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二阶瞬态响应特性与稳定性分析二阶系统是指具有两个自由度的动力学系统，广泛应用于控制系统、信号处理等领域。
瞬态响应特性与稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
本文将从瞬态响应特性和稳定性两个方面进行分析，以深入理解二阶系统的行为。
瞬态响应特性是指系统对于输入信号的临时响应过程。
对于一个二阶系统，其瞬态响应特性主要包括过渡过程、超调和振荡频率等。
过渡过程是指系统从初始状态到最终稳态的响应过程。
具体地说，对于一个二阶系统，过渡过程的特性由系统的自然频率和阻尼比决定。
自然频率是指系统在没有任何外部干扰的情况下自由振荡的频率。
阻尼比是指系统阻尼量与临界阻尼量之比，描述了系统的阻尼程度。
超调是指系统响应过程中达到的最大偏离稳态值的幅度。
超调的大小与系统的阻尼比有关，当系统的阻尼比增大时，超调量会减小。
振荡频率是指系统在过渡过程中振荡的频率，与系统的自然频率相关。
稳定性是评估系统的动态性能和可靠性的重要指标。
一个二阶系统是稳定的，当且仅当其系统的输入信号有界时，系统的输出信号也有界。
稳定性分析可以通过系统的传递函数进行。
传递函数是系统输入转换为输出的比例关系，在频域上可以用于确定系统的稳定性。
当传递函数的所有极点都位于左半平面时，系统是稳定的。
极点是指传递函数分母方程为零的点，也可以看作传递函数的零点。
对于一个二阶系统，其稳定性主要取决于极点的位置。
当极点的实部都小于零时，系统是稳定的。
当极点的实部大于等于零时，系统是不稳定的。
稳定性分析还可以通过系统的阶跃响应特性进行。
阶跃响应是指系统对于阶跃输入信号的响应。
稳定系统的阶跃响应的幅值会在一些临界值附近趋于稳定。
当系统是不稳定的时，系统的阶跃响应会无限增大或者振荡。
综上所述，瞬态响应特性和稳定性分析是评估一个二阶系统性能的重要指标。
瞬态响应特性包括过渡过程、超调和振荡频率等，可以通过自然频率和阻尼比进行调节。
稳定性分析可以通过传递函数的极点位置和阶跃响应特性进行评估。
一、概述欠阻尼二阶系统是控制系统中常见的一种类型，其特点是在系统振荡时产生明显的超调和持续时间。
误差传递函数是描述系统性能的重要工具，对于典型欠阻尼二阶系统的误差传递函数的研究具有重要的理论和实际意义。
本文将对典型欠阻尼二阶系统的误差传递函数进行深入分析和探讨。
二、典型欠阻尼二阶系统1. 系统特点典型欠阻尼二阶系统是指具有二阶传递函数且阻尼比小于1的系统。
该类型系统在实际控制系统中常见，例如弹簧-质量-阻尼系统等。
2. 数学描述欠阻尼二阶系统的数学描述可以用一般形式的传递函数表达：G(s) = K / (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2)其中，K为比例增益，ζ为阻尼比，ω_n为自然频率。
三、误差传递函数的定义1. 概念误差传递函数是控制系统中描述误差与控制信号之间关系的数学模型。
它可以定量描述系统对输入信号的跟踪性能，是评价系统性能的重要指标之一。
2. 数学表达误差传递函数可以用以下数学式表示：T(s) = 1 / [1 + G(s)]四、典型欠阻尼二阶系统的误差传递函数推导1. 推导过程根据误差传递函数的定义，可以推导出典型欠阻尼二阶系统的误差传递函数。
首先将G(s)代入误差传递函数的表达式中，然后进行化简和整理，最终得到误差传递函数的具体表达式。
2. 推导结果经过推导和计算，得到典型欠阻尼二阶系统的误差传递函数表达式为：T(s) = (s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2) / [(s^2 + 2ζω_ns + ω_n^2) + K]五、典型欠阻尼二阶系统误差传递函数的性能分析1. 响应特性通过误差传递函数的表达式可以分析系统的跟踪性能、稳定性和鲁棒性等特性。
包括超调量、上升时间、峰值时间和稳态误差等指标。
2. 参数影响不同系统参数对误差传递函数的影响也是重要的研究内容，比如阻尼比ζ、自然频率ω_n和比例增益K等参数的变化对系统性能的影响。
六、实例分析以某工程应用中的欠阻尼二阶系统为例，对其误差传递函数进行实际分析和计算。
实验二二阶系统的动态过程分析一、 实验目的1. 掌握二阶控制系统的电路模拟方法及其动态性能指标的测试技术。
2. 定量分析二阶系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
3. 加深理解“线性系统的稳定性只与其结构和参数有关，而与外作用无关”的性质。
4. 了解和学习二阶控制系统及其阶跃响应的Matlab 仿真和Simulink 实现方法。
二、 实验内容1. 分析典型二阶系统()G s 的ξ和n ω变化时，对系统的阶跃响应的影响。
2. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.1所示，若要求系统具有性能：%20%,1,p p t s σσ===试确定系统参数K 和τ，并计算单位阶跃响应的特征量d t ，r t 和s t 。
图2.1 控制系统的结构图3. 用实验的方法求解以下问题：设控制系统结构图如图2.2所示。
图中，输入信号()r t t θ=，放大器增益AK 分别取13.5，200和1500。
试分别写出系统的误差响应表达式，并估算其性能指标。
图2.2 控制系统的结构图三、实验原理任何一个给定的线性控制系统，都可以分解为若干个典型环节的组合。
将每个典型环节的模拟电路按系统的方块图连接起来，就得到控制系统的模拟电路图。
通常，二阶控制系统222()2nn nG ssωξωω=++可以分解为一个比例环节、一个惯性环节和一个积分环节，其结构原理如图 2.3所示，对应的模拟电路图如图2.4所示。
图2.3 二阶系统的结构原理图图2.4 二阶系统的模拟电路原理图图2.4中：()(),()()r cu t r t u t c t==-。
比例常数（增益系数）21RKR=，惯性时间常数131T R C=，积分时间常数242T R C=。
其闭环传递函数为：12221112()1()(1)crKU s TTKKU s T s T s K s sT TT==++++(0.1) 又：二阶控制系统的特性由两个参数来描述，即系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω。
实验一 二阶系统的性能分析
一、实验目的
1、研究二阶系统的两个重要参数阻尼比和自然振荡频率n对系统动态性
能的影响；
2、比较比例微分控制的二阶系统和典型二阶系统的性能；
3、比较输出量速度反馈控制的二阶系统和典型二阶系统的性能。
二、实验任务
1、典型二阶系统
二阶系统的传递函数为()s=2222nnnss，仿真框图如图1-1所示。
图1-1 二阶振荡环节仿真框图
（1） 令n=10不变，取不同值：1=0，2=0.2、3=0.4（01），
4=1，5
=2>1，观察其单位阶跃响应曲线变化情况；
(2)令=0不变，n取不同值，n=0.2,n=1,n=1.2,n=3,n=5观察其单位
阶跃响应曲线变化情况；
（3）令=0.2不变,n=0.25,n=1,n=5,n=8,n=30,观察其单位阶跃响应
曲线变化情况，并计算超调量%和st；
计算超调量%和st程序:
G=tf([100 ],[1,0.1,100]);
C=dcgain(G)
[y,t]=step(G);
[Y,k]=max(y);
percentovershoot=100*(Y-C)/C
i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)
结果:
Percentovershoot =98.4415 setllingtime = 78.2257
percentovershoot = 96.9071 setllingtime =38.9557
percentovershoot =72.9156 setllingtime = 3.8327
percentovershoot = 60.046 setllingtime = 2.2934
percentovershoot = 9.4778 setllingtime = 0.5858
仿真图
（4）令n=10不变，取不同值（01），=0.1,=0.3=0.6=0.8=0.9
观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计算超调量%和st。
计算超调量%和st程序:
G= tf([100 ],[1,2,100]);
C=dcgain(G)
[y,t]=step(G);
[Y,k]=max(y);
percentovershoot=100*(Y-C)/C
i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)
结果:
percentovershoot =72.9156 setllingtime = 3.8327
percentovershoot = 25.3786 setllingtime = 0.8393
percentovershoot = 9.4778 setllingtime = 0.5858
percentovershoot =1.5164 setllingtim e = 0.3738
percentovershoot =-0.2528 setllingtime = 2.1447e-004
（5）
已知传递函数为：
25425)(2sssG
利用MATLAB命令绘制阶跃响应曲线。
MATLAB绘制的响应曲线
num=[0,0,25];
den=[1,4,25];
step(num,den)
grid
title(¹Unit-Step Response of G(s)=25/(s^2+4s+25) ¹) % 图像标题
（6）
已知二阶系统传递函数为:
210()10Gsss
求系统的阶跃响应及性能指标数据。
G=tf([0,0,10],[1,1,10]);
C=dcgain(G)
[y,t]=step(G);
plot(t,y)
grid
[Y,k]=max(y);
timetopeak=t(k)
percentovershoot=100*(Y-C)/C
% 计算上升时间。
n=1;
while y(n)
end
risetime=t(n)
% 计算稳态响应时间。
i=length(t);
while(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C)
i=i-1;
end
setllingtime=t(i)
运行后的响应图如图 15,命令窗口中显示的结果为
C =
1
timetopeak =
1.0154
percentovershoot =
60.4417
risetime =
0.5712
2、比例微分控制的二阶系统
比例微分控制的二阶系统的结构图如图2-1。
图2-1 比例微分控制的二阶系统的结构图
系统中加入比例微分控制，使系统阻尼比增加，并增加一个闭环零点，可以
通过仿真比较典型二阶系统和比例微分控制的二阶系统的单位阶跃响应的性能
指标。
上图所示的控制系统，令225(2)(2)nnssss，0.1dT，其中5,0.2n，
从Simulink图形库浏览器中拖曳Step（阶跃输入）、Sum（求和模块）、Pole-Zero
（零极点）模块、Scope（示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如图
二阶系统阶跃响应
2-2所示。图中Pole-Zero（零极点）模块建立()Gs。
图2-2 典型二阶系统和比例微分控制的二阶系统比较仿真框图
3、输出量速度反馈的二阶系统
输出量速度反馈的二阶系统的结构图如图2-3。
图2-3 输出量速度反馈的二阶系统的结构图
系统中加入输出量的速度反馈控制，使系统阻尼比增加，可以通过仿真比较
典型二阶系统和输出量速度反馈控制的二阶系统的单位阶跃响应的性能指标。
图2-3所示的控制系统，令225(2)(2)nnssss，0.1fK，其中
5,0.2n
，建立仿真框图如图2-4所示。图中0.110.110.0011sss。
图2-4 典型二阶系统和输出量速度反馈控制的二阶系统比较仿真框图
（1） 讨论下列问题：
a) 试讨论欠阻尼时参数n对二阶系统阶跃响应曲线及性能指标%和
s
t
的影响；
答: n对二阶系统阶跃响应曲线性能指标%无影响,对st有影响, n越
大 st越小.
b) 试讨论欠阻尼时参数对二阶系统阶跃响应曲线及性能指标%和
s
t
的影响；
答:对二阶系统阶跃响应曲线及性能指标%和st都有影响,>1时,无
震荡无超调, <1时, 越小, %越大, st越小.
c) 试讨论二阶系统加入比例微分控制后性能指标的变化；
答:系统阻尼比增加，系统的阶跃响应曲线性能指标% 和st都减小。
d) 试讨论二阶系统加入带输出量速度反馈控制后性能指标的变化。
答:系统阻尼比增加，系统的阶跃响应曲线性能指标% 和st都减小。
三、实验体会
通过这次实验，我了解了MATLAB的使用方法，知道了 ωn，ζ对二阶系
统的影响，懂得了比例微分控制的二阶系统和典型二阶系统的性能有所不同。同
时，实际值和理论值存在着一定的误差，可能是系统内部的能量损耗导致的，这
在以后的自动控制实践中需要考虑。
