高中数学选修1-2综合测试题(人教A版)

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新人教A版高中数学选修1-2第二章：推理与证明

第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理A级基础巩固一、选择题1．下列推理是归纳推理的是()A．F1，F2为定点，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|，得P 的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：由归纳推理的定义知，B项为归纳推理．答案：B2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111A．111 1110B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113解析：由1×9＋2＝11；12×9＋3＝111；123×9＋4＝1 111；1 234×9＋5＝111 111；…归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，所以123 456×9＋7＝1 111 111.答案：B3．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()解析：观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两个阴影一个空白，应为黑色矩形．答案：A4．设n是自然数，则18(n2－1)[1－(－1)n]的值()A．一定是零B．不一定是偶数C．一定是偶数D．是整数但不一定是偶数解析：当n为偶数时，18(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数；当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，18(n2－1)[1－(－1)n]＝18(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．所以18(n 2－1)[1－(－1)n ]的值一定为偶数．答案：C5．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y b＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )A.x a ＋y b ＋z c＝1 B.x ab ＋y bc ＋z ca ＝1 C.xy ab ＋yz bc ＋zx ca ＝1 D ．ax ＋by ＋cz ＝1解析：从方程x a ＋y b＝1的结构形式来看，空间直角坐标系中，平面方程的形式应该是x a ＋y b ＋z c＝1. 答案：A二、填空题6．已知a 1＝1，a n ＋1>a n ，且(a n ＋1－a n )2－2(a n ＋1＋a n )＋1＝0，计算a 2，a 3，猜想a n ＝________．解析：计算得a 2＝4，a 3＝9，所以猜想a n ＝n 2.答案：n 27．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2.则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：V 1V 2＝13S 1h 113S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶88．观察下列各式：①(x3)′＝3x2；②(sin x)′＝cos x；③(e x－e－x)′＝e x＋e－x；④(x cos x)′＝cos x－x sin x.根据其中函数f(x)及其导数f′(x)的奇偶性，运用归纳推理可得到的一个命题是__________________________________________．解析：对于①，f(x)＝x3为奇函数，f′(x)＝3x2为偶函数；对于②，g(x)＝sin x为奇函数，f′(x)＝cos x为偶函数；对于③，p(x)＝e x－e－x为奇函数，p′(x)＝e x＋e－x为偶函数；对于④，q(x)＝x cos x 为奇函数，q′(x)＝cos x－x sin x为偶函数．归纳推理得结论：奇函数的导函数是偶函数．答案：奇函数的导函数是偶函数三、解答题9．有以下三个不等式：(12＋42)(92＋52)≥(1×9＋4×5)2；(62＋82)(22＋122)≥(6×2＋8×12)2；(132＋52)(102＋72)≥(13×10＋5×7)2.请你观察这三个不等式，猜想出一个一般性结论，并证明你的结论．解：一般性结论为(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.证明：因为(a2＋b2)(c2＋d2)－(ac＋bd)2＝a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2－(a2c2＋2abcd＋b2d2)＝b2c2＋a2d2－2abcd＝(bc－ad)2≥0，所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.10．如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如右图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示平面PAB，平面PBC，平面PCA与底面ABC所成二面角的大小．猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.B级能力提升1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴的根数为() A．6n－2 B．8n－2C．6n＋2 D．8n＋2解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.答案：C2．等差数列{a n}中，a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，q>1，写出b5，b7，b4，b8的一个不等关系________．解析：将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b73．观察下列等式： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34； ②sin 26°＋cos 236°＋sin6°cos36°＝34. 由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．解：由①②知，两角相差30°，运算结果为34，猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos(α＋30°)＝1－cos 2α2＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－sin α2 ＝1－12cos 2α＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 2.1.2 演绎推理A 级基础巩固一、选择题1．若大前提是“任何实数的平方都大于0”，小前提是“a∈R”，结论是“a2>0”，那么这个演绎推理()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．没有错误解析：因为“任何实数的平方非负”，所以“任何实数的平方都大于0”是错误的，即大前提错误．答案：A2．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边长的一半C．E，F为AB，AC的中点D．EF∥BC解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．答案：A3．下列四个推导过程符合演绎推理“三段论”形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理“三段论”形式．答案：B4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是()A．幂函数B．对数函数C．指数函数D．余弦函数解析：只有指数函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)满足条件．答案：C5．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为() A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误解析：用小前提“S是M”，判断得到结论“S是P”时，大前提“M是P”必须是所有的M，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．答案：C二、填空题6．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a<b.证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴a<b，画线部分是演绎推理的________．解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．答案：小前提7．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是________．解析：要使函数有意义，则log 2x －2≥0，解得x ≥4，所以函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)．答案：函数y ＝log 2x －2的定义域是[4，＋∞)8．下面几种推理过程是演绎推理的是________(填序号)．①两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°②由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质③某高校共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人④在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式．解析：①为演绎推理，②为类比推理，③④为归纳推理．答案：①三、解答题9．设m 为实数，利用三段论求证方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两个相异实根．证明：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的判别式Δ＝b 2－4ac >0，那么方程有两相异实根．(大前提)一元二次方程x 2－2mx ＋m －1＝0的判别式Δ＝(2m )2－4(m －1)＝4m 2－4m ＋4＝(2m －1)2＋3>0，(小前提)所以方程x 2－2mx ＋m －1＝0有两相异实根．(结论)10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4. 由题意，得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z. 故函数f (x )的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. B 级能力提升1．某人进行了如下的“三段论”：如果f ′(x 0)＝0，则x ＝x 0是函数f (x )的极值点，因为函数f (x )＝x 3在x ＝0处的导数值f ′(0)＝0，所以x ＝0是函数f (x )＝x 3的极值点．你认为以上推理的( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确解析：若f ′(x 0)，则x ＝x 0不一定是函数f (x )的极值点，如f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，故大前提错误．答案：A2．设a >0，f (x )＝e x a ＋a e x 是R 上的偶函数，则a 的值为________．解析：因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝0对于一切x ∈R 恒成立，由此得a －1a ＝0，即a 2＝1.又a >0，所以a ＝1.答案：13．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1(n ∈N *)．(1)证明数列{a n －n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．(1)证明：由已知a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *，又a 1－1＝2－1＝1≠0，所以数列{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解：由(1)得a n －n ＝4n －1，所以a n ＝4n －1＋n .所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝4n －13＋n （n ＋1）2. (3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋（n ＋1）（n ＋2）2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n －13＋n （n ＋1）2＝－12(3n 2＋n －4)＝－12(3n ＋4)(n －1)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N *皆成立．2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法和分析法第1课时综合法A 级基础巩固一、选择题1．在下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：由题设知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，由f (x )＝1x，得f ′(x )＝－1x2<0，所以f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数．答案：A2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )A ．lg(1＋a 2)>0B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1)C ．a 2＋3ab >2b 2 D.a b <a ＋1b ＋1解析：在B 中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立．答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形．答案：D二、填空题6．命题“函数f(x)＝x－x ln x在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f(x)＝x－x ln x求导，得f′(x)＝－ln x，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－ln x>0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A，B为△ABC内角，A>B是sin A>sin B的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC中，A>B⇔a>b由正弦定理asin A＝bsin B，从而sin A>sin B.因此A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，为充要条件．答案：充要8．已知p＝a＋1a－2(a>2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p，q的大小关系为________．解析：因为p＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2≥2（a－2）·1a－2＋2＝4，又－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2(a>2)，所以q＝2－a2＋4a－2<4≤p.答案：p>q三、解答题9．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明：因为a >0，b >0且a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2 b a ·a b ＝4. 当且仅当b a ＝a b，即a ＝b 时，取等号，故1a ＋1b≥4. 10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数．证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝________．解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎪⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．(2016·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明：(1)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DE∥AC，所以DE∥A1C1.因为DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，所以直线DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1，因为A1C1⊂平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.又因为B1D⊂平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因为B1D⊂平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.第2课时分析法A级基础巩固一、选择题1．关于综合法和分析法的说法错误的是()A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法B．综合法又叫顺推证法或由因导果法C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法D．分析法又叫逆推证法或执果索因法解析：由综合法和分析法的意义与特点，知C错误．答案：C2．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a，则证明的依据应是() A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔(a－c)·(2a ＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.答案：C3．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是()A．a2<b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2>b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝b2＋c2－a22bc，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.答案：C4．对于不重合的直线m，l和平面α，β，要证明α⊥β，需要具备的条件是()A．m⊥l，m∥α，l∥βB．m⊥l，α∩β＝m，l⊂αC．m∥l，m⊥α，l⊥βD．m∥l，l⊥β，m⊂α解析：对于选项A，与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定；对于选项B，平面内的一条直线与另一个平面的交线垂直，这两个平面的位置关系不能确定；对于选项C，这两个平面有可能平行或重合；根据面面垂直的判定定理知选项D正确．答案：D5．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，则P，Q，R的大小关系是()A．P>Q>R B．P>R>QC．Q>P>R D．Q>R>P解析：先比较Q与R的大小．Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(6＋3)．因为(7＋2)2－(6＋3)2＝7＋2＋214－(6＋3＋218)＝2(14－18)<0，所以Q<R.又P＝2>R＝2(3－1)，所以P>R>Q.答案：B二、填空题6．如果a a＋b b>a b＋b a，则实数a，b应满足的条件是________．解析：a a＋b b>a b＋b a⇔a a－a b>b a－b b⇔a(a－b)>b(a－b)⇔(a－b)(a－b)>0⇔(a＋b)(a－b)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b7．当x>0时，sin x与x的大小关系为________．解析：令f(x)＝x－sin x(x>0)，则f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，因此f(x)>f(0)＝0，则x>sin x.答案：x>sin x8．如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．解析：要证明A 1C ⊥B 1D 1只需证明B 1D 1⊥平面A 1C 1C因为CC 1⊥B 1D 1只要再有条件B 1D 1⊥A 1C 1，就可证明B 1D 1⊥平面A 1CC 1 从而得B 1D 1⊥A 1C 1.答案：B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题9．已知a >1，求证：a ＋1＋a －1<2a .证明：因为a >1，要证a ＋1＋a －1<2a ，只需证(a ＋1＋a －1)2<(2a )2，只需证a ＋1＋a －1＋2（a ＋1）（a －1）<4a ，只需证（a ＋1）（a －1）<a ，只需证a 2－1<a 2，即证－1<0.该不等式显然成立，故原不等式成立．10．求证：2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α. 证明：欲证原等式2cos(α－β)－sin （2α－β）sin α＝sin βsin α成立．只需证2cos(α－β)sin α－sin(2α－β)＝sin β，①因为①左边＝2cos(α－β)sin α－sin[(α－β)＋α]＝2cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α ＝cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝sin β＝右边．所以①成立，所以原等式成立．B 级能力提升1．设a ，b ，c ，d 为正实数，若a ＋d ＝b ＋c 且|a －d |<|b －c |，则有( )A ．ad ＝bcB ．ad <bcC ．ad >bcD ．ad ≤bc解析：∵|a －d |<|b －c |⇔(a －d )2<(b －c )2⇔a 2＋d 2－2ad 4bc ，即ad >bc .答案：C2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>1，f (2)＝3a －4a ＋1，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )是周期为3的奇函数，且f (1)>1，所以f (2)＝f (－1)＝－f (1)，因此3a －4a ＋1<－1，则4a －3a ＋1<0，解之得－1<a <34. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34 3．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，证明：a x ＋c y＝2.证明：要证明ax＋cy＝2，只要证ay＋cx＝2xy，也就是证明2ay＋2cx＝4xy.由题设条件b2＝ac，2x＝a＋b，2y＝b＋c，所以2ay＋2cx＝a(b＋c)＋(a＋b)c＝ab＋2ac＋bc，4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋bc＋ac＝ab＋2ac＋bc，所以2ay＋2cx＝4xy成立，故ax＋cy＝2成立．2.2.2 反证法A级基础巩固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③解析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以作为条件使用的．答案：C2．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为()A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B4．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．除去结论即为反设，应选D.答案：D5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确．答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交， ∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 是常数，且a >b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n ＝b n ，由题意a >b ，n ∈N *，则恒有an >bn ，从而an ＋2>bn ＋1恒成立，所以不存在n 使a n ＝b n .答案：0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．已知三个正数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成公比不为1的等比数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列．证明：假设a ，b ，c 成等差数列，则有2b ＝a ＋c ，即4b 2＝a 2＋c 2＋2ac ，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，从而a＝c＝b，这与a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差数列．B级能力提升1．设a，b，c大于0，则3个数：a＋1b，b＋1c，c＋1a的值()A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2解析：假设a＋1b，b＋1c，c＋1a都小于2则a＋1b<2，b＋1c<2，c＋1a<2∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a<6，①又a，b，c大于0所以a＋1a≥2，b＋1b≥2，c＋1c≥2.∴a＋1b＋b＋1c＋c＋1a≥6.②故①与②式矛盾，假设不成立所以a＋1b，b＋1c，c＋1a至少有一个不小于2.答案：D2．对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x0，使f(x0)＝x0，那么x0叫作函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋1不存在好点，那么a的取值范围是()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解，即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，c >0)的图象与x 轴有两个不同的交点，若f (c )＝0且0<x <c 时，恒有f (x )>0.(1)证明：1a是f (x )＝0的一个根； (2)试比较1a与c 的大小． (1)证明：因为f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，所以f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2.因为f (c )＝0，所以x 1＝c 是f (x )＝0的根，又x 1x 2＝c a，所以x 2＝1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ≠c ，所以1a是f (x )＝0的一个根． (2)解：假设1a<c ，又1a>0，且0<x <c 时，f (x )>0，所以知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0，这与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝0矛盾，因此1a≥c ，又因为1a≠c ，所以1a>c .。

高中数学课时跟踪检测(二)(含解析)新人教A版选修1_2

课时跟踪检测（二）独立性检验的基本思想及其初步应用层级一学业水平达标1．以下关于独立性检验的说法中，错误的是( ) A ．独立性检验依赖于小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定准确 C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D ．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法解析：选B 根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的．2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( )解析：选D 在四幅图中，D 图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D ．3．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( ) A ．a a ＋b 与d c ＋d B ．ca ＋b 与ac ＋dC ．aa ＋b 与cc ＋dD ．aa ＋b 与cb ＋c解析：选C 由等高条形图可知a a ＋b 与cc ＋d的值相差越大，|ad －bc |就越大，相关性就越强．4．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k ，下列说法正确的是( ) A ．k 越大，“X 与Y 有关系”的可信程度越小 B ．k 越小，“X 与Y 有关系”的可信程度越小 C ．k 越接近于0，“X 与Y 没有关系”的可信程度越小 D ．k 越大，“X 与Y 没有关系”的可信程度越大解析：选B K 2的观测值k 越大，“X 与Y 有关系”的可信程度越大．因此，A 、C 、D 都不正确．5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据：种子处理种子未处理总计得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计93314407根据以上数据，可得出( ) A ．种子是否经过处理跟是否生病有关 B ．种子是否经过处理跟是否生病无关 C ．种子是否经过处理决定是否生病 D ．以上都是错误的解析：选B 由K 2＝407×32×213－61×101293×314×133×274≈0．164＜2．706，即没有把握认为是否经过处理跟是否生病有关．6．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1 671人，经过计算K 2的观测值k ＝27．63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是________的．(填“有关”或“无关”)解析：∵K 2的观测值k ＝27．63，∴k ＞10．828，∴在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为打鼾与患心脏病是有关的．答案：有关7．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到K 2≈3．852＞3．841，则判断性别与是否爱好运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过________．解析：∵P (K 2≥3．841)≈0．05．∴判断性别与是否爱好运动有关，出错的可能性不超过5%．答案：5%8．统计推断，当________时，在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A 与B 有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的．解析：当k >3．841时，就有在犯错误的概率不超过0．05的前提下认为事件A 与B 有关，当k ≤2．706时认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的．答案：k >3．841 k ≤2．7069．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表；(2)在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗？为什么？解：(1)由已知可列2×2列联表：患胃病未患胃病总计生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 总计80460540(2)根据列联表中的数据，由计算公式得K 2的观测值 k ＝540×20×260－200×602220×320×80×460≈9．638．∵9．638＞6．635，因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．10．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 a b ＝5 女生 c ＝10 d 合计50已知在全部50人中随机抽取1人抽到爱打篮球的学生的概率为35．(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关；请说明理由．附参考公式：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．P (K 2≥k 0)0．15 0．100．05 0．025 0．010 0．005 0．001k 02．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 10．828喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计302050(2)∵K 2＝230×20×25×25≈8．333＞7．879，∴有99．5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．层级二应试能力达标1．在第29届北京奥运会上，中国健儿取得了51金、21银、28铜的好成绩，稳居金牌榜榜首，由此许多人认为中国进入了世界体育强国之列，也有许多人持反对意见，有网友为此进行了调查，在参加调查的2 548名男性中有1 560名持反对意见，2 452名女性中有1 200名持反对意见，在运用这些数据说明性别对判断“中国进入了世界体育强国之列”是否有关系时，用什么方法最有说服力( )A．平均数与方差B．回归直线方程C．独立性检验 D．概率解析：选C 由于参加调查的人按性别被分成了两组，而且每一组又被分成了两种情况，判断有关与无关，符合2×2列联表的要求，故用独立性检验最有说服力．2．对于独立性检验，下列说法正确的是( )A．K2＞3．841时，有95%的把握说事件A与B无关B．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B有关C．K2≤3．841时，有95%的把握说事件A与B有关D．K2＞6．635时，有99%的把握说事件A与B无关解析：选B 由独立性检验的知识知：K2＞3．841时，有95%的把握认为“变量X与Y 有关系”；K2＞6． 635时，有99%的把握认为“变量X与Y有关系”．故选项B正确．3．想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验( )A．H0：男性喜欢参加体育活动B．H0：女性不喜欢参加体育活动C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关解析：选D 独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的K2应该很小，如果K2很大，则可以否定假设，如果K2很小，则不能够肯定或者否定假设．4．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”，得到如下的列联表：A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0．1的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”解析：选C 由2×2列联表得到a＝45，b＝10，c＝30，d＝15．则a＋b＝55，c＋d＝45，a＋c＝75，b＋d＝25，ad＝675，bc＝300，n＝100．代入K2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d，得K2的观测值k＝100×675－300255×45×75×25≈3．030．因为2．706<3．030<3．841．所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”．5．若两个分类变量X与Y的列联表为：y1y2x11015x24016则“X与Y之间有关系”这个结论出错的可能性为________．解析：由题意可得K2的观测值k＝10＋15＋40＋16×10×16－40×15210＋15×40＋16×10＋40×15＋16≈7．227，∵P(K2≥6．635)≈1%, 所以“x与y之间有关系”出错的可能性为1%．答案：1%6．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39157196血管清障手术29167196合计683243922差别的结论________(填“能”或“不能”)．解析：根据列联表中的数据，可以求得K2的观测值k＝392×39×167－29×1572 68×324×196×196≈1．779．K2＜2．072的概率为0．85．作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1．779 不能7．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x(单位：cm)及个数y，如下表：零件尺寸x 1．011．021．031．041．05零件个数甲3789 3y 乙 7 4 4 4 a由表中数据得y 关于x 的线性回归方程为y ^＝－91＋100x (1．01≤x ≤1．05)，其中合格零件尺寸为1．03±0．01(cm)．完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关？合格零件数不合格零件数总计甲乙总计解：x ＝1．03，y ＝a ＋495，由y ^＝－91＋100x 知，a ＋495＝－91＋100×1．03，所以a ＝11，由于合格零件尺寸为1．03±0．01 cm ，故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：合格零件数不合格零件数总计甲 24 6 30 乙 12 18 30 总计362460所以K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d＝60×24×18－6×12230×30×36×24＝10，因K 2＝10>6．635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关．8．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品总计南方学生 60 20 80 北方学生 10 10 20 总计7030100(1)习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品．现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．P (K 2≥k 0)0．100 0．050 0．010 k 02．706 3．841 6．635解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K 2＝100×60×10－20×10270×30×80×20＝10021≈4．762．由于4．762>3．841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．(其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2．b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3)Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 1，b 3)，(a 1，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 1，b 3)，(a 2，b 2，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710．。

高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)

综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析当sin θ＝1时，曲线表示圆．当sin θ<0时，曲线表示的双曲线．当sin θ>0时，曲线表示椭圆．答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值．故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省．答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0，即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

(人教A版)高中数学选修2-1(全册)同步单元检测卷汇总

（人教A版）高中数学选修2-1（全册）同步单元检测卷汇总第一章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x2－4x＋4＝0.其中是命题的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x，不能判断真假．答案：B2．下列命题是真命题的是()A．实数的绝对值是正数B．一切自然数都有倒数C．垂直于同一条直线的两条直线平行D．偶数的平方是4的倍数解析：实数的绝对值是非负数，不是正数，A不正确；0没有倒数，B不正确；垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，C不正确．答案：D3．[2014·保定高二检测]下列命题是真命题的是()A．“若x＝0，则xy＝0”的逆命题；B．“若x＝0，则xy＝0”的否命题；C．若x>1，则x>2；D．“若x＝2，则(x－2)(x－1)＝0”的逆否命题解析：A中逆命题为：若xy＝0，则x＝0错误；选项B中，否命题为：若x≠0，则xy≠0，错误；选项C中，若x>1，则x>2显然不正确；D选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确．答案：D4．已知命题s为“p∧q”是真命题，那么命题“p∨q”及命题¬s的真假是()A．真、真B．假、假C．真、假D．以上都不对解析：p∧q为真，则p、q均为真．所以p∨q为真，¬s为假．答案：C5．若“p∧q”与“(¬p)∨q”均为假命题，则()A．p真q假B．p假q真C．p与q均真D．p与q均假解析：“p∧q”为假，则p，q中至少有一假；“(¬p)∨q”为假，则¬p，q均为假．∴p 真，q假．答案：A6．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：“a＝1”时两直线垂直，两直线垂直时a＝1，故为充要条件．答案：C7．[2014·湖南师大附中月考]“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于()A. ∃x0∈R，使得f(x0)>0成立B. ∃x0∈R，使得f(x0)≤0成立C. ∀x∈R，使得f(x)>0成立D. ∀x∈R，f(x)≤0成立解析：本题主要考查特称命题．“关于x的不等式f(x)>0有解”等价于“存在实数x0，使得f(x0)>0成立”，故选A.答案：A8．命题：“∀x∈R，x2－x＋2≥0”的否定是()A．∃x∈R，x2－x＋2≥0B．∀x∈R，x2－x＋2≥0C．∃x∈R，x2－x＋2<0D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋2<0解析：全称命题的否定是特称命题，“≥”的否定是“<”．答案：C9．使不等式2x 2－5x －3≥0成立的一个充分不必要条件是( ) A. x <0 B. x ≥0 C. x ∈{－1,3,5} D. x ≤－12或x ≥3解析：∵2x 2－5x －3≥0的解集为{x |x ≥3或x ≤－12}，∴x ∈{－1,3,5}是不等式成立的一个充分不必要条件．答案：C10．[2013·湖北高考]在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A. (¬p )∨(¬q )B. p ∨(¬q )C. (¬p )∧(¬q )D. p ∨q解析：¬p 表示甲没有降落在指定范围，¬q 表示乙没有降落在指定范围，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”，也就是“甲没有降落在指定范围”或“乙没有降落在指定范围”．故选A.答案：A11．[2013·四川省成都七中月考]已知a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )A. λ1＝λ2＝－1B. λ1＝λ2＝1C. λ1λ2＝1D. λ1λ2＝－1解析：本题主要考查向量中三点共线的条件．依题意，A ，B ，C 三点共线 ⇔AB →＝λAC→⇔λ1a ＋b ＝λa ＋λλ2b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝λλλ2＝1，故选C.答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1x |，x ≠00，x ＝0，则关于x 的方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A.－12<a <0且c >0B. a ≥－12且c <0C.－12<a <0且c ＝0D. a ≥－12且c ＝0解析：本题主要考查含参数的函数方程解的个数问题以及充要条件的知识．令t ＝f (x )，则方程af 2(x )＋f (x )－2c ＝0可转化为at 2＋t －2c ＝0.令g (t )＝at 2＋t －2c ，因为|x ＋1x |≥2且原方程有5个不同实数解，所以方程g (t )＝at 2＋t －2c ＝0应该有一个大于2的根与一个零根，则⎩⎪⎨⎪⎧－12a >0g (2)＝4a ＋2－2c >0c ＝0，解得－12<a <0且c ＝0，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．“任一不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________．解析：该命题为全称命题，“不大于”即“≤”．答案：∀x ≤0，x 3≤014．命题：“若ab 不为零，则a ，b 都不为零”的逆否命题是__________．解析：“都不为零”的否定是“至少一个是零”．答案：若a ，b 至少有一个为零，则a ·b 为零15．“对顶角相等”的否定为__________，否命题为__________________________．解析：“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．答案：对顶角不相等若两个角不是对顶角，则它们不相等16．已知命题p ：|x －1|<c (c >0)；命题q ：|x －5|>2，且p 是q 的既不充分也不必要条件，则c 的取值范围是__________．解析：由|x －1|<c ，得1－c <x <1＋c ，∴命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理命题q 对应的集合B ＝{x |x <3或x >7}，若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有⎩⎪⎨⎪⎧7>1－c 3<1＋c ，即c >2.答案：(2，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝2且y ＝－1，则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题．逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 18．(12分)写出下列命题的否定并判断真假： (1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0； (4)有些质数不是奇数．解：(1)所有自然数的平方是正数，假命题；否定：有些自然数的平方不是正数，真命题． (2)任何实数x 都是方程5x －12＝0的根，假命题；否定：∃x 0∈R,5x 0－12≠0，真命题． (3)∀x ∈R ，x 2－3x ＋3>0，真命题；否定：∃x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题． (4)有些质数不是奇数，真命题；否定：所有的质数都是奇数，假命题．19．(12分)如右图所示的电路图，设命题p ：开关K 闭合，命题q ：开关K 1闭合，命题s ：开关K 2闭合，命题t ：开关K 3闭合．(1)写出灯泡A 亮的充要条件； (2)写出灯泡B 不亮的充分不必要条件； (3)写出灯泡C 亮的必要不充分条件．解：(1)灯泡A 亮的充要条件是“p ∧q ”；(2)灯泡B 不亮的充分不必要条件是“¬p ”，或“¬s ”； (3)灯泡C 亮的必要不充分条件是p ，或t .20．(12分)已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0. 证明：必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ， ∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2 ＝0.充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0，即(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0， ∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0，又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2＝(a －b 2)2＋3b 24≠0，只有a ＋b ＝1. 综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.21．(12分)已知p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解：p 为真时：x 2－a ≥0即a ≤x 2. ∵x ∈[1,2]时，上式恒成立，而x 2∈[1,4]，∴a ≤1.q 为真时：Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0 即a ≥1或a ≤－2.∵p 且q 为真命题，∴p ，q 均为真命题． ∴a ＝1或a ≤－2. 即实数a 的取值范围是 {a |a ＝1或a ≤－2}． 22．(12分)已知p ：|1－x －13|≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)．若“¬p ”是“¬q ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：由p ：|1－x －13|≤2，解得－2≤x ≤10，∴“¬p ”：A ＝{x |x <－2或x >10}．由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，解得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，∴“¬q ”：B ＝{x |x <1－m 或x >1＋m ，m >0}．由“¬p ”是“¬q ”的充分而不必要条件可知：A B ，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，解得0<m ≤3.∴满足条件的m 的取值范围为{m |0<m ≤3}．第一章单元综合检测(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下列语句中，不能成为命题的是( ) A ．指数函数是增函数吗？ B ．2010>2011 C ．若a ⊥b ，则a ·b ＝0 D ．存在实数x 0，使得x 0<0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D 是命题，且是个特称命题．答案：A2．下列命题是真命题的是( ) A ．若1x ＝1y ，则x ＝yB ．若x 2＝1，则x ＝1C ．若x ＝y ，则x ＝yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：A 显然是真命题；对于B ，由x 2＝1，得x ＝±1，故B 是假命题；对于C ，令x ＝y ＝－1，则x ，y 无意义，故C 是假命题；对于D ，令x ＝－3，y ＝－1，则(－3)2>(－1)2，故D 是假命题．故选A.答案：A3．命题“若x ＝1，则x 2－3x ＋2＝0”以及它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：∵原命题为真命题，∴逆否命题也是真命题．∵它的逆命题是：若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1，是假命题，∴它的否命题也是假命题，故选B.答案：B 4．下列命题：①至少有一个实数x 0使x 20－x 0＋1＝0成立； ②对于任意的实数x 都有x 2－x ＋1＝0成立；③所有的实数x都使x2－x＋1＝0不成立；④存在实数x0使x20－x0＋1＝0不成立．其中全称命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由全称命题的定义知②③为全称命题．答案：B5．[2013·重庆高考]命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为()A. 存在x0∈R，使得x20<0B. 对任意x∈R，都有x2<0C. 存在x0∈R，使得x20≥0D. 不存在x∈R，使得x2<0解析：本题主要考查全称命题的否定．根据定义可知命题的否定为存在x0∈R，使得x20 <0，故选A.答案：A6．已知条件p：m>3，条件q：点P(m,1)在圆x2＋y2＝4外，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对q：m2＋1>4，∴m2>3，即m>3或m<－3，∴p⇒q反之q p.答案：A7．设p：x2－x－2<0，q：1＋x|x|－2<0，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：x2－x－2<0⇔－1<x<2，q：1＋x|x|－2<0⇔x<－2或－1<x<2.显然p是q的充分不必要条件．答案：A8．[2014·人大附中月考]下列命题的否定为假命题的是()A. ∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B. 任意一个四边形的四个顶点共圆C. 所有能被3整除的整数都是奇数D. ∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析：本题主要考查特称、全称命题的真假性判断，以及命题与其否定之间的真假关系．A中，当x∈R时，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1>0，所以A中命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以A不是；B中，由平面几何的知识可知该命题是假命题，所以其否定是真命题，所以B不是；C中，由于6能被3整除，但6是偶数，不是奇数，所以C中的命题是假命题，该命题的否定是真命题，所以C不是；D中，由同角三角函数基本关系式可知该命题是真命题，其否定是假命题，所以D是，故选D.答案：D9．[2013·湖北省襄阳五中月考]已知命题p：若(x－1)(x－2)≠0，则x≠1且x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0<0.下列选项中为真命题的是()A. ¬pB. ¬p∨qC. ¬q∧pD. q解析：本题主要考查含有逻辑联结词的命题和特称命题的真假性判断，以及指数函数．很明显命题p为真命题，所以¬p为假命题；由于函数y＝2x，x∈R的值域是(0，＋∞)，所以q是假命题，所以¬q是真命题．所以¬p∨q为假命题，¬q∧p为真命题，故选C.答案：C10．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x2”的否定是“∃x0∈N，x30>x20”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数”的充要条件解析：“负数的平方是正数”即为“∀x <0，x 2>0”，是全称命题，所以A 不正确；因为全称命题“∀x ∈N ，x 3>x 2”的否定为“∃x 0∈N ，x 30≤x 20”，所以B 不正确；因为f (x )＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，当最小正周期为π时，有2π|2a |＝π，则|a |＝1⇒a ＝±1.故“a ＝1”是“函数f (x )＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件，所以C 不正确，故选D.答案：D11．(2011·湖北高考)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由a 2＋b 2＝a ＋b ，可得a 2＋b 2＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a ＋b ≥0即⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a ≥0，b ≥0反之亦可推，故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．答案：C12．下列命题正确的是( )A. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 则a >b 是cos A <cos B 的充要条件B. 命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则¬p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0C. 已知p ：1x ＋1>0，则¬p ：1x ＋1≤0D. 存在实数x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝π2成立解析：对于选项A ，在△ABC 中大边对大角，由a >b 得A >B ，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A <cos B ；又由A ，B ∈(0，π)，cos A <cos B 时得A >B ，故a >b ，所以选项A 正确．对于选项B ，命题p 的否定¬p 应为：存在实数x ∈R ，使x 2＋x ＋1≤0，故选项B 不对．对于选项C ，p ：1x ＋1>0⇔p ：x >－1，故¬p 为x ≤－1而不是1x ＋1≤0，故C 不正确．对于选项D ，cos x ＋sin x 的最大值为2，小于π2，因而选项D 也不正确．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是________．解析：据否命题的定义知，命题“若ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0”的否命题是“若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0”．答案：若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠014．设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实数b 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x －1x ＋1<0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |b －a <x －1，b －1<1⇒－2S n (n ∈N *)⇔(n ＋1)a ＋n (n ＋1)2d >na＋n (n －1)2d (n ∈N *)⇔dn ＋a >0(n ∈N *)⇔d ≥0且d ＋a >0.因此数列{S n }为递增数列的充要条件是d ≥0且d ＋a >0.答案：d ≥0且d ＋a >0 16．给出下列四个命题：①函数f (x )＝x |x |＋ax ＋m 是奇函数的充要条件是m ＝0； ②若函数f (x )＝lg(ax ＋1)的定义域是{x |x <1}，则a <－1； ③若log a 2<log b 2，则a >b 一定成立；④圆：x 2＋y 2－10x ＋4y －5＝0上任一点M 关于直线ax －y －5a ＝2的对称点M ′也在该圆上．所有正确命题的序号是__________．解析：①f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x ) ⇔－x |－x |＋a (－x )＋m ＝－x |x |－ax －m ⇔m ＝－m ⇔m ＝0.∴①正确． ②由已知x <1时，ax ＋1>0恒成立．显然当a ≥0时，上式不成立．当a <0时，只需a ＋1>0，∴a >－1. ∴－1<a <0，∴②不正确．③当0<a <10，log a 2<log b 2成立，但是a >b 不成立．∴③不正确．④∵圆的圆心为(5，－2)，直线ax －y －5a ＝2过定点(5，－2)．∴圆上任一点M 关于直线的对称点M ′仍在该圆上． ∴④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)写出命题“若x 2＋7x －8＝0，则x ＝－8或x ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．解：逆命题：若x ＝－8或x ＝1，则x 2＋7x －8＝0. 逆命题为真．否命题：若x 2＋7x －8≠0，则x ≠－8且x ≠1. 否命题为真．逆否命题：若x ≠－8且x ≠1，则x 2＋7x －8≠0. 逆否命题为真．18．(12分)某人投篮，设命题p ：第一次投中；q ：第二次投中．试用p ，q 及逻辑联结词“且”“或”“非”表示下列命题：(1)两次都投中； (2)两次都没有投中； (3)恰有一次投中； (4)至少有一次投中．解：(1)两次都投中：p ∧q . (2)两次都没有投中：(¬p )∧(¬q )． (3)恰有一次投中：(p ∧(¬q ))∨((¬p )∧q )． (4)至少有一次投中：p ∨q .19．(12分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假． (1)对数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除； (3)∀x ∈{x |x >0}，x ＋1x ≥2；(4)∃x 0∈Z ，log 2x 0>2.解：(1)本题隐含了全称量词“所有的”，其实命题应为“所有的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题；(2)命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是特称命题，真命题；(3)命题中含有全称量词“∀”，是全称命题，真命题；(4)命题中含有存在量词“∃”，是特称命题，真命题．20．(12分)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.解：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴有a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要是a＋b＋c＝0.21．(12分)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a<0，q：实数x满足x2－x－6≤0，或x2＋2x－8>0，且¬p是¬q的必要非充分条件，求a的取值范围．解：设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0(a<0)}＝{x|3a<x<a(a<0)}B＝{x|x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0}＝{x|x2－x－6≤0}∪{x|x2＋2x－8>0}＝{x|－2≤x≤3}∪{x|x<－4或x>2}＝{x|x<－4或x≥－2}．∵¬p是¬q的必要非充分条件，∴¬q⇒¬p，且¬p¬q.则{x|¬q}{x|¬p}，而{x|¬q}＝∁R B＝{x|－4≤x<－2}，{x|¬p}＝∁R A＝{x|x≤3a，或x≥a(a<0)}，∴{x |－4≤x <－2}{x |x ≤3a ，或x ≥a (a <0)}，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≥－2a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4a <0，即－23≤a <0或a ≤－4.22．(12分)已知条件p ：5x －1>a 或5x －1<－a 和条件q ：12x 2－3x ＋1>0，请选取适当的实数a 的值，分别利用所给的两个条件作为A 、B 构造命题：“若A 则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题．则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．解：条件p 即x <1－a 5或x >1＋a5，条件q 即2x 2－3x ＋1>0，∴x <12或x >1；令a ＝4，则p 即x <－35或x >1，此时必有p ⇒q 成立，反之不然．故可以选取一个实数是a ＝4，A 为p ，B 为q ，对应的命题是若p 则q ，由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题．第二章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 答案：A2．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵4m 2＋n 2>2，∴m 2＋n 2<2，m 29＋n 24<m 24＋n 24<1， ∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有两个交点．答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B.43 C.54D.32解析：双曲线焦点在x 轴，由渐近线方程可得b a ＝43，可得e ＝ca ＝32＋423＝53.答案：A4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 解析：抛物线y 2＝24x 的准线方程为x ＝－6，故双曲线中c ＝6. ①由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝3x ，知ba ＝3， ② 且c 2＝a 2＋b 2.③由①②③解得a 2＝9，b 2＝27. 故双曲线的方程为x 29－y 227＝1，故选B.答案：B5．以P (2,2)为圆心的圆与椭圆x 2＋2y 2＝a 相交于A ，B 两点，则AB 的中点M 的轨迹方程为( )A. xy －2x －4y ＝0B. xy ＋2x ＋4y ＝0C. xy －2x ＋4y ＝0D. xy ＋2x －4y ＝0解析：本题主要考查由曲线求方程的方法．设M (x ，y )，A (x －m ，y －n )，B (x ＋m ，y ＋n )，易知AB 的斜率必存在，又A ，B 都在椭圆上，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －m )2＋2(y －n )2＝a (x ＋m )2＋2(y ＋n )2＝a k AB ·k PM ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧4mx ＋8ny ＝0n m＝－x －2y －2 ⇒x 2y ＝x －2y －2，即xy ＋2x －4y ＝0为所求轨迹方程，故选D. 答案：D6．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫34π，π B.⎝⎛⎭⎫π4，34π C.⎝⎛⎭⎫π2，πD.⎝⎛⎭⎫π2，34π解析：椭圆方程化为x 21sin α＋y 2－1cos α＝1.∵椭圆焦点在y 轴上，∴－1cos α>1sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π2<α<3π4.答案：D7．[2013·人大附中月考]已知F 1、F 2为双曲线的焦点，以F 1F 2为边作正三角形，若双曲线恰好平分另外两边，则双曲线的离心率为( )A. 1＋3B. 1－ 3C.1＋32D. 1－32解析：本题考查了双曲线的定义及数形结合的方法．设以F 1F 2为边的正三角形与双曲线右支交于点M ，在Rt △MF 1F 2中可得，|F 1F 2|＝2c ，|MF 1|＝3c ，|MF 2|＝c ，由双曲线的定义有|MF 1|－|MF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选A.答案：A8．已知抛物线y 2＝4x 上的点P 到抛物线的准线的距离为d 1，到直线3x －4y ＋9＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A.125 B.65 C ．2D.55解析：如图所示过点F 作FM 垂直于直线3x －4y ＋9＝0，当P 点为直线FM 与抛物线的交点时，d 1＋d 2最小值为|3＋9|5＝125. 答案：A9．[2013·湖南省雅礼中学期中考试]如图，定点A ，B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A ，B 的动点，且PC ⊥AC ，那么动点C 在平面α内的轨迹是( )A. 一条线段，但要去掉两个点B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一条直线，但要去掉两个点D. 半圆，但要去掉两个点解析：本题主要考查曲线的特征分析．由PB ⊥α，得PB ⊥AC ，又PC ⊥AC ，所以AC ⊥平面PBC ，从而AC ⊥BC .由于A ，B 是平面α内的两个定点，则AB 为定长，因此，动点C 在以AB 为直径的圆周上，但不包含A ，B 两个点，故选B.答案：B10．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm ，灯深40 cm ，则抛物线的标准方程可能是( )A ．y 2＝254xB ．y 2＝454xC ．x 2＝－452yD ．x 2＝－454y解析：若设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，则抛物线过点(40,30)，302＝2p ·40,2p ＝452，所以所求抛物线方程为y 2＝452x . 选项中没有y 2＝452x ，但C 中的2p ＝452符合题意．方程不同主要是因为讨论的焦点不同．答案：C11．[2013·北京市东城区联考]设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 3x ±4y ＝0B. 3x ＋5y ＝0C. 5x ±4y ＝0D. 4x ±3y ＝0解析：本题主要考查双曲线的定义、等腰三角形的性质、双曲线中基本量之间的关系及应用．由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a 2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a 2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D.答案：D12．[2013·广东省中山一中月考]已知点A (2,0)，在圆x 2＋y 2＝4上任取两点B ，C ，使∠BAC ＝60°，则△ABC 的垂心H 的轨迹方程是( )A. (x ＋2)2＋y 2＝4B. x 2＋(y －2)2＝4C. (x －2)2＋(y ＋2)2＝4D. (x －2)2＋y 2＝4解析：本题主要考查求曲线的方程．设H (x ，y )，BD ⊥AC 于D ，AE ⊥BC 于E ，得 ∠CBD ＝∠EAC ，所以△CBD 与△HAD 相似，则有|AH ||BC |＝|AD ||BD |⇒|AH |＝|AD |·|BC ||BD |，而∠BAC ＝60°，得|AD ||BD |＝33.又∠BOC ＝2∠BAC ＝120°，OB ＝OC ＝2，所以|BC |＝22＋22－2×2×2cos120°＝23，得|AH |＝23×33＝2.故垂心H 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝4，故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．方程(x ＋y －1)·x －1＝0所表示的曲线是__________．解析：由方程(x ＋y －1)·x －1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0，∴x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.答案：直线x ＝1或射线x ＋y －1＝0(x ≥1)14．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点__________．解析：直线x ＋2＝0为抛物线的准线，由于动圆恒与直线x ＋2＝0相切，所以圆心到直线的距离等于圆心到所过定点的距离，由抛物线的定义可知，定点为抛物线的焦点(2,0)．答案：(2,0)15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝⎛⎭⎫b 2，0分成3∶1的两段，则此椭圆的离心率为__________．解析：由题意，得b2＋c c －b 2＝3⇒b 2＋c ＝3c －32b ⇒b ＝c ，因此e ＝ca ＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝12＝22. 答案：2216．[2013·河南省实验中学月考]抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过焦点F 倾斜角为30°的直线交抛物线于A ，B 两点，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别是A ′，B ′，若四边形AA ′B ′B 的面积为48，则抛物线的方程为____．解析：本题考查点斜式，抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系及梯形的面积公式．因为抛物线的焦点为F (p 2，0)，所以直线AB 的方程为y ＝33(x －p2)，代入y 2＝2px (p >0)，整理得，x 2－7px ＋p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由方程的根与系数之间的关系得x 1＋x 2＝7p ，x 1·x 2＝p 24，y 1－y 2＝33(x 1－x 2)，又四边形AA ′B ′B 是梯形，其面积为48，所以12(x 1＋x 2＋p )|y 1－y 2|＝48，即12(x 1＋x 2＋p )|33(x 1－x 2)|＝36(x 1＋x 2＋p )(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝48，解得p 2＝3，p ＝3，故抛物线的方程为y 2＝23x .答案：y 2＝23x三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．解：设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1. ∵M 是线段PP ′的中点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2，把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x y 0＝y2，代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.18．(12分)[2013·湖南省长沙一中期中考试]已知焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为y ±3x ＝0，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．解：设双曲线方程为y 2－3x 2＝k (k ≠0)，当k >0时，a 2＝k ，b 2＝k 3，c 2＝4k 3，此时焦点为(0，±4k 3)，由题意得3＝4k 32，解得k ＝27，双曲线方程为y 2－3x 2＝27，即y 227－x 29＝1；当k <0时，a 2＝－k 3，b 2＝－k ，c 2＝－4k3，此时焦点为(±－4k3，0)，由题意得3＝－4k 2，解得k ＝－9，双曲线方程为y 2－3x 2＝－9，即x 23－y 29＝1.∴所求双曲线方程为y 227－x 29＝1或x 23－y 29＝1.19．(12分)已知椭圆C 的焦点F 1(－22，0)和F 2(22，0)，长轴长6，设直线y ＝x ＋2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解：由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上，其中c ＝22，a ＝3，从而b ＝1，所以其标准方程是x 29＋y 2＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2＝1，y ＝x ＋2，消去y 得，10x 2＋36x ＋27＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， AB 线段的中点为M (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－185，x 0＝x 1＋x 22＝－95，所以y 0＝x 0＋2＝15.也就是说线段AB 的中点坐标为(－95，15)．20．(12分)[2013·山东省青岛二中月考]如图，已知两点P (－2,2)、Q (0,2)以及一条直线l ：y ＝x ，设长为2的线段AB 在直线l 上移动，求直线P A 和QB 的交点M 的轨迹方程．解：如图，∵线段AB 在直线l ：y ＝x 上，且线段AB 的长为2，设M (x ，y )，A (t ，t )，B (t ＋1，t ＋1)(t 为参数)，则直线P A 的方程为y －2＝t －2t ＋2(x ＋2)(t ≠－2)，①直线QB 的方程为y －2＝t －1t ＋1x (t ≠－1)．②∵M (x ，y )是直线P A 、QB 的交点，∴x ，y 是由①②组成的方程组的解，由①②消去参数t ，得x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0. ③ 当t ＝－2时，P A 的方程为x ＝－2，QB 的方程为3x －y ＋2＝0，此时的交点为M (－2，－4)．当t ＝－1时，QB 的方程为x ＝0，P A 的方程为3x ＋y ＋4＝0，此时的交点为M (0，－4)．经验证，点(－2，－4)和(0，－4)均满足方程③. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 2＋2x －2y ＋8＝0.21．(12分)如右图，抛物线顶点在原点，圆x 2＋y 2＝4x 的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为A 、B 、C 、D 四点．(1)求抛物线的方程； (2)求|AB |＋|CD |的值．解：(1)由圆的方程x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4可知，圆心为F (2,0)，半径为2.又由抛物线焦点为已知圆的圆心，得到抛物线焦点为F (2,0)，抛物线方程为y 2＝8x . (2)|AB |＋|CD |＝|AD |－|BC |， ∵|BC |为已知圆的直径，∴|BC |＝4，则|AB |＋|CD |＝|AD |－4. 设A (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，∵|AD |＝|AF |＋|FD |，而A 、D 在抛物线上，由已知可得，直线l 的方程为y ＝2(x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝2(x －2)，消去y ，得x 2－6x ＋4＝0.∴x 1＋x 2＝6.∴|AD |＝6＋4＝10. 因此，|AB |＋|CD |＝10－4＝6.22．(12分)设A ，B 是椭圆3x 2＋y 2＝λ上的两点，点N (1,3)是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆交于C ，D 两点．(1)当λ＝3时，过点P (0,1)且倾斜角为π3的直线与椭圆相交于E 、F 两点，求|EF |的长；(2)确定λ的取值范围，并求直线CD 的方程．解：(1)当λ＝3时，椭圆方程为x 2＋y 23＝1，直线EF 方程为：y ＝3x ＋1. 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧y ＝3x ＋1，3x 2＋y 2＝3，∴3x 2＋3x －1＝0.∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－33，x 1x 2＝－13.∴|EF |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2153.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋3，代入3x 2＋y 2＝λ，得(k 2＋3)x 2－2k (k －3)x ＋(k －3)2－λ＝0.① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k (k －3)k 2＋3，且Δ＝4[λ(k 2＋3)－3(k －3)2]>0.② 由N (1,3)是线段AB 的中点，得x 1＋x 2＝2. ∴k (k －3)＝k 2＋3解得k ＝－1代入②得λ>12.∴λ的取值范围是(12，＋∞)，直线CD 的方程为x －y ＋2＝0.第二章单元综合检测(二)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知A (0，－5)，B (0,5)，|P A |－|PB |＝2a ，当a ＝3和5时，点P 的轨迹为( ) A ．双曲线和一条直线 B ．双曲线和两条射线 C ．双曲线的一支和一条直线 D ．双曲线的一支和一条射线解析：当2a <|AB |时，表示双曲线的一支；当2a ＝|AB |时表示一条射线，故选D. 答案：D2．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 解析：双曲线焦点(±4,0)，顶点(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点(±4,0)，故选A. 答案：A3．已知椭圆与双曲线x 23－y 22＝1有共同的焦点，且离心率为15，则椭圆的标准方程为( )A.x 220＋y 225＝1 B.x 225＋y 220＝1 C.x 225＋y 25＝1 D.x 25＋y 225＝1 解析：双曲线x 23－y 22＝1中a 21＝3，b 21＝2，则c 1＝a 21＋b 21＝5，故焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，故所求椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的c ＝5，又椭圆的离心率e ＝c a ＝15，则a ＝5，a 2＝25，b 2＝a 2－c 2＝20，故椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. 答案：B4．若P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝－32x 上一点，点F 为抛物线的焦点，则|PF |＝( )A ．x 0＋8B ．x 0－8C ．8－x 0D ．x 0＋16解析：由题意可知抛物线开口向左，且p ＝322＝16，因此抛物线的准线方程为x ＝8，因此|PF |＝8－x 0.答案：C5．[2014·贵州遵义一模]椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (－1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( )A. 916B. 932C. 964D. －932解析：设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 2116＋y 219＝1， ①x 2216＋y229＝1， ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，又∵弦中点为M (－1,2)， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝4， ∴－2(x 1－x 2)16＋4(y 1－y 2)9＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝932.答案：B6．椭圆y 249＋x 224＝1与双曲线y 2－x 224＝1有公共点P ，则P 与双曲线两焦点连线构成三角形的面积为( )A. 48B. 24C. 243D. 12 3解析：由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F 1(0,5)和F 2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝14，||PF 1|－|PF 2||＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＝8，|PF 2|＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝6，|PF 2|＝8.又|F 1F 2|＝10，∴△PF 1F 2为直角三角形，∠F 1PF 2＝90°. 所以△PF 1F 2的面积S ＝12|PF 1||PF 2|＝12×6×8＝24.答案：B7．[2014·清华附中月考]如图，南北方向的公路L ，A 地在公路正东2 km 处，B 地在A 北偏东60°方向2 3 km 处，河流沿岸曲线PQ 上任意一点到公路L 和到A 地距离相等．现要在曲线PQ 上某处建一座码头，向A ，B 两地运货物，经测算，从M 到A ，B 修建公路的费用都为a 万元/km ，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A. (2＋3)a 万元B. (23＋1)a 万元C. 5a 万元D. 6a 万元解析：本题主要考查抛物线的实际应用．依题意知曲线PQ 是以A 为焦点、L 为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M 到A ，B 修建公路的费用最低，只需求出B 到直线L 的距离即可．∵B 地在A 地北偏东60°方向2 3 km 处，∴B 到点A 的水平距离为3 km ，∴B 到直线L 的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a 万元，故选C.答案：C8．[2014·湖北省黄冈中学月考]已知F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A. (1,2)B. (1，2)C. (1,3)D. (1，3)解析：本题考查双曲线离心率的求法和数形结合思想的应用．∵△ABE 为等腰三角形，可知只需∠AEF <45°即可，即|AF |<|EF |⇒b 2a <a ＋c ，化简得e 2－e －2<0，又e >1，∴1<e <2，∴该双曲线的离心率e 的取值范围为(1,2)，故选A.答案：A9．[2014·山东省济南一中月考]线段CD 的两端点分别在射线OA ，OB 上，若OA ，OB 的方程分别为y ＝3x (x ≥0)和y ＝－3x (x ≥0)且|CD |＝43，则CD 的中点P 的轨迹方程是( )A. 3x 2＋y 23＝12 B. 3x 2－y 23＝12 C. 3x 2＋y 23＝12(3≤x ≤2) D. 3x 2－y 23＝12(3≤x ≤2) 解析：本题主要考查由曲线求方程．设P (x ，y )，C (x －m ，y －n )，D (x ＋m ，y ＋n )，由C ，D 分别在OA ，OB 上，及|CD |＝43，得⎩⎨⎧y －n ＝3(x －m )y ＋n ＝－3(x ＋m )2m 2＋n 2＝43⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－3x m ＝－13ym 2＋n 2＝12⇒3x 2＋y 23＝12且3≤x ≤2，故选C. 答案：C10．如右图所示，共顶点的椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e 1，e 2，e 3，e 4，其大小关系为( )A ．e 1<e 2<e 3<e 4B ．e 2<e 1<e 3<e 4C ．e 1<e 2<e 4<e 3D ．e 2<e 1<e 4<e 3解析：由椭圆、双曲线的离心率范围知0<e 1，e 2<1<e 3，e 4.由椭圆①②的圆扁情况知e 1<e 2；由双曲线③④的开口大小情况知e 4<e 3.故选C.答案：C11．抛物线y ＝2x 2上两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1·x 2＝－12，则m 等于( )A.32 B ．2 C.52D ．3解析：依题意k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－1，而y 2－y 1＝2(x 22－x 21)，得x 2＋x 1＝－12，且⎝⎛⎭⎫x 2＋x 12，y 2＋y 12 在直线y ＝x ＋m 上，即y 2＋y 12＝x 2＋x 12＋m ， y 2＋y 1＝x 2＋x 1＋2m ，∴2(x 22＋x 21)＝x 2＋x 1＋2m ，2[(x 2＋x 1)2－2x 2x 1]＝x 2＋x 1＋2m ，2m ＝3，m ＝32.答案：A12．[2014·陕西省西安铁一中月考]已知P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2的内切圆C 的圆心的横坐标为( )A. －aB. －bC. －cD. a ＋b －c解析：本题考查双曲线中基本量之间的关系和三角形内切圆的性质．设△PF 1F 2的内切圆C 与三边PF 1，PF 2，F 1F 2分别切于点A ，B ，D ，由双曲线定义有|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即|PB |＋|BF 2|－(|P A |＋|AF 1|)＝2a ，由圆的切线性质知|P A |＝|PB |，|AF 1|＝|DF 1|，|BF 2|＝|DF 2|，所以|DF 2|－|DF 1|＝2a ，又|DF 2|＋|DF 1|＝2c ，故|DF 2|＝a ＋c ，圆心C 的横坐标为x 0＝－a ，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于__________．解析：由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝255.答案：25514．已知点(－2,3)与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离是5，则p ＝__________. 解析：抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标是(p2，0)，由两点间距离公式，得(p2＋2)2＋(－3)2＝5.解得p ＝4. 答案：415．[2014·福建省厦门一中期末考试]已知双曲线x 216－y 225＝1的左焦点为F ，点P 为双曲线右支上一点，且PF 与圆x 2＋y 2＝16相切于点N ，M 为线段PF 的中点，O 为坐标原点，则|MN |－|MO |＝________.解析：本题综合考查直线、双曲线与圆．设F ′是双曲线的右焦点，连接PF ′(图略)，因为M ，O 分别是FP ，FF ′的中点，所以|MO |＝12|PF ′|，所以|FN |＝|OF |2－|ON |2＝5，由双曲线的定义知|PF |－|PF ′|＝8，故|MN |－|MO |＝－12|PF ′|＋|MF |－|FN |＝12(|PF |－|PF ′|)－|FN |＝12×8－5＝－1.。

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第三章数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上．答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ，又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0，假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

【成才之路】高中数学人教A版选修2-1练习：综合素质检测1、2(含答案解析)

第一、二章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。

一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中只有一个是切合题目要求的)1．命题“△ ABC 是等腰直角三角形”的形式是导学号 33780653 ()A． p∨ q B ． p∧ qC． ?p D．以上都不对[答案 ]B[分析 ]△ABC 是等腰直角三角形是由△ABC 是等腰三角形与△ABC 是直角三角形用“且”联络而成，是 p∧ q 命题．2．设命题甲为： 0<x<5 ，命题乙为： |x－ 2|<3，那么甲是乙的导学号 33780654 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件[答案 ]A[分析 ]解不等式 |x－2|<3 得－ 1<x<5 ，∵0<x<5 ? － 1<x<5 但－ 1<x<5 ?/ 0<x<5 ，∴甲是乙的充足不用要条件，应选A.3．若抛物线 y2＝ 8x 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离为 3，则 |y0|等于导学号 33780655 ()A. 2B．2 2C． 2D． 4[答案 ]B[分析 ]过点 P 作抛物线的准线 l 的垂线， P1为垂足，则 |PF|＝ |PP1|＝ x0＋p＝ x0＋ 2＝ 3，2所以 x0＝ 1，于是 |y0|＝ 22x0＝ 2 2.4．命题 p：若 a·b>0，则 a 与 b 的夹角为锐角；命题q：若函数 f(x) 在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则 f(x) 在 (－∞，＋∞)上是减函数．以下说法中正确的选项是导学号 33780656 ()A．“p或 q”是真命题 B ．“p或 q”是假命题C． ?p 为假命题D． ?q 为假命题[答案]B[分析 ]当 a ·b>0 时， a 与 b 的夹角为锐角或零度角，－ x ＋ 1，x ≤0∴命题 p 是假命题；命题q 是假命题，比如 f(x) ＝，所以 “p 或 q ”是假命－ x ＋ 2， x>0题，选 B.5．命题 “若 a>－3，则 a>－6”以及它的抗命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数为导学号 33780657 ()A ． 1B ．2C ． 3D ． 4[答案 ] B[分析 ]原命题和它的逆否命题为真．6．已知椭圆 x 2＋ my 2＝ 1 的离心率 e ∈ ( 1，1)，则实数 m 的取值范围是导学号 337806582()34A ． (0， )B ．( ，＋ ∞)43 3 43 4C ． (0， )∪ (，＋ ∞)D ． ( ， 1)∪ (1， )4343[答案 ] C[分析 ]222y 2 ＝1. 1b 2 3.当椭圆的焦点在 x椭圆 x ＋ my ＝ 1 的标准方程为 x ＋<e<1 ，即 0< 2<1 2 a 4m轴上时， a 2 ＝ 1，b 2＝ 1 ， m>4；当椭圆的焦点在 y 轴上时， a 2＝ 1，b 2＝ 1，则 0<m< 3.所以实m 3m4数 m 的取值范围是 0<m<34或 m>43.7．已知命题 p ： ? x ∈ R ， x 2＋ 1<2x ；命题 q ：若 mx 2－ mx － 1<0 恒建立，则－ 4<m<0 ，那么导学号 33780659 ( )A ． “ ?p 是”假命题B ．q 是真命题C ． “p 或 q ”为假命题D ． “p 且 q ”为真命题 [答案 ] C[分析 ]由于 x 2＋ 1<2x ，即 x 2－ 2x ＋ 1<0，也即 (x －1) 2<0，所以命题 p 为假；若 mx 2－mx － 1<0 恒建立，则一定m<0，则－ 4<m ≤0，所以命题 q 为假，应选m ＝ 0 或＝ m 2＋ 4m<0C.8．设椭圆 C 1 的离心率为 5，焦点在 x 轴上且长轴长为26.若曲线 C 2 上的点到椭圆C 113的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C 2 的标准方程为导学号 33780660 ()x 2 y 2x 2y 2 A.42－ 32＝ 1B ．132－ 52＝ 1x 2 y 2x 2y 2C.32－ 42＝ 1 D ． 132－ 122＝ 1[答案 ] A[分析 ]对于椭圆 C 1 ，∵长轴长 2a 1＝26，∴ a 1＝ 13，又离心率 e 1＝c 1＝ 5，∴ c 1＝5.由a 1 13题意知曲线 C 2 为双曲线，且与椭圆 C 1 同焦点，∴ c 2＝ 5，又 2a 2＝ 8，∴ a 2＝ 4，b 2 ＝ c 22－ a 22＝ 3，又焦点在 x 轴上，22∴曲线 C2的标准方程为x2 y2＝ 1.4 －329．如图， F 1 、 F 2 是椭圆 C 1： x＋ y 2＝ 1 与双曲线C 2 的公共焦点， A 、 B 分别是 C 1、 C 24在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1 BF 2 为矩形，则 C 2 的离心率是导学号 33780661( )A. 2B ． 33 6C.2 D ． 2[答案 ]Dx 2y 2[分析 ]不如设双曲线方程为a 2－b 2＝ 1.22－ 2|BF 1| |BF · 2，①由题意知 |BF 1|－ |BF 2|＝ 2a? |BF 1| ＋ |BF 2| 2|＝ 4a 并由勾股定理得 |BF 1 |2＋ |BF 2|2＝ 4c 2＝ 12，②由①②知 12－4a 2＝2|BF 1| |BF · 2 |，∴ |BF 1| ·|BF 2|＝ 6－ 2a 2.下边求 |BF 1| ·|BF 2|的值．在椭圆中 |BF 1 |＋ |BF 2|＝ 4，故 |BF 1|2＋ |BF 2|2＋2|BF 1| |BF · 2|＝ 16，22＝4c 2＝12，又由②知 |BF 1| ＋ |BF 2| ∴ |BF 1| ·|BF 2|＝ 2，所以有 c 2－ a 2＝ 1，22＝ 2，∴ C 2 的离心率 c ＝6 ∵ c＝ 3，∴ a e ＝ 2.a10．以下说法不正确的选项是导学号 33780662 ()A ． “? x 0∈ R ， x 20－ x 0－ 1<0”的否认是 “? x ∈ R ， x 2－ x － 1≥0”B ．命题 “若 x>0 且 y>0，则 x ＋ y>0 ”的否命题是假命题C ． “? a ∈R ，使方程 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1、x 2 知足 x 1<1<x 2”和 “函数 f(x) ＝ log 2(ax －1)在 [1,2] 上单一递加 ”都为真D ．△ ABC 中， A 是最大角，则 sin 2B ＋ sin 2C<sin 2A 是△ ABC 为钝角三角形的充要条件 [答案 ] C[分析 ]由于 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1、 x 2，∴函数 f(x) ＝ log 2(ax －1)在 [1,2] 上单一增为假，知足 x 1<1<x 2 的充要条件是 2＋ 1＋ a<0，∴ a<－ 3，当 a<－ 3 时，函数 f(x) ＝log 2(ax －1) 在 [1,2] 上无心义．∴ “? a ∈ R 使方程 2x 2＋ x ＋ a ＝ 0 的两根 x 1 ，x 2 知足 x 1<1<x 2”为真，应选 C.11．已知点 F 为抛物线 y 2＝－ 8x 的焦点， O 为坐标原点，点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且 |AF|＝ 4，则 |PA|＋ |PO|的最小值为导学号 33780663 ()A ． 6B ．2＋4 2C ． 2 13D ．4＋2 5[答案 ]C[分析 ]设点 A 的坐标为 (x 1， y 1)，由已知得－ x 1＋ 2＝ |AF|＝ 4，则 x 1＝－ 2， y 12 ＝－ 8x 1＝ 16，取 y 1＝4，得 A( － 2， 4) ．设点 O 对于准线 x ＝ 2 的对称点为 B ，则 B(4,0) ，连结 AB交准线于一点，则该点就是知足要求的使 |PA|＋ |PO|获得最小值的点 P ，此时 |AB| ＝ 2 13，即|PA|＋ |PO|的最小值为 2 13.12．已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0) 是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 订交于 A 、B两点，且 AB 的中点为 N( － 12，－ 15)，则 E 的方程为导学号 33780664 ()x 2 y 2x 2 y 2A. 3－ 6 ＝ 1B ． 4－ 5 ＝ 1C.x2222－y＝ 1D ． x－ y＝ 16 3 5 4[答案 ] Bx 2y 222[分析 ]22c ＝3， a ＋ b ＝ 9，设 A(x ，设双曲线的方程为 a － b ＝ 1(a>0， b>0) ，由题意知122x 1y 12 － 2＝121＋x 22y 1) ，B(x 2 ，y 2 )则有： a by 1 － y 2 b4bx 22y 22 ，两式作差得： x 1－ x 2＝ a 21＋ y2＝5a 2，又 AB 的斜2－ 2＝1ab－ 15－0x 2率是＝ 1，所以 b 2＝5a 2，代入 a 2＋b 2＝ 9 得，a 2＝ 4，b 2 ＝5，所以双曲线标准方程是－ 12－3442－ y5 ＝ 1，应选 B.二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 4 分，共 16 分，把正确答案填在题中横线上 )13．写出命题 “若方程 ax 2－ bx ＋ c ＝ 0 的两根均大于0，则 ac>0”的一个等价命题是____________________________________. 导学号 33780665[答案 ]若 ac ≤0，则方程 ax 2－ bx ＋ c ＝ 0 的两根不全大于 0.14 ．过点 P(0,4)与抛物线 y 2 ＝ 2x只有一个公共点的直线有________条 . 导学号 33780666[答案 ] 3[分析 ]作出抛物线 y 2＝ 2x 的图形如图，能够看出点P 在 y 轴上，由图中看出过点 P有 3 条直线与抛物线只有一个公共点．此中包含y 轴 (斜率不存在的切线 )，过点 P 与 x 轴平行的直线以及过点 P 与抛物线相切的斜率存在一条直线．15．设 p ：方程 x 2＋2mx ＋ 1＝ 0 有两个不相等的正根； q ：方程 x 2＋ 2(m － 2)x －3m ＋ 10＝ 0 无实根，则使 p ∨ q 为真，p ∧ q 为假的实数 m 的取值范围是 ________. 导学号 33780667 [答案 ](－ ∞，－ 2]∪ [－1,3)[分析 ]对于方程x 2＋ 2mx ＋1＝ 0 有两个不等正根，＝4m 2－4>0∴，∴ m< － 1，－ 2m>0方程 x 2＋ 2(m － 2)x － 3m ＋ 10＝ 0 无实根，＝ 4(m － 2)2－ 4(－ 3m ＋ 10)<0，∴－ 2<m<3，若 p 真 q 假，则 m ≤－ 2；若 p 假 q 真，则－ 1≤m<3.x 2 y 216． (2016 北·京理， 13)双曲线 a 2－ b 2 ＝ 1(a>0， b>0) 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA ，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点．若正方形 OABC 的边长为 2 ，则 a ＝________. 导学号 33780668[答案 ]22 2[分析 ]双曲线 x 2 － y 2 ba b ＝ 1 的渐近线方程为＝± x ，由已知可得两条渐近线方程相互垂a直，由双曲线的对称性可得b＝ 1.又正方形 OABC 的边长为 2，所以 c ＝ 2 2，所以 a 2＋ b 2 ＝ac 2＝(2 2)2，解得 a ＝ 2.三、解答题 (本大题共 6 个大题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 12 分 )判断以下命题的真假：导学号 33780669(1) 若“自然数 a 能被 6 整除，则 a 能被 2 整除 ”的抗命题；(2) 若“ 0<x<5 ，则 |x － 2|<3 ”的否命题及逆否命题；(3)命题 “若不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2) ·x － 4<0 对全部 x ∈R 恒建立，则a ∈ (－ 2,2) ”及其逆命题．[分析 ] (1)抗命题：若自然数 a 能被 2 整除，则 a 能被 6 整除．抗命题为假．反例：2,4,14,22等都不可以被 6 整除．1 1 5(2)否命题：若 x ≤0或 x ≥5，则 |x － 2| ≥ 否3.命题为假．反例： x ＝－ 2≤0，但 |－ 2－ 2|＝ 2<3.逆否命题：若 |x － 2| ≥3，则 x ≤0或 x ≥5逆.否命题为真， |x － 2| ≥3?x ≥5或 x ≤－ 1.(3)原命题为假．由于 (a － 2)x 2＋2(a －2)x － 4<0 ，当 a ＝ 2 时，变成－ 4<0 ，也知足条件．逆命题：若 a ∈ (－ 2，2)，则不等式 (a － 2)x 2＋ 2(a － 2)x － 4<0 对全部 x ∈ R 恒建立．抗命题为真，由于当 a ∈ (－2,2)时，<0，且 a － 2<0.18． (本小题满分 12 分 )已知三点 P(5,2)、 F 1(－ 6,0)、 F 2(6， 0). 导学号 33780670 (1)求以 F 1 、 F 2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；、 F 对于直线 y ＝ x 的对称点分别为 P ′、 F ′、 F ′，求以 F ′、 F ′为焦点过(2)设点 P 、F 1 21212点 P ′的双曲线的标准方程．[分析 ] (1)由题意可设所求椭圆的标准方程为x 2 y 22 ＋ 2＝ 1(a>b>0) ，则 c ＝ 6,2a ＝ |PF 1|＋ab|PF 2|＝ 112＋ 22＋－2＋ 22＝ 6 5，所以 a ＝ 3 5， b 2＝ a 2－ c 2＝ 45－ 36＝ 9.x 2＋ y2故所求椭圆的标准方程为＝ 1.45 9(2)点 P(5,2)、F 1(－ 6,0)、F 2(6,0)对于直线 y ＝ x 的对称点分别为 P ′ (2,5)、F ′1(0，－6) 、F ′2(0,6)．2 2设所求双曲线的标准方程为y 2－ x2＝ 1(a ＝ 6,2a ＝||P ′F ′a 1 1>0，b 1>0)，由题意知， c11－|P ′2||F ′b 1＝ | 22＋ 112－ 22＋－2 |＝ 45，所以 a 1＝ 2 5， b 12＝ c 12－ a 12＝ 36－20＝ 16.22yx故所求双曲线的标准方程为－＝1.19． (本小题满分 12 分 )已知 a>0 设命题 p ：函数 y ＝ ( 1 )x为增函数．命题 q ：当 x ∈ [ 1，a2 2] 时函数 f(x) ＝ x ＋ 1 >1恒建立．假如p ∨ q 为真命题， p ∧ q 为假命题，求a 的范x a围 . 导学号 33780671[分析 ]当 y ＝ ( 1)x为增函数，得 0<a<1.a当 x ∈[1， 2]时，由于 f(x) 在 [1， 1]上为减函数，在 [1,2] 上为增函数．2 2∴ f(x) 在 x ∈ [1，2] 上最小值为 f(1) ＝ 2.2当 x ∈[12， 2]时，由函数 f(x) ＝x ＋ 1x >1a 恒建立．1 1 得 2> 解得 a> .a 2假如 p 真且 q 假，则1 0<a ≤ ；2假如 p 假且 q 真，则 a ≥1.所以 a 的取值范围为 (0， 1]∪ [1，＋ ∞)．220．(本小题满分 12 分 )已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ p n＋ q(p ≠0且 p ≠1)，求证：数列 {a n }为等比数列的充要条件为q ＝－ 1. 导学号 33780672[证明 ]充足性：当 q ＝－ 1 时， a 1＝ p － 1，当 n ≥2时， a n ＝S n － S n －1 ＝p n －1(p － 1)，当 n ＝ 1 时也建立．于是a n ＋1 p n－＝ p ，即数列 {a n } 为等比数列．a n＝ n －1－p必需性：当 n ＝1 时， a 1＝ S 1 ＝p ＋ q.当 n ≥2时， a n ＝S n － S n －1 ＝p n －1(p － 1)，∵ p ≠0且 p ≠1，∴a n ＋1p n－＝p ，a n ＝ p n － 1－∵ {a n } 为等比数列，∴ a 2 ＝ a n ＋1 ＝ p ，即－＝ p ，a 1 a n p ＋ q∴ p －1＝ p ＋ q ，∴ q ＝－ 1.综上所述， q ＝－ 1 是数列 {a n } 为等比数列的充要条件．21． (本小题满分12 分 )若点 O 和点 F(－ 2,0)分别是双曲线x 2 22 － y ＝ 1(a>0) 的中心和左焦a点，点 P 为双曲线右支上的随意一点，求→ →OP ·FP 的取值范围 . 导学号 33780673[分析 ]由于 F(－ 2,0)是双曲线的左焦点，所以a 2＋1＝ 4，即 a 2 ＝3，所以双曲线方程为22 2→ ＝ (x x－ y 2＝ 1.设点 P(x，y0)(x 0≥ 3)，则x 0－ y 2＝1(x0≥2＝x 0－ 1(x 0≥30 33)，解得 y 033)．由于 FP22＋ 2，y→ ＝ (x ，y→ → ＝ x0(x 0 ＋2)＋ y 2＝ x＋ 2)＋ x 0－ 1＝ 4x 0＋2x 0 －1，此二0)，OP0)，所以 OP ·FP0(x 03 3次函数对应的抛物线的对称轴为3 3，所以当 x 0＝→ →x 0＝－ .由于 x 0≥3时， OP ·FP 获得最小值44→ →的取值范围是 [3＋ 23，＋ ∞)．3×3＋ 2 3－ 1＝3＋ 2 3，故 OP ·FP22． (本小题满分 14 分 )已知椭圆 C ： x 2＋ 2y 2＝ 4. 导学号 33780674(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y ＝ 2 上，且 OA ⊥ OB ，试判断直线AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 的地点关系，并证明你的结论．x2＋y 2＝1.[分析 ] (1)由题意，椭圆 C 的标准方程为 42所以 a 2＝4， b 2＝ 2，进而 c 2＝ a 2－ b 2＝ 2，所以 a ＝ 2， c ＝ 2，故椭圆 C 的离心率 e ＝c ＝2a 2.(2)直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．证明以下：设点 A ，B 的坐标分别为 (x 0， y 0) ，(t,2) ，此中 x 0≠ 0.→ →0＋2y 0＝ 0，解得 t ＝－2y 0 由于 OA ⊥ OB ，所以 OA ·OB ＝ 0，即 tx.x 0t2当 x 0＝ t 时， y 0＝－ 2，代入椭圆 C 的方程，得 t ＝± 2，故直线 AB 的方程为 x ＝ ± 2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝ 2，此时直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．y 0－2当 x 0≠t 时，直线 AB 的方程为 y － 2＝－ t (x － t) ，x 0即 (y 0－ 2)x － (x 0－ t)y ＋ 2x 0－ ty 0＝ 0.|2x 0－ ty 0|2.圆心 O 到直线 AB 的距离 d ＝2 ＋－－又 x 20＋2y 20＝ 4， t ＝－ 2y 0 ，x 02y 022|2x 0＋4＋ x 0|||故 d ＝x 0＝x 0＝ 2.4y 02＋ 8x 02＋ 16 22 x 04x 0＋y 0＋2 ＋ 42x 02x 0此时直线 AB 与圆 x 2＋ y 2＝ 2 相切．。

人教A版高中数学选修一第一章测试题

第一章测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析本题考查充要条件的判断，∵a >0⇒|a |>0，|a |>0D ⇒/a >0，∴“a >0”是“|a |>0”的充分不必要条件．答案 A2．命题“∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≤0”的否定为( )A ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋4≥0B ．∀x ∉R ，x 2－2x ＋4≤0C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋4>0D ．∃x ∉R ，x 2－2x ＋4>0答案 C3．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2解析对于B选项x＝1时，(x－1)2＝0，故选B.答案 B5．如果命题“綈p”为真，命题“p∧q”为假，那么()A．q为假B．q为真C．p或q为真D．p或q不一定为真解析∵命题“綈p”为真，∴命题“p”为假，又“p∧q”为假，∴q可真也可以假．∴p或q可真也可以假，故应选D.答案 D6．下列说法正确的是()①原命题为真，它的否命题为假；②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真；④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真．A．①②B．②③C．③④D．②③④答案 B7．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C8．下列命题中的假命题是()A. ∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B. ∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C. ∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( )A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图象不过第二象限C. p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．以下判断正确的是( )A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x30>x0”C．“a＝1”是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件D．“b＝0”是“函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数”的充要条件解析∵“负数的平方是正数”即∀x<0，则x2>0，是全称命题，∴A不正确；∵对全称命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x0∈N，x30≤x0”，∴B不正确；∵f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，当最小正周期为π时，有2π|2a|＝π.∴|a|＝1D⇒a＝1，∴a＝1是“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件，故C不正确；D正确．答案 D11．下列四个命题中，其中真命题是()①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题．A．①②B．①②③④C．②③④D．①③④解析①逆命题：“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”为真命题．②逆命题：“若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b≤0时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题．答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2，当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎨⎧ a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1.答案 A 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．写出命题：“若方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根均大于0，则ac >0”的一个等价命题是________．解析一个命题与其逆否命题等价，因此只要写出原命题的逆否命题即可．答案若ac ≤0，则方程ax 2－bx ＋c ＝0的两根不都大于014．已知p ：x 2－x ≥2，q ：|x －2|≤1，且p ∧q 与綈q 同时为假命题，则实数x 的取值范围为________．解析由x 2－x ≥2，得x ≥2，或x ≤－1，|x －2|≤1，得1≤x ≤3，∵p ∧q 与綈q 同时为假命题，∴q 为真命题，p 为假命题，∴1≤x <2.答案 1≤x <215．已知直线l 1：2x －my ＋1＝0与l 2：x ＋(m －1)y －1＝0，则“m ＝2”是l 1⊥l 2的________条件．解析若l 1⊥l 2，只需2×1＋(－m )(m －1)＝0，即m 2－m －2＝0，即m ＝2，或m ＝－1，∴m ＝2是l 1⊥l 2的充分不必要条件．答案充分不必要16．下列四种说法：①命题“∀x ∈R ，都有x 2－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2－2≥3x ”；②若a ，b ∈R ，则2a <2b 是log 12a >log 12b 的必要不充分条件；③把函数y ＝sin(－3x )(x ∈R )的图象上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y ＝sin(－3x －π4)(x ∈R )的图象；④若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为2π3，则|a＋b |＝ 3.其中正确的说法是________．解析 ①正确．②若2a <2b ，则a log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a <2b .故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图象上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x－π4)]＝sin(－3x ＋3π4)，故③不正确．④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°；(2)有一些奇函数的图象过原点；(3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0；(4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．(3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}．∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝RD ⇒/x ∈(2,3]＝M ∩P .而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x∈(M∩P)⇒x∈M，或x∈P.故“x∈M，或x∈P”是“x∈(M∩P)”的必要不充分条件．20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假．(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)有些质数是奇数；(3)所有的方程都不是不等式；(4)自然数的平方是正数．解原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题．(2)所有质数都不是奇数，为假命题．(3)至少存在一个方程是不等式，为假命题．(4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知a>0，a≠1，设p：函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q：函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q真，p∧q假，求实数a的取值范围．解对于命题p：当0<a<1时，函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a>1时，函数y＝log a(x＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p为真命题，那么0<a<1.如果p为假命题，那么a>1.对于命题q：如果函数y＝x2＋(2a－3)x＋1的图象与x轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0，即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >52.如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52.∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1. 如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52.∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)． 22．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0.命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)当a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0，得a <x <3a (a >0)．当a ＝1时，1<x <3，所以p ：1<x <3.由⎩⎨⎧ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得2<x ≤3，所以q ：2<x ≤3.若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是{x |2<x <3}．(2)设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a >0}＝{x |a <x <3a ，a >0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎨⎧ x 2－x －6<0，x 2＋2x －8>0＝{x |2<x ≤3}．根据题意可得B A ，则0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 故实数a 的取值范围是{a |1<a ≤2}．。

人教a版高中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案

⼈教a版⾼中数学选修2-1全册同步练习及单元检测含答案⼈教版⾼中数学选修2～1 全册章节同步检测试题⽬录1.1.1课时同步练习1.2课时同步练习1.3课时同步练习1.4.1、2课时同步练习1.4.3课时同步练习第1章单元过关试卷同步练习2.1.1课时同步练习2.1.2课时同步练习2.2.1课时同步练习2.2.2（第1课时）同步练习2.2.2（第2课时）同步练习2.3.1课时同步练习2.3.2（第1课时）同步练习2.3.2（第2课时）同步练习2.4.1课时同步练习2.4.2（第1课时）同步练习2.4.2（第2课时）同步练习第2章单元过关试卷同步练习3.1.1课时同步练习3.1.2课时同步练习3.1.3课时同步练习3.1.4课时同步练习3.1.5课时同步练习3.2第3课时同步练习3.2第4课时同步练习3.2（第1课时）同步练习3.2（第2课时）同步练习第3章单元过关试卷同步练习模块质量检测A卷同步练习模块质量检测B卷同步练习第1章 1.1.1⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③⼤边所对的⾓⼤于⼩边所对的⾓；④2是⽆理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直⾓相等”的条件和结论分别是“直⾓”和“相等”B．语句“最⾼⽓温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对⾓线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，⽅程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个⾓是直⾓，则这两个⾓相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“⽤边长为3的等边三⾓形与底边为3，腰为2的等腰三⾓形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正⽅形}是{x|x是平⾏四边形}的⼦集吗？④3⼩于2；⑤矩形的对⾓线相等；⑥9的平⽅根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是⾃然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平⾯，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选⼀个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ；②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数⼜是增函数；③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ⾄多有⼀个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ?2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析：①∠A ＞∠B ?a ＞b ?sin A ＞sin B ．②③易知正确．④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ?2x ＋π2的图象．答案：①②③6．命题“⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：⼀元⼆次⽅程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此⽅程有两个不相等的实数根假三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题的条件p 和结论q ：(1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果⼀个函数的图象是⼀条直线，那么这个函数为⼀次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数．(2)条件p ：⼀个函数的图象是⼀条直线，结论q ：这个函数为⼀次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1，∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4.∴x ≥4或x ≤－1.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满⾜的条件．⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1ax 2，求a 满⾜的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，⽅程有解x ＝－1b . 当a ≠0时，⽅程为⼀元⼆次⽅程，有解的条件为Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，⽅程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)∵命题当x 1a x 2为假命题，∴应有当x 1即a x 2－x 1x 1x 2≤0. ∵x 1∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∴a ≤0.第1章 1.2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |?x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ?|x |＝|y |.故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成⽴的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，⽽tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成⽴的充分不必要条件．故选A. 答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )A ．充分⽽不必要条件B ．必要⽽不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵x ≥2且y ≥2，∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；⽽x 2＋y 2≥4不⼀定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成⽴，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分⼜不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)(1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件(2)A ∩B ≠?是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形解析： (1)因x >2且y >3?x ＋y >5， x ＋y >5?/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件．(2)因A ∩B ≠??/ A B, A B ?A ∩B ≠?.故A ∩B ≠?是A B 的必要不充分条件．(3)因b 2－4ac <0?/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ， ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ?a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件．(4)三⾓形的三边满⾜勾股定理的充要条件是此三⾓形为直⾓三⾓形．答案： (1)(2)(3)6．设集合A ＝x |x x －1<0，B ＝{x |0x |x x －1<0＝{x |0∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ?q 但q ?/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1. ∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满⾜条件的a 的取值范围为0，12. 8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．证明：充分性：∵0，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．⽽当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴，∴a ＝0或 a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45. 故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对⼀切实数x 都成⽴的充要条件．尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}，①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ?B ，从⽽有 a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3.或 a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( )A ．p 为真命题，p 且q 为假命题B ．p 为假命题，q 为假命题C ．q 为假命题，p 或q 为真命题D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析：∵p 为真命题，q 为假命题，∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧q ”是假命题；③命题“p ∨q ”是真命题；④命题“p ∨q ”是假命题．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④解析：∵綈p ∨綈q 是假命题∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是() A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析：∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x ＝? ????12x在R 上为减函数，∴y ＝－2－x ＝－? ????12x在R 上为增函数，∴y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q1：p1∨p2是真命题，因此排除B和D，q2：p1∧p2是假命题，q3：綈p1是假命题，(綈p1)∨p2是假命题，故q3是假命题，排除A.故选C.答案： C⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．“a≥5且b≥3”的否定是____________；“a≥5或b≤3”的否定是____________．答案：a＜5或b＜3 a＜5且b＞36．在下列命题中：①不等式|x＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A?A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“⾮p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的⼀个解，所以p是真命题，所以⾮p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“⾮p”的形式，其中p：A?A∪B.因为p为真命题，所以“⾮p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8?{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：⽅程x2－x＋1＝0有实根；(2)p ：函数y ＝tan x 是周期函数；(3)p ：??A ；(4)p ：不等式x 2＋3x ＋5<0的解集是?.解析：题号判断p 的真假綈p 的形式判断綈p 的真假 (1)假⽅程x 2－x ＋1＝0⽆实数根真 (2)真函数y ＝tan x 不是周期函数假 (3)真 ? A 假 (4)真不等式x 2＋3x ＋5<0的解集不是? 假尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满⾜x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满⾜ x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0.⼜a >0，所以a当a ＝1时，1即p 为真命题时实数x 的取值范围是1由 x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2所以q 为真时实数x 的取值范围是2若p ∧q 为真，则 1所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ?綈q 且綈q ?/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以03，即1所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章 1.4.1、2⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．下列命题中的假命题是( )A ．?x ∈R ，lg x ＝0B ．?x ∈R ，tan x ＝1C ．?x ∈R ，x 2>0D ．?x ∈R,2x>0 解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题． C 中当x ＝0时，x 2＝0不⼤于0，是假命题．D 中?x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．?m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )．∴f (x )是偶函数⼜∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R )∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数．∴A 对，B 、C 、D 错．故选A.答案： A3．下列4个命题： p 1：?x ∈(0，＋∞)，? ????12xx ； p 2：?x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，? ????12x >log 12x ； p 4：?x ∈? ????0，13，? ????12xx . 其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有? ????12x >? ??13x 成⽴．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平⾯直⾓坐标系中作出函数y ＝? ??12x 与函数 y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝? ????12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x 图象的上⽅，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：?x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－3或a >2B ．a ≥2C ．a >－2D ．－2即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成⽴，所以有： a ＋2>0，16－4a ＋2a －1≤0 a >－2，a 2＋a －6≥0?a ≥2.答案： B⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题“有些负数满⾜不等式(1＋x )(1－9x )>0”⽤“?”或“?”可表述为________．答案： ?x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：?x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：?x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题； x 2－x ＋1＝? ????x －122＋34>0恒成⽴，∴命题q 为真命题，∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每⼩题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1(3)?T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)?x0∈R，使x20＋1<0.解析：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0(a>0且a≠1)恒成⽴，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的⼀个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前⾯，使其成为⼀个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是⽆理数，则x2是⽆理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表⽰)解析：(1)?x∈R，x>2.(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．(3)?x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是⽆理数，则x2是⽆理数．(如42)(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，⼆次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成⽴，即4m2＋4am＋1≥0恒成⽴．⼜4m2＋4am＋1≥0是⼀个关于m的⼆次不等式，恒成⽴的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章 1.4.3⼀、选择题(每⼩题5分，共20分)1．命题：对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0的否定是( )A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0B ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≥0C ．存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0D ．对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p ：?m 0∈R ，使⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0有实数根，则“綈p ”形式的命题是( )A ．?m 0∈R ，使得⽅程x 2＋m 0x ＋1＝0⽆实根B ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根C ．对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．⾄多有⼀个实数m ，使得⽅程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对?m ∈R ，⽅程x 2＋mx ＋1＝0⽆实根”．故选B.答案： B3．“?x 0?M ，p (x 0)”的否定是( )A ．?x ∈M ，綈p (x )B ．?x ?M ，p (x )C ．?x ?M ，綈p (x )D ．?x ∈M ，p (x )答案： C 4．已知命题p ：?x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧?q ”是假命题；③命题“?p ∨q ”是真命题；④命题“?p ∨?q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1∴p ∧q 为真，p ∧?q 为假，?p ∨q 为真，?p ∨?q 为假．答案： D⼆、填空题(每⼩题5分，共10分)5．命题p ：?x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析：∵x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥0恒成⽴，所以命题p是假命题．答案：特称命题假?x∈R，x2＋2x＋5≥0真6．(1)命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．(2)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．答案：(1)?x0∈R，|x0－2|＋|x0－4|≤3(2)?x∈R，x2＋2x＋5≠0三、解答题(每⼩题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假．(1)所有正⽅形都是矩形；(2)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)?θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正⽅形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：?α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：?θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在⼀个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，并说明理由．(2)若存在⼀个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成⽴，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成⽴，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成⽴，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖⼦⽣题库☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)?a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a·c＝b·c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等⽐数列．。

(好题)高中数学选修1-2第二章《框图》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．56 B．72 C．84 D．90 2．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A．7 B．10 C．9 D．11N=，那么输出的S=（）3．执行如图的程序框图，如果输入10A．111 12310 ++++B．11111212312310 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯C．111 12311 ++++D．11111212312311 ++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯4．执行如图所示的程序框图，当输出S的值为6-时，则输入的0S=（）A．7B．8C．9D．105．运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于A ．10-B ．3-C ．3D ．16．如果下面程序框图运行的结果1320s =，那么判断框中应填入（）A ．10?k C ．11?k <D ．11?k >7．执行下边的程序框图，若输入的29x =，则输出的n =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．执行如图所示的程序框图，如果输入的2017n =，则输出的S =（）A．40344035B．20174035C．40364037D．201840379．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增加时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图如图所示，若输出的24n=，则p的值可以是（）（参考数据：sin150.2588︒≈）A．3.14 B．3.1 C．3 D．2.810．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．2B．5C．8D．2311．程序框图如下图所示，当2425A=时，输出的k的值为（）A．26 B．25 C．24 D．2312．我们可以用计算机产生随机数的方法估计π的近似值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（Scilab中用()rand函数来产生01的均匀随机数），若输出的结果为524，则由此可估计π的近似值为（）A．3.144 B．3.154 C．3.141 D．3.142二、填空题13．按如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的的值为，若输出，则输入的值为，则的取值范围是________．14．如图所示的茎叶图为高二某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的1254,,a a a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的S 和n 的值之和是___．15．阅读下边的程序框图,若输入的n是100,则输出的变量S和T的值依次是_____.16．如下图所示的程序框图表示的算法的功能是____.17．把两条直线的位置关系依次填入下图中的M、N、E、F中，正确的顺序为___________.①平行；②垂直；③相交；④斜交.18．某公司的组织结构图如下图所示，则开发部的直接领导是_______．a ，则输出的结果是 _____．19．执行如图所示的程序框图，若输入的520．对一位运动员的心脏跳动检测了8次，得到如下表所示的数据：检测次数12345678监测数据a i （次\分钟）3940424243454647上述数据的统计分析中，一部分计算见如右图所示的程序框图（其中是这8个数据的平均数），则输出的的值是________三、解答题21．设计算法，求出方程0ax b +=的解，画出算法流程图并写出程序.22．已知数列{}n a 的各项均为正数，观察程序框图，若5k =，10k =时，分别有511S =和1021S ，求数列{}n a的通项；23．纸杯从原材料（纸张）到商品（纸杯）主要经过四道工序：淋膜、印刷、模切、成型．首先用淋膜机给原纸淋膜，然后用分切机把已经淋膜好的纸分切成矩形纸张（印刷后作杯壁用）和卷筒纸（作杯底）．再将矩形纸张印刷并切成扇形杯壁，将卷筒纸切割出杯底，将杯壁与杯底黏合，最后成型．画出该工序流程图．24．据有关人士预测，我国将逐步进入新一轮消费周期，其特点是：城镇居民消费热点主要为商品住房、小轿车、电子信息产品、新型食品以及服务消费和文化消费；农村消费热点是住房、家电．试画出消费的结构图．25．已知直线方程为Ax+By+C=0(A·B≠0)，试编写一个程序，要求输入符合条件的A，B，C 的值，输出该直线在x轴、y轴上的截距和直线的斜率.26．甲、乙两人玩游戏，游戏规则如下面的程序框图所示，求甲胜的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【解析】阅读流程图可得，该流程图的功能为计算：()()188212228212382722S +⨯=⨯+⨯++⨯=⨯++++=⨯=.本题选择B 选项.2．C解析：C 【解析】分析：根据给定的程序框图，逐一循环计算，即可求得结果. 详解：由题意，执行上述程序框图可得：第一次循环：111123s =⨯=+，不满足判断条件，3i =；第二次循环：1313325s =⨯=+，不满足判断条件，5i =；第三次循环：1515527s =⨯=+，不满足判断条件，7i =；第四次循环：1717729s =⨯=+，不满足判断条件，9i =；第四次循环：19199211s =⨯=+，满足判断条件，输出9i =，故选C. 点睛：识别算法框图和完善算法框图是近年高考的重点和热点．解决这类问题：首先，要明确算法框图中的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行算法框图，理解框图解决的问题；第三，按照框图的要求一步一步进行循环，直到跳出循环体输出结果，完成解答．近年框图问题考查很活，常把框图的考查与函数和数列等知识考查相结合．3．B解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可确定程序的输出结果. 详解：结合所给的流程图运行程序如下：首先初始化数据：10,1,0,1N k S T ====，第一次循环：1TT k==，1S S T =+=,12k k =+=，此时不满足k N >；第二次循环：112T T k ==⨯，1112S S T =+=+⨯,13k k =+=，此时不满足k N >；第三次循环：1123T T k ==⨯⨯，11112123S S T =+=++⨯⨯⨯,14k k =+=，此时不满足k N >；一直循环下去，第十次循环：112310T T k ==⨯⨯⨯⨯，S S T =+=1112+⨯1123+⨯⨯++112310⨯⨯⨯⨯,111k k =+=，此时满足k N >，跳出循环.则输出的11111212312310S =++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯.本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 (1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构． (2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．4．B解析：B 【解析】【详解】分析：根据循环结构的特征，依次算出每个循环单元的值，同时判定是否要继续返回循环体，即可求得S 的值．详解:01,i S S ==02,2S S i =-=024,3S S i =--= 0248,4S S i =---=因为当4i < 不成立时，输出S ，且输出-6S = 所以06248S -=--- 所以08S = 所以选B点睛：本题考查了循环结构在程序框图中的应用，按照要求逐步运算即可，属于简单题．5．B解析：B 【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的s 的值.详解：当1k =时，满足进行循环的条件，故1,2S k ==；当2k =时，满足进行循环的条件，故0,3S k ==；当3k =时，满足进行循环的条件，故3,4S k =-=；当4k =时，不满足进行循环的条件，退出循环，输出3S =-，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6．A解析：A 【解析】分析：根据所给程序框图，求出每次执行循环体后得到的,S k 的值，当1320S =时退出循环体，此时就可以得出判断框中的条件.详解：第一次循环，11212,12111S k =⨯==-=不输出，k 的值不满足判断框的条件；第二次循环，1211132,11110S k =⨯==-=不输出，即k 的值不满足判断框的条件；第三次循环，132101320,1019S k =⨯==-=输出，即k 的值满足判断框的条件，故判断框中的条件是10?k <，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7．B解析：B 【解析】29,0x n ==,判断是,31,1x n ==,判断是,33,2x n ==,判断否,输出2n =,故选B.8．B解析：B 【解析】若()()1111212122121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，其前n 项和为11122121n n S n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.研究程序框图可知，当2017m =时，还要循环一次，201720174035S =，12018m m =+=，判断是，退出程序，输出201720174035S = 【点睛】本题主要考查算法与程序框图. 程序框图问题的解法：(1)解答程序框图的相关问题，首先要认清程序框图中每个“框”的含义，然后按程序框图运行的箭头一步一步向前“走”，搞清每走一步产生的结论．(2)要特别注意在哪一步结束循环，解答循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．9．B解析：B 【解析】输入6n =，进入循环16sin 6022S =⨯⨯︒=由题可知不满足S p ≥，进入循环112,12sin 3032n S ==⨯⨯︒= 由题可知不满足S p ≥，进入循环124,24sin15 3.10562n S ==⨯⨯︒= 由题可知满足S p ≥，输出24n =，此时 3.1056 3.1S =≈ 故选B10．C解析：C 【解析】依次运行程序框图中的程序：①1,1,1i r k ===，不满足条件，继续运行； ②2,2,2i r k ===，不满足条件，继续运行； ③3,0,3i r k ===，不满足条件，继续运行； ④4,1,4i r k ===，不满足条件，继续运行； ⑤5,2,0i r k ===，不满足条件，继续运行； ⑥6,0,1i r k ===，不满足条件，继续运行； ⑦7,1,2i r k ===，不满足条件，继续运行；⑧8,2,3i r k ===，满足条件，停止运行。

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选修1-2综合测试题1
（时间：90分钟　满分：110分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．
1．下列命题正确的是（）
A．虚数分正虚数和负虚数 B．实数集与复数集的交集为实数
集
C．实数集与虚数集的交集是 D．纯虚数集与虚数集的并集为复数
2．下列两个量之间的关系是相关关系的为（）
A．匀速直线运动的物体时间与位移的关系 B．学生的成绩和体重
C．路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D．水的体积和重
量
3．若复数，则该复数的实部和虚部分别为（）
A． B． C． D．
4．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于
（）
A．演绎推理 B．类比推理 C．合情推理 D．归纳推理
5．下面对相关系数描述正确的是（）
A．表明两个变量负相关 B．1表明两个变量正相关
C．只能大于零 D．越接近于0，两个变量相关关系越弱
6．下面的程序框图的作用是输出两数中的较大者，则①②处分别为（
）
输入m、n
m①
②
结束
开始
否
是
A．输出m ；交换m和n的值 B．交换m和n的值；输出m
C．输出n ；交换m和n的值 D．交换m和n的值；输出n
7．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个．
A．40 B．36 C．44 D．52
图1 图2 图3
……
8．已知两个复数的和是实数，则这两个复数（）
A．都是实数 B．互为共轭复数 C．都是实数或互为共轭复数 D．
以上都不对
9．下表为某班5位同学身高（单位：cm）与体重（单位kg）的数据，

身高170171166178160
体重7580708565
若两个量间的回归直线方程为，则的值为（）
A．121.04 B．123.2 C．21 D．45.12
10．用反证法证明命题：“，，，且，则中至少有一个负数”时的假设为
（）
A．中至少有一个正数 B．全为正数
C．全都大于等于0 D．中至多有一个负数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．关于的方程的实数解为______________．
12．用支付宝在淘宝网购物有以下几步：①买家选好商品，点击购买按
钮，并付款到支付宝；②淘宝网站收到买家的收货确认信息，将支付宝
里的货款付给卖家；③买家收到货物，检验无问题，在网上确认收货；
④买家登录淘宝网挑选商品；⑤卖家收到购买信息，通过物流公司发货
给买家．他们正确的顺序依次为__________________．
13．将正整数1,2,3,……按照如图的规律排列，则100应在第_________
列．
1
2
3
6
5
4
7
8
9
10
15
14
13
12
11
……
14．下列命题正确的有__________________．
①若，则；②若，则；③ 若（），则且；④若且，则（）．
三、解答题：本大题共4小题，共40分．
15．你知道吗，生产甲流H1N1流感疫苗的最主要原材料居然是鸡蛋！
不过这可不是一种普通的鸡蛋，而是一种原产于美国的海兰白鸡蛋．工
人们首先在强光照射下，挑选出“受过精”的鸡蛋，未“受过精”的鸡蛋只
能作为普通食用蛋走上市场．这个过程叫做“照检”．照检挑选出来的鸡
蛋被送到疫苗生产车间，先经过严格的消毒，然后这些鸡蛋里面被植入
由世卫组织提供的甲流毒株．这些接受了毒株的鸡蛋将被放置在特殊环
境的车间里，使得毒株在鸡蛋里迅速生长，大约3天后，就“成熟”了．
这时鸡蛋转到另一车间进行毒株的“收获”．鸡蛋里的羊水是我们需要的
所谓的“病毒收获液”，剩下的蛋壳和未发育完整的小鸡将被高温消毒后
送到其他企业，制成饲料．病毒收获液里含有我们需要的抗病毒成分，
再依次经过了灭活、纯化、裂解后，就得到了我们需要的甲流疫苗了．
请画出以上整个生产过程的流程图．

16．复数（），
（1）若，求；（2）若在复平面内复数对应的点在第一象限，求的范
围．

17．尘肺病是一种严重的职业病，新密市职工张海超“开胸验肺”的举动
引起了社会的极大关注．据悉尘肺病的产生，与工人长期生活在粉尘环
境有直接的关系．下面是一项调查数据：

　有过粉尘环境工作经历无粉尘环境工作经历合计
有尘肺
病
22224
无尘肺
病
89814982396

合计92015002420
请由此分析我们有多大的把握认为是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境
工作经历有关系．

18．证明不等式：（其中皆为正数）．
选做题
（时间：30分钟　满分：40分）
一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
1．（测试题3变式）若复数，则的实部和虚部分别为（）
A． B． C． D．以上都不对
2．对于命题“平行六面体的体积等于底面积乘以侧棱长，长方体为平行
六面体，所以长方体的体积为底面积乘以侧棱长”，下列叙述正确的是
（）
A．该命题为真命题 B．该命题为假命题，因为大前提是错误的
C．该命题是假命题，因为小前提是错误的 D．该命题是假命题，
因为结论是错误的
二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
3．已知集合，，则__________________．

4．复数的平方根为___________________．
开始
i=1,a = 2, S=0
②in
输出S
S=S+a
①
i=i+1
结束
是
三、解答题：本大题共2小题，共30分．
5．设函数

中，
均为整数，且
均为奇数．
求证：

无整数根．

6．以下为求数列前若干项和的框图：
（1）①处应填的执行语句是什么；
（2）若输出的为的值，则②处的值为多少．
测试题参考答案与提示
一、选择题
1．B 提示：实数集包含于复数集，所以其交集为实数集．
2．C 提示：A、D皆为函数关系，B中两个量即不是函数关系，也不是
相关关系
3．D 提示：若，则其实部为，虚部为．
4．A 提示：由一般到特殊，是演绎推理．
5．D 提示：表明两个变量正相关，反之负相关；越接近于1，两个变
量相关关系越强，越接近于0，两个变量相关关系越弱．
6．D 提示：由框图可知，当mn”， mn时，应交换m、n的值，然后输出n．
7．A 提示：可推测第10个图中每个边上共有11个点，所以所有点的个
数为．
8．D 提示：例如．
9．A 提示：样本中心为（169，75），将样本中心坐标带入回归直线
方程即可求．
10．C 提示：“中至少有一个负数”的反面为“都不是负数”，即“全都大
于等于0”．

二、填空题
11．提示：原方程可化为，当时应有，即，从而．
12．④①⑤③② 提示：可简单表示为：挑选——付款到中介——发货
——收货——中介付款给卖家．
13．14 提示：第列的最大数为，由（）得．
14．①④ 提示：②不对，例如，但；③不对，例如，则．
三、解答题（详细解答）
15．
海兰白鸡蛋
市场销售
照检
种植毒株
消毒
未受精
受过精
病毒收获液
毒株生长

收获
消毒
蛋壳等
制成饲料

灭活
纯化
裂解
疫苗
16．解，
（1）由知，，故．当时，；当时，．
（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，所以．
17．解假设“是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历无关”，则
，
而，远远大于，所以“是否患有尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历有
关系”这一结论错误可能性不超过0.001，故我们有的把握认为是否患有
尘肺病与是否有过粉尘环境工作经历有关系．
18．证因为皆为正数，所以原不等式等价于，即
，整理得．
当时，，则，，所以上式成立；当时，，则，，上式也成立．
综上知，原不等式成立．

选做题参考答案与提示
1、选择题
1．D 提示：由于，所以该复数的实部和虚部都不确定．
2．B 提示：平行六面体的体积等于底面积乘以高，所以大前提是错误
的．
二、填空题
3．提示：，所以设，则，解得，故．
4．提示：设的平方根为，则，即，解之得．

三、解答题（详细解答）
5．证假设

有整数根
，则
．
由已知和为奇数知:

为偶数，所以同为奇数或同为偶数，从而
偶数．
这与矛盾．故假设不成立，原命题成立．
6．解（1）观察数列的特点可知①处应为；
（2）=，所以循环体共应执行9次，故

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