趋势外推法解读

一、实验课题
趋势外推法
二、实验目的与意义
学会利用修正指数曲线模型,指数曲线模型，皮尔曲线模型对数据进行分析解答
三、实验过程记录与结果分析
1，根据下列资料，用修正指数曲线模型预测2008年取暖器的销售量，并说明其最高限度。

表1-1
第一步，选择模型。

首先绘制散点图，初步确定模型。

1999——2007年取暖器的销售量散点图
由散点图可以初步确定选用修正指数曲线预测模型)10,0(<<<+=∧
c b bc a y t
t 来进行预测。

其次，进行一阶差的一阶比率计算表（如表1-2所示）
表1-2 热水器销售量一阶差的一阶比率计算表
由表1-2可知y i 的一阶差的一阶比率大致相等。

所以，结合散点图分析，最后确定选用修正指数曲线模型进行预测比较适宜。

第二步，求模型参数（如表1-3所示）
表1-3 修正指数曲线模型参数计算表
n
c 1
)Ⅰy
-Ⅱy Ⅱy -Ⅲy (∑∑∑∑==0.8042
15186-1(c 1
-c Ⅰy)
-Ⅱy (2
n =-∑∑=）
b 77.61206)11
c b -Ⅰy (1n =--∑=c n a
t t bc a y +=∧
所以93.590692008=∧
y
2008年取暖器的销售量为59069.93台。

2，指数曲线预测模型为：
)0(>=∧
a ae y bt t
对函数模型bt
t ae y =做线性变换得：
bt a y t +=ln ln
令a A y Y t t ln ,ln ==，则：
bt A Y t +=
这样就把指数曲线模型转化为直线模型了。

例题：某市近6年灯具商品销售量资料如下表所示，试预测2008年的销售量。

表2-1
年份
2002
2003 2004 2005 2006 2007 销售量（万架）
8.7
10.6
13.3
16.5
20.6
26
第一步，选择预测模型。

首先，绘制散点图，根据散点图分布来选择模型。

图2-1灯具2002--2007年销售量散点图
根据图2-1，可以初步确定选用指数曲线预测模型)0,0(>>=∧
b a ae y bt
t 。

其次，计算一阶差比率（如表2-2），并结合散点图最后确定选用哪一种模型。

表2-2 指数曲线模型差分预测表 销售量（万架） 8.7 10.6 13.3 16.5 20.6 26 一阶差比率
1.22
1.25
1.24
1.21
1.30
由表2-3知，观察值t y 的一阶差比率大致相等，符合指数曲线模型的数字特征。

所以，选用模型bt
t ae y =∧。

第二步，求模型参数
先将观察值t y 的数据进行变换，使其满足bt A Y bt a y t t +=⇔+=ln ln 。

其变换数据如表2-3所示
表2-3 观察值数据转换表
年份 2002 2003 2004 2005 2006 2007 时序（t ） 1 2 3 4 5 6 t t y Y ln =
2.16
2.36
2.59
2.80
2.99
3.25
经计算得
69
.21
,5.31,39.6040
.44,17.16,91,21,622==========∑∑∑∑∑∑∑Y n
Y t n t Y t Y Y t t n
根据直线模型公式
935
.1217
.02
2
=-==--=
∑∑t b Y A t
n t Y t n tY b 因为a A ln =，所以93.6==A
e a 所以指数预测模型为t
t e
y 217.093.6=∧
第三步，预测2008年的销售量为31.64万架。

3，皮尔曲线预测模型的形式为：
bt
t ae
L
y -+=
1 式中，L 为变量t y 的极限值，a,b 为常数，t 为时间。

例题：已知某地区1998--2008年的人口资料，试用皮尔曲线模型预测该地区2013--2018年的人口总量。

表3-1
17 3663 0.000273 0.000269 7.364E-08 7.45291E-08 18 3707 0.000269 0.000266 7.191E-08 7.27704E-08 19 3751 0.000266 0.000263 7.030E-08 7.10732E-08 20 3792 0.000263 0.000261
6.890E-08
6.95446E-08 21 3827 0.000261 0 0 6.82784E-08 ∑ 0.006509 0.006128 1.941E-06 2.04857E-06
第一步，根据实际人口数画出散点图，发现此散点图趋近于皮尔曲线，所以选皮尔曲线作为预测模型。

1988--2008年某地区人口数量散点图
第二步，估计模型的参数b ，L 和a 。

变换求得标准方程组为：
∑∑--++--=t
b
b t y e n L e y 1)1)(1(11
21)1(1)1()1*1(∑∑--++∑-=t b
t b t
t y e y L e y y 相对于b
e -和L
e b --1，解标准方程组，得：
∑∑∑∑∑----=
++-2
211)
1()1()1(1*1)1*1(
)1(t
t t
t t t b y y n y y y y n e
∑∑∑
∑∑∑---=-++-2
2121)
1()1()1()1*1(*1)1(*11t
t t
t t t t b
y y n y y y y y L
e
利用b,L 的值估算a 值：
)1(ln 12)1(ln -++=
∑t
y L
n n b a 根据表3-1的数据得a=4.3396,b=0.2761,L=4056.2707 所以，皮尔曲线的预测方程为t
t e y 2761.0)3396.4(12707
.4056-∧
+=
所以2013--2018年的人口总量分别为（万人):4016,4025,4033,4038,4043,4046
四、实验小结
学会利用修正指数曲线模型，指数曲线模型，皮尔曲线模型对数据进行分析预测，提高了对EXCEL 的操作能力。

读书的好处
1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。

——达尔文
5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。

——颜真卿
7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到
9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。

——陈寿 11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。

——高尔基 14、书到用时方恨少、事非经过不知难。

——陆游 15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德
16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。

——笛卡儿
17、学习永远不晚。

——高尔基
18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。

——刘向
19、学而不思则惘，思而不学则殆。

——孔子
20、读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。

——培根。