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正余弦定理二轮复习课学案

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正余弦定理
一、知识回顾：
正弦定理：

余弦定理：

二、小试牛刀：
1、△ABC中，coscosaAbB (a，b，c分别为角A，B，C的对边)，△ABC的形状为

2、(2014·江西高考) 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则
△ABC的面积是 ( )

A．3 B．932 C．332 D．33

3、(2014·新课标全国卷)钝角三角形ABC的面积是 12，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )
A．5 B．5 C．2 D．1

4、 (2014·保定模拟改编)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且tan B＝2－3a2－b2＋c2，12ABBC，
则tan B等于( )
A．32 B．3－1 C．3－2 D．2－3

反思：
1、边化角：

角化边：

2、易错点：
2

三、典例分析：
【例1】
(2014·中山二模)已知a，b，c为△ABC内角A，B，C的对边，满足sin B＋sin Csin A＝2－cos B－cos Ccos A，

函数f(x)＝sinωx(ω>0)在区间0，π3上单调递增，在区间π3，π上单调递减．
(1)证明：b＋c＝2a；
(2)若f π9＝cos A，证明：△ABC为等边三角形．

变式：
(2014·陕西高考)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c成等差数列， 证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列， 求cos B的最小值．

Ps：（11年陕西理18）叙述并证明余弦定理（提醒：重要定理的证明大家也需要掌握）
3

【例2】
如图1－10－2所示，A，B是海面上位于东西方向

相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，
B
点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西
60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其
航行速度为30海里/时，该救援船到达D点需要多长时间？

四、高考链接：
1、(2009年高考广东卷第6小题) 一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡
状态．已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为2和4，则3F的大小为（ ）
A. 6 B. 2 C. 25 D. 27

2、(2010年高考广东卷第13小题)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,
A+C=2B,则sinC= .

3、(2014·深圳模拟)已知在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，则角A等于 ( )
A．π6 B．π3 C．.2π3 D．5π6

变式：（2011四川理6）在△ABC中．222sinsinsinsinsinABCBC．则角A的取值范围是（ ）
A．0,6 B．,6 C．0,3 D．,3

4、如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道
AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登
400米到达D处，回头看索道AC，发现张角∠ADC＝150°；从D处再
攀登800米方到达C处，则索道AC的长为________米．
4

思考题：
1、
(2014·济南模拟)锐角三角形ABC中，若C＝2B，则ABAC 的范围是( )

A．(0,2) B．(2，2) C．(2，3) D．(3，2)

2、
（2013年江苏高考) 如图1－10－1，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是

从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客
从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min
后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A

＝1213，cos C＝35.
(1)求索道AB的长；
(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

【规律总结】
1.本题：

2．三角形问题求解中函数建模思想的常见类型：

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山东省胶州市2018届高考数学二轮复习第2讲解三角形问题学案文

山东省胶州市2018届高考数学二轮复习第2讲解三角形问题学案文

第2讲 解三角形问题学习目标【目标分解一】利用正、余弦定理解三角形【目标分解二】与三角形有关的最值、范围问题 重点 与三角形有关的最值、范围问题【课前自主复习区】■核心知识储备一1．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝ ，sin A ＝ ，a ∶b ∶c ＝ 等．2．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝ ，cos A ＝ .■核心知识储备二：提炼1 常见解三角形的题型及解法(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解.提炼2 三角形的常用面积公式设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S .(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S △ABC ＝[高考真题回访]1.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A. 2 B ． 3 C ．2 D ．32．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.4．(2013·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2 D.3－15．(2014·全国卷Ⅰ)如图2­1，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图2­1【课堂互动探究区】【目标分解一】利用正、余弦定理解三角形【例1】 (考查解三角形应用举例)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.【例2】(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长.【我会做】1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2c cos A ，c ＝2b cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形2．如图2­2，在△ABC 中，AB ＝2，cos B ＝13，点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC ＝34π，求AD 的长；(2)若BD ＝2DC ，△ACD 的面积为432，求sin ∠BADsin ∠CAD 的值. 图2­2【我能做对】1.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________.2.★★在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tanB.【目标分解二】与三角形有关的最值、范围问题【例3】(2013·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C ①的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .②(1)求B ；(2)若b ＝2，③求△ABC 面积的最大值.④【例4】(2017·石家庄一模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin C sin A －sin B ＝a ＋ba －c .(1)求角B 的大小；(2)点D 满足BD →＝2BC →，且AD ＝3，求2a ＋c 的最大值．【我会做】1.(2017·深圳二模)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b ＝3a sin B ＋b cos A ，c ＝4.(1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积．★2.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间； (2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．【我能做对】★★(2017·青岛模拟)已知向量，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k sin x 3，cos 2x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 3，－k ，实数k 为大于零的常数，函数f (x )＝a ·b ，x ∈R ，且函数f (x )的最大值为2－12.(1)求k 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，若π2<A <π，f (A )＝0，且a ＝210，求AB →·AC →的最小值。

正余弦定理解三角形复习教案

正余弦定理解三角形复习教案

6. 在△ABC 中，b = 8，c =38，S △ABC =316，则∠A 等于( )A. 30 ºB. 60ºC. 30º 或 150ºD. 60º 或120º7、在△ABC 中，已知B=30°, b=503 ,c=150，那么这个三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形8、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,A=3π,a=3,b=1，则c= (A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）39.在△AOB 中，()2cos 2sin OA αα=，，()5cos 5sin OB ββ=，，若5OA OB =，则AOB S △等于（ ）Ａ．3Ｂ．32Ｃ．53Ｄ．53210. 在ABC △中，cos cos sin sin A B A B >，则ABC △是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．正三角形 11.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 12．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S ABC △=3，求a b cA B C++++sin sin sin 的值。

13.在△ABC 中，若a bAB 22=tan tan ，试判断△ABC 的形状。

14.在△ABC 中，αβcos cos A b =，判断△ABC 的形状。

二．余弦定理1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．2、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=．3、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．典型例题：1．在△ABC 中，若8,3,7===c b a ，则其面积等于（ ） A ．12 B ．221C ．28D ．36Ｂ．直角三角形ABC中，(1)求sin B的值；b=ABC的面积。

解三角形复习学案

解三角形复习学案

解三角形复习学案一、知识梳理1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\（＼frac{a}｛＼sin A}＝＼frac{b}｛＼sin B}＝＼frac{c}｛＼sin C}＝ 2R\）（＼（R\）为三角形外接圆半径）。

正弦定理的变形：＼（a ＝ 2R\sin A\），＼（b ＝ 2R\sin B\），＼（c ＝ 2R\sin C\）；＼（＼sin A ＝＼frac{a}｛2R}＼），＼（＼sin B ＝＼frac{b}｛2R}＼），＼（＼sin C ＝＼frac{c}｛2R}＼）；＼（a ： b ： c ＝＼sin A ：＼sin B ：＼sin C\）。

2、余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）余弦定理的变形：＼（＼cos A ＝＼frac{b^2 ＋ c^2 a^2}｛2bc}＼）＼（＼cos B ＝＼frac{a^2 ＋ c^2 b^2}｛2ac}＼）＼（＼cos C ＝＼frac{a^2 ＋ b^2 c^2}｛2ab}＼）3、三角形面积公式＼（S ＝＼frac{1}｛2}ab\sin C ＝＼frac{1}｛2}bc\sin A ＝＼frac{1}｛2}ac\sin B\）4、三角形中的常见结论（1）＼（A ＋ B ＋ C ＝＼pi\），＼（A ＋ B ＝＼pi C\）。

（2）大边对大角，大角对大边。

（3）在\（＼triangle ABC\）中，＼（＼sin(A ＋ B) ＝＼sin C\），＼（＼cos(A ＋ B) ＝＼cos C\），＼（＼tan(A ＋ B) ＝＼tan C\）。

二、题型归纳1、已知两角和一边，求其他边和角例：在\（＼triangle ABC\）中，已知\（A ＝ 30°＼），＼（B ＝ 45°＼），＼（c ＝＼sqrt{2}＼），求\（a\），＼（b\）和\（C\）。

山东省德州一中：高三二轮复习学案3207三角变换与解三角形

山东省德州一中：高三二轮复习学案3207三角变换与解三角形

【复习目标】的记录，首见于《礼记 ?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，此中1.掌握和角、倍角、半角公式及其应用；之“先生”意为“年长、资深之教授知识者”，与教师、老师之意基本一2.娴熟用正、余弦定理解三角形.【典型例题】致。

1.设函数f ( x) sin2x b sin x c，则f ( x)的最小正周期（）考点一：三角变换及求值A．与 b 相关，且与 c 相关B．与 b 相关，但与 c 没关例 1. 已知函数 f ( x) 3 sin x sin(x)cos2x 1 (0) ,其图象两相邻对22C．与 b 没关，且与 c 没关D．与 b 没关，但与 c 相关称轴间的距离为 .22．已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ)设 ABC 的内角A, B, C的对边分别为a,b, c，且c7， f (C ) 0 ,若向量n(1, sin A) 与向量 m(3,sin B) 共线，求a,b的值._________．考点二：正、余弦定理的应用4， cosC 5， a例 2.在ABC中,内角A, B, C的对边分别是a,b, c ,且3 sin2C8sin 2 A 11sin Asin C3．ABC的内角A, B,C的对边分别为a, b,c，若cos A1，且 c2a .513(1)求证：ABC 为等腰三角形；(2)若 ABC 的面积为8 15，且sin B15 ，4求 BC 边上的中线长.【稳固练习】“教书先生”唯恐是街市百姓最为熟习的一种称号，从最先的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人仰慕甚或敬畏的一种社会职业。

不过更早的“先生”观点并不是源于教书，最先出现的“先生”一词也并不是有教授知识那般的含义。

《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？” 等等，均指“先生” 为父兄或有学问、有品德的尊长。