()ax bx x a b -=-，()by ay y a b -=--，有公因式a b -，故不符合题意；B.()ab ac a b c -=-，()ab bc b a c -=-，没有公因式，符合题意；C.()268234xy x y xy x -=-，4334x x -+=-，有公因式34x -，故不符合题意；D.()3a b -与()2b y a -有公因式a b -，故不符合题意；故选：B【点拨】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键类型二、公因式✭✭提取公因式进行因式分解3．若关于x 的二次三项式23x x k -+的因式是()2x -和()1x -，则k 的值是____．【答案】2【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出k 的值即可．解：由题意得：()()2232132x x k x x x x -+=--=-+，2k ∴=．故答案为：2．【点拨】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键．举一反三：【变式】已知多项式4x mx n ++能分解为()()2223x px q x x +++-，则p =______，q =______．【答案】2-；7．【分析】把()()2223x px q x x +++-展开，找到所有3x 和2x 的项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．解：∵()()2223x px q x x +++-432322222333x px qx x px qx x px q=+++++---()()()432223233x p x q p x q p x q=++++-+--4x mx n =++．∴展开式乘积中不含3x 、2x 项，∴20230p q p +=⎧⎨+-=⎩，解得：27p q =-⎧⎨=⎩．故答案为：2-，7．【点拨】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．4．因式分解：(1)282abc bc -；(2)()()26x x y x y +-+；【答案】(1)()24bc a c -；(2)()()23x y x +-【分析】（1）用提公因式法解答；（2）用提公因式法解答．（1）解：原式()24bc a c =-（2）解：原式()()23x y x =+-【点拨】此题考查了因式分解——提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】把下列多项式因式分解：(1)2x xy x -+；(2)22m n mn mn -+；(2)33322292112x y x y x y -+；(4)()()22x x y y x y -+-．【答案】(1)()1x x y -+；(2)()1mn m n -+；(3)()223374x y xy x -+；(4)()()22x y x y-+【分析】（1）直接提取公因式x ，进而分解因式得出答案；（2）直接提取公因式mn ，进而分解因式得出答案；（3）直接提取公因式223x y ，进而分解因式得出答案；（4）直接提取公因式()x y -，进而分解因式得出答案．（1）解：()21x xy x x x y -+=-+（2）解：()221m n mn mn mn m n -+=-+（3）解：()33322222921123374x y x y x y x y xy x +--=+（4）解：()()()()2222xx y y x y x y x y -+-=-+【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．类型三、公式法进行因式分解➽➼平方差公式✭✭完全平方公式5．因式分解：(1)﹣2a 3+12a 2﹣18a(2)9a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）【答案】(1)﹣2a （a ﹣3）2(2)（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．解：（1）原式＝﹣2a （a 2﹣6a +9）＝﹣2a （a ﹣3）2（2）原式＝（x ﹣y ）（9a 2﹣4b 2）＝（x ﹣y ）（3a +2b ）（3a ﹣2b ）．【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．举一反三：【变式】因式分解：（1）224x y -（2）32296a a b ab -+【答案】（1）()()22x y x y +-；（2）()23a a b -．【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可；（2）先提公因式，然后利用完全平方公式进因式分解即可．解：（1）22224(2)(2)(2)x y x y x y x y -=-=+-；（2）232222(96)(963)=-+=--+a a ab b a b a a b b a a ．【点拨】本题主要考查了多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握各种因式分解的方法，并会根据多项式的特征选取合适的方法，还要注意要分解彻底．6．分解因式：(1)2225()9()m n m n +--(2)22441a b a --+【答案】(1)()()444m n n m ++；(2)()()2121a b a b +---【分析】（1）将m n +和m n -看成两个整体，利用平方差公式分解因式得到()()8228m n m n ++，再提取公因式即可．（2）利用分组法先将原式分成2441a a -+和2b -两组，2441a a -+可利用完全平方公式分解，再和2b -组合，由平方差公式分解即可．（1）解：2225()9()m n m n +--()()()()5353m n m n m n m n =++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()55335533m n m n m n m n =++-+-+()()8228m n m n =++()()444m n m n =++．（2）22441a b a --+()22441a a b =-+-()2221a b =--()()2121a b a b =-+--()()2121a b a b =+---．【点拨】本题考查了因式分解的方法，分组法、公式法和提公因式法本题都涉及了，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．举一反三：【变式】分解因式：(1)228168ax axy ay -+-(2)()22222936x y x y +-；【答案】(1)28()a x y --；(2)22(3)(3)x y x y +-【分析】（1）先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据平方差公式和完全平方公式分解因式即可．解：（1）原式228(2)a x xy y =--+28()a x y =--（2）原式2222(9)(6)x y xy =+-2222(96)(96)x y xy x y xy =+++-22(3)(3)x y x y =+-【点拨】本题考查了因式分解，涉及提公因式法和公式法，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．类型四、因式分解➽➼十字相乘法✭✭分组分解法7．将下列各式分解因式：(1)256x x --；(2)21016x x -+；(3)2103x x --【答案】(1)(7)(8)x x +-；(2)(2)(8)x x --；(3)(5)(2)x x -+-【分析】（1）用十字相乘法，分解因式即可；（2）用十字相乘法，分解因式即可；（3）用十字相乘法，分解因式即可．（1）解：∵78x x ⨯-，即78x x x -=-，∴256(7)(8)x x x x --=+-；（2）解：∵28x x ⨯--，即2810x x x --=-，∴21016(2)(8)x x x x -+=--；（3）解：22103(310)x x x x --=-+-，∵52x x ⨯-，即523x x x -=，∴原式(5)(2)x x =-+-．【点拨】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握十字相乘法：常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号．二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上．举一反三：【变式】用十字相乘法解方程：(1)2560x x +-=；(2)2230x x --=．【答案】(1)6x =-或1x =；(2)3x =或=1x -【分析】根据十字相乘法可分别求解（1）（2）．（1）解：2560x x +-=(6)(1)0x x +-=，60x +=或10x -=，6x =-或1x =；（2）解：2230x x --=，(3)(1)0x x -+=，30x -=或10x +=，3x =或=1x -．【点拨】本题主要考查利用因式分解进行求解方程，熟练掌握因式分解是解题的关键．8．因式分解：323412x x y x y +--．【答案】(3)(2)(2)x y x x ++-【分析】原式第一、三项结合，二、四项结合，提取公因式后再提取公因式，利用平方差公式分解即可．解：原式=324312x x x y y-+-=22(4)3(4)x x y x -+-=2(3)(4)x y x +-=(3)(2)(2)x y x x ++-．【点拨】本题考查了因式分解：分组分解法：对于多于三项以上的多项式的因式分解，先进行适当分组，再把每组因式分解，然后利用提公因式法或公式法进行分解．举一反三：【变式】因式分解：(1)a 2－ab ＋ac －bc ；(2)x 3＋6x 2－x －6.【答案】(1)(a －b)(a ＋c)；(2)(x ＋1)(x －1)(x ＋6)试题分析：根据因式分解的方法进行因式分解即可.解：(1)原式()()()()a a b c a b a b a c =-+-=-+．(2)原式()()()()()()()()()322226616116116x x x x x x x x x x x =-+-=-+-=-+=+-+类型五、因式分解综合9．将下列各式分解因式．（1）3416x x -；（2）()2212a x ax +-；（3）()24a b a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a -+++-．【答案】（1）()()41212x x x +-；（2）()221a x x ++；（3）()22a b --；（4）()()28a b a b -+【分析】（1）先提取公因式，然后进一步利用平方差公式进行因式分解即可；（2）利用提公因式法进行因式分解即可；（3）先将括号去掉，然后移项，根据完全平方公式进行因式分解即可；（4）利用提公因式法以及平方差公式综合进行因式分解即可.解：（1）3416x x -=()2414x x -=()()41212x x x +-；（2）()2212a x ax +-=()221a x x ⎡⎤+-⎣⎦=()221a x x ++；（3）()24a b a b --=2244ab a b --=()2244a ab b --+=()22a b --；（4）()()()()2233a b a b a b b a-+++-=()()()()2233a b a b a b a b -+-+-=()()()2233a b a b a b ⎡⎤-+-+⎣⎦=()()()4422a b a b a b -+-=()()28a b a b -+.【点拨】本题主要考查了因式分解，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.举一反三：【变式】因式分解：（1）2273xy x-（2）2292a b ab+-+（3）228x x --【答案】（1）3(3+1)(31)-x y y ；（2）(3)(3)+++-a b a b ；（3）(2)(4)x x +-【分析】（1）根据提取公因式，平方差公式，即可分解因式；（2）根据完全平方公式法、平方差公式，即可分解因式；（3）根据十字相乘法分解因式，即可得到答案．解：（1）2273xy x-23(91)x y =-3(31)(31)x y y =+-；（2）2292a b ab+-+2229a ab b =++-22()3a b =+-(3)(3)a b a b =+++-；（3）228x x --(2)(4)x x =+-．【点拨】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法、公式法、十字相乘法分解因式，是解题的关键．类型五、因式分解的应用10．阅读材料，回答下列问题：若22228160m mn n n -+-+=，求m ，n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴222(2)(816)0m mn n n n -++-+=，即22()(4)0m n n +--=，又2()0m n -≥，2(4)0n -≥，∴2()0m n -=，2(4)0n -=，∴4n =，4m =．(1)若22440a b a +-+=，求a ，b 的值；(2)已知ABC 的三边a ，b ，c 满足2222220a b c ab ac ++--=．判断ABC 的形状，并说明理由．【答案】(1)2,0a b ==；(2)等边三角形，理由见分析．【分析】（1）参照例题，将等式转化为两个完全平方的和等于0的形式，进而求得a ，b 的值；（2）方法同（1）．解：（1）∵22440a b a +-+=，∴()22440a a b ++-=，即2220()a b -+=，又22(2)0,0a b -≥≥，22(2)0,0a b ∴-==，2,0a b ∴==．（2）∵2222220a b c ab ac ++--=，2222(2)(2)0a ab b b ac c ∴-++-+=，即22()()0a b b c -+-=，又22()0,()0a b b c -≥-≥，∴22()0,()0a b b c -=-=，,a b b c ∴==，a b c ==∴．ABC ∴ 是等边三角形．【点拨】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】已知：1a b +=，154ab =-(1)求22ab a b +的值(2)求22a b +的值(3)若22a b k -=-，求非负数k 的值【答案】(1)154-；(2)172；(3)k =【分析】（1）将代数式22ab a b +用提公因式法因式分解为()ab a b +，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（2）将22a b +变形为()22a b ab +-，再将1a b +=，154ab =-代入计算即可；（3）类似的方法将()2a b -变形为()24a b ab +-，代入计算后求出a b -的值，继而根据22a b k -=-计算出符合条件的k 的值即可．（1）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()221515144ab a b ab a b +=+=-⨯=-；（2）解：∵1a b +=，154ab =-，∴()2222a b a b ab+=+-15124⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1512=+172=；（3）解：∵()()224a b a b ab-=+-1514164⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，∴4a b -=±当4a b -=时，224k -=，k =∵k 为非负数，∴k =当4a b -=-时，224k -=-，22k =-（舍去），∴k =【点拨】本题考查了完全平方公式的应用以及提取公因式分解因式，能够灵活应用完全平方公式是解题的关键．11．阅读材料：()()()2222244454529232322x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()51x x =+-上面的方法称为多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．根据以上材料，解答下列问题：(1)因式分解：223x x +-；(2)求多项式2610x x +-的最小值；(3)已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求△ABC 的周长．【答案】(1)()()31x x +-；(2)19-；(3)12【分析】（1）先配方后，再利用平方差公式进行因式分解；（2）配方后根据平方的非负性求最小值；（3）配方后根据非负性求出a ，b ，c 的值即可．（1）解：223x x +-222113x x =++--2(1)4x =+-(12)(12)x x =+++-；(3)(1)x x =+-；（2）2226106919(3)19x x x x x +-=++-=+-，∵2(3)0x +≥，∴多项式2610x x +-的最小值为19-；（3）由题意得：2226810500a b c a b c ++---+=，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-．∴222(3)4)(0(5)a b c -+-+-=．又∵2(3)0a -≥，2(04)b -≥，2(05)c -≥，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∴ABC 的周长为34512++=．【点拨】本题考查了配方法因式分解以及因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．举一反三：【变式】先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若2222690m mn n n ++-+=，求m 和n 的值．解：因为2222690m mn n n ++-+=，所以2222690m mn n n n +++-+=．所以22()(3)0m n n ++-=．所以0,30m n n +=-=．所以3,3m n =-=．问题：(1)若224212120++-+=x y xy y ，求xy 的值；(2)已知a ，b ，c 是等腰ABC 的三边长，且a ，b 满足2210841a b a b +=+-，求ABC 的周长．【答案】(1)-4；(2)13或14【分析】（1）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，然后利用偶次方的非负性，进行计算即可解答；（2）仿照例题的思路，配成两个完全平方式，再利用偶次方的非负性，先求出a ，b 的值，然后分两种情况，进行计算即可解答．解：（1）∵22421212x y xy y ++-+222231212x xy y y xy =+++-+2()3x y =++2(2)y -，=∴0x y +=，20y -=，∴2x =-，2y =，∴2(2)4=⨯-=-xy ．（2）∵2210841a b a b +=+-，∴2210258160a a b b -+++=-，∴22(5)(4)0a b -+-=，∴50a -=，40b -=，∴5a =，4b =．由于ABC 是等腰三角形，所以5c =或4．①若5c =，则ABC 的周长为55414++=；②若4c =，则ABC 的周长为54413++=．所以ABC 的周长为13或14．【点拨】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，三角形的三边关系，熟练掌握完全平方式是解题的关键．。

第一讲：因式分解（注：在看以下内容时，用红笔标注不懂的地方以及自己感觉容易粗心出错的地方，并记下来） 知识点: 一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系. 因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式; (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘. 二. 提公共因式法1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法. 如: )(c b a ac ab +=+2. 概念内涵:(1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: )(c b a m mc mb ma -+=-+ 3. 易错点点评:(1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 三. 运用公式法1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.2. 主要公式:(1)平方差公式: ))((22b a b a b a -+=- (2)完全平方公式: 222)(2b a b ab a +=++222)(2b a b ab a -=+-3. 易错点点评:因式分解要分解到底.如))((222244y x y x y x -+=-就没有分解到底. 4. 运用公式法: (1)平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方; ③二项是异号. (2)完全平方公式: ①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍. 5. 因式分解的思路与解题步骤:(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; (4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解; (5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 四. 分组分解法:1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法. 如: ))(()()(n m b a n m b n m a bn bm an am ++=+++=+++2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式. 3. 注意: 分组时要注意符号的变化. 五. 十字相乘法:1.对于二次三项式c bx ax ++2,将a 和c 分别分解成两个因数的乘积,21a a a ⋅=, 21c c c ⋅=,且满足1221c a c a b +=,往往写成的形式,将二次三项式进行分解.如: ))((22112c x a c x a c bx ax ++=++ 2. 二次三项式q px x ++2的分解:))((2b x a x q px x ++=++abq ba p =+=3. 规律内涵:(1)理解:把q px x ++2分解因式时,如果常数项q 是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同.(2)如果常数项q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p. 4. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.c 2a 2c 1a 1ba 11（注：不必一周之类完成，能完成多少完成多少）第一次作业一、填空（每空1分，共15分）1、把一个多项式化为的形式，叫做因式分解。

因式分解全章教案和练习题一、教学目标1. 让学生掌握因式分解的基本概念和方法。

2. 培养学生运用因式分解解决实际问题的能力。

3. 提高学生对数学知识的逻辑思维和运算能力。

二、教学内容1. 因式分解的定义和意义。

2. 提公因式法、交叉相乘法、分组分解法等因式分解方法。

3. 因式分解的应用和练习。

三、教学重点与难点1. 重点：因式分解的方法和技巧。

2. 难点：灵活运用因式分解解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解因式分解的基本概念和方法。

2. 利用案例分析和练习题引导学生运用因式分解解决实际问题。

3. 运用小组讨论法和互助合作法提高学生的参与度和合作能力。

五、教学安排1. 第一课时：介绍因式分解的定义和意义，讲解提公因式法。

2. 第二课时：讲解交叉相乘法，分组分解法，因式分解的应用。

3. 第三课时：课堂练习，巩固所学知识。

4. 第四课时：拓展练习，提高学生的应用能力。

5. 第五课时：总结因式分解的方法和技巧，查漏补缺。

练习题：1. 下列多项式，请进行因式分解：（1）x^2 4（2）x^2 + 4（3）x^2 9（4）x^2 + 92. 请用提公因式法对下列多项式进行因式分解：（1）x^2 5x + 6（2）x^2 + 6x + 93. 请用交叉相乘法对下列多项式进行因式分解：（1）x^2 7x + 12（2）x^2 + 8x + 154. 请用分组分解法对下列多项式进行因式分解：（1）x^2 4x + 3x + 9（2）x^2 + 5x 6x + 165. 下列多项式，请进行因式分解并求解：（1）2x^2 8x + 4（2）3x^2 12x + 9六、教学策略1. 案例分析：通过具体的数学问题，让学生了解因式分解在实际问题中的应用。

2. 练习巩固：设计具有梯度的练习题，让学生在实践中掌握因式分解的方法。

3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，互相学习，提高解题能4. 总结提升：在课程结束时，引导学生总结因式分解的常用方法和技巧，提高学生的数学思维能力。

专题8.43整式乘法与因式分解（全章复习与巩固）（知识讲解）1.掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【要点梳理】要点一、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点二、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b+-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.特别说明：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点三、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分组分解法,十字相乘法,添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.【典型例题】【类型一】整式的乘法➽➼直接运算✮✮化简求值1、计算：(1)()3232x y xy ⋅-．(2)()()5232x y x y +-．【答案】(1)5424x y -(2)221544x xy y --【分析】（1）根据积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可．（1）解：()3232x y xy ⋅-()23338x y x y ×-=231324x y ++=-5424x y =-；（2）解：()()5232x y x y +-53522322x x x y y x y y=⋅-⋅+⋅-⋅22151064x xy xy y =-+-221544x xy y =--．【点拨】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方公式和单项式乘单项式运算法则，准确计算．举一反三：【变式1】计算：()()222321x x x -⋅-+-．【答案】6549189x x x -+-【分析】根据积的乘方及单项式乘以多项式可进行求解．解：()()222321x x x -⋅-+-()42921x x x =⋅-+-6549189x x x =-+-．【点拨】本题主要是考查积的乘方及单项式乘以多项式，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．【变式2】计算：()()()()22241x y y y x y +-+-+【答案】24362y xy x y---【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可．解：()()()()22241x y y y x y +-+-+222242244xy x y y y y xy x=-+-++--24326y xy y x =---．【点拨】本题考查了整式的乘除，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．2、先化简再求值：(3)(1)(1)x y x y ++--，其中122x y =-=-．【答案】233x y ++，4-．【分析】对整式去括号，合并同类项，然后把x 、y 的值代入整式即可得出整式的值．解：(3)(1)(1)x y x y ++--33x xy y xy x=+++-+233x y =++，当122x y =-=-时．原式()1232342⎛⎫=⨯-+⨯-+=- ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．举一反三：【变式1】先化简，再求值：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中2x =，1y =-．【答案】23xy xy +；43-【分析】根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项，最后将字母的值代入即可求解．解：222312122323333x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2232322212333939x xy xy y y x =-++--++23xy xy =+；当2x =，1y =-时，原式()()221213⨯-=⨯-+223=-+43=-．【点拨】本题考查了整式的化简求值，掌握多项式乘以多项式以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．【变式2】已知()()232x mx x n +-+的展开式中不含x 的一次项，常数项是6-．(1)求m ，n 的值．(2)求()()22m n m mn n +-+的值．【答案】(1)32m n ==，(2)35【分析】（1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，进而得出m ，n 的值；（2）利用多项式乘多项式运算法则计算得出答案．（1）解：()()232x mx x n +-+3222263x nx mx mnx x n=+++--()()322263x n m x mn x n =+++--，由题意可知：60mn -=，36n -=-，解得：32m n ==，；（2）解：()()22m n m mn n +-+322223m m n mn m n mn n =-++-+33m n =+，当32m n ==，时，原式333227835=+=+=．【点拨】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【类型二】乘法公式➽➼直接运算✮✮化简求值3、计算：(1)()22()x y x xy y +-+(2)22(35)(23)x x --+【答案】(1)33x y +(2)254216x x -+【分析】（1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据完全平方公式分别计算，然后合并同类项即可求解．（1）解：原式322223x x y xy x y xy y =-++-+33x y =+；（2）解：原式()22930254129x x x x =-+-++22930254129x x x x =-+---254216x x =-+．【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，掌握整式乘法运算的运算法则以及乘法公式是解题的关键．举一反三：【变式1】计算：()()()()22232x y x y x y x x y -++---．【答案】22x 【分析】根据完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，求解即可；解：原式22222224322x xy y x y x xy x =-++--+=．【点拨】此题考查了完全平方公式，平方差公式以及整式的加减运算，解题的关键是掌握整式的相关运算法则．【变式2】计算：(1)2(32)(32)(32)x y x y x y ---+(2)()()()222226x x x ---【答案】(1)2128xy y -+(2)2812x -+【分析】（1）利用完全平方公式及平方差公式去括号，再加减法；（2）根据多项式乘以多项式及幂的乘方去括号，再计算加减法．（1）解：2(32)(32)(32)x y x y x y ---+()2222912494x xy y x y =-+--2222912494x xy y x y =-+-+2128xy y =-+；（2）()()()222226x x x ---42246212x x x x =--+-2812x =-+．【点拨】此题考查了整式的混合运算，正确掌握完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式及幂的乘方计算法则是解题的关键．4、先化简后求值：(1)2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-，其中3x =(2)()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭，其中2x =，3y =．【答案】(1)2531x x +-；7-(2)2420x y -+，12【分析】（1）按照平方差公式，完全平方公式，多项式乘以多项式展开，再合并同类项得到最简代数式，再代入x 取值求出代数式的值．（2）利用完全平方公式和平方差公式进行化简，再按照多项式除以单项式的运算法则进行计算，最后代入求值即可．解：（1）2(5)(5)(2)(2)(1)x x x x x +---++-22225(44)2x x x x x =---+++-22225442x x x x x =--+-++-2531x x =+-将3x =代入得：2531x x +-235331=+⨯-7=-（2）()()()2123222x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤---+÷ ⎪⎣⎦⎝⎭22221(41294)()2x xy y x y y =-+-+÷21(1210)()2xy y y =-+÷2420x y=-+将2x =，3y =代入得：2420x y-+242203=-⨯+⨯12=【点拨】本题主要考查整式化简求值，掌握完全平方公式和平方差公式以及整式的混合运算法则是解题的关键．举一反三：【变式1】若23m m +=，求2(2)(2)m m m -++的值．【答案】10【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则先计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．解：2(2)(2)m m m -++22244m m m m =-+++2224m m =++当23m m +=时，原式22()423410m m =++=⨯+=【点拨】本题考查整式的混合运算，理解整体思想解题的应用，掌握完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+是解题关键．【变式2】先化简，再求值：()()()()2222222a b a b b a a a b a ⎡⎤-+-+--÷⎣⎦，其中a 、b满足()2210a b -++=【答案】a b --，1-【分析】根据整式的运算法则及绝对值和偶次方的非负性即可求出答案．解：原式()22222444422a ab b a b a ab a ⎡⎤=-++---÷⎣⎦()22222444422a ab b a b a ab a=-++--+÷()2224422a ab a ab a=--+÷()2222a ab a=--÷a b =--，∵()2210a b -++=，∴20a -=，10b +=，∴2a =，1b =-，当2a =，1b =-时，原式()211=---=-．【点拨】本题考查整式的运算及绝对值和偶次方的非负性，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【类型三】整式的乘法✮✮乘法公式➽➼变形运算✮✮图形问题5、（1）已知11=54m n =，求代数式()()222525m n m n +--的值；（2）已知13ab a b =--=，，求22a b +的值．【答案】（1）40mn ，2；（2）7【分析】（1）先用平方差公式将原式进行化简，再将11=54m n =，代入进行计算即可；（2）根据完全平方公式的变形进行计算即可得到答案．解：（1）()()222525m n m n +--()()()()25252525m n m n m n m n =++-⋅+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦410m n=⋅40mn =，当11=54m n =，时，原式114040254mn ==⨯⨯=；（2） 13ab a b =--=，，()22222327a b a b ab ∴+=-+=-=．【点拨】本题考查了求代数式的值，运用平方差公式、完全平方公式的变形进行计算，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的变形是解题的关键．举一反三：【变式1】已知实数m ，n 满足6m n +=，3=-mn ．(1)求()()22m n ++的值；(2)求22m n +的值．【答案】(1)13(2)42【分析】（1）先根据多项式乘以多项式的计算法则将所求式子变形为()24mn m n +++，再把已知条件式整体代入求解即可；（2）根据()2222m n m n mn +=+-进行求解即可．（1）解：()()22m n ++224mn m n =+++()24mn m n =+++，∴当6m n +=，3=-mn 时，原式326413=-+⨯+=；（2）解：∵6m n +=，3=-mn ，∴()()2222262336642m n m n mn +=+-=-⨯-=+=．【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式——化简求值，完全平方公式的变形求值，正确计算是解题的关键．【变式2】利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决方程或代数式的一些问题，请阅读下列材料：阅读材料：若22228160m mm n n -+-+=，求m 、n 的值．解：∵22228160m mn n n -+-+=，∴()()22228160m mn n n n -++-+=，∴()()2240m n n -+-=，∴()20m n -=，()240n -=，∴4n =，4m =．根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知2245690a ab b b ++++=，求a 、b 的值；(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2242460a a b b -+-+=，求c 的值；【答案】(1)63a b ==-，；(2)2c =．【分析】（1）将多项式拆分为完全平方展开式的形式，最后配凑为完全平方，再根据平方的性质求解；（2）先配凑完全平方公式求出a ，b 值，再根据三角形三边关系求出第三边．（1）解：∵2245690a ab b b ++++=，∴22244690a ab b b b +++++=，∴()()22230a b b +++=，∴2030a b b +=+=，，∴63a b ==-，；（2）解：∵2242460a a b b -+-+=，∴()22442210a ab b -++-+=∴()()222210a b -+-=，∴2010a b -=-=，，解得21a b ==，，∵a 、b 、c 是ABC 的三边长，∴2121c -<<+，即13c <<，∵c 是正整数，∴2c =．【点拨】本题考查完全平方公式的应用，三角形三边关系的应用，解题的关键是合理配凑完全平方公式．6、请认真观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）①________________②________________；(2)由（1）你能得到怎样的等量关系？请用式子表示：________________(3)如果图中的a b a b 、（＞）满足225314a b ab +==，.求：①a b +的值②22a b -的值【答案】(1)①22a b +，②22a b ab +-（）(2)22a b +=22a b ab +-（）；(3)①9a b +=±，②45【分析】(1)根据阴影部分的面积与空白部分的面积关系即可求出结果；（2）根据阴影部分的面积相等即可求出结果；（3）根据完全平方式与已知条件即可求出对应值．（1）解：∵图中阴影部分的面积由两部分组成，第一部分的面积为2a ，第二部分的面积为：2b ；∴阴影部分的面积的第一种表示方法为22a b +．∵大正方形的面积为()2222a b a ab b +=++；空白部分的面积为2ab ab ab +=，∴阴影部分的面积为：()22222222a b ab a ab b ab a b +-=++-=+，故答案为：①22a b +；②()22a b ab +-．（2）解：由（1）可知阴影部分的面积相等，∴()2222a b a b ab +=+-，故答案为：()2222a b a b ab +=+-；（3）解：①∵()2222a b a b ab +=+-，∴()2222a b ab a b ++=+，∵225314a b ab +==，，∴()25321481a b +=+⨯=，∴9a b +=±，∵0a >，0b >，∴9a b +=；②∵()2222a b a b ab +=+-，∴()()2222222222a b a b ab a ab b ab a b ab +=+-=++-=-+，∴()2222a b ab a b +-=-，∵225314a b ab +==，，∴5321425-⨯=，∴()225a b -=，∴5a b -=±，∵0a >，0b >，a b>∴5a b -=，∴()()229545a b a a b b -⨯-＝＋＝＝．【点拨】本题考查了完全平方式和平方差公式的几何意义，熟练公式法是解题的关键．举一反三：【变式1】图1是一个长为2a 、宽为2b 的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．(1)图2中的阴影部分的正方形的边长等于___________；面积等于___________．(2)观察图2，请你写出下列三个代数式()()22a b a b +-，，ab 之间的等量关系为___________．(3)运用你所得到的公式，计算：若m 、n 为实数，且5mn =，4m n -=，试求m n +的值．【答案】(1)a b -，()2a b -或()24a b ab +-(2)()()22a b a b +--4ab =(3)±6【分析】（1）根据图中给出的数据即可求得图乙中阴影部分正方形边长，根据正方形的面积公式求得面积；（2）用两种不同方式求得阴影部分面积可得关于()2a b +、()2a b -、ab 的等式；（3）根据（2）中结论即可解题．解：（1）图中阴影部分边长为a b -，则阴影部分的面积为()2a b -或()24a b ab +-故答案为：a b -；()2a b -或()24a b ab +-；（2）用两种不同的方法表示阴影的面积：方法一：阴影部分为边长()a b =-的正方形，故面积()()()2a b a b a b =--=-；方法二：阴影部分面积a b =+为边长的正方形面积-四个以a 为长、b 为宽的4个长方形面积()24a b ab =+-；∴22()4()a b ab a b +-=-；即()()22a b a b +--4ab =，故答案为：()()224a b a b ab +--=；（3）由（2）得，()()224m n m n mn +--=，∴()22420m n +-=，∴m n +=±6．【点拨】本题考查了完全平方公式的计算，考查了正方形面积计算，本题中求得22()4()a b ab a b +-=-是解题的关键．【变式2】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为a b +的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题：(1)根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式：；(2)如果图中的a 、(0)b a b >>满足2270a b +=，15ab =，求a b +的值；(3)已知22(9)(1)124x x ++-=，求(9)(1)x x +-．【答案】(1)()2222a b a ab b +=++；(2)10；(3)12．【分析】（1）依据该图形的总面积为2()a b +或222a ab b ++可得结果；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，将2270a b +=，15ab =可求得2()a b +即a b +的值；（3）设9x a +=，1x b -=，则(9)(1)10a b x x -=+--=，依据222()2a b a b ab -=+-代入计算可求得12ab =即可求出(9)(1)x x +-．（1）解：该图形的总面积为：2()a b +或222a ab b ++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（2）由（1）题结果可得222()2a b a ab b +=++，∴当2270a b +=，15ab =时，2()70215100a b +=+⨯=，∴10010a b +=；（3）设9x a +=，1x b -=，∴(9)(1)10a b x x -=+--=，则2222(9)(1)x x a b ++-=+，∵222()2a b a b ab -=+-，10a b -=，22124a b +=，∴1001242ab =-，∴12ab =，∴(9)(1)12x x +-=．【点拨】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式．【类型四】因式分解➽➼直接进行因式分解✮✮因式分解的应用7、因式分解．(1)2123mn n -;(2)228168a ab b -+【答案】(1)()34n m n -(2)28()a b -【分析】（1）利用提公因式进行分解，即可解答；（2）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可解答．解：（1）()223143mn n n m n =--；（2）228168a ab b -+228(2)a ab b =-+28()a b =-．【点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．举一反三：【变式1】因式分解：(1)322363a a b ab -+．(2)2()16()a x y y x -+-【答案】(1)()23a a b -(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）提取公因式3a ，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）将()y x -变形为()x y --，提取公因式()x y -，再根据平方差公式分解因式．（1）解：原式()2232a a ab b =-+()23a a b =-；（2）解：原式()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查了综合提公因式与公式法分解因式，熟练掌握常用因式分解的方法是解题的关键．【变式2】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等．①分组分解法：例如：()()()()2222222424222x xy y x xy y x y x y x y -+-=-+-=--=---+．②拆项法：例如：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x +-=++-=+-=+-++=-+．仿照以上方法分解因式：(1)22441x x y +-+；(2)268x x -+．【答案】(1)()()2121x y x y +++-(2)()()24x x --【分析】（1）采用分组法，结合完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（2）将原式先变形为2268691x x x x -++-=-，再按照完全平方公式和平方差公式分解因式即可．（1）解：22441x x y +-+22441x x y =++-()2221x y =+-()()2121x y x y =+++-；（2）解：268x x -+2691x x =-+-()231x =--()()3131x x =-+--()()24x x =--．【点拨】本题主要考查了因式分解，解题的关键是理解分组分解法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式．8、利用完全平方公式进行因式分解，解答下列问题：(1)因式分解：244x x -+=________．(2)填空：①当2x =-时，代数式244x x ++=_______；②当x =________时，代数式2690x x -+=．③代数式2820x x ++的最小值是________．(3)拓展与应用：求代数式226828a b a b +-++的最小值．【答案】(1)2(2)x -(2)①0②3③4(3)3【分析】（1）根据完全平方公式将原式进行因式分解即可；（2）①将2x =-代入求解即可；②解方程2690x x -+=，即可获得答案；③将代数式变形为2(4)4x ++，根据非负数的性质即可确定答案；（3）将代数式226828a b a b +-++变形为22(3)(4)3a b -+++，根据非负数的性质即可确定答案．（1）解：2244(2)x x x -+=-．故答案为：2(2)x -；（2）①当2x =-时，244x x -+2(2)4(2)4=--⨯-+0=；②∵2690x x -+=，∴2(3)0x -=，∴当3x =时，代数式2690x x -+=；③∵2820x x ++2(4)4x =++，又∵2(4)0x +≥，∴当4x =-时，代数式2820x x ++的最小值是4．故答案为：①0；②3；③4；（3）解：∵原式22698163a ab b =-+++++22(3)(4)3a b =-+++，又∵2(3)0a -≥，(4)0b +≥，∴原式3≥，代数式226828a b a b +-++的最小值是3．【点拨】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值、非负数的性质等知识，解题关键是理解题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答．举一反三：【变式1】仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是()3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得()()243x x m x x n -+=++则()22433x x m x n x n-+=+++∴343n m n+=-⎧⎨=⎩解得：7n =-，21m =-∴另一个因式为()7x -，m 的值为-21．问题：(1)已知二次三项式26x x a ++有一个因式是()5+x ，求另一个因式以及a 的值；(2)已知二次三项式26x x p --有一个因式是()23x +，求另一个因式以及p 的值．【答案】(1)另一个因式()1x +，a 的值为5(2)另一个因式为()35x -，p 的值为15【分析】（1）设另一个因式是()x b +，则()224=33x x m x x b b -++++，根据对应项的系数相等即可求得b 和k ．（2）设另一个因式是()3x m +，利用多项式的乘法法则展开，再根据对应项的系数相等即可求出m 和p ．（1）解：设另一个因式为()x b +()()265x x a x x b ++=++则()22655x x a x b x b++=+++∴565b b a+=⎧⎨=⎩解得：1b =，5a =另一个因式()1x +，a 的值为5（2）解：设另一个因式为()3x m +，得()()26323x x p x m x --=++，则()2266923x x p x m x m--=+++∴9213m m p+=-⎧⎨=-⎩解得：5m =-，15p =∴另一个因式为()35x -，p 的值为15．【点拨】本题考查了因式分解的意义，正确理解因式分解与整式的乘法互为逆运算是解题的关键．【变式2】（1）计算：20232022(2)(2)-+-；（2）一个长方形的长与宽分别为a ，b ，若该长方形的周长为14，面积为5，求2332363ab a b a b ++的值．【答案】（1）20222-；（2）105【分析】（1）逆用同底数幂的乘法公式进行运算即可；（2）根据长方形的周长为14，面积为5，得出()214a b +=，5ab =，然后对2332363ab a b a b ++进行分解因式，最后整体代入求值即可．解：（1）20232022(2)(2)-+-()()()20222022222=-⨯-+-20222022222=-⨯+()2022212=-+⨯20222=-；（2）∵长方形的周长为14，面积为5，∴()214a b +=，5ab =，即7a b +=，5ab =，2332363ab a b a b++()2232ab b ab a =++()2=+3ab a b=⨯⨯357=．105【点拨】本题主要考查了幂的运算，分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法，完全平方公式，注意整体代入思想的应用．。

专题4.16因式分解（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．下列由左到右的变形中，是因式分解的是（）A ．()()22x y x y x y -+=-B ．()2441411a a a a -+=-+C ．()()2210331x x x -=+--D ．()222mR mr m R r +=+2．多项式23128ab c a b +的公因式是（）A ．24a B ．4abcC ．22a D ．4ab3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（）A ．229x y -+B ．229x y +C ．2221x y -+D ．229x y --4．若二次三项式()()21122ax bx c a x c a x c ++=++，则当0a >，0b <，0c >时，1c ，2c 的符号为（）A ．10c >，10c >B ．10c <，20c <C ．10c >，20c <D ．1c ，2c 同号5．若ABC 的三边a ，b ，c ，满足222506810a b c a b c +++=++，则ABC 的面积为（）A ．6B ．C ．D ．86．已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最小值为（）A ．24B ．443C ．163D ．4-7．在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --8．某同学粗心大意，因式分解时，把等式x 4-■=（x 2+4）（x+2）（x-▲）中的两个数字弄污了，则式子中“■”和“▲”对应的一组数字可能是（）A ．8和1B ．16和2C ．24和3D ．64和89．若a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则abc 的值为（）A ．1B ．3-C ．6-D ．1210．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个多项式的因式分解，正确的是()A ．x 2＋2x ＝x(x ＋2)B ．x 2－2x ＋1＝(x －1)2C ．x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2D ．x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1)二、填空题11．若多项式26x ax ++可分解为()()2x x b ++，则a b +的值为______12．若3x y -=，2xy =-，则代数式2233x y xy -的值是_____．13．已知0.5x y -=，5 3.5x y +=，则代数式2244x xy y ++的值为_________．14．已知4,6x y x y +=-=，则2222x y -=__________．15．利用因式分解计算：22111021198⨯-⨯的结果是______．16．给出下列多项式：①22x y +；②22x y -；③22x xy y ++；④222x xy y ++；⑤41x -；⑥2214m mn n -+．其中能够因式分解的是：_____________（填上序号）．17．将多项式244x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，添加的单项式可以是__________18．对于a ，b ，c ，d ，规定一种运算a cb d =ad-bc,如1324=1×4-2×3=-2,那么因式分解3x 36x --的结果是_________.三、解答题19．因式分解：(1)322x x x++(2)2()16()a x y y x -+-20．先因式分解，再计算求值：2222a b a b +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中18a =-，2b =．21．把下列各式分解因式：(1)234x x +-；(2)3-a b ab ；(3)22363ax axy ay -+．(4)()()x x y y y x ---22．若()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭的积中不含x 项与3x 项．(1)求p ，q 的值；(2)比较()022p q pq -，，的大小；(3)24427x px q --是否是完全平方式？如果是，请将其分解因式；如果不是，请说明理由．23．阅读材料：教科书中提到“222a ab b ++和222a ab b -+这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．例如：分解因式：()()()()()22222321412121213x x x x x x x x x --=-+-=--=-+--=+-求代数式223x x --的最小值()2222321414x x x x x --=-+-=--∵()210x -≥，∴当1x =时，代数式223x x --有最小值4-．结合以上材料解决下面的问题：(1)分解因式：267x x --；(2)当a ，b 为何值时，222242023a ab b b -+++有最小值？最小值是多少？24．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．(1)如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含m ，n 的式子表示）．①方法1：________；方法2：________；②请写出()2m n +，()2m n -，4mn 三个代数式之间的等量关系：________．(2)若640a b ab +-+-=，求()2a b -的值．(3)如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），请画出该长方形，根据图形的面积关系，分解因式：2232m mn n ++=________．参考答案1．D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．解：A 、是整式乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；B 、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；C 、等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不合题意；D 、是因式分解，故本选项符合题意；故选：D ．【点拨】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．2．D【分析】根据公因式定义，对各选项整理后即可确定公因式．解：()232128432ab c a b ab bc a +=+，4ab 是公因式，故选：D ．【点拨】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．3．A【分析】根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．解：A.229x y -+是x 与3y 的平方的差，能用平方差公式分解因式，故本选项正确，符合题意；B.229x y +两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；C.2221x y -+是三项，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；D.229x y --两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，故本选项错误，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差是解题的关键．4．D【分析】首先整式的乘法展开()()1122a x c a x c ++为()212122112a a x a c a c x c c +++，然后根据0c >求解即可．解：∵()()21122ax bx c a x c a x c ++=++212122112a a x a c x a c x c c =+++，()212122112a a x a c a c x c c =+++，∵0a >，0b <，0c >，∴120a a >，12210a c a c +<，120c c >，∴1c ，2c 同号．故选：D ．【点拨】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解和整式乘法的关系．5．A【分析】先将条件配成完全平方式，求出a ，b ，c 的值，可得△ABC 是直角三角形，即可求面积．解：∵222506810a b c a b c +++=++，∴2226981610250a a b b c c +++++--=-，即()()()2223450a b c -+-+-=，∴3,4,5a b c ===，∴222+=a b c ，∴△ABC 是直角三角形，∴ABC 的面积为3462⨯=．故选：A【点拨】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解判断△ABC 的形状是解决本题的关键．6．D【分析】先对所求整式进行展开，然后根据完全平方公式的性质可进行求解．解：∵222+=+m n mn ，∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 222249124m n mn m n =+-+-225512m n mn =+-()5212mn mn=+-107mn =-，∵222+=+m n mn ，∴()2230m n mn +=+≥（当0m n +=时，取等号），∴23mn ≥-，∴()220m n mn -=-≥（当0-=m n 时，取等号），∴2mn ≤，∴223mn -≤≤，∴141473mn -≤-≤，∴4441073mn -≤-≤，∴2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最小值为4-．故本题选：D ．【点拨】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解是解题的关键．7．D【分析】依照例题，根据完全平方公式、平方差公式解答．解：a 2-6ab+5b 2=a 2-6ab+9b 2-4b 2=(a-3b)2-(2b)2=(a-3b+2b)(a-3b-2b)=(a-b)(a-5b)；故选：D ．【点拨】本题考查了综合运用公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．8．B【分析】可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：a 2-b 2=（a +b ）（a -b ）．解：由（x 2+4）（x +2）（x -▲）得出▲=2，则（x 2+4）（x +2）（x -2）=（x 2+4）（x 2-4）=x 4-16，则■=16．故选B ．【点拨】此题考查了学生用平方差公式分解因式的掌握情况，灵活性比较强．9．B【分析】三个等式相加，利用完全平方公式变形得到()()()2223110a b c -+++-=，利用非负数的性质求得a 、b 、c 的值即可．解：∵a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，∴()()()()()222226711711a b b c c a ++-+-=+-+-=-，∴()()()2226921210a a b b c c -+++++-+=，∴()()()2223110a b c -+++-=，∴30a -=，10b +=，10c -=，∴3a =，1b =-，1c =，∴()3113abc =⨯-⨯=-，故选：B ．【点拨】本题考查完全平方公式、代数式求值，解答的关键是通过对等式的变形化为完全平方式，根据平方式的非负性求出a 、b 、c 的值，并准确的计算．10．D解：小明用四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，小亮根据小明的拼图过程，写出多项式x 2+3x+2因式分解的结果为（x+1）（x+2）,即x 2＋3x ＋2＝(x ＋2)(x ＋1)．故选D ．11．8【分析】先将()()2x x b ++的括号展开，求出a 和b 的值，代入求解即可．解：()()()2222222x x b x x bx b x b x b ++=+++=+++，∵()22622x ax x b x b ++=+++，∴2,26b a b +==，解得：5,3a b ==，∴538a b +=+=．故答案为：8．【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．12．18-【分析】原式提取公因式后，将已知等式代入计算即可求出值．解：∵3x y -=，2xy =-，∴原式()318xy x y =-=-，故答案为：18-【点拨】此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．13．4【分析】根据已知等式得出22x y +=，将代数式因式分解即可求解．解：∵0.5x y -=，5 3.5x y +=，∴244x y +=∴22x y +=∴2244x xy y ++()22x y =+22=4=，故答案为：4．【点拨】本题考查了已知式子的值求代数式的值，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．14．48【分析】先因式分解得出()()22222x y x y x y -=+-，再把4,6x y x y +=-=代入即可得出答案解：∵()()()22222x 2y 2x y 2x y x y -=-=+-，∵4,6x y x y +=-=，∴原式=24648⨯⨯=故答案为：48【点拨】本题考查了利用平方差公式分解因式和求代数式的值，掌握整体代入的方法是解题的关键15．8800【分析】先提出11，再根据平方差公式计算即可．解：原式=2211(10298)⨯-=11(10298)(10298)⨯+⨯-=112004⨯⨯=8800．故答案为：8800．【点拨】本题主要考查了应用因式分解计算，掌握平方公式是解题的关键．即22()()a b a b a b -=+-．16．②④⑤⑥【分析】根据提公因式法以及公式法对各个多项式依次加以分析进行判断求解即可.解：①22x y +，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；②()()22x y x y x y -=+-，故可以因式分解；③22x xy y ++，不符合公式，也没有公因式，故无法因式分解；④()2222x xy y x y ++=+，故可以因式分解；⑤()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-，故可以因式分解；⑥2221142m mn n m n ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故可以因式分解；综上所述，②④⑤⑥可以因式分解，故答案为：②④⑤⑥.【点拨】本题主要考查了因式分解的运用，熟练掌握相关方法及公式是解题关键.17．8x 、8x -、4x 【分析】根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中央，进行求解即可．解：∵将多项式244x +加上一个单项式后，使它能成为另一个整式的完全平方，即：加上一个单项式后，多项式变为完全平方式，∵()22242,42x x ==，∴可以添加：2228,2228x x x x ⨯⨯=-⨯⨯=-，当24x 为首尾的2倍时，即：22422x x =⨯⨯，首项可以是：()422x x =；综上：可以添加的是：8x 、8x -、4x 故答案为：8x 、8x -、4x ．【点拨】本题考查的是完全平方式，利用完全平方公式分解因式，理解完全平方式是解题的关键．18．(x-3)2【分析】根据运算法则列出代数式，再按照完全平方公式进行因式分解即可.解：3x 36x --=x(x-6)-3×(-3)=x 2-6x+9=(x-3)2.故答案为(x-3)2【点拨】本题考查利用公式法因式分解，根据运算法则列出代数式并熟练掌握完全平方公式是解题关键.19．(1)2(1)x x +；(2)()()()44x y a a -+-【分析】（1）先提公因式，再用完全平方公式进行分解；（2）先提公因式，再用平方差公式进行分解．解：（1）322x x x++()221x x x +=+()21x x =+（2）2()16()a x y y x -+-()()216a x y x y =---()()216x y a =--()()()44x y a a =-+-【点拨】本题考查因式分解，熟练使用提公因式，完全平方公式，平方差公式是解题的关键．20．14-；【分析】根据平方差公式因式分解化简计算，再代入数字求解即可得到答案；解：原式()(2222a b a b a b a b +-+-=+-ab =，当18a =-，2b =时，原式11284ab ==-´=-；【点拨】本题考查公式法因式分解化简，化简求值，解题的关键是熟练掌握平方差公式22()()a b a b a b -=+-．21．(1)(4)(1)x x +-；(2)(1)(1)ab a a +-；(3)23()a x y -；(4)()()x y x y +-【分析】（1）根据十字相乘法因式分解即可求解；（2）先提公因式ab ，然后根据平方差公式因式分解即可求解；（3）先提公因式3a ，然后根据完全平方公式因式分解即可求解；（4）先提公因式()x y -，进而即可求解．（1）解：2( 34)41()x x x x +-=+-；（2）解：3-a b ab2(1)ab a =-(1)(1)ab a a =+-；（3）解：22363ax axy ay -+223(2)a x xy y =-+23()a x y =-；（4）解：()()x x y y y x ---()()x x y y x y =-+-()()x y x y =+-．【点拨】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．22．(1)133p q ==-，；(2)()022p q pq =<﹣；(3)是，()223x -【分析】（1）利用多项式乘法法则展开后合并同类项，根据积中不含x 项与3x 项得到3010p pq -=+=，，即可得到p ，q 的值；（2）根据（1）中得到的p ，q 的值分别计算()022p q pq -，，，即可得出结论；（3）把p ，q 的值代入24427x px q --进行判断和分解因式即可．解：（1）()22133x px x x q ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭432322113333x x qx px px pqx x x q =-++-+-+-()()4321133133x p x q p x pq x q ⎛⎫=+-+--++- ⎪⎝⎭∵多项式中不含x 项与3x 项，∴3010p pq -=+=，，∴133p q ==-，；（2）221139p -==，221139q ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()()0011pq =-=，∴()022p q pq -=<；（3）24427x px q --是完全平方式，∵()2224242749231x px q x x x ---=+=-．【点拨】此题考查多项式乘法、负整数指数幂、零指数幂、因式分解等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．23．(1)()()17+-x x ；(2)2a b ==-时，最小值为2019．【分析】（1）将多项式加9再减9，利用配方法可得；（2）将多项式配方后可得结论．（1）解：267x x --26916x x =-+-()2234x =--()()3434x x =-+--()()17x x =+-；（2）解：222242023a ab b b -+++2222442019a ab b b b =-+++++()()2222019a b b =-+++，∵()20a b -≥，()220b +≥，∴当0a b -=，20b +=，即2a b ==-时，原代数式有最小值，最小值为2019．【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．24．(1)①2()m n -，2()4m n mn +-；②22()()4m n m n mn -=+-；(2)20；(3)图见详解，()()2m n m n ++【分析】（1）①从“整体”和“部分”两个方面分别表示阴影部分的面积即可；②由①中两种方法所表示的面积相等可得答案；（2）根据非负数的定义可得6a b +=，4ab =，再根据22()()4a b a b ab -=+-进行计算即可；（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积即可．（1）解：①方法1：图2中阴影部分是边长为()m n -，因此面积为2()m n -，方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为()m n +的正方形减去4个长为m ．宽为n 的长方形面积，因此有2()4m n mn +-，故答案为：2()m n -，2()4m n mn +-；②由①得22()()4m n m n mn -=+-，故答案为：22()()4m n m n mn -=+-；（2）解：640a b ab +-+-= ，60a b +-≥，40ab -≥，60a b +-= ，40ab -=，即6a b +=，4ab =，22()()4a b a b ab∴-=+-3616=-20=，∴2()a b -的值为20；（3）解：1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为2223m n mn ++，而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为(2)m n +，宽为()m n +的长方形，如图所示：∴有2223(2)()m n mn m n m n ++=++，故答案为：2223(2)()m n mn m n m n ++=++．【点拨】本题考查完全平方公式，多项式乘以单项式，因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．。

《因式分解》全章复习与巩固【学习目标】1. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算；2．掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法；3. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律.要点三、公式法1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++ 分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)222284a bc ac abc +-；(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．【答案与解析】解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-．(2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：712255-能被120整除．【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：712255-＝()721255- ∴712255-能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式．类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ；原式＝()()()()22222x y x y x y x y ++--⨯+-⎡⎤⎣⎦【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式()()2242464x x x x -+-++进行因式分解的过程． 解：设24x x y -= 原式＝()()264y y +++（第一步）＝2816y y ++（第二步）＝()24y +（第三步）＝22(44)x x -+（第四步）回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（ ）．A 、提取公因式B ．平方差公式C 、两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221x x x x --++进行因式分解．【答案】解：（1）运用了C ，两数和的完全平方公式；（2）244x x -+还可以分解，分解不彻底；结果为()42x -. （3）设22x x y -=．＝()21y +2，4、因式分解：（1）22369xy x y y --；（2）()()413p p p -++.【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.【答案与解析】解：（1）22369xy x y y --（2）()()413p p p -++【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键． 举一反三：【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，n a ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，n a 为完全平方数（不必说明理由）．【答案】 解：（1）∵()()222221214414418n a n n n n n n n =+--=++-+-=， 又n 为非零的自然数，∴n a 是8的倍数．这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，n a 为完全平方数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）()()222222x x ----（2）()2224420x xx x +---（3）2244634a ab b a b -+-+-【答案与解析】解：（1）原式()()()()()()2222212211x x x x x x =---+=+-+-（2）原式＝()()()222224(4)204544x xx x x x x x +-+-=+-++（3）原式＝()()()()223242421a b a b a b a b ----=---+【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三：【变式】（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．【答案】解：将（x-y ）看成一个整体，原式=（x ﹣y+10）（x ﹣y ﹣5）．6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，且322344x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把322344x x y xy y +--＝0化简成()()()22x y x y x y ++-，可得2x y =，由题意可得150x y +=，解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩即可. 【答案与解析】解：∵322344x x y xy y +--＝0∴()()224x x y y x y +-+＝0∵()()()22x y x y x y ++-＝0∴2x y =，x y =-，2x y =-（不合题意，舍去）又由题意可得150x y +=解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩ 解之得，x ＝100，y ＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．举一反三：【变式】因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A ．22(14)(84)x xy y -+-B ．22(144)8x y xy --+C ．22(18)(44)xy x y +-+ D ．221(448)x y xy -+-【答案】D ；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22448x y xy --+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．。

《因式分解》全章复习与巩固(知识讲解及例题演练)1.平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：2.完全平方公式两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-. 形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式. 要点诠释：（1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）套用公式时要注意字母a 和b的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点四、十字相乘法和分组分解法十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2xbx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点五、因式分解的一般步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．【典型例题】类型一、提公因式法分解因式1、分解因式：(1)222284a bc ac abc+-； (2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-．【答案与解析】 解：(1)2222842(42)a bc ac acb ac abc c b +-=+-． (2)32()()()()m m n m m n m m n m n +++-+-【总结升华】在提取公因式时要注意提取后各项字母，指数的变化，另外分解要彻底，特别是因式中含有多项式的一定要检验是否能再分，分解因式后可逆过来用整式乘法验证其正确与否．2、利用分解因式证明：712255-能被120整除． 【思路点拨】25＝25，进而把725整理成底数为5的幂的形式，然后提取公因式并整理为含有120的因数即可．【答案与解析】证明：712255-＝()721255-∴712255-能被120整除．【总结升华】解决本题的关键是用因式分解法把所给式子整理为含有120的因数相乘的形式． 类型二、公式法分解因式3、放学时，王老师布置了一道分解因式题：()()()222244x y x y x y ++---，小明思考了半天，没有答案，就打电话给小华，小华在电话里讲了一句，小明就恍然大悟了，你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样分解因式的．【思路点拨】把()()x y x y +-、分别看做一个整体，再运用完全平方公式解答．【答案与解析】解：把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b ； 原式＝()()()()22222x y x y x y x y ++--⨯+-⎡⎤⎣⎦【总结升华】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，注意把()()x y x y +-、看作完全平方式里的,a b 是解题的关键．举一反三：【变式】下面是某同学对多项式()()2242464xx x x -+-++进行因式分解的过程．解：设24x x y -=原式＝()()+++（第一步）264y y＝2816y y++（第二步）＝()24y+（第三步）＝22-+（第四步）x x(44)回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（）．A、提取公因式B．平方差公式C、两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________.（3）请你模仿以上方法尝试对多项式()()222221--++进行因式分解．x x x x【答案】解：（1）运用了C，两数和的完全平方公式；（2）244x x-+还可以分解，分解不彻底；结果为()42x-.（3）设22x x y-=．2，＝()21y+4、因式分解：（1）22369xy x y y --；（2）()()413p p p -++.【思路点拨】（1）直接提取公因式，进而利用完全平方公式分解因式即可；（2）先去括号，利用平方差公式分解因式即可.【答案与解析】解：（1）22369xy x y y --（2）()()413p p p -++【总结升华】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．举一反三：【变式】设22131a =-，22253a =-，…，()()222121n a n n =+--（n 为大于0的自然数）．（1）探究n a 是否为8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”．试找出1a ，2a ，…，na ，…这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并指出当n 满足什么条件时，na 为完全平方数（不必说明理由）．【答案】解：（1）∵()()222221214414418n a n n n n n n n =+--=++-+-=，又n 为非零的自然数，∴na 是8的倍数． 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是8的倍数（2）这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16，64，144，256．n 为一个完全平方数的2倍时，na 为完全平方数类型三、十字相乘法和分组分解法分解因式5、分解因式：（1）()()222222x x ---- （2）()2224420x x x x +---（3）2244634a ab b a b -+-+-【答案与解析】 解：（1）原式()()()()()()2222212211x x x x x x =---+=+-+-（2）原式＝()()()222224(4)204544x x x x x x x x +-+-=+-++（3）原式＝()()()()223242421a b a b a b a b ----=---+ 【总结升华】做题之前要仔细观察，注意从整体的角度看待问题.举一反三： 【变式】（x ﹣y ）2+5（x ﹣y ）﹣50．【答案】解：将（x-y ）看成一个整体，原式=（x ﹣y+10）（x ﹣y ﹣5）．6、已知长方形周长为300厘米，两邻边分别为x 厘米、y 厘米，且322344x x y xy y +--＝0，求长方形的面积．【思路点拨】把322344x x y xy y +--＝0化简成()()()22x y x y x y ++-，可得2x y =，由题意可得150x y +=，解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩即可. 【答案与解析】解：∵322344x x y xy y +--＝0 ∴()()224x x y y x y +-+＝0 ∵()()()22x y x y x y ++-＝0∴2x y =，x y =-，2x y =-（不合题意，舍去） 又由题意可得150x y +=解方程组2150x y x y =⎧⎨+=⎩解之得，x ＝100，y ＝50∴长方形的面积＝100×50＝5000平方厘米．【总结升华】本题是因式分解在学科内的综合运用，主要考查了分组分解法，提取公因式法和运用平方差公式法．举一反三：【变式】因式分解：22--+，正确的分组是1448x y xy（）A．22(14)(84)-+-B．22x xy y--+(144)8x y xyC．22(18)(44)+-+D．22xy x y-+-1(448)x y xy【答案】D；当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中22--+正好符合完全平方448x y xy公式，应考虑2，3，4项为一组．。