新北师大版八年级数学上册《勾股定理的应用》学案

解：D C
B E A
小结：在实际问题中我们需要先找到直角三角形，根据勾股定理确定其三边的数量关系
当问题比较复杂时，要将未知的边长用同一个未知数表示出来，通过列方程、解方程来求解
达标小测：1、如图，一座城墙高11、7米，墙外有一条9米的护城河，那么一架长15米的云梯能否达到墙的顶端？
解：
15m11.7m
1.3勾股定理的应用Biblioteka 课题1.3、勾股定理的应用
活动安排
（2）你能用同样的方法判断边BC是否垂直于边AB吗？
归纳小结：判断两条线段是否垂直，需要构造角三角形，用来
判断它是不是，从而判定两条线段是否垂直。
探究任务三：勾股定理在复杂问题中的应用
例题：如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。
（1）自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？
（2）如图所示，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，从点A到点B的最短路线是什么？你画对了吗？
（3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的路程最短路程是多少？
小结：将圆柱的侧面展开在同一个平面上，便是一个长方形，原来上下底两面相对的两
9m
拓展创新
有一个水池，水面是一个边长是１０尺的正方形，水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面１尺。如果把这根芦苇垂直拉向岸边，他的顶端恰好到达水池口一边中点处的水面。请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
【总结提升】本节课你收获了哪些知识？你有哪些解题经验告诉大家？
教学反思：
学习目标
应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题，进一步发展应用意识。

勾股定理的应用教师寄语：奋斗是人生过程中最宝贵的财富一、学习目标——目标明确、有的放矢1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；2、通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受.课标要求：会运用勾股定理解决简单问题． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题； 学习难点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 预习提示：阅读教材13-14页. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. 圆柱的侧面展开图是_____形,其中长方形的长为圆柱体的底面______,长方形的宽为圆柱体的____.2. 线段公理:_________________________ .3. 两点间的距离：连接两点的线段的_______,叫两点间的距离. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：圆柱侧面上两点间的最短路线问题例题：有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱下底面的顶点A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱爬行的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？练习：1．如图1,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点沿圆柱的侧面爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是________cm.2．如图2,圆柱形坡璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度是________cm ．3．如图3,一圆柱高5cm,底面半径5cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是_______cm.探究点2：长方体（正方体）两点间的最短路线问题例题：一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少?练习：1. 如图，是棱长为1cm 的立方体木块，一只蚂蚁现在A 点，若在B 点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 cm.2．如图，长方体中AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A 点出发，•在长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路径是多少？BA 图1图2B图33．一个无盖的长方体盒子，长、宽、高分别是8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？探究点3：平面上两点间的最短路线问题例题： 如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长.已知滑梯的高度CE=3m ，CD=1m ，试求滑道AC 的长.练习：1. 甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以10千米/时的速度向东行走,1时后乙出发，他以15千米/时的速度向北行进.上午10∶00时,甲、乙两人相距______千米.2．如图 4，有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.图45米3米图53．如图5,为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要___米.五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 如图6，有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，（设π=3），在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为_____cm.2．如图7，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____cm.3. 如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面都分成3×3个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行于右侧面的B点，最少要花几秒钟？4. 如图8,所示为一圆柱高8cm,底面半径为π6cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是_____cm.5. 有一个长宽高分别为3cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，小蚂蚁爬行的最短路线是_____cm.6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？图6 图7图8 图9。

1.3 勾股定理的应用1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．2．在实际问题中构造直角三角形，提高建模能力，进一步深化对构造法和代数计算法的理解．3．培养从空间到平面的想象能力，运用数学方法解决实际问题的创新能力及探究意识．自学指导：阅读课本P13-14，完成下列问题.知识探究如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B 处，恰好一只在A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？容易得出四种方案：易算出：情形（1）中A →B 的路线长为：'AA d +，情形（2）中A →B 的路线长为：'2d AA π+所以情形（1）的路线比情形（2）要短．在情形（3）和（4）的比较中出现困难，可用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，情形（3）A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）较短，最后通过计算比较（1）和（4）即可． 如图：（1）中A →B 的路线长为：'AA d +．（2）中A →B 的路线长为：''AA A B +>AB ．（3）中A →B 的路线长为：AO +OB >AB ．（4）中A →B 的路线长为：AB ．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来：怎样计算AB ？在Rt △AA′B 中，利用勾股定理可得222'B A A A AB +'=，若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=．活动1 小组讨论李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？解答：（2）222230402500AD AB +=+=22500BD =222AD AB BD ∴+=∴AD 和AB 垂直．活动2 跟踪训练1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？北东CB A解答：如图:已知A 是甲、乙的出发点，10:00甲到达B 点，乙到达C 点．则:AB =2×6=12（km ）AC=1×5=5（km）在Rt△ABC中:22222251216913BC AC AB=+=+==．∴BC=13（km）．即甲乙两人相距13 km．2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3220BA解答：2222152062525AB∴=+==.3．有一个高为1.5 m，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？解答：设伸入油桶中的长度为x m．则最长时:2221.522.5xx=+=．．∴最长是2.5+0.5=3（m）．最短时: 1.5x=．∴最短是1.5+0.5=2（m）．答:这根铁棒的长应在2～3m之间．活动3 课堂小结你会应用勾股定理解决问题了吗？教学至此，敬请使用《名校课堂》相应部分.。

神木县第五中学导学案年级八班级学科数学课题勾股定理的应用第 1 课时总 4 课时编制人审核人使用时间第 1 周星期五使用者课堂流程具体内容学习目标1、应用勾股定理及其逆定理解决生活中的实际问题。

2、能在实际问题中构造直角三角形,知道如何将立体图形展开成平面图形，利用平面几何相关知识如对称、线段公理、点到直线的距离等求最短路径问题.重点：勾股定理的应用.难点：利用勾股定理求最短路径问题.操作流程学法指导温故知新1．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3;B. 7,24,25;C. 6,8,10;D. 9,12,152、若有两条线段，长度分别为5,13，第三条线段的平方为时，这三条线段才能组成直角三角形。

3、圆柱的侧面展开图是________形，圆锥的侧面展开图是_______形。

4、圆的周长公式是___。

知识回顾学生独立完成后组内交流（5分）自主、合作、探究、交流探究一：在一个圆柱石凳上，，恰好一只在A处的蚂蚁想吃到B处的食物，圆柱高等于12厘米，底面半径等于3厘米.则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3).探究二：一个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？小结：解决曲面上两点最短路线问题的方法是：___________ .探究三：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了一个长度为20厘米的卷尺，你能替他想办法完成任务吗？学生思考当两点不在同一平面内是如何求两点之间的最短距离（可进行实物演示）提示：两点之间，线段最短。

（10分）思考如何利用线段长度判断垂直。

（5分）提示：勾股定理逆定理的应用12cm8cm8cmBAAB3220BA展 示 、评 价 、 点 拨 、 总 结1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h 的速度向正东行走，1时后乙出发，他以5 km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？2．如图，台阶A 处的蚂蚁要爬到B 处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离．3．有一个高为1.5 m ，半径是1m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m ，问这根铁棒有多长？学生独立完成后组内交流，选派组内代表展示讲解，师生共同订正（15分）课 堂 检 测1、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？2如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B,需要爬行的最短距离是多少？ 学生独立完成，教师出示答案，集体订正并改错。