5.3 空间向量与立体几何命题角度1空间位置关系证明与线面角求解高考真题体验·对方向1.(2019浙江·19)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1ACC1⊥平面ABC,∠ABC=90°,∠BAC=30°,A1A=A1C=AC,E,F分别是AC,A1B1的中点.(1)证明:EF⊥BC;(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC,则A1E⊥BC.又因为A1F∥AB,∠ABC=90°,故BC⊥A1F.所以BC⊥平面A1EF.因此EF⊥BC.(2)取BC中点G,连接EG,GF,则EGFA1是平行四边形.由于A1E⊥平面ABC,故A1E⊥EG,所以平行四边形EGFA1为矩形.由(1)得BC⊥平面EGFA1,则平面A1BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上.连接A1G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角).不妨设AC=4,则在Rt△A1EG中,A1E=23,EG=3.3.由于O为A1G的中点,故EO=OG=,所以cos∠EOG=-·因此,直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是3.方法二:(1)连接A1E,因为A1A=A1C,E是AC的中点,所以A1E⊥AC.又平面A1ACC1⊥平面ABC,A1E⊂平面A1ACC1,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,所以,A1E⊥平面ABC.如图,以点E为原点,分别以射线EC,EA1为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-xyz.不妨设AC=4,则A1(0,0,23),B(3,1,0),B1(3,3,23),F33,23,C(0,2,0).因此,=33,23,=(-3,1,0).由=0得EF⊥BC.(2)设直线EF与平面A1BC所成角为θ.由(1)可得=(-3,1,0),=(0.2,-23).设平面A1BC的法向量为n=(x,y,z).由·0,·0,得-30,-30取n=(1,3,1),故sinθ=|cos<·n>|=··.因此,直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为3.2.(2019天津·17)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F 的余弦值为3,求线段CF 的长.题意,可以建立以A 为原点,分别以 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,1,0),E (0,0,2).设CF=h (h>0),则F (1,2,h ).依题意, =(1,0,0)是平面ADE 的法向量,又 =(0,2,h ),可得 =0,又因为直线BF ⊄平面ADE ,所以BF ∥平面ADE., =(-1,1,0), =(-1,0,2), =(-1,-2,2).设n =(x ,y ,z )为平面BDE 的法向量, 则 · 0, · 0,即 - 0,- 0,不妨令z=1, 可得n =(2,2,1).因此有cos < ,n >= · =- 9.所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为9. (3)解 设m =(x ,y ,z )为平面BDF 的法向量,则 · 0, · 0,即 - 0, 0,不妨令y=1,可得m =1,1,- .由题意,有|cos <m ,n >|= ·-33,解得h=,经检验,符合题意. 所以,线段CF 的长为.3.(2018全国Ⅰ·18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起,使点C到达点P 的位置,且PF⊥BF.(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD;(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点,的方向为y轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.可得PH=3,EH=3.则H(0,0,0),P0,0,3,D- ,-3,0 ,3,30,0,3为平面ABFD的法向量.设DP 与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=·333.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3.4.(2018全国Ⅱ·20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),=(0,2,23).取平面PAC的法向量=(2,0,0),设M(a,2-a,0)(0<a≤ ),则=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z).由·n=0,·n=0得39,-)0可取n=(3(a-4),3a,-a),所以cos<,n>= 33 - )3.由已知可得|cos<,n>|=3.所以 33 - )33,解得a=-4(舍去),a=3.所以n=-33,33,-3.又=(0,2,-23),所以cos<,n>=3.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为3.典题演练提能·刷高分1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=A1D,AB=BC,∠ABC= 0°.(1)证明:AD⊥A1B;(2)若平面ADD1A1⊥平面ABCD,且A1D=AB,求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.AD中点O,连接OB,OA1,BD,∵AA1=A1D,∴AD⊥OA1.又∠ABC= 0°,AD=AB,∴△ABD是等边三角形,∴AD⊥OB,∴AD⊥平面A1OB.∵A1B⊂平面A1OB,∴AD⊥A1B.平面ADD1A1⊥平面ABCD,平面ADD1A1∩平面ABCD=AD,又A1O⊥AD,∴A1O⊥平面ABCD,∴OA,OA1,OB两两垂直,以O为坐标原点,分别以OA,OB,OA1所在射线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz, 设AB=AD=A1D=2,则A(1,0,0),A1(0,0,3),B(0,3,0),D(-1,0,0).则=(1,0,3),=(-1,3,0),=(0,-33),设平面A1B1CD的法向量n=(x,y,z),则·-30,·30,令x=3,则y=1,z=-1,可取n=(3,1,-1),设直线BA1与平面A1B1CD所成角为θ,则sinθ=|cos<n,>|=·3- 3·0.2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD= 0°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE∥平面PAD;(2)求直线PB与平面BDE所成角的正弦值.F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.G为AB的中点,因为AD=AB,∠BAD= 0°,所以△ABD为等边三角形,故DG⊥AB;因为AB∥CD,所以DG⊥DC.又PD⊥平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直.以D为坐标原点,为x轴、为y轴、为z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则P(0,0,2),B(3,1,0),E(0,2,1),=(0,2,1),=(3,1,0),设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,则·0,·0,即0,30令y=1,则n=-33, ,-.又=(3,1,-2),所以|cos<n,>|=··,即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为.3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:A1C∥平面DEF;(2)若A1C⊥EF,求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值.,连接AB1,A1B,交于点H,A1B交EF于点K,连接DK,因为ABB1A1为矩形,所以H为线段A1B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB1的中点,所以点K为线段BH的中点,所以A1K=3BK,又因为CD=3BD,所以A1C∥DK,又A1C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A1C∥平面DEF.(1)知,EH∥AA1,因为AA1⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC,因为△ABC为正三角形,且点E为棱AB的中点,所以CE⊥AB,故以点E为坐标原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz,设AB=4,AA1=t(t>0),则A1(2,t,0),C(0,0,23),E(0,0,0),F-2,,0,D-3,0,3, 所以=(-2,-t,23),=-2,,0,因为A1C⊥EF,所以=0,所以(-2)×(-2)-t×+23×0=0,解得t=2.所以=(-2,,0),=-3,0,3,设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,所以-0,-330,取x=1,则n=(1,3),又因为=(-2,0,23),设直线A1C1与平面DEF所成的角为θ,所以sinθ=|cos<n,>|=··,所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为.4.如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形,∠BAD= 0°,AB=2,E,F为CD,AA1的中点.(1)求证:DF∥平面B1AE;(2)若AA1⊥底面ABCD,且直线AD1与平面B1AE所成线面角的正弦值为3,求AA1的长.G为AB1的中点,连接EG,GF,因为FG A1B1,又DE A1B1,所以FG DE,所以四边形DEGF是平行四边形,所以DF∥EG,又DF⊄平面B1AE,EG⊂平面B1AE,所以DF∥平面B1AE.ABCD是菱形,且∠ABC= 0°,所以△ABC是等边三角形.取BC中点M,则AM⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AA1⊥AM,AA1⊥AD,建立如图的空间直角坐标系A-xyz,令AA1=t(t>0),则A(0,0,0),E33,0,B1(3,-1,t),D1(0,2,t),=33,0,=(3,-1,t),=(0,2,t),设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),则n·3(x+3y)=0且n·3x-y+tz=0,取n=(-3t,t,4),设直线AD1与平面B1AE所成角为θ,则sinθ=·· )3,解得t=2,故线段AA1的长为2.5.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为梯形,△ADE,△BCF均为等边三角形,EF∥AB,EF=AD=AB.(1)过BD作截面与线段FC交于点N,使得AF∥平面BDN,试确定点N的位置,并予以证明;(2)在(1)的条件下,求直线BN与平面ABF所成角的正弦值.当N为线段FC的中点时,使得AF∥平面BDN.证法如下:连接AC,BD,设AC∩BD=O,∵四边形ABCD为矩形,∴O为AC的中点,又∵N为FC的中点,∴ON为△ACF的中位线,∴AF∥ON.∵AF⊄平面BDN,ON⊂平面BDN,∴AF∥平面BDN,故N为FC的中点时,使得AF∥平面BDN.(2)过点O作PQ∥AB分别与AD,BC交于点P,Q,因为O为AC的中点,所以P,Q分别为AD,BC的中点,∵△ADE与△BCF均为等边三角形,且AD=BC,∴△ADE≌△BCF,连接EP,FQ,则得EP=FQ,∵EF∥AB,AB PQ,EF=AB,∴EF∥PQ,EF=PQ,∴四边形EPQF为等腰梯形.取EF的中点M,连接MO,则MO⊥PQ,又∵AD⊥EP,AD⊥PQ,EP∩PQ=P,∴AD⊥平面EPQF,过点O作OG⊥AB于点G,则OG∥AD,∴OG⊥OM,OG⊥OQ.分别以的方向为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz,不妨设AB=4,则由条件可得O(0,0,0),A(1,-2,0),B(1,2,0),F(0,1,),D(-1,-2,0),N-,3,.设n=(x,y,z)是平面ABF的法向量,则·0,·0,即0,-30,所以可取n=(,0,1),由-3,-,,可得|cos<,n>|=·· 3,∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为3.命题角度2空间位置关系证明与二面角求解高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅰ·18)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD= 0°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1DC,可得B1C A1D,故ME ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,3,-2),=(-1,0,-2),=(0,-3,0).设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则·0,·0所以-3-0,-0可取m=(3,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则·0,·0所以-30,--0可取n=(2,0,-1).于是cos<m,n>=·3,所以二面角A-MA1-N的正弦值为 0.2.(2019全国Ⅱ·17)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.(1)证明:BE⊥平面EB1C1;(2)若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.,B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB= °,故AE=AB,AA1=2AB.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),C1(0,1,2),E(1,0,1),=(1,0,0),=(1,-1,1),=(0,0,2).设平面EBC的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即0,0,所以可取n=(0,-1,-1).设平面ECC1的法向量为m=(x,y,z),则·0,·0,即0,0,所以可取m=(1,1,0).于是cos<n,m>=·=-.所以,二面角B-EC-C1的正弦值为3.3.(2018全国Ⅲ·19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;(2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时,M为的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),=(-2,1,1),=(0,2,0),=(2,0,0).设n=(x1,y,z)是平面MAB的法向量,则·0,·0即-0,可取n=(1,0,2),是平面MCD的法向量,因此cos<n,>=·,sin<n,>=.所共面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.4.(2017全国Ⅲ·19)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D-AE-C 的余弦值.,△ABD≌△CBD,从而AD=DC.又△ACD是直角三角形,所以∠ADC=90°.取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.在Rt△AOB中,BO2+AO2=AB2,又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故∠DOB=90°.所以平面ACD⊥平面ABC.(1)知,OA,OB,OD两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,即E为DB的中点,得E0,3,.故=(-1,0,1),=(-2,0,0),- ,3,.设n=(x,y,z)是平面DAE的法向量,则·0,·0,即-0,-30可取n= ,33, .设m是平面AEC的法向量,则·0,·0同理可取m=(0,-1,3).则cos<n,m>=·.所以二面角D-AE-C的余弦值为.5.(2016全国Ⅰ·18)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是 0°.(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;(2)求二面角E-BC-A的余弦值.AF⊥DF,AF⊥FE,所以AF⊥平面EFDC.又AF⊂平面ABEF,故平面ABEF⊥平面EFDC.D作DG⊥EF,垂足为G,由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角,故∠DFE= 0°,则|DF|=2,|DG|=3,可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,3).由已知,AB∥EF,所以AB∥平面EFDC.又平面ABCD∩平面EFDC=CD,故AB∥CD,CD∥EF.由BE∥AF,可得BE⊥平面EFDC,所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角,∠CEF= 0°.从而可得C(-2,0,3).所以=(1,0,3),=(0,4,0),=(-3,-4,3),=(-4,0,0),设n=(x,y,z)是平面BCE的法向量,则·0,·0,即30,所以可取n=(3,0,-3).设m是平面ABCD的法向量,则·0,·0,同理可取m=(0,3,4),则cos<n,m>=·=- 99.故二面角E-BC-A的余弦值为- 99.典题演练提能·刷高分1.(2019山东济宁二模)如图,在直角梯形ABED中,AB∥DE,AB⊥BE,且AB=2DE=2BE,点C是AB的中点,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置.(1)求证:平面PBC⊥平面PEB;(2)若PE与平面PBC所成的角为 °,求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值.AB∥DE,AB=2DE,点C是AB的中点,∴CB∥ED,CB=ED,∴四边形BCDE为平行四边形,∴CD∥EB.又EB⊥AB,∴CD⊥AB,∴CD⊥PC,CD⊥BC,又PC∩BC=C,∴CD⊥平面PBC,∴EB⊥平面PBC.又EB⊂平面PEB,∴平面PBC⊥平面PEB.(1)知EB⊥平面PBC,∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角,∴∠EPB= °,∵EB⊥平面PBC,∴EB⊥PB,∴△PBE为等腰直角三角形,∴EB=PB=BC=PC,即△PBC为等边三角形.设BC的中点为O,连接PO,则PO⊥BC,EB⊥平面PBC,又EB⊂平面EBCD,∴平面EBCD⊥平面PBC.又PO⊂平面PBC,∴PO⊥平面EBCD.以O为坐标原点,过点O与BE平行的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图,设BC=2,则B(0,1,0),E(2,1,0),D(2,-1,0),P(0,0,3),从而=(0,2,0),=(2,1,-3).设平面PDE的一个法向量为m=(x,y,z),则由·0,·0,得0,-30令z=2得m=(3,0,2),又平面PBC的一个法向量n=(1,0,0),则cos<m,n>=·3.所以平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.2.四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB⊥BC,AB=2BC=2CD=2,△SAD为正三角形.(1)点M为棱AB上一点,若BC∥平面SDM,=λ,求实数λ的值;(2)若BC⊥SD,求二面角A-SB-C的余弦值.因为BC∥平面SDM,BC⊂平面ABCD,平面SDM∩平面ABCD=DM,所以BC∥DM.因为AB∥DC,所以四边形BCDM为平行四边形,又AB=2CD,所以M为AB的中点.因为=λ,∴λ=.(2)因为BC⊥SD,BC⊥CD,SD∩CD=D,所以BC⊥平面SCD,又因为BC⊂平面ABCD,所以平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,在平面SCD内过点S作SE⊥直线CD于点E,则SE⊥平面ABCD,在Rt△SEA和Rt△SED中,因为SA=SD,所以AE=--=DE, 又由题知∠EDA= °,所以AE⊥ED,所以AE=ED=SE=1,以下建系求解:以点E为坐标原点,EA方向为x轴,EC方向为y轴,ES方向为z轴建立如图所示空间坐标系,则E(0,0,0),S(0,0,1),A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),=(1,0,-1),=(0,2,0),=(0,2,-1),=(1,0,0),设平面SAB的法向量n1=(x,y,z),则·0,·0,所以-0,0,令x=1得n1=(1,0,1)为平面SAB的一个法向量,同理得n2=(0,1,2)为平面SBC的一个法向量,cos<n1,n2>=··0,因为二面角A-SB-C为钝角,所以二面角A-SB-C余弦值为- 0.3.如图,是一个半圆柱与多面体ABB1A1C构成的几何体,平面ABC与半圆柱的下底面共面,且AC⊥BC,P 为弧上(不与A1,B1重合)的动点.(1)证明:PA1⊥平面PBB1;(2)若四边形ABB1A1为正方形,且AC=BC,∠PB1A1=,求二面角P-A1B1-C的余弦值.在半圆柱中,BB1⊥平面PA1B1,所以BB1⊥PA1.因为A1B1是上底面对应圆的直径,所以PA1⊥PB1.因为PB1∩BB1=B1,PB1⊂平面PBB1,BB1⊂平面PBB1,所以PA1⊥平面PBB1.(2)以点C为坐标原点,以CA,CB为x,y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系C-xyz.如图所示,设CB=1,则B(1,0,0),A(0,1,0),A1(0,1,),B1(1,0,),P(1,1,).所以=(0,1,),=(1,0,).平面PA1B1的一个法向量n1=(0,0,1).设平面CA1B1的一个法向量n2=(x,y,z),则0,0,令z=1,则- ,- ,,所以可取n2=(-,-,1), 所以cos<n1,n2>=.由图可知二面角P-A1B1-C为钝角,所以所求二面角的余弦值为-.4.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=AP=AD=3,AC∩BD=O,过O点作平面α平行于平面PAB,平面α与棱BC,AD,PD,PC分别相交于点E,F,G,H.(1)求GH的长度;(2)求二面角B-FH-E的余弦值.因为α∥平面PAB,平面α∩平面ABCD=EF,O∈EF,平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以EF∥AB,同理EH∥BP,FG∥AP,因为BC∥AD,AD=6,BC=3,所以△BOC∽△DOA,且,CB=1,BE=AF=2,所以,CE=3同理,3连接HO,则有HO∥PA,所以HO⊥EO,HO=1,所以EH=3PB=,同理,FG=3PA=2,过点H作HN∥EF交FG于N,则GH=.(2)建立如图所示空间直角坐标系,则B(3,0,0),F(0,2,0),E(3,2,0),H(2,2,1),=(-1,2,1),=(2,0,1),设平面BFH的法向量为n=(x,y,z),·0,·0,令z=-2,得n= ,3,-,因为平面EFGH∥平面PAB,所以平面EFGH的法向量m=(0,1,0).cos<m,n>=·33 99,故二面角B-FH-E的余弦值为3 99.5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=CC1=2,∠ACC1=∠CC1B1,直线AC与直线BB1所成的角为 0°.(1)求证:AB1⊥CC1;(2)若AB1=,M是AB1上的点,当平面MCC1与平面AB1C所成二面角的余弦值为时,求的值.ABC-A1B1C1中,各侧面均为平行四边形,所以BB1∥CC1,则∠ACC1即为AC与BB1所成的角,所以∠ACC1=∠CC1B1= 0°.连接AC1和B1C,因为CA=CB=CC1=2,所以△AC1C和△B1CC1均为等边三角形.取CC1的中点O,连AO和B1O,则AO⊥CC1,B1O⊥CC1.又AO∩B1O=O,所以CC1⊥平面AOB1.AB1⊂平面AOB1,所以AB1⊥CC1.(1)知AO=B1O=3,因为AB1=,则AO2+B1O2=A,所以AO⊥B1O,又AO⊥CC1,所以AO⊥平面BCC1B1.以OB1所在直线为x轴,OC1所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,如图建立空间直角坐标系,则A(0,0,3),C(0,-1,0),C1(0,1,0),B1(3,0,0),=(0,-1,-3),=(3,0,-3),=(0,2,0),设=t,M(x,y,z),则(x,y,z-3)=t(3-x,-y,-z),所以x=3,y=0,z=3,M3,0,3,所以3, ,3.设平面ACB1的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面MCC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),所以·0,·0--30,3-30,解得n1=(1,-3,1).·0,·00,330,解得n2=(1,0,-t).所以cosθ=·· ·.解得t=或t=2,即或=2.6.如图,在几何体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形,且∠DAB= 0°,EA=ED=AB=2EF,EF∥AB,M为BC中点.(1)求证:FM∥平面BDE;(2)求二面角D-BF-C的平面角的正弦值.CD中点N,连接MN,FN,因为N,M分别为CD,BC中点,所以MN∥BD.又BD⊂平面BDE,且MN⊄平面BDE,所以MN∥平面BDE,因为EF∥AB,AB=2EF,所以EF∥CD,EF=DN.所以四边形EFND为平行四边形.所以FN∥ED.又ED⊂平面BDE且FN⊄平面BDE,所以FN∥平面BDE,又FN∩MN=N,所以平面MFN∥平面BDE.又FM⊂平面MFN,所以FM∥平面BDE.AD中点O,连接EO,BO.因为EA=ED,所以EO⊥AD.因为平面ADE⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,EO⊥BO.因为AD=AB,∠DAB= 0°,所以△ADB为等边三角形.因为O为AD中点,所以AD⊥BO.因为EO,BO,AO两两垂直,设AB=4,以O为原点,OA,OB,OE为x,y,z轴,如图建立空间直角坐标系O-xyz由题意得A(2,0,0),B(0,23,0),C(-4,23,0),D(-2,0,0),E(0,0,23),F(-1,3,23). =(2,23,0),=(1,3,23),=(3,-3,23),=(4,0,0).设平面BDF的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即30,330,令x=1,则y=-33,z=0,所以n=1,-33,0.设平面BCF的法向量为m=(x,y,z),则·0,·0,即0,3-330,令z=1,则y=2,x=0,所以m=(0,2,1).∴cos<m,n>=·=-,∴二面角D-BF-C平面角的正弦值为.7.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是线段AD,PB的中点,PA=AB=1.(1)求证:EF∥平面DCP;(2)求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.方法一)取PC中点M,连接DM,MF.∵M,F分别是PC,PB中点,∴MF∥CB,MF=CB,∵E为DA中点,ABCD为正方形,∴DE∥CB,DE=CB,∴MF∥DE,MF=DE,∴四边形DEFM为平行四边形,∴EF∥DM,∵EF⊄平面PDC,DM⊂平面PDC,∴EF∥平面PDC.(方法二)取PA中点N,连接NE,NF.∵E是AD中点,N是PA中点,∴NE∥DP, 又∵F是PB中点,N是PA中点,∴NE∥AB,∵AB∥CD,∴NF∥CD,又∵NE∩NF=N,NE⊂平面NEF,NF⊂平面NEF,DP⊂平面PCD,CD⊂平面PCD, ∴平面NEF∥平面PCD.又∵EF⊂平面NEF,∴EF∥平面PCD.(方法三)取BC中点G,连接EG,FG,在正方形ABCD中,E是AD中点,G是BC中点,∴GE∥CD,又∵F是PB中点,G是BC中点,∴GF∥PC,又PC∩CD=C,GE⊂平面GEF,GF⊂平面GEF,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,∴平面GEF∥平面PCD.∵EF⊂平面GEF,∴EF∥平面PCD.(2)∵PA⊥平面ABC,且四边形ABCD是正方形,∴AD,AB,AP两两垂直,以A为原点,AP,AB,AD所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,则P(1,0,0),D(0,0,1),C(0,1,1),E0,0,,F,0.设平面EFC的法向量为n1=(x1,y1,z1),=,-,=-,1,则·0,·0,即-0,-0,取n1=(3,-1,2),则设平面PDC的法向量为n2=(x2,y2,z2),=(-1,0,1),=(-1,1,1),则·0,·0,即-0,-0,取n2=(1,0,1),cos<n1,n2>=··.∴平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值为.命题角度3折叠问题、点到平面的距离高考真题体验·对方向1.(2019全国Ⅲ·19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC= 0°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连结DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.EH⊥BC,垂足为H.因为EH⊂平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.由已知,菱形BCGE的边长为2,∠EBC= 0°,可求得BH=1,EH=3.以H为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz,则A(-1,1,0),C(1,0,0),G(2,0,3),=(1,0,3),=(2,-1,0).设平面ACGD的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即30,-0所以可取n=(3,6,-3).又平面BCGE的法向量可取为m=(0,1,0),所以cos<n,m>=·3.因此二面角B-CG-A的大小为30°.2.(2016全国Ⅱ·19)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E,F分别在AD,CD 上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF的位置,OD'= 0.(1)证明:D'H⊥平面ABCD;(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.AC⊥BD,AD=CD.又由AE=CF得,故AC∥EF.因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO=-=4.由EF∥AC得.所以OH=1,D'H=DH=3.于是D'H2+OH2=32+12=10=D'O2,故D'H⊥OH.又D'H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'H⊥平面ABCD.,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D'(0,0,3), =(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3).设m=(x1,y1,z1)是平面ABD'的法向量,则·0,·0,即3-0,330,所以可取m=(4,3,-5).设n=(x2,y2,z2)是平面ACD'的法向量,则·0,·0,即0,330,所以可取n=(0,-3,1).于是cos<m,n>=·0 0=-.sin<m,n>=9 .因此二面角B-D'A-C的正弦值是9 .典题演练提能·刷高分1.如图,在边长为23的菱形ABCD中,∠DAB= 0°.点E,F分别在边CD,CB上,点E与点C,D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置,使平面PEF⊥平面ABFED.(1)求证:PO⊥平面ABD;(2)当PB与平面ABD所成的角为 °时,求平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.EF⊥AC,∴PO⊥EF.∵平面PEF⊥平面ABFED,平面PEF∩平面ABFED=EF,且PO⊂平面PEF,∴PO⊥平面ABD.,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,连接BO,∵PO⊥平面ABD, ∴∠PBO为PB与平面ABD所成的角,即∠PBO= °,∴PO=BO.设AO∩BD=H,∵∠DAB= 0°,∴△BDA为等边三角形,∴BD=23,HB=3,HC=3.设PO=x,则OH=3-x,由PO2=OH2+HB2,得x=2,即PO=2,OH=1.∴P(0,0,2),A(4,0,0),B(1,3,0),D(1,-3,0),F0,33,0.设平面PAD,平面PBF的法向量分别为m=(a,b,c),n=(x,y,z),由·-0,·-3-0,取a=1,得m=(1,-3,2).同理,得n=(-1,3,1),∴cos<m,n>=·· =- 0,∴平面PBF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为 0.2.如图所示,平面多边形ABCDE中,AE=ED,AB=BD,且AB=,AD=2,AE=,CD=1,AD⊥CD,现沿直线AD,将△ADE折起,得到四棱锥P-ABCD.(1)求证:PB⊥AD;(2)若PB=,求PD与平面PAB所成角的正弦值.AD的中点O,连接OB,OP,∵BA=BD,EA=ED,即PA=PD,∴OB⊥AD且OP⊥AD, 又OB∩OP=O,∴AD⊥平面BOP,而PB⊂平面BOP,∴PB⊥AD.OP=1,OB=2,OP2+OB2=5=PB2,∴PO⊥OB,∴OP,OB,OD两两互相垂直,以O为坐标原点,OB,OD,OP所在的直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系O-xyz,则A(0,-1,0),B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),=(0,-1,1),=(0,1,1),=(-2,0,1),设m=(a,b,c)为平面PAB的一个法向量,则由·0,·00,-0,令a=1,则得c=2,b=-2,∴m=(1,-2,2), 设PD与平面PAB所成角为θ,则sinθ=,·· 33,即PD与平面PAB所成角的正弦值为3.3.已知等腰直角△S'AB,S'A=AB=4,S'A⊥AB,C,D分别为S'B,S'A的中点,将△S'CD沿CD折到△SCD 的位置,SA=2,取线段SB的中点为E.(1)求证:CE∥平面SAD;(2)求二面角A-EC-B的余弦值.SA中点F,连接DF,EF,∵SE=EB,SF=FA,∴EF AB.又∵CD AB,∴CD EF,∴四边形CDFE为平行四边形,∴CE∥FD,∵CE⊄平面SAD,FD⊂平面SAD,∴CE∥平面SAD.SD=AD=2,SA=2,∴SD2+AD2=SA2.∴SD⊥AD.∵SD⊥CD,SD⊂平面SCD,∴SD⊥平面ABCD,∵AD,CD⊂平面ABCD,∴SD⊥AD,SD⊥CD,又∵AD⊥DC,∴DA,DC,DS两两互相垂直,如图所示,分别以DA,DC,DS为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),C(0,2,0),S(0,0,2),B(2,4,0),E(1,2,1),=(1,0,1),=(2,-2,0),=(2,2,0), 设平面ECA,平面ECB的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则·0,·00,-0,取m=(1,1,-1),·0,·00, 0,取n=(1,-1,-1).∴cos<m,n>=·3·33,∴二面角A-EC-B的平面角的余弦值为-3.4.如图1,在高为6的等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=6,AB=12,将它沿对称轴OO1折起,使平面ADO1O⊥平面BCO1O.如图2,点P为BC中点,点E在线段AB上(不同于A,B两点),连接OE并延长至点Q,使AQ∥OB.(1)证明:OD⊥平面PAQ;(2)若BE=2AE,求二面角C-BQ-A的余弦值.OA,OB,OO1两两垂直,所以以O为坐标原点,OA,OB,OO1所在直线分别为x轴、y 轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设AQ的长度为m,则相关各点的坐标为O(0,0,0),A(6,0,0),B(0,6,0),C(0,3,6),D(3,0,6),Q(6,m,0).∵点P为BC中点,∴P0,9,3,∴ =(3,0,6),=(0,m,0),=6,m-9,-3.∵ =0,=0,∴ ,且与不共线,∴OD⊥平面PAQ.BE=2AE,AQ∥OB,∴AQ=OB=3,则Q(6,3,0),∴ =(-6,3,0),=(0,-3,6).设平面CBQ的法向量为n1=(x,y,z),∵·0,·0,-30,-30,令z=1,则y=2,x=1,故n1=(1,2,1),又显然,平面ABQ的法向量为n2=(0,0,1),设二面角C-BQ-A的平面角为θ,由图可知,θ为锐角,则cosθ=··.5.如图,四边形ABCD是矩形,沿对角线AC将△ACD折起,使得点D在平面ABC上的射影恰好落在边AB上.(1)求证:平面ACD⊥平面BCD;(2)当=2时,求二面角D-AC-B的余弦值.D在平面ABC上的射影为点E,连接DE,则DE⊥平面ABC,所以DE⊥BC.因为四边形ABCD是矩形,所以AB⊥BC.因为AB∩DE=E,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AD.又AD⊥CD,CD∩BC=C,所以AD⊥平面BCD,而AD⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BCD.B 为原点,线段BC 所在的直线为x 轴,线段AB 所在的直线为y 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设|AD|=a ,则|AB|=2a , 所以A (0,-2a ,0),C (-a ,0,0). 由(1)知AD ⊥BD ,又=2,所以∠DBA=30°,∠DAB= 0°,那么|AE|=|AD|cos ∠DAB= a ,|BE|=|AB|-|AE|=3 a ,|DE|=|AD|sin ∠DAB= 3a ,所以D 0,-3a , 3a ,所以 =0, a , 3a , =(-a ,2a ,0). 设平面ACD 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则 · 0, · 0,即 30,- 0取y=1,则x=2,z=- 33,所以m =1,2,- 33. 因为平面ABC 的一个法向量为n =(0,0,1),所以cos <m ,n >= ·- 33- 33=- .故所求二面角D-AC-B 的余弦值为. 命题角度4探究性问题高考真题体验·对方向(2019北京·16)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为.PD的中点,点F在PC上,且3(1)求证:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.(3)设点G在PB上,且3PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD.A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E为PD的中点,所以E(0,1,1).所以=(0,1,1),=(2,2,-2),=(0,0,2).所以3=33,-3,=333.设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则·0,·0,即0,333令z=1,则y=-1,x=-1.于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD的法向量为p=(1,0,0),所以cos<n,p>=·=-33.由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为33.AG在平面AEF内.因为点G在PB上,且3=(2,-1,-2),所以3=3,-3,-3,=3,-33.由(2)知,平面AEF的法向量n=(-1,-1,1).所以·n=-333=0.所以直线AG在平面AEF内.典题演练提能·刷高分1.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱BB1⊥底面ABC,BB1=4,AB⊥BC,且AB=BC=3,点M,N为棱AB,BC上的动点,且AM=BN,D为B1C1的中点.(1)当点M,N运动时,能否出现AD∥平面B1MN的情况,请说明理由.(2)若BN=,求直线AD与平面B1MN所成角的正弦值.当M,N为各棱中点时,AD∥平面B1MN.证明如下:连接CD,∵CN∥B1D且CN=B1D=BC,∴四边形B1DCN为平行四边形,∴DC∥B1N.又DC⊄平面B1MN,B1N⊂平面B1MN,∴DC∥平面B1MN.∵M,N为各棱中点,∴AC∥MN,又AC⊄平面B1MN,MN⊂平面B1MN,∴AC∥平面B1MN.∵DC∩AC=C,∴平面ADC∥平面B1MN,又∵AD⊂平面ADC,∴AD∥平面B1MN.(2)如图,设AC中点为O,作OE⊥OA,以OA,OE,OB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,∵BN=,AB=BC=3,∴AC=6.。
