江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研(二)数学试题(解析版)

11．在 中，角 ， ， 对边分别是 ， ， ，若满足 ，则角 的大小为__________．
12．在 中， ， ， ， 是 所在平面内一点，若 ，则 面积的最小值为__________．
13．已知函数 若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为__________．
14．已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为________．
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 __________．
2．已知 为虚数单位，复数 ，且 ，则 ______．
3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数 ，则 的值为__________．
4．已知直线 为双曲线 （ ， ）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为__________．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数 的分布列和数学期望 .
26．已知
其中 ， ， ， .
（1）试求 ， ， 的值；
（2）试猜测 关于 的表达式，并证明你的结论.
（1）求利润函数 的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该， ， 为自然对数的底数， .
（1）当 ， 时，设函数 的最小值为 ，求 的最大值；
（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不同实数解，求 的取值范围.
如图，直线 切圆 于点 ，直线 交圆 于 ， 两点， 于点 ，且 ，求证： .
22．B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵 的一个特征值 及对应的特征向量 .
求矩阵 的逆矩阵.
23．C.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），曲线 的极坐标方程为 （ ）.若曲线 与曲线 有且仅有一个公共点，求实数 的值.

2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学I 试题考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求1 .本试卷共4页,包含填空题〔第 1题〜第14题〕、解做题〔第15题〜第20题〕两局部.本试 卷总分值160分,测试时间为120分钟. 2 .做题前,请您务必将自己的姓名、测试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在做题卡的指定位置.3 .做题时,必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在做题卡的指定位置,在其他位置作答一律 无效.4 .如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.5 .请保持做题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一. …,一 1(x n x),其中 x —(X 1 n一、填空题：本大题共 14小题,每题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在 做题卡相应位置上.1 .假设复数z 满足〔1+i 〕z=2〔i 是虚数单位〕,那么z 的虚部为 ▲.2 .设集合A {2,4}, B {a ；2}(其中a 0),假设A B ,那么实数a ▲图如右图所示,那么这五人成绩的方差为 ▲ .右图是一个算法流程图,假设输入值 x [0,2],那么输出值S 的取值范围是 ▲.欧阳修在?卖油翁?中写到： “〔翁〕乃取一葫芦置于地,以 钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入, 而钱不湿〞,可见卖油翁的技艺之高超,假设 铜钱直径4厘米,中间有边长为 1厘米的方差公式： s 2 - (x 1 x)2 (x 2 x)2nX 23.4.在平面直角坐标系xOy 中,点P 〔 2,4〕到抛物线y 2 8x 的准线的距离为 ▲. 一次测试后,从高三〔1〕班抽取5人进行成绩统计,其茎叶 78 8 2 4 4 9 2(第4题图)5.6.正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),那么油恰好落入孔中的概率是▲ .7 .函数f(x) sin(灰)(0 x 2力在x 2时取得最大值,那么k8 .公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,假设S04 ,那么4% ▲.S5 d9 .在棱长为2的正四面体P ABC中,M , N分别为PA, BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD 2DN ,那么三棱锥D MBC的体积为▲ ._ _ _ _ 3 tan A10 .设△ ABC的内角A, B , C的对边分别是a , b , c,且满足acosB bcosA — c,那么------------5 tanB▲.2 211 .在平面直角坐标系xOy中,圆C : (x 1) y 2 ,点A(2,0),右圆C上存在点M ,酒足MA2MO210,那么点M的纵坐标的取值范围是▲.12 .如图,扇形AOB的圆心角为90.,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦AB的uuu uuir对称点Q ,那么OP OQ的取值范围为▲1八(| x 31 1), x 0,升入人^花.13.函数f (x)2 右存在头数a b c,ln x, x 0,满足f(a) f (b) f(c),那么af(a) bf(b) cf(c)的最大值是▲.2 3 1 114 .a, b为正实数,且a b 4(ab),那么一一的最小值为▲. a b二、解做题：本大题共6小题,共计90分.请在做题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证实过程或演算步骤.15 .(本小题总分值14分)如图,在四棱锥P ABCD中, ADB 900,CB CD ,点E为棱PB的中点.(1)假设PB PD ,求证：PC BD ;(2)求证：CE〃平面PAD .A(本小题总分值14分)在△ ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,设^ ABC 的面积为 S ,且4S 3(a 2 c 2 b 2).(1)求 B 的大小； (2)设向量 m (sin 2A,3cos A) , n (3, 2cos A),求 m n 的取值范围.▲ ▲ ▲(本小题总分值14分)下列图(I)是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图( II)所示的数学模型.索塔 AB , CD 与桥面AC 均垂直,通过测量知两索塔的高度均为 60m,桥面AC上一点P 到索塔AB, CD 距离之比为21:4,且P 对两塔顶白视角为135°.(1)求两索塔之间桥面 AC 的长度;(2)研究说明索塔对桥面上某处的“承重强度〞与多种因素有关,可简单抽象为：某索塔对桥 面上某处的“承重强度〞与索塔的高度成正比(比例系数为正数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数 b).问两索塔对桥面何处的“承重强度〞之和最小？并求出最小 值.16.17.18. (本小题总分值16分)2 X如图,椭圆—a2y b 21(a b 0)的离心率为焦点到相应准线的距离为分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C的直线l交椭圆于点D ,交x轴于点M (x1,0),直线AC与直线BD交于点N(x2, y2).(1)求椭圆的标准方程；uuuu uuuu(2)假设CM 2MD ,求直线l的方程；(3)求证：x1 *2为定值. ▲▲▲19.(本小题总分值16分)函数f(x) x3ax2bx 1, a, b R.(1)假设a2b 0 ,①当a 0时,求函数f (x)的极值(用a表示)；② 假设f(x)有三个相异零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？假设存在,试求出a的值；假设不存在,请说明理由；(2)函数f(x)图象上点A处的切线1I与f(x)的图象相交于另一点B,在点B处的切线为l2,直线1I, I2的斜率分别为K, k2,且k2=4k「求a, b满足的关系式.▲ ▲ ▲20.(本小题总分值16分)等差数列斗的首项为1,公差为d ,数列b n的前n项和为S n ,且对任意的n N ,6S n 9b n a n 2 恒成立.(1)如果数列S n是等差数列,证实数列b n也是等差数列；1(2)如果数列b n1为等比数列,求d的值；2(3)如果d 3,数列c n的首项为1, c n b n b n 1(n 2),证实数列an中存在无穷多项可表示为数列 c n 中的两项之和.2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求 1 .本试卷只有解做题,供理工方向考生使用.本试卷第选做,每位考生在 4个选做题中选答 2题.假设考生选做了 3题或4题,那么按选做题中的前2题计分.第22, 23题为必做题.每题 10分,共40分.测试 试结束后,请将做题卡交回2 .做题前,请您务必将自己的姓名、测试号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答呼的规定位置.3 .做题时,必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在做题卡的指定位置,在其他位置彳 答一律无效.4 .如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.5 .请保持做题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、 圆珠笔. 21 .【选做题】在 A, B, C, D 四小题中只能选做两题 ,每题10分,共计20分.请在做题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 证实过程或演算步骤. A.选修4—1:几何证实选讲如下图,AB 为.O 的直径,AE 平分 BAC 交..于E 点,过E 作.O 的切线交AC 于点D ,求证AC DE . B.选修4-2:矩阵与变换2 1矩阵 M =的一个特征值为3,求M 1 .数学n 〔附加题〕2021. 521题有A, B, C, D 4个小题供304b 钟.考4 x▲ ▲ ▲C.选修4—4:坐标系与参数方程.............................................................. x 3 2cost.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).y 2 2sint以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为近 cos( -) a(a R),圆心C到直线l的距离等于后,求a的值.▲ ▲ ▲D.选修4—5:不等式选讲2 2 2 2头数a, b, c满足a 2b c 1 , a b c 1,求证：一c 1.3▲ ▲ ▲【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在做题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤.22.(本小题总分值10分)1 —甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对该题的概率为一,乙、丙3 做对该题的概率分别为m, n(m n),且三位学生能否做对相互独立,设X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为：(1)求m, n的值;23.6.15.(2)求X的数学期望.(本小题总分值10分)函数f (x) (x(1)当n 2时,假设(2)假设f (2) m2021-2021填空题:2.7.、5)2n1(n Nf(2) f( 2)(m N ,0J5A,求实数A的值;1),求证：(m ) 1 .学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研参考答案3. 4. 20.812.8. 9..2 1,1 13. 2e212二)5.10.14.解做题证实: (1) BD的中点O , 连结CO, PO,由于CD由于PBCB ,所以△PD ,所以△CBD为等腰三角形,所以PBD为等腰三角形,所以BDBD又POI CO O ,所以BD 平面由于PC 平面PCO ,所以PCPCO.BD .(2)由E为PB中点,连EO,那么EO // PD ,又EO 平面PAD ,所以EO //平面PAD .由ADB 90 ,以及BD CO ,所以CO // AD ,又CO 平面PAD ,所以CO //平面PAD . 11分又COI EO=O ,所以平面CEO //平面PAD ,13分 而CE 平面CEO ,所以CE // 14分16.解〔1〕由题意,有 4 1acsinB 2 .3(a 2 c 2 b 2), 2那么 sin B -.3 a c 2 b 22ac 所以 sin B 73cos B . 由于sin B 0 ,所以cosB 0, 所以tan B _ It所以B -3(2) 由向量 m (sin 2A,3cos A) , n(3, 2cos A),得m gn 2= 3sin 2A 6cos A 3sin 2A3cos2A3 3后sin(2A , 3.一兀所以2A - 4所以sin(2A 九八一,所以A C 3〔44负 所以m g n 17.解(1)设 AP tan =K 21t 由tan(化简得7t 2所以,AC 10分12分即取值范围是14分21t , BP 4t,(t 0) 〞tan7ttan 45125t 300 APB= , CPD=,那么60 4t15 tantan20 7t1 tan tan15t 300 7F0,解得t 20或tAP PC 25 20 500.答：两索塔之间的距离 AC=500米.〔2〕设AP=x,点P 处的承重强度之和为 L 〔x 〕.157〔舍去〕,c得 a2a(2)由(1)知 C(0,1),设 D(x o ,y 0),18. 贝U L(x) 60[ab —ab-^],且 x (0,500),x 2 (500 x)2r -1 1即 L(x) 60ab[-2 ——^],x (0,500) x (500 x)(注：不写定义域扣 1分)、-1 1记 l(x) — ™—77,X (0,500),那么 l'(X) x (500 x) 令 l (x) 0,解得 X 250 ,当 x (0,250), l (x) 0, l(x)单调递减； 当 x (250,500) , l (x) 0, l(x)单调递增；2 (500 x)311分所以x 250时,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值 坐23125答：两索塔对桥面 AC 中点处的“承重强度〞之和最小,且最小值为解(1)由椭圆的离心率为二,焦点到对应准线的距离为1.213分6ab 3125…14分所以,椭圆的标准方程为y 2 1.uuuu uuuu由于CM 2MD ,得2 y o 代入椭圆方程得x 0所以l 的方程为：y 6-—或2、6——x 2三,所以D(12,_6 2 ,(3)设D 坐标为(X 3,y 3),由C(0,1), M(x 1, 0)可得直线CM 的方程1 y — xX Iy联立椭圆方程得：2x 21—x X 1 1, 解得x 314x 1xyr y 3x 12 2 x ,212分由Bh/2,0),得直线BD 的方程：yX I 2 2「2X ； 4x 1 2 22解得acc 1,直线AC 方程为y —x 1 ,②2 2联乂①②得 x 2 一 ,.......................................... 15分 X i从而X i X 2=2为定值. .......................................... 16分解法2:设D 坐标为(X3, y3),由C,M,D 三点共线得 A —y^,所以x 1 -x^ ,①.................... 10分X 1 X 3 X 11 V3由B,D,N 三点共线得y3 L= 一左胃,将y 2 — X 2 1代入可得X 3 . 2 x 2 , 2 222得 f (x) 3x 2ax a , 令f (x) 0 ,解得X 刍或x a .3由 a 0 知,x (, a), f(x) 0, f(x)单调递增,aa x ( a,-), f (x) 0, f(x)单调递减,x (-,), f (x) 0, f(x)单调递增,33...................................................................... 3分3a5a 3因此,f(x)的极大值为f( a) 1 a , f(x)的极小值为f(a) 1 ——. 327...................................................................... 4分 ②当a 0时,b 0,此时f(x) x 3 1不存在三个相异零点；当a 0时,与①同理可得 f(x)的极小值为f( a) 1 a 3, f (x)的极大值为f(M) 15 o要使f(x)有二个不同零点,那么必须有 (1 a 3)(1 一a 3) 0 ,27即 a 31 或 a 3 ——.............................................................................. 6 分5不妨设f(x)的二个零点为X 1, X 2 , X 3 ,且X 1 X 2 X 3 , 那么 f(X 1) f(X 2) f (X 3) 0,2x 3 2y 3 2"& X 3.2'12分①和②相乘得,X 1X 2X 3 J 2X 3 2 y 3 2 J2X 3 2X 3 y 3 2x 31V3 2V3 X 3 2、2y 32 X 3y 3 X 3219. ■■-2 X3 2X 3y 3 2 X322(1 旦)X 3y 3 X 3222解：(1)①由 f (x) 3x 2ax2.............2b 及 a b 0 ,16分35a 27同理 x ； x 3x 2 x 2 a(x 3x 2)a 2 0 ,⑤⑤-④得 x 2(x 3 x i ) (x 3 x i )(x 3 为)2& 为)0 , 由于 x 3x 1 0,所以 x 2 x 3 x 1a 0,♦…,又 x 1 x 3 2x 2 ,所以 x 2 —......................................................3所以 f( a) 0 ,即 2a 2 -a 2,即 a 3271 ,3 9a113因此,存在这样实数 a 仁满足条件.......................311(2)设 A (m, f(m)) ,B(n, f(n)),那么 ( 3m 2 2am b , k 2 3n 2 2an b ,p .f (m) f (n) (m 3 n 3) a(m 2 n 2) b(m n) 22 / x. 又 k 1 ...... - ------- --------- - --- - -------- - --- - ---- -- m 2 mn n 2 a(m n) b,m n m n ..................................................... 13分由此可得 3m 2 2am b m 2 mn n 2 a(m n) b,化简得 n a 2m,因此,k 2 3(a 2m)2 2a( a 2m)b 12m 28am a 2b,..............15 分所以a 2 3b所以｛b n ｝为等差数列.(2)由③得 6b n 9b n 9b n 1. d . 一 1所以一1 0或b n 〔 一为常数.3 n 1220.解：(1)设数列 ｛0｝的公差为d , 由 6S n 9b n a n 2,①6S n 1 9b n 1 ①-②得6(S n an 1 S n 1) 2(n >2),② 9(b n b n 1) (a n an 1),区即 6d 9(b n b n i ) d ,所以 b n b n 16d d.为常数,所以b n 2b ni 23b ni bn 1d ] 3 2 1 21 3(b ni 2) bn 1d1 31 2 q 133一是与n 无关的常数, b ni 2f (x i ) X i 3 ax i 2 a 2x i 1 0, f (x 2) x3ax 2 a 2x 2 10,f (X 3) x 3 ax 32 a 2x 3 1 0,②-①得(x 2 x 1)(x 2 x 1x 2 x 2) 由于x 2 x 1 0 ,所以x f x 1x 22,a(x 2 x i )(x 2 x i ) a (x 2 x 1) 0, x ； a(x x ) a 2 0,④ 10分12分所以,12m 28am22a 4(3m 2am b),16分d ,即 3b n 9b n 1①当d 1 0时,d 3,符合题意; 3一. 1②当b n1 5为常数时,在6S n 9b n a n 2 中令n 1 ,那么6a i9b l a1 2 ,又a1 1 ,解得b 1 ,…8分一一. 1 1 3所以b n1 1b1」32 2 2此时3 —3一r 3 b n1 2综上,d 3或d 6 . ...................................................................... 10分(3)当d 3时,a n 3n 2, ............................................................ 11 分由(2)得数列｛b n1｝是以3为首项,公比为3的等比数列,所以b n- 9 3n1」3n,即2 2 2 2 2 1b n=—(3n1) . .................................................................. 12 分2当n>2 时,c b n b n 1 1(3n 1) 1(3n 1 1) 3n 1 , 2 2当n 1时,也满足上式,所以C n 3n1(n>1). .............................................................. 13 分设a n c C j (1 < i j),那么3n 2 3i 1 3j 1,即3n 3i 1(3j i 1) 2,如果i >2 ,由于3n为3的倍数,3i 1(3j i 1)为3的倍数,所以2也为3的倍数,矛盾. ................................... 15分所以i 1,那么3n 3 3j 1,即n 1 3j 2(j 2,3,4,L).所以数列｛a n｝中存在无穷多项可表示为数列｛g｝中的两项之和. ................ 16分2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕附加题参考答案21.A 解连接OE,由于ED是.O切线,所以OELED. ..................由于M蜜1 ,所以6 . ...................... 10分» -1 < 11 32 221.C解消去参数t,得到圆的普通方程为(x-3) +(y+2) =4, .................. 3分由J2r cosfci - -) = a ,得r cosq + r sinq - a = 0,4所以直线I的直角坐标方程为x+y- a=0. .......................................... 6分依题意,圆心C到直线I的距离等于夜,即邑二夜,解得或3.42............................................................................ 10分21.D 证实：由于a+2b+c= 1, a2+b2+c2=1, 所以a+ 2b= 1 - c, a2+ b2= 1 - c2. .................... 3 分由柯西不等式：(f+22)缶2+b2)>g+2b/, .................................... 6分22.23. 5(1-c2)>(1-c)2,整理得,3c2-c-2< 0,2解得一2<c<1.32所以一2<c< 1.3解〔1〕由题意,10分由题意,E(X)解〔1〕f(x)P(X10 —3当n(113)(1 m)(1 n)1 mn31一,n31 23 30) P(X2时,(x 5)5C0 5C5 x所以f (2) f ( 2)1)1361.......................................42 13 2 2 1 43343P(X 3) 191367367361 113 -361210分C5X4有C：x3(V5)2C3x2(函3C；X(V5)4C5(行)5,........................................................................................... 1分(2 而)5+( 2 而)52[C1(通)124 C3(j5)322+C5^/5)520]=2(5 16J5+10 4 5J5+25 75)=610 V5,所以A 610.(2)由于f (x) (x ,5)2n 1 所以f(2) C21n 122n 由题意f(2) ( 5 首先证实对于固定的假设f (2) (2 5)2n 1那么m〔m2 2 1C:x2n 1C2m x2n而C4IX2n1(拘2L C弁；(右)2n 1,1C2n 122n君C；n 122n1(佝2L C"1(拘2n1,2)2n 1m1m (m N*,0N * ,满足条件的m,1 m2 2(m〞m21〕,是唯一的.N*,0 1, 2 1凡m2, 1所以满足条件的m,下面我们求m及0 ,而m1是唯一的.1 ( 1,0) U (0,1),矛盾.由于f(2) f ( 2)002 n 12[C2n 12显然f(2) f ( 2)的值：(2 , 5)2n 1(2 5)2n 1(2 .5)2n 1(2 5)2n 1C2n 122n1(陶2C24n 122n 3(遥)4 + L +C2n 121(屿2n],N* . ..................................................................又由于而2 (0,1),故(芯2)2n 1(0,1), 即f ( 2) ( 2 -5)2n 1( 5 2)2n 1(0,1).所以令m 2[C；n 122n 1C/ 22n 1诉2C4n 122n 3(T5)4+L +C；ni21(75)2n], (2 5)2n1,那么m f (2) f( 2), f ( 2),又m f(2) , ................................ 9 分所以(m ) f( 2) f (2) (2 J5)2n1( 2 J5)2n1(5 4)2n 11 , ……10分。

合用标准文案2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕数学Ⅰ试题本卷须知：1．本试卷共4 页，包括填空题〔第 1 题～第 14 题〕、解答题〔第 15 题～第 20 题〕两局部．本试卷总分值 160 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试号用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址．3．答题时，必定用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址，在其他地址作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描述清楚．5.请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏．一律严禁使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．会集A x 1 x 3 ， B x x 2 ，那么 A B▲．2． i 为虚数单位，复数z1 3 yi ( y R )，z2 2 i ，且z1 1 i ，那么y▲．z23．下表是一个容量为10 的样本数据分组后的频数分布．假设利用组中值近似计算本组数据的平均数 x ，那么 x 的值为▲．数据[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)频数2134x2y24．直线 2 x 3 y0 为双曲线a2b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线，那么该双曲线的离心率的值为▲．优秀文档合用标准文案5．据，在公元前 3 世，阿基米德已得出了前n 个自然数开始平方和的一般公式．右是一个求前n 个自然数平方和的算法入 x 流程，假设入 x 的1，出S的▲．S06 ． 1 是会集( x, y) x2y2 ,1所表示的地域， 2 是会集S S2x x 1 x( x, y) y, x所表示的地域，向地域 1 内随机的投一个点，S5否是点落在地域 2 内的概率▲．出 S 7．等比数列a n的前 n 和 S n，公比 q3，S3S453 ，结束3a3▲．8．直四棱柱底面是 2 的菱形，面角的 2 3 ，直四棱柱的面▲．9．是第二象限角，且sin 3， tan() 2 ， tan▲．1010．直 l ： mx y2m 1 0 ， C ： x2y22x 4 y0 ，当直 l 被 C 所截得的弦最短，数m▲．11．在△ ABC 中，角 A, B, C 分是 a, b, c ，假设足 2b cos A =2 c3a ，角B的大小▲．12．在△ ABC 中， AB AC，AB 1， AC t ，P是△ ABC 所在平面内一点，假设tAP 4 AB AC▲．|AB|，△ PBC 面的最小|AC|4x2, x⋯0,13．函数 f (x)x3x0,假设函数g( x) f (x)3x b 有三个零点，数 b 的,x取范▲．14． a ,b 均正数，且ab a2b0， a22b21的最小▲．4a b优秀文档合用标准文案二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14 分〕向量 m( 3cos x, 1) , n(sin x,cos2 x) ．（1〕当 x π时，求m n的值；3〔 2〕假设x0, π，且m n31，求 cos2x 的值．43216．〔本小题总分值 14分〕B 如图，在周围体 ABCD 中，平面 ABC ⊥平面 ACD ，E， F， G 分别为 AB， AD ，AC 的中点， AC BC ，EACD 90 ．〔 1〕求证： AB⊥平面 EDC ；A GC〔 2〕假设 P 为 FG 上任一点，证明EP∥平面 BCD ．PFD17．〔本小题总分值14 分〕某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w〔单位：百千克〕与肥料花销x〔单位：百元〕满足以下关系：3，且投入的肥料花销不高出 5 百元．其他，还需w 4x 1要投入其他本钱〔如施肥的人工费等〕2x 百元．这种水蜜桃的市场售价为16 元/千克〔即 16 百元 /百千克〕，且市场需求向来供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L (x) 〔单位：百元〕．（1〕求利润函数L x的函数关系式，并写出定义域；（2〕当投入的肥料花销为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？优秀文档合用标准文案18．〔本小分16 分〕函数 f (x) a ln x bx 3，a，b 数， b 0 ， e 自然数的底数， e 2.71828 ⋯．〔 1〕当 a 0 ， b 1 ，函数 f (x) 的最小g ( a) ，求 g (a) 的最大；〔 2〕假设关于x 的方程 f ( x)=0 在区 (1， e] 上有两个不相同数解，求 a 的取范．b19．〔本小分16 分〕x2y2F ( 1,0)x2C :a2b21(a b0) 的左焦点，左准方程．〔 1〕求C的准方程；y〔 2〕直 l 交C于A，B两点．①假设直 l C的左焦点 F ，P A交 y 于点 P ，且足PA AF ，PBBF ．求：定；F O x②假设 A， B 两点足 OA OB 〔OB坐原点〕，求△ AOB 面的取范．20．〔本小分16 分〕数列 a na2 a 4*足 a1 1,a n n n,其中 n N ,,非零常数．1a n2〔 1〕假设3,8 ，求：a n 1 等比数列，并求数列a n的通公式；（2〕假设数列 a n是公差不等于零的等差数列．①求数 , 的；②数列a n的前n和S n构成数列S n，从S n中取不相同的四按从小到大排列成四子数列．：可否存在首S1的四子数列，使得子数列中的全部之和恰好2021？假设存在，求出全部足条件的四子数列；假设不存在，明原由．优秀文档合用标准文案21．【选做题】此题包括A ，B， C ，D四小题，每题10 分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题地域内作答，假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．A．〔选修 4－ 1：几何证明选讲〕如图，直线 DE 切圆O于点 D ，直线EO交圆O于A,B两点，DC OB于点C，且 DE 2BE ，求证：2OC3BC ．DAO C B E B．〔选修 4— 2：矩阵与变换〕1a1 及对应的特色向量e 1矩阵 M的一个特色值1．3b1求矩阵 M 的逆矩阵．C．〔选修 4— 4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xO y 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为x32cos，为参数 )，曲y32sin(0,2 π,线 C2的极坐标方程为sin(πaR 〕．假设曲线C1与曲线 C2有且仅有一个公) a 〔a 的值．3共点，求实数D. 〔选修 4— 5：不等式选讲〕a ,b,c 为正实数，求证：b2c2a2⋯abc ．a b c【必做题】第22，23 题，每题10 分，共 20 分 . 请把答案写在答题卡的指定地域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕优秀文档袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得 n 分〔n N*〕的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔 1〕求在一局游戏中得 3 分的概率；〔 2〕求游戏结束时局数X 的分布列和数学希望 E ( X )．23．〔本小题总分值10 分〕f n (x) C n0 x n C1n (x 1)n( 1)k C n k ( x k)n( 1)n C n n ( x n) n，其中 x R，n N *，k N, k, n．（1〕试求 f1 ( x) ， f 2 ( x) ， f 3 ( x) 的值；（2〕试猜想 f n (x) 关于 n 的表达式，并证明你的结论．2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕优秀文档数学参照答案一、填空．1． x1x22． 13．4．21 35． 146．37． 38．16 2 49．110．- 111．π12．3 76213． (,6)(1,0]14． 7 46 小，共90 分．二、解答：本大共π31) ，n(314 分15．解：〔 1〕当 x， m(,,) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3224所以 m n311 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分442〔 2〕m n = 3 cos xsin x cos2 x3sin 2 x 11sin(2 xπ18 分2cos2 x2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262假设 m n31，s in(2 xπ131，即sin(2 xπ3，32)232)366因 x[0,π，所以ππ ππ610 分]6剟2 x6，所以 cos(2x)，⋯⋯⋯⋯⋯4363cos2 x cos[(2 xππcos(2xπ3π 1⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分6)])2sin(2 x)2666633132314 分32326．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16．〔 1〕因平面 ABC⊥平面 ACD ，ACD90，即 CD ⊥ AC，平面 ABC平面 ACD =AC， CD平面 ACD ，所以 CD ⊥平面 ABC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又 AB平面 ABC，所以 CD ⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 AC BC ，EAB 的中点，所以CE⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又 CE CD C ，CD平面 EDC， CE平面 EDC ，所以 AB ⊥平面 EDC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分〔 2〕 EF， EG，因 E， F 分 AB， AD 的中点，所以 EF ∥ BD，又BD平面 BCD ， EF平面 BCD，优秀文档合用标准文案所以 EF ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分同理可 EG ∥平面 BCD ，且 EF EG=E ， EF 平面 BCD ， EG平面 BCD ，所以平面 EFG ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又 P FG 上任一点，所以EP平面 EFG ，所以 EP ∥平面 BCD ．⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：〔 1〕 L ( x)16 43x 2x 6448 3x 〔 0剟x 5 〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 1x 1〔 2〕法一 ： L ( x)64483 x 6748x 1x1x31, 67248 3 x 143 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x 1当且 当48 3 x 1 ，即 x3 取等号．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x 1故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分法二： Lx483 ，由 L x0 得， x3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 21故当 x 0,3 ， Lx 0 ， L x 在 0,3 上 增；当 x3,10 ， L x0 ， L x在 3,5 上 减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分18．解：〔 1〕当 b1 ，函数 f (x)a ln x x 3 ，f ( x)a 3x 2 a 3x 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分xx令 f ( x)0 ，得 xaa 0 ，3，因 a 0 ，333x(0,3aaa,))33(333 f (x)+f (x)极小所以 g ( a) f (3aa ln3a a aa a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分)33ln()，3 3 33令 t (x) x ln xx ，t ( x) ln x ，令 t ( x) 0 ，得 x 1 ，且当 x1 ， t (x) 有最大1，所以 g ( a) 的最大 1〔表格略〕， (分段写 性即可 )，此 a3 ．⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕由 意得，方程a ln x bx 3 0 在区 (1， e] 上有两个不相同 数解，优秀文档合用标准文案所以ax 3 在区 (1， e] 上有两个不相同的 数解，b ln x即函数y 1a像与函数 m(x)x 3 像有两个不相同的交点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分bln x因x 2 (3ln x 1)3m ( x)(ln x)2，令 m (x)0 ，得 xe ，x(1, 3 e)3e( 3 e,em ( x) 0+m( x)3e所以当 x3(3e, ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(1， e) ， m(x) 当 x 〔 3 e ，e] ， m( x) (3e,e 3 ] ，所以 a ,b 足的关系式a3，即a 33e, eb 的取 范 〔3e ， e ] ．⋯⋯⋯⋯ 16 分b19．解：〔 1〕由 知 e2， a 22c 2b 2c 2 ，即 a 22b 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22代入C 获得1 11 ，b 21 ， a 22 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(1,) 2b 2 2b 22∴ C : x 2y 2 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2〔 2〕①由 知直 l 的斜率存在， 直l 的方程 y k(x 1) ， P(0,k ) ．A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，直 l 代入 得 x 2 2k 2 ( x 1)22 ，整理得，(1 2k ) x4k x2k20 ，∴ x 1x 24k 2 2 ,x 1x 2222． ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22k2221 2k1 2k由 PAAF ，PBBF 知，1 x 1 , 1 x2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 1x 2x 1 x 22 x 1x 2 4k 2 4k 2 44∴1 2k2 1 2k 24〔定 〕．⋯⋯⋯ 9 分1 x x x x4k 2 2k 2 2121211221 2 k1 2k②当直 OA, OB 分 与坐 重合 ，易知△AOB 的面 S2 10 分，⋯⋯⋯⋯⋯2当直 OA, OB 的斜率均存在且不 零 ，OA : ykx, OB : y1x ，kA( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，将 y kx 代入 C 获得 x 2 2k 2 x 2 2 ，合用标准文案2222k 2，同理 x222k 222，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴ x12k 2, y12122 , y222 12k k kk22△ AOB 的面S OA OB1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22k21k 2221令t211,，S t，k2t 1 t1112t t 2令 u 1(0,1) ， S1122．⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分t u2u2129,2u324上所述， S2,2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分323a 28a4(3a2)(an 2)20．解：〔 1〕当3,8 ， a n1n n n3a n2，a n2a n 2∴ a n 113(a n1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又 a n10 ，不然 a110，与 a1 1 2矛盾，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ a n12 首， 3 公比的等比数列，∴ a n1n 1n 11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 3，∴ a n 2 3〔 2〕① a n a1(n1)d dn d 1 ，由 a na n2a n4a( a2)2a 4 ，1得1aa n2n n n n∴ ( dn d3)(dn1)(dn d2( dn d1) 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1)∴ d 2n2(4 d d 2 )n d3 d 2 n2(2(1 d )) dn(1 d ) 2(1 d )4任意 n N 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分d 2 d 2，，1∴4d d2(2(1 d ))d，即u d，∴1,u4, d2．⋯⋯⋯⋯ 9 分2d 3(1 d)2(1 d )4，，d 2上，14,a n 2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，②由①知S n n(12n1)n2．22021 奇数，四也许三个奇数一个偶存在足条件的四元子列，察到数、也许一个奇数三个偶数．1 假设三个奇数一个偶数，S1 , S2x1 , S2 y 1 , S2 z是足条件的四，1(2 x1)2(2 y1)24z22021 ，∴ 2( x2x y2y z2 )1007 ，与1007 奇数矛盾，不合意舍去．⋯⋯11 分合用标准文案2 假设一个奇数三个偶数，S 1 , S 2x , S 2 y , S 2 z 是 足条件的四 ，124 x 24 y 2 4z 22021 ，∴ x 2y 2 z 2504 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 504 偶数知， x, y, z 中一个偶数两个奇数也许三个偶数．1〕假设 x, y, z 中一个偶数两个奇数，不如x 2 x 1，y 2 y 1 1,z 2 z 1 1,2(x 12y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 ) 251 ， 与 251奇数矛盾． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2〕假设 x, y, z 均 偶数，不如x 2x 1, y 2 y 1, z2 z 1 ，x 12y 1 2z 12 126 ， 奇偶解析知x 1 , y 1 , z 1 中两奇数一个偶数，不如 x 12x 2 ， y 1 2 y 21 ， z 12 z 2 1 ， x 2 2y 2 2y 2 z 2 2 z 2 31． ⋯14 分因 y 2 ( y 2 1), z 2 ( z 21) 均 偶数，所以 x 2 奇数，不如0剟 y 2z 2 ，当 x 2 1 ， y 2 2y 2 z 2 2z 2 30 ， y 22y 2 ,14 ， 得 y 2 0 ， z 25 ， x 2 1 ， 当 x 2 3 ， y 2 2 y 2z 22z 2 22 ， y 2 2 y 2 , 10 ， 得 y 2 1 ， z 24 ， x 2 3 ， 当 x 25 ， y 22y 2 z 22z 26 ， y 22y 2 , 2 ， 得 y 2 0 ， z 22 ， x 25 ，即 S 1, S 4 , S 8 , S 44 也许 S 1, S 12 , S 24 ,S 36 也许 S 1, S 4 , S 20 , S 40 足条件，上所述，S 1, S 4 , S 8 , S 44 ， S 1, S 12 , S 24 , S 36 ， S 1 , S 4 , S 20 , S 40 全部 足条件的四元子列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分〔第二卷 理科附加卷〕21．【 做 】本 包括 A ， B ， C ， D 四小 ，每小10 分.A ．〔 修 4－ 1 几何 明 〕 .合用标准文案解： OD ，的半径R， BE x ， OD R， DE2BE 2x ．⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt△ ODE 中，∵ DC OB，∴ OD2OC OE ，即 R2OC ( R x) ，①又∵直 DE 切 O 于点 D， DE 2BE OE ，即 4x2x ( R x) ，②⋯⋯⋯ 6 分∴ x 2R，代入①， R2OC (R2R) ， OC3R ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分335∴ BC OB OC R 3R2R ，55∴ 2OC3BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．〔修 4— 2：矩与〕解：由知，1a11a1111a ，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分3b13b113b ，1∴ a2,b 2 ， M 12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32det(M )121 2 23 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3211∴ M122．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 14 4C．〔修 4— 4：坐系与参数方程〕解： ( x22224 ，3)( y 3)4cos4sin∴曲 C 的一般方程 (x224 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1)( y 3)sin(1sin3cos a ，3) a22∴曲 D 的直角坐方程3x y2a0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分曲 C 心到直D的距离 d 33 3 12a8 分(3) 2122 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ a3 2 ，∴a1或 a 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔少一解，扣一分〕D．〔修 4— 5：不等式〕解法一：根本不等式∵ a b2⋯2b ， bc2⋯2c ， ca2⋯2a ，a b c合用标准文案b 2c 2ca 22b 2c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ abb⋯2a ac∴ b2c 2 a 2 ⋯a b c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分a bcc)(b 2c 2 a 2解法二：柯西不等式( a b) ⋯(bc a)2 ，∴ b 2c 2 a 2ab c⋯a bc ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ab c【必做 】第22， 23 ，每小 10 分， 20 分.22．解：〔 1〕 在一局游 中得3 分 事件 A ，C 1C 1C 1 2P( A) 2 2 1．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分C 535答：在一局游 中得3 分的概率2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5〔 2〕 X 的全部可能取 1,2,3, 4 ．C 1C 2C 2C 13 在一局游 中得2 分的概率2 2 21，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分C 5310P( X1) C 22C 211；C 535P( X2)4 3 65 10；25P( X3) 4 (1 3 )2 28 ；5 10 5 125 P( X4) 4 (1 3 )3 425 5．10125所以X 12 34162842P525125125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴ E(X)1126 3 28 4 42337．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525 12512512523．解： (1) f 1 (x)C 10 x C 11( x 1) xx 11 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分0 21 22f 2 ( x) C 2 xC(2x 1 ) 2C ( x 2 )22( x 224 x4)2 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分x2x 1) (xf 3 ( x) C 30 x 3 C 31 (x 1)3 C 32 (x 2)3C 33 ( x 3)33333合用标准文案〔 2〕猜： f n ( x)n! ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分而 kC n k k n !n!， nC n k11n(n 1)!n!，k!( n k )!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!所以 kC n k nC n k11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分用数学法明建立．①当 n 1 ， f1 (x) 1 ，所以建立．②假当 n k ，建立，即f k ( x)C k0 x k C k1 (x当 n k0k 11k 11，f k 1 ( x) C k 1 x C k 1 (x 1)1)k( 1)k C k k ( x k) k k! ．k 1k 1k 1( 1)C k 1 (x k 1)C k01x k 1C k11 ( x 1)k ( x 1)( 1)k C k k1 (x k) k ( x k) ( 1)k 1 C k k11 (x k 1)k 1 x[C k01 x k C k1 1 ( x 1)k( 1)k C k k 1 ( x k )k ]1k2k(k 1k k]k 1k 1k 1[ C k 1 ( x1)2C k 1 ( x2)1)kC k 1 (x k)( 1) C k 1 (x k 1)x[C k0 x k(C k1C k0 )( x 1)k(1)k (C k k C k k1 )( x k )k ]( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k )k ] ( 1)k 1C k k11 (x k 1)k (x k 1) x[C k0 x k C k1 (x 1)k(1)k C k k ( x k)k ]x[C k0 (x1)k( 1)k1 C k k 1 ( x k)k ] ( k 1)[( x 1)k C k1 ( x2) k( 1)k1 C k k1 (x k)k ]x( 1)k 1 C k k ( x k 1)k( k 1)( 1)k 1( x k 1)k0k1k(k kk)kx[C k x C k (x 1)1) C k ( x]x[C k0 ( x1)k( 1)k-1 C k k1 (x k)k(1)k C k k ( x k 1)k ]〔 * 〕( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k)k( 1)k ( x k 1)k ]由假知〔 * 〕式等于 x k! x k!( k1)k!(k 1)!．所以当 n k 1 ，也建立．合①②， f n ( x) n! 建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}13A x x =-<<，{}2B x x =<，则A B =I ． 2．已知i 为虚数单位，复数13i z y =+（R y ∈），22i z =-，且121i z z =+，则y = ．3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 ．4．已知直线20x =为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式.下图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出S 的值为 ．6．已知1Ω是集合(){}22,1x y xy +≤所表示的区域，2Ω是集合(){},x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 ．7．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比3q =，34533S S +=，则3a = ． 8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为为 ．9．已知α是第二象限角，且sin α=()tan 2αβ+=-，则tan β= ． 10．已知直线l ：210mx y m +--=，圆C ：22240x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = ．11．在ABC V 中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c，若满足2cos 2b A c =，则角B 的大小为 ．12．在ABC V 中，AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，P 是ABC V 所在平面内一点，若4AB AC AP AB AC=+uu u r uuu r uu u r uu u r uuu r ，则PBC V 面积的最小值为 ． 13．已知函数()24,0,3,0,x x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b的取值范围为 ．14．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 ． 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量),1m x =-u r，()2sin ,cos n x x =r.（1）当3x π=时，求m n ⋅u r r的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12m n ⋅=u r r ，求cos2x 的值. 16．如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，AC BC =，90ACD ∠=o .（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD .17．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341w x =-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．已知函数()3ln f x a x bx =-，a ，b 为实数，0b ≠，e 为自然对数的底数，e 2.71828≈L .（1）当0a <，1b =-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同实数解，求ab的取值范围. 19．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为()1,0F -，左准线方程为2x =-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA AF λ=uu r uu u r ，PB BF μ=u u ru u u r .求证：λμ+为定值；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB V 面积的取值范围.20．已知数列{}n a 满足11a =，2142n n n n a a a a λμ+++=+，其中*N n ∈，λ，μ为非零常数.（1）若3λ=，8μ=，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数λ，μ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加）试题21．【选做题】本题包括A ，B ，C ，D 四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE 切圆O 于点D ，直线EO 交圆O 于A ，B 两点，DC OB ⊥于点C ，且2DE BE =，求证：23OC BC =.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦uu r 的一个特征值11λ=-及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦r . 求矩阵M uu r的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C的参数方程为2cos ,32sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（[]0,2απ∈，α为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin 3a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（R a ∈）.若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.D.选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，c 为正实数，求证：222b c a a b c++a b c ≥++. 【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分，请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得{}n S 分（*N n ∈）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束. （1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .23．已知()()011nn n n n f x C x C x =--()()1knk n C x k ++--+L ()()1nnm n C x n +--L ，其中R x ∈，*N n ∈，N k ∈，k n ≤. （1）试求()1f x ，()2f x ，()3f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案一、填空题1．{}12x x -<< 2．1 3．19.7 45．14 6．347．3 8． 9．17 10．1- 11．6π 12．3213(),6-∞U 1,04⎛⎤-⎥⎝⎦14．7 二、解答题15．解：（1）当3x π=时，12m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u r，1,24n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ， 所以m n ⋅=u r r 311442-=.（2）m n ⋅=u rr 2sin cos x x x -11sin 2cos 2222x x =--1sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若12m n ⋅=u r r ，则1sin 262x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭12，即sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2663x πππ-≤-≤，所以cos 263x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin 262x π⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭12=-=16．解：（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，90ACD ∠=︒，即CD AC ⊥， 平面ABC I 平面ACD AC =，CD ⊂平面ACD ， 所以CD ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以CD AB ⊥，因为AC BC =，E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥， 又CE CD C =I ，CD ⊂平面EDC ，CE ⊂平面EDC ， 所以AB ⊥平面EDC .（2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF BD ∥，又BD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ， 所以EF ∥平面BCD ，同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG E =I ，EF ⊂平面BCD ，EG ⊂平面BCD ， 所以平面EFG ∥平面BCD ，又P 为FG 上任一点，所以EP ⊂平面EFG ，所以EP ∥平面BCD . 17．解：（1）()31641L x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭2x x --=486431x x --+（05x ≤≤）. （2）()486431L x x x =--=+()4867311x x ⎛⎫-++⎪+⎝⎭67≤-43=. 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号. 故()max 43L x =.答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元. 18．解：（1）当1b =-时，函数()3ln f x a x x =+，则()23a f x x x'=+23a x x +=，令()0f x '=，得x =0a <0>，所以()g a f ==ln 3a a =ln 333a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 令()ln t x x x x =-+，则()ln t x x '=-，令()0t x '=，得1x =， 且当1x =时，()t x 有最大值1，所以()g a 的最大值为1（表格略），（分段写单调性即可），此时3a =-. （2）由题意得，方程3ln 0a x bx -=在区间(]1,e 上有两个不同实数解，所以3ln a x b x=在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，即函数1ay b=图象与函数()3ln x m x x =图象有两个不同的交点，因为()()()223ln 1ln x x m x x -'=，令()0m x '=，得x =所以当(x ∈时，()()3e,m x ∈+∞，当x ⎤∈⎦时，()(33e,e m x ⎤∈⎦， 所以a ，b 满足的关系式为33e e a b <≤，即ab的取值范围为(33e,e ⎤⎦. 19．解：（1）由题设知1c =，22a c =，22a c =， 22a ∴=，2221b a c =-=，C ∴：2212x y +=.（2）①由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()1y k x =+，则()0,P k . 设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 代入椭圆得()222212x k x ++=，整理得，()222124k x k x ++2220k +-=，2122412k x x k -∴+=+，21222212k x x k -=+.由PA AF λ=uu r uu u r ，PB BF μ=u u r u u u r 知111x x λ-=+，221x x μ-=+，λμ∴+=1212121221x x x x x x x x ++-=+++22222222444121242211212k k k k k k k k --+++---++++441-=-=--（定值）. ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知AOB V的面积2S =， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y kx =，OB ：1y x k=-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将y kx =代入椭圆C 得到22222x k x +=，212221x k ∴=+，2212221k y k =+，同理222222k x k =+，22222y k =+， AOB V 的面积2OA OBS ⋅==.令21t k =+[)1,∈+∞，S== 令()10,1u t =∈，则S==2,32⎡⎢⎣⎭. 综上所述，2,32S ⎡∈⎢⎣⎦. 20．解：（1）当3λ=，8μ=时，213842n n n n a a a a +++=+()()3222n n n a a a ++=+32n a =+， ()1131n n a a +∴+=+.又10n a +≠，不然110a +=，这与112a +=矛盾，{}1n a ∴+为2为首项，3为公比的等比数列，1123n n a -∴+=⋅，1231n n a -∴=⋅-.（2）①设()11n a a n d =+-1dn d =-+， 由2142n n n n a a a a λμ+++=+得()12n n a a ++=24n n a a λμ++，()()31dn d dn ∴-++()21dn d λ=-+()14dn d μ+-++，()22243d n d d n d ∴⋅+--+()()2221d n d λλμ=+-+()21dn d λ+-+()14d μ-+对任意*N n ∈恒成立.令1n =，2，3，解得，1λ=，4μ=，2d =. 经检验，满足题意.综上，1λ=，4μ=，21n a n =-.②由①知()21212n n n S n +-==. 设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.1°若三个奇数一个偶数，设1S ，21x S +，21y S +，2z S 是满足条件的四项， 则()2121x +++()222142017y z ++=，()2222x x y y z ∴++++1007=，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.2°若一个奇数三个偶数，设1S ，2x S ，2y S ，2z S 是满足条件的四项，则2214x ++22442017y z +=，222504x y z ∴++=.由504为偶数知，x ，y ，z 中一个偶数两个奇数或者三个偶数.1）若x ，y ，z 中一个偶数两个奇数，不妨设12x x =，121y y =+，121z z =+，则()222111112x y y z z ++++251=，这与251为奇数矛盾.2）若x ，y ，z 均为偶数，不妨设12x x =，12y y =，12z z =，则222111126x y z ++=，继续奇偶分析知1x ，1y ，1z 中两奇数一个偶数， 不妨设122x x =，1221y y =+，1221z z =+，则22222x y y +++22231z z +=.因为()221y y +，()221z z +均为偶数，所以2x 为奇数，不妨设220y z ≤≤，当21x =时，222222y y z z +++30=，22214y y +≤，检验得20y =，25z =，21x =， 当23x =时，222222y y z z +++22=，22210y y +≤，检验得21y =，24z =，23x =， 当25x =时，222222y y z z +++6=，2222y y +≤，检验得20y =，22z =，25x =，即1S ，4S ，8S ，44S 或者1S ，12S ，24S ，36S 或者1S ，4S ，20S ，40S 满足条件， 综上所述，{}14844,,,S S S S ，{}1122436,,,S S S S ，{}142040,,,S S S S 为全部满足条件的四元子列.（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．A.解：连结OD ，设圆的半径为R ，BE x =，则OD R =，22DE BE x ==. 在Rt ODE V 中，DC OB ⊥Q ，2OD OC OE ∴=⋅，即()2R OC R x =⋅+，①又Q 直线DE 切圆O 于点D ，则2DE BE OE =⋅，即()24x x R x =⋅+，②23R x ∴=，代入①，223R R OC R ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，35R OC =， BC OB OC ∴=-3255R R R =-=， 23OC BC ∴=.B.解：由题知，111313a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111-⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦11,31,a b -=-⎧⇒⎨-=⎩ 2a ∴=，2b =，1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦uu r . ()12det 32M =uu r 12234=⨯-⨯=-，111223144M -⎡⎤-⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦uu r . C.解：(()223x y +-=224cos 4sin 4αα+=，∴曲线1C 的普通方程为()()22134x y ++-=.sin 3a πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1sin cos 2a ρθθ∴+=， ∴曲线2C20y a +-=，曲线1C 圆心到直线2C 的距离为2d ==，32a ∴-=，1a ∴=或5a =.D.解：基本不等式22b a b a +≥Q ，22c b c b +≥，22a c a c +≥，22b c a b c a b ∴++++2222a a b c c +≥++，222b c a a b c∴++a b c ≥++， 22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ，则()1112213525C C C P A C ==. 答：在一局游戏中得3分的概率为25. （2）X 的所有可能取值为1，2，3，4.在一局游戏中得2分的概率为1221222135310C C C C C +=， ()212235115C C P X C ===；()43651025P X =⨯=； ()4331510P X ⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭2285125⨯=； ()4341510P X ⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭3425125⨯=. 所以()1125E X ∴=⨯+6283425125⨯+⨯+42337125125⨯=. 23．解：（1）()()011111f x C x C x =--=11x x -+=；()()20212221f x C x C x =--()2222C x +-()22221x x x --+()2442x x +-+=；()()30313331f x C x C x =--()()33233323C x C x +---()3331x x =--()()333236x x +---=.（2）猜想：()!n f x n =. 而()!!!kn n kC kk n k =-()()!1!!n k n k =--，()()()111!1!!k n n nC n k n k ---=--()()!1!!n k n k =--， 所以11k k n n kC nC --=.用数学归纳法证明结论成立.①当1n =时，()11f x =，所以结论成立.②假设当n k =时，()()011kk k k k f x C x C x =--()1kk k C ++-L ()!kx k k -=. 当1n k =+时，()()10111111k k k k k f x C x C x +++++=--()1111k k k C +++++-L ()11k x k +--()()0111111kk k k C x C x x +++=---()()()11kkkk C x k x k +++---+L ()()111111k k k k C x k ++++---()01111k k k k x C x C x ++⎡=--+⎣()()11k k k k C x k +⎤+--⎦L ()()1211122k k k k C x C x ++⎡+---⎣()()111k k k k kC x k ++⎤+--⎦L ()()111111k k k k C x k +++++--- ()10o k k k k x C x C C ⎡-+⎣()()11kkx -++-L ()()1kk k kk CC x k -⎤+-⎦()()11k k x ⎡++--⎣()()11121kk k k k C x C +--++-L ()()1111k k k k x k C +++⎤-+-⎦()()11kx k x k ----()011k k k k x C x C x ⎡=--+⎣L ()()1k k k k C x k ⎤+--⎦()01k k x C x ⎡--++⎣L ()()111k kk k C x k --⎤--⎦()()11k k x ⎡++--⎣()12k k C x -+L ()()11k k k k C x k -⎤--⎦()()111k k k k x C x k ++----()()()1111k kk x k ++---()011k k k k x C x C x ⎡=--+⎣()()1k k k k C x k ⎤+--⎦L ()01k k x C x ⎡--++⎣L ()()111k kk k C x k ----()()11k k k k C x k ⎤+---⎦（*）()()11kk x ⎡++--⎣()()1121kk k C x --+-L ()1kk k C x k --()()11kkx k ⎤+---⎦由归纳假设知（*）式等于!!x k x k ⋅-⋅+()1!k k +⋅()1!k =+. 所以当1n k =+时，结论也成立. 综合①②，()!n f x n =成立.。