2013-2014学年高一数学上学期期中试题及答案(新人教A版 第87套)
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汕头市金山中学2013-2014学年第一学期期中考试高一数学试题卷第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（每小题5分，共50分，请将所选答案填在括号内）1.已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( )A ．{0}B ．{－1，0}C ．{0，1}D ．{－1，0，1} 2.设}3,2,21,1,1{-∈α,则使函数αx y =为奇函数的所有α值为( ) A 1,3 B -1,1 C -1,3 D -1,1,33. 下列函数中,在其定义域内是增函数的为（ ） A ．x x y +=2 B ．x y -=12 C ．)1(log 5.0x y += D ．||y x x =4.下列不等式成立的是（ ） A.14.33.03.0<π B. 14.333<πC.16.0log 3.0>D.3log 2log 5.05.0<5. 函数x x x f 2log 12)(+-=的零点所在的一个区间是()A.)41,81( B.)21,41( C.)1,21( D.(1,2)6 若αααα2sin 1cos sin 2,3tan -=则的值为（ ）A.2B.3C.4D.67. 函数y =2211x x +-的值域是 （ ）A.［－1，1］B.（－1，1］C.［－1，1）D.（－1，1）8.函数y =（ ）A.),1[+∞B. ),32(+∞ C. ]1,32[ D. ]1,32( 9.已知==)30(cos ,3sin )(sin f x x f 则（ )A.0B.1C.－1D.23 10.已知函数)(),2(log )(1*+∈+=N n n n f n ,定义:使)()3()2()1(k f f f f ⨯⨯⨯⨯ 为整数的数)(*∈N k k 叫作企盼数,则在区间[1,1000]内这样的企盼数共有( )个. A.7 B.8 C.9 D.10 二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）。
11.已知=-<<=+)cos(),23(,3)tan(απαπαπ则 12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1)(2-+=x x x f ，那么，()f x = 。
13. 若函数()1122+-+=x a x y 在(]2,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是 。
14.函数)32(log )(221-+=x x x f 的单调增区间是 。
15、已知||2)(a x x f -=的图像关于直线1=x 对称，则实数a 的值为 。
16. 已知函数)4()(,)0..(2)0..(2)(222a f a f x x x x x x x f >⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥+=则使成立的实数a 的取值范围是 。
三．解答题（5小题共70分）17．（本小题满分14分） 已知函数21()1f x x =-. （1）设()f x 的定义域为A ，求集合A ；（2）判断函数()f x 在（1，+∞）上单调性，并用单调性的定义加以证明.18．（本小题满分14分） 停车场预计“十·一”国庆节这天将停放大小汽车1200辆次，该停车场的收费标准为：大车每辆次10元，小车每辆次5元．根据预计，解答下面的问题： (1)写出国庆节这天停车场的收费金额y(元)与小车停放辆次x(辆)之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围；(2)如果国庆节这天停放的小车辆次占停车总辆次的65%～85%，请你估计国庆节这天该停车场收费金额的范围．19．（本小题满分14分）已知函数32()26f x x x mx =-+（1）若1是函数32()26f x x x mx =-+的一个零点，求函数()f x 的解析表达式；（2）试讨论函数32()26f x x x mx =-+的零点的个数。
20．（本小题满分14分）设a 为实数，函数a x x x f -=)(， （1）当11≤≤-x 时，讨论)(x f 的奇偶性； （2）当10≤≤x 时，求)(x f 的最大值.21（本小题满分14分）、集合A 是由适合以下性质的函数)(x f 构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数12,x x ，都有12121[()()]()22x x f x f x f ++>. （1）试判断)(x f =2x 及x x g 2log )(=是否在集合A 中，并说明理由； （2）设)(x f ∈A 且定义域为(0，+∞)，值域为(0，1)，()112f >，试写出一个满足以上条件的函数)(x f 的解析式，并给予证明.高一数学期中考参考答案B D D AC ；D B D A B ；21-； ⎪⎩⎪⎨⎧<++-=>-+=)0(,1)0(,0)0(,1)(22x x x x x x x x f ； ]23,(--∞ ；)3,(--∞ ；1；),4()0,(+∞⋃-∞17解：（1）由210x -≠，得1x ≠±，……… 2分 所以，函数21()1f x x =-的定义域为{|1}x x ∈≠±R ……… 4分 （2）函数21()1f x x =-在(1,)+∞上单调递减.……………6分 证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，设12x x <， 则210,x x x ∆=-> 12122122222112()()1111(1)(1)x x x x y y y x x x x -+∆=-=-=----…………………… 10分121,1,x x >> 22121210,10,0.x x x x ∴->->+>又12x x <，所以120,x x -< 故0.y ∆< 因此，函数21()1f x x =-在(1,)+∞上单调递减. ………………………14分 说明：分析y ∆的符号不具体者，适当扣1—2分.18解：（1）依题得)12000)(1200(105≤≤-+=x x x y 6分 （2）1020780%851200%651200≤≤⇒⨯≤≤⨯x x 8分而120005)1200(105+-=-+=x x x y 在]1020,780[上为减函数， 10分780510205⨯-≤≤⨯-∴y 12分即81006900≤≤y 13分答：估计国庆节这天该停车场收费金额的范围是]8100,6900[ 14分19． 解：（1）∵ 1是函数32()26f x x x mx =-+的一个零点，∴ 将1x =代入得 2－6+m=0，解得 m=4，∴ 原函数是32()264f x x x x =-+。
5分 （2）06200)(2=+-=⇒=m x x x x f 或 7分 对于方程0622=+-m x x 有： 290836>⇒<-=∆m m 时，无解 8分 290836=⇒=-=∆m m 时，023≠=x 9分 290836<⇒>-=∆m m 时，48366m x -±= 10分 当0,23021==⇒=x x m 11分 当2293,2293021m x m x m --=-+=⇒≠ 12分综上所述，29>m 时，原函数有1个零点；29=m 或，0=m 时，原函数有2个零点时， 29<m 且，0≠m 时，原函数有3个零点时 14分20解：（1）当时0=a ，)()(x f x x x x x f -=-=--=-，此时)(x f 为奇函数。
――――3分 当0≠a 时，0)(=a f ，02)(≠-=---=-a a a a a a f ， 由)()(a f a f ≠-且)()(a f a f -≠-，此时)(x f 既不是奇函数又不是偶函数 ――――6分 （2） 当0≤a 时，∵10≤≤x 时，)()(a x x x f -=为增函数，∴1=x 时，a f x f -==1)1()(max . ―――8分 当0>a 时，∵10≤≤x ，∴ax x a x x x f -=-=2)()(，其图象如图所示： ――――10分①当12≥a，即2≥a 时，1)1()(max -==a f x f . ――――11分②当a a 22112+≤<，即2)12(2<≤-a 时，4)2()(2max a a f x f ==―― 12分③当1221<+a ，即)12(20-<<a 时，a f x f -==1)1()(max ――13分 综上：当)12(2-<a 时，a x f -=1)(max ；当2)12(2<≤-a 时，4)(2maxa x f =； 当2≥a 时，1)(max -=a x f ； ――――14分 21解：（1）()f x A ∈，()g x A ∉. ……………………………………… 2分 对于()f x A ∈的证明. 任意12,x x R ∈且12x x ≠，22222121212121122212()()2()()222241()04f x f x x x x x x x x x x x f x x ++++-+-=-==-> 即1212()()()22f x f x x xf ++>. ∴()f x A ∈ …………………………… 4分对于()g x A ∉，举反例：当11x =，22x =时，1222()()11(log 1log 2)222g x g x +=+=，122221231()log log log 2222x x g ++==>=， 不满足1212()()()22g x g x x xg ++>. ∴()g x A ∉. ……………………… 7分 ⑵函数2()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当(0,)x ∈+∞时，值域为(0,1)且21(1)32f =>.…… 9分任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，则121211221221212222222222()()1222()2222333122221222023333233x x x x x x x x x x f x f x x x f +⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅⋅+=->⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭即1212()()()22f x f x x x f ++>. ∴2()3xf x A ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. ………………… 14分。
