专题二：力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡

专题二：力的合成与分解 共点力作用下的物体的平衡

一、 绳断问题

例1：一根长为L的易断的均匀细绳，两端固定在天花板上的A、B两点。若在细绳的C处悬一重物，已知AC>CB，如图所示。则下列说法中正确的应是( )

A. 增加重物的重力，BC段先断

B. 增加重物的重力，AC段先断

C. 将A端往左移比往右移时绳子容易断

D. 将A端往右移时绳子容易断

例2：两根长度相等的轻绳，下端悬挂一质量为m的物体，上端分别固定在水平天花板的M、N点，M、N两点间的距离为s，如图所示，已知两绳所能经受的最大拉力均为T，则每根绳的长度不得短于______。

练习：如图1—5—10所示，AO、BO、CO是完全相同的三条绳子，将一根均匀的钢梁吊起，当钢梁足够重时，结果AO先断，求BO与CO间夹角满足的条件？

°

例3：如图所示，绳子AB能承受的最大拉力为100N，用它悬挂一个重50N的物体，现在其中点O施加一水平力F缓慢向右拉动，当绳子断裂时AO段与竖直方向的夹角为多大?此时水平力F的大小为多少?

一、 静态平衡问题 例1：如图甲所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m1和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。两小球的质量比12mm为（ ）

A．33 B．32 C．23 D．22

解析：此题设计巧妙，考查分析综合能力和运用数学处理物理问题的能力，要求考生对于给出的具体事例，选择小球m1为对象，分析它处于平衡状态，再用几何图形处理问题，从而得出结论。

小球受重力m1g、绳拉力F2=m2g和支持力F1的作用而平衡。如图乙所示，由平衡条件得，F1= F2，gmF1230cos2，得3312mm。故选项A正确。

练习：两个力合力的大小随这两个力夹角θ变化的情况如图所示，由图中提供的数据求出这两个力的大小.

解析：由题意知，F1、F2夹角为π时，F1、F2的合力为1 N，夹角为2时，F1、F2的合力为5 N，所以，

F1－F2＝1 ①

2221FF＝5 ②

由①②得：F1＝4 N，F2＝3 N

答案：4 N；3 N

例2：如图（1）所示，小球质量为m，用两根轻绳BO、CO系好后，将绳固定在竖直墙上，在小球上加一个与水平方向夹角60°的力F，使小球平衡时，两绳均伸直且夹角60°．则力F的大小应满足什么条件？

图（1） 图（2） 图（3）

解析：本题为静力学类问题，并有临界条件需分析，当F力太小时，CO线会松驰，当FCD＝0时物体受力如图（2）有Fminsin60°×2＝mg 所以Fmin＝33mg

当F力太大时，OB线会松弛，当FOB＝0时

受力如图（3）所示

所以Fmax＝33230cosmgmg

综上所述F应满足的条件为：33mg≤F≤332mg

点评：静力学类问题，首要任务应认真画出各状态物体的受力图，再据受力图用正交分解等方法进行运算．临界点的正确判定是解题的关键．

练习：用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图1—2—7所示，今对小球a持续施加一个向左偏下30°的恒力，对小球b持续施加一个向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡，表示平衡状态的图1—2—8中的（ ）

解析：方法1：分别以小球a、b为研究对象．小球b受到重力m2g、外加恒力F2．线中张力FT2，平衡时，F2与FT2的合力必与m2g等值反向．小球a受到重力m1g、外加恒力F1、线中张力FT1、以及上面悬线张力FT（方向未定）．由于FT1与FT2、F1与F2等值反向，因此，FT1与F1的合力R1也必定与R2等值反向，即为竖直向下，与m1g同向．由此可见，小球a平衡时上面悬线的张力FT也应在竖直方向（图1—2—9）．

图1—2—9

方法2：以小球a、b和它们之间的连线组成的整体为研究对象．这一整体受到的外力有：重力m1g、m2g，外加恒力F1、F2，上面悬线弹力FT（方向未定）．由于F1、F2等值反向，互相抵消．平衡时，悬线弹力FT必与两重力（m1＋m2）g等值反向，即悬线应在竖直位置（图1—2—10）．选项A正确．

图1—2—10

二、 动态平衡问题

1、图解法：

例题：如图所示，把球夹在竖直墙AC和木板BC之间，不计摩擦，球对墙的压力为FN１，球对板的压力为FN2．在将板BC逐渐放至水平的过程中，下列说法中，正确的是（ ）

A．FN１和FN2都增大

B．FN１和FN2都减小

C．FN１增大，FN2减小

D．FN１减小，FN2增大

解析：虽然题目中的FN１和FN2涉及的是墙和木板的受力情况，但研究对象还只能取球．由于球处于一个动态平衡过程，FN１和FN2都是变力，画受力图可以先画开始时刻的，然后再根据各力的关系定性或定量地讨论某力的变化规律．

方法1：

球所受的重力G产生的效果有两个：对墙的压力FN１和对板的压力FN2．根据G产生的效果将其分解．如图甲所示，则F1＝FN１，F2＝FN2．从图中不难看出，当板BC逐渐被放平的过程中，FN１的方向保持不变而大小逐渐减小，FN2与G的夹角逐渐变小，其大小也逐渐减小．因此本题的正确答案为B．

图甲 图乙

方法2：由于球处于平衡状态，所以弹力FN1、FN2的合力F跟重力是一对平衡力，大小、方向均不变，如图甲所示，画出力的矢量三角形如图乙所示，在板BC逐渐放至水平的过程中，除合力F恒定外，墙对球的弹力FN1的方向也不改变，而FN2绕O点为轴顺时转动，α角逐渐减小到0，不难看出，FN1、FN2都逐渐减小，当木板水平时，

FN1＝0，FN2＝G

方法3：由图图乙得

FN1＝Ftanα＝Gtanα

FN2＝coscosGF 由这个表达式不难看出，在BC木板逐渐转成水平的过程中，α角减小，FN1、FN2都逐渐减小．

点评：利用图解法分析动态平衡问题，具有直观、简便等优点，但在使用中有两点需要注意：

1．本方法所适用的基本上都是“三力平衡”问题，且物体所受的三力中，有一个恒力（如G），还有一个是方向不变仅大小变的力（如FN１），另一个则是大小和方向都变的力（如FN2）．否则，用图解法分析不一定简便．

2．作图时要规范，也可仅讨论其中的一个三角形，要特别注意方向变化的那个力，要切实搞清其方向变化的范围．

2、平衡方程式法：

例题：人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是

（A）绳的拉力不断增大

（B）绳的拉力保持不变

（C）船受到的浮力保持不变

（D）船受到的浮力不断减小

解析：船受到四个力的作用：重力mg、阻力f、浮力F、拉力T，受力分析如图所示，由于小船匀速靠岸，所以受力平衡，正交分解有；

.sin,cosmgTFfT

解得：T＝f / cosθ，F＝mg－ftgθ．

在船靠岸的过程中，θ角不断变大，根据三角函数关系可以判断：T不断变大，F不断变小，正确答案为（A）、（D）．

点评：平衡方程式法适用于三力以上力的平衡，且有一个恒力，通过它能够建立恒定不变的方程式。根据其中一个力的变化情况，求出另一个力的变化情况。

练习1：如图所示，一个重为G的匀质球放在光滑斜直面上，斜面倾角为α，在斜面上有一光滑的不计厚度的木板挡住球，使之处于静止状态．今使板与斜面的夹角β缓慢增大，问：在此过程中，球对挡板和球对斜面的压力大小如何变化？

解析：解法1：（解析法）

选球为研究对象，球受三个力作用，即重力G、斜面支持力1NF、挡板支持力2NF，受力分析如图4—2—7所示，由平衡条件可得

2NFcos（90°－α－β）－ 1NFsinα＝0 ①

1NFcosα－2NFsin（90°－α－β）－G＝0 ② 联立求解并进行三角变换可得

1NF＝sinsin,)cot(sincos2GFGN

讨论：

（1）对1NF：①（α＋β）＜90°，β↑→cot（α＋β）↓→1NF↓

②（α＋β）＞90°，β↑→｜cot（α＋β）｜↑→1NF↓

（2）对2NF：①β＜90°，β↑→sinβ↑→2NF↓

②β ＞90°，β↑→sinβ↓→2NF↑

综上所述：球对斜面的压力随β增大而减小；球对挡板的压力在β＜90°时，随β增大而减小；在β ＞90°时，随β增大而增大；当β＝90°时，球对挡板的压力最小．

解法2：（图解法）

取球为研究对象，球受重力G、斜面支持力FN1、挡板支持力FN2．因为球始终处于平衡状态，故三个力的合力始终为零，三个力构成封闭的三角形，当挡板逆时针转动时，FN2的方向也逆时针转动，作出如图4—2—8所示的动态矢量三角形，由图可见，FN2先减小后增大，FN1随β增大而始终减小．

点评：（1）从上例的分析可以看出，解析法严谨，但演算较繁，解析法多用于定量分析．图解法直观、鲜明，多用于定性分析．

（2）解答此类“动态型”问题时，一定要认清哪些因素保持不变，哪些因素是改变的，这是解答动态问题的关键．

三、 求力的变化情况

例1：如图4—2—12所示，用轻线将质量分别为mA、mB的A、B两物块连接起来，并跨在定滑轮上，现用水平向右的力F拉A物，试问：若使A物缓缓向右沿水平桌面移动，拉力F的大小如何变化？

解析：缓缓移动时，A、B都看做近乎静止，合力均为零，所以线的拉力为T＝mBg，此时对A受力分析如下图所示．由ΣF＝0得

F＝F′sinα＋Ff＝F′sinα＋μN

＝F′sinα＋μ（mAg－F′cosα）

＝μmAg＋mBg（sinα－μcosα） 当α从0°增大，最后趋近于90°，F从F＝μ（mAg－mBg）开始增大，最后趋近于

F＝μmAg＋mBg

例2：如图，轻绳的A端绕过固定在天花板上的小滑轮，握在站在地上的人手中，B端系一重为G的小球，小球靠在固定的光滑半球的侧面上，人将小球缓缓沿球面从D拉至顶点C的过程中，下列判断正确的是

①人的拉力逐渐变大

②球面对球的支持力逐渐变小

③人的拉力逐渐变小

④球面对球的支持力大小不变

A．①② B．③④

C．①④ D．②③

解析：小球被拉到任意位置时，受力如下图所示．由力的三角形和几何三角形相似得

BOFRFOOmgN

所以FN＝OOR·mg F＝OOBOmg

在缓慢拉起过程中，OO′、R不变，故FN不变．而O′B变小，故F变小．故选B．

例3：有一个直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙， OB竖直向下，表面光滑。AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力FN和摩擦力f的变化情况是