广西大学复变函数与积分变换习题4

复变函数与积分变换复习题复习题第一套一、选择题1、满足不等式Im z >1且z <2的所有点z 构成的集合是（）A 有界单连通域B 无界单连通域C 有界复连通域D 无界复连通域2、函数23)(z z f =在点0=z 处是( )A 解析的B 可导的C 不可导的D 既不解析也不可导3、下列命题中，正确的是( )A 设,x y 为实数，则1)cos(≤+iy xB 若0z 是函数)(z f 的奇点，则()f z 在点0z 不可导C 若,u v 在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则()f z u iv =+在D 内解析D 若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析4、设01q <<，则幂级数20n n n q z ∞=∑的收敛半径R =( ) A q B 1qC 0D +∞ 5、函数1()1F s s =-的拉氏逆变换为（） A 1t - B t e -C jt eD te 6、z =∞是函数3232z z z ++的( ) A 可去奇点 B 一级极点C 二级极点D 本性奇点7、映射3w z =在0z i =处的旋转角为( )A 0 B2π C π .D 2π- 8、级数1!nn i n ∞=∑ ( )A 绝对收敛B 条件收敛C 发散D 无法判断9、将单位圆内部变成单位圆内部的分式线性映射为（）A 00i z z w e z z φ--=- B 001i z z w e z z φ--=+ C 001i z z w e z z φ--=- D 001i z z w e z z φ-+=-10、将点1,,1z i =-分别映射为点,1,0w =∞-的分式线性变换为（）A 11z w z +=- B 11z w z+=-C 211i z w e zπ+=- D 211i z w e z π+=-二、填空题1、13i --的幅角的主值为。

2、(1)Ln i -= 。

…复变函数与积分变换（修订版）主编：马柏林（复旦大学出版社）/——课后习题答案习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++.①解i 4πππ2222e cos isin i i 442222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ②解： ()()()()35i 17i 35i 1613i7i 11+7i 17i 2525+-+==-++-③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 3331313;;;.22n i i z i ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭① ：∵设z =x +iy则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y-++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++ ∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++,()222Im z a xy z a x a y-⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy ∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+- ∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解： ∵()()()()(){}332321i 31i 3113133133288-+⎛⎫-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⋅-⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴1i 3Re 12⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭． ④解：∵()()()()()2332313133133i 1i 328⎡⎤--⋅-⋅-+⋅-⋅-⎛⎫⎢⎥-+⎣⎦= ⎪ ⎪⎝⎭()180i 18=+=∴1i 3Re 12⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭, 1i 3Im 02⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,knkn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩．∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++ ①解：2i 415-+=+=．2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i 51365++=++=⋅=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 2222++== ()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数．证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0 ∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈，则z x x ==．∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈，证明： z w z w ++≤证明∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z wz w ++≤．6、设z ,w ∈，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了．下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式 3352π2π;;1;8π(13);.cos sin 7199i i i i i +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i 17e 5025i θ⋅--==其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e i i =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π13i 16ππ3θ-==-.∴()2πi 38π13i 16πe--+=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3) 33i的平方根.⑴i 的三次根． 解：()133ππ2π2πππ22i cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ31cosisin i 662=+=+z ．25531cos πisin πi 662=+=z39931cos πisin πi 662=+=-z⑵-1的三次根 解：()()1332π+π2ππ1cos πisin πcosisin 0,1,233k k k +-+=+=∴1ππ13cos isin 332=+=z2cos πisin π1=+=-z35513cos πisin π332=+=-z33i 的平方根．解： πi 42233i=6i 6e 22⎛⎫+⋅+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭∴()()1π12i44ππ2π2π4433i 6e 6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪+=⋅=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。

第四、五章 级数与留数
一、收敛半径与敛散性.
二、解析函数的泰勒展开
三、洛朗展式
四、判别奇点类型
五、求各奇点处留数
六、用留数定理计算沿封闭曲线的积分
复数项级数复数项级数函数项级数
函数项级数充
要条件
充要条件必
要条件
必要条件幂级数
幂级数收敛半径R 收敛半径R 复 变 函 数
复 变 函 数绝
对收敛
绝对收敛运算与性质
运算与性质解析
在0)(z z f n n n ∑∞
=1
n n z 收敛条件收敛条件条
件收敛
条件收敛复数复数列列复数复数列列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数
泰勒级数洛朗级数
洛朗级数
留数
留数计算方法
计算方法可去奇点
可去奇点孤立奇点
孤立奇点极点极点本性奇点
本性奇点函数的零点与
极点的关系
函数的零点与极点的关系留数定理
留数定理围线积分
围线积分
（D）4
z
< (∞
)。

复变函数与积分变换试题解答2004.1.4系别___________班级__________学号__________姓名___________一、填空（每题3分，共24分）1．10)3131(i i-+的实部是21-，虚部是23，辐角主值是32π.2．满足5|2||2|≤-++z z 的点集所形成的平面图形为， 以±2为焦点 ，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域 否 .3．)(z f 在0z 处可展成Taylor 级数与)(z f 在0z 处解析是否等价？ 是 .4．ii -+1)1(的值为,1,0)],2ln 4sin()2ln 4[cos(224±=-+-+k i e k ππππ；主值为)]2ln 4sin()2ln 4[cos(24-+-πππi e .5．积分⎰=1||z zdz z e 的值为i π2，⎰==-2||2)2(sin z dz z zπ 0 . 6．函数311)(--=z ei z z f 在0=z 处Taylor 展开式的收敛半径是 1 .7．设)()]([),()]([2211ωωF t f F t f ==F F ,则=*)]()([21t f t f F )]([)]([21tf t f F F ⋅其中)()(21t f t f *定义为⎰∞+∞--τττd t f f )()(21.z zz f sin )(=的有限弧立奇点=0z 0 ，0z 是何种类型的奇点？ 可去 .二、（6分）设i y x y x z f 22332)(+-=，问)(z f 在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.解：22332),(,),(y x y x v y x y x u =-= yx y v xy x v y y u x x u 22224,4,3,3=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂（2分）均连续，要满足R C -条件，必须要222234,43y xy y x x ==成立即仅当0==y x 和43==y x 时才成立，所以函数)(z f 处处不解析； （2分）,0)))0(0,0(0,0(=∂∂+∂∂='x vi x u f)1(1627)4343()43,43()43,43(i x v i x u i f +=∂∂+∂∂=+' （2分）三、（8分）设,sin y e v px=求p 的值使v 为调和函数，并求出解析函数iv u z f +=)(.解：因y e v y e v y e p v y pe v pxyy px y px xx px x sin ,cos ,sin ,sin 2-====，要使),(y x v 为调和函数，则有0=+=∆yy xx v v v即 0s i n s i n2=-y e y e p px px（4分） 所以 1±=p 时，v 为调和函数，要使)(z f 解析，则有 y x v u =， x y v u -=⎰⎰+===)(c o s 1c o s ),(y y e p y d x e dx u y x u pxpx x ψy pe y y e p u px pxy sin )(sin 1-='+-=ψ （2分）所以 cy e p p y y e p p y px px +--=-='cos )1()(,sin )1()(ψψ即c y pe y x u px+=cos ),(，故 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+--=+=++=--1,)sin (cos 1,)sin (cos )(p c e c y i y e p c e c y i y e z f zxzx （2分）四、（10分）将函数13232)(2+--=z z zz f 在有限孤立奇点处展开为Laurent 级数.解：)(z f 的有限孤立奇点为210=z 及11=z z z z z z z f -+-=+--=1121113232)(2 （2分）1）当21210<-<z 时 )21(21221121)(--+--=z z z f∑∞=-+--=0)21(22)21(21n n n z z（2分）2）当+∞<-<2121z))21(211)(21(1)21(21)(------=z z z z f∑∞=-------=0)21(2211)21(21n n nz z z（2分）3）当2110<-<z)1(2111111211)(-+--=---=z z z z z f∑∞=----=0)1(2)1(11n n n n z z （2分）4）当+∞<-<121z))1(211)(1(111)(-+----=z z z z z f∑∞=--------=0)1(2)1()1(2111n nn nz z z（2分）五、计算下列各题（每小题6分，共24分）1．⎰=-++=32173)(ξξξξξd z z f ，求).1(i f +'解：因173)(2++=ξξξϕ在复平面上处处解析由柯西积分公式知，在3<z 内，⎰=++==-=32)173(2)(2)()(ξπϕπξξξϕz z i z i d zz f（3分） 所以 )76(2)(+='z i z f π （2分）而点 i +1在3<z 内，故)136(2]7)1(6[2)1(i i i i f +-=++=+'ππ （1分）2．求出zz ez f 1)(+=在所有孤立奇点处的留数解：函数 zz ez f 1)(+=有孤立奇点0与∞，而且在+∞<<z 0内有如下Laurent 展开式：)1!311!2111)(!31!211(323211 ++++++++=⋅=+z z z z z z e e ezz zz++++++=z 1)!41!31!31!21!211( （3分）故 ∑∞=+-+==011)1(!1]0,[Re k zz k k e s c（2分）∑∞=++-=∞01)1(!1],[Re k zz k k es（1分）3．)0()(2222>+⎰∞+∞-a dx a x x解：2222)()(a z z z f +=，它共有两个二阶极点，且)(22a z +在实轴上无奇点，在上半平面仅有二阶极点ai ，所以 （2分）]),([Re 2)(2222ai z f s i dx a x x π=+⎰∞+∞（1分） a ai z zai i ai z z i ai z aiz 2)(2lim 2])[(lim 232πππ=+='+=→→（3分）4．dx x ⎰+202sin 11π解：由三角函数公式⎰⎰-=-+===========ππ020c o s 32)2c o s 1(211t dt xt x dxI（1分） ⎰⎰-=-=-πππ20cos 321cos 321t dt t dt（2分）令ite z =，则z z t iz dz dt 21cos ,2+==，于是 ⎰⎰==+-=+-=1212161213121z Z dz z z i iz dz z z I（1分）被积函数161)(2+-=z z z f 在1=z 内只有一阶极点830-=z ，由公式241]16[1l i m ]),([Re 200-='+-=→z z z z f s z z 故由留数定理222412ππ=-=i i I （2分）六、（6分）求上半单位圆域}0Im ,1||:{><z z z 在映射2z w =下的象.解：令θi re z =，则πθ<<<0,1rϕθρi i e e r z ==222，πθϕρ220,12<=<<=r （3分）故2z w =将上半单位圆域映射为1||<w 且沿0到1的半径有割痕.（3分）七、（8分）求一映射，将半带形域0,22><<-y x ππ映射为单位圆域.2z w =x 111zez=x3134+=zzizizw+-=5542iieieiieieizzizzwiziziziz+-+--+=+-+--+=22233233)11()11()11()11(故（2分）（1分）（2分）（2分）（1分）八、（6分）设)(z f 在1||<z 内解析，在闭圆1||≤z 上连续，且1)0(=f ，证明：⎰='±=+±1||2))0(2()()]1(2[z i f z dzz f z z π证：由于⎰=+±1||)()]1(2[z z dzz f z z ⎰=+±=1||22])()1()(2[z dz z z f z z z f⎰⎰==+±=1||1||22)()1()(2z z dz z z f z dz z z f（2分） ))0(2(2}])()1[()0(2{202f i z f z f i z '±='+±==ππ （4分）九、（8分）用Laplace 变换求解常微分方程：⎩⎨⎧=='=''-=-'+''-'''2)0(,1)0()0(133y y y y y y y解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'-- S S Y y S SY 1)())0()((3-=--+ （4分） )3()33(211)()133(223-++-+-=-+-S S S S S Y S S S )1452(123-+-=S S S S2)1)(12(1--=S S S即 111)1(12)(-+=--=S S S S S S Y （2分）故 1)]([)(1+==-te S Y t y L（2分）。

复变函数与积分变换第五版答案目录练 习 一...............................1 练 习 二...............................3 练 习 三...............................5 练 习 四...............................8 练 习 五..............................13 练 习 六..............................16 练 习 七..............................18 练 习 八..............................21 练 习 九 (24)练 习 一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i iii 524321----； 解：i i i i 524321---- =i 2582516+ zk k Argz z z z ∈+====π221arctan2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin 3(cos 3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31-解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12解：i i+12)4sin 4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++-2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k ki k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

第四章例题例4.1 考察级数的敛散性。

解因发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。

例4.2试求下列各幂级数的收敛半径。

（1）解。

（2）。

解因，故。

（3）。

解因，故。

（4）解应当是平方数时，其他情形。

因此，相应有，于是数列{}的聚点是0和1，从而。

例4.3将在展开成幂级数。

解因在内解析，故展开后的幂级数在内收敛。

已经知道：，在时将两式相乘得（按对角线方法）。

例4.4求的展开式。

解因的支点为及，故其指定分支在内单值解析。

，其一般表达式为：当时。

例4.5将及展为的幂级数。

解因，同理。

两式相加除以2得，，两式相减除以得。

例4.6试将函数按的幂展开，并指明其收敛范围。

解例4.7考察函数在原点的性质。

解显然在解析，且。

由，或由知为的三级零点。

例4.8求的全部零点，并指出它们的级。

解在平面上解析。

由得即故，这就是在平面上的全部零点。

显然故都是函数的二级零点。

例4.9设（1）及在区域内解析；（2）在内，试证：在内或。

证若有使。

因在点连续，故由例1.28知，存在的邻域，使在内恒不为零。

而由题设,故必.由唯一性定理（推论4.21）。

例4.10试用最大模原理证明例3.9。

即证：“设在闭圆上解析，如果存在，使当时，而且，则在圆内，至少有一个零点。

”证如果在内，无零点。

而由题设在上，且在上解析。

故在上解析。

此时，且在上，，于是必非常数，在上。

由最大模原理，这就得到矛盾。

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第一章 复数与复变函数一、选择题：1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π=+z arc ，65)2(π=-z arc ，那么=z （ ）（A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+-3．复数z -3(cos-isin)55ππ=的三角表示式为（ ）A ．44-3(cos isin )55ππ＋ B ． 443(cos isin)55ππ－C ． 443(cosisin)55ππ＋ D ．44-3(cos isin )55ππ－4．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续 （B ）),(y x v 在),(00y x 处连续（C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(i i i i i z ++--+=，则=z2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg3．设43)arg(,5π=-=i z z ，则=z4．方程i z i z +-=-+221所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线.5．=+++→)21(lim 421z z iz三.求方程z 3+8=0的所有复根.第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(z z f =在点0=z 处是( )（A ）解析的 （B ）可导的（C ）不可导的 （D ）既不解析也不可导 2．函数)(z f 在点z 可导是)(z f 在点z 解析的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )（A ）设y x ,为实数，则1)cos(≤+iy x（B ）若0z 是函数)(z f 的奇点，则)(z f 在点0z 不可导（C ）若v u ,在区域D 内满足柯西-黎曼方程，则iv u z f +=)(在D 内解析 （D ）若)(z f 在区域D 内解析，则)(z if 在D 内也解析 4．下列函数中为解析函数的是( )（A ）xyi y x 222-- （B ）xyi x +2 （C ）)2()1(222x x y i y x +-+- （D ）33iy x +5．若函数)(2)(2222x axy y i y xy x z f -++-+=在复平面内处处解析，那么实常 数=a ( )（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2- 6．设22)(iy x z f +=，则=+')1(i f ( )（A ）2 （B ）i 2 （C ）i +1 （D ）i 22+ 7．z e 在复平面上( )（A ）无可导点 （B ）有可导点，但不解析 （C ）有可导点，且在可导点集上解析 （D ）处处解析 8．设z z f sin )(=，则下列命题中，不正确的是( )（A ）)(z f 在复平面上处处解析 （B ）)(z f 以π2为周期（C ）2)(izize ez f --=（D ）)(z f 是无界的9．下列数中为实数的是( )（A ）3)1(i - （B ）i cos （C ）i ln （D ）ie 23π-二、填空题1．设i f f +='=1)0(,1)0(，则=-→zz f z 1)(lim2．设2233)(y ix y x z f ++=，则=+-')2323(i f3．若解析函数iv u z f +=)(的实部22y x u -=，那么=)(z f4．设z i z z f )1(51)(5+-=，则方程0)(='z f 的所有根为5．方程01=--z e 的全部解为 三、试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导数);sin cos ()sin cos ()(y ix y y ie y y y x e z f xx++-=四、求22y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。