工程力学课件 10.材料力学-应力状态和强度理论

2
2
2
CD
CA2 AD2
(
x
2
y
)2
2 xy
工程力学
第11章 复杂应力状态分析·强度理论
3.应力圆的应用
应力圆圆周上任意点的坐标对应着单元体某个斜面上的应力。
在应力圆上以 CD 为起点，逆时针方向转动 2 得到半径CE，
圆周上E点的坐标就是单元体 斜截面上的应力 和。
y n
e
x
yx x
o
x
E
x
2
y
sin 2
xy
cos 2
工程力学
点和面的对应关系 角度的起点 二倍角关系 转向一致
n
x
第11章 复杂应力状态分析·强度理论
D
2
O
C
工程力学
第11章 复杂应力状态分析·强度理论
2. 求主应力数值和主平面位置
2
E D
2
① 主应力数值
o
B1 B
A1 和 B1 两点为与主平面
y
D′
20 C F A A1
1所在的主平面就是 x 平面 ,
即梁的横截面 C
x
b
D′ (0 , 0)
1
x
(136.5 , 0)
D
工程力学
第11章 复杂应力状态分析·强度理论
§11.3 三向应力状态简介
一、 三向应力圆
2 3
已知受力物体内某一点处三个
主应力 1、2、3
利用应力圆确定该点的最大
2
1
1 3
1
正应力和最大切应力。
2
3
一、解析法
1. 斜截面上的应力
y n

得到
σ + σ y σ x− σ y
σ α= x
+
c o s 2 α - τ xs i n 2 α （ 1 1 - 1 ）
2
2
σ −σy
τ α= x
s i n 2 α + τ xc o s 2 α
（11-2）
2
这组公式是平面应力状态应力关系的基本公式，只要
已 知 σ x、 σ y和 τ x， 就 可 以 完 全 确 定 任 意 斜 截 面 上 的 正
σ3=-1 =-(1 + )=-102.6-25=-127.6（MPa）
所以，在单元体中从x轴沿逆时针方向量取
α0=21.5°即可确定σ1所在的主平面位置。将半径
CD逆时针转动2α=60°到半径CE，E点的坐标就代
表α=30°斜截面上的应力，由∠ECA1=17°得
σ30°=cos 17°-=98.1-25=73.1 MPa，
的已知应力即该点的应力状态。
轴向拉伸时的应力状态如图11-2所示，扭转时的应力状态如图11-3所示，弯曲
时的应力状态如图11-4所示。这三种状态由于单元体前后两面上没有应力，所
以称为平面应力状态。
6
11.1 应力状态概述
7
11.1 应力状态概述
平面应力状态的最一般形式：
除了四个面上都有剪应力τ
外，还有两个正应力σx和σy
（拉应力为正，压应力为负），过σx沿纵坐标
量取τx（顺时针转为正，逆时针转为负）得D
点；过σy点沿纵坐标量取τy=－τx得D′点，连
接D、D′两点，其连线与σα轴交于C点。以C
点为圆心，为半径画圆，此圆即应力圆。
圆心坐标为
1
2

1 B 76.9MPa 2 0 3 B 76.9MPa
r3 1 3 2 B 153.8MPa [ ]
B max
F S S max
* z max
dI z
75.08MPa
r3 150.16MPa [ ]
性 材 料
1 2 0纵向开裂 第二强度理论
3 0
斜截面开裂 直接实验 [ ]
三向受压： 1＜0 , 3
1
,
max
1
2
3
＞
s
第三强度理论
塑
性 一般应力状态下 第三、第四强度理论
材 三向等拉状态 r3 r4 0 第一强度理论
料 三向等压状态，无论脆性材料还是塑性
材料均不发生破坏。
1 b
1
b
n
铸铁拉伸
2020/4/13
铸铁扭转
7
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,, 最大拉伸
线变形 1 0 发生脆性断裂
1－构件危险点的最大伸长线应变
1 [ 1 ( 2 3 )]/ E
0 －极限伸长线应E
3、校核A点强度：
A
| M |max Iz
yA
17.5 103 1073 108
75 103
122.3MPa
1 122.3MPa 2 3 0
r3 A 122.3MPa [ ]
4、校核B点强度：
B
B
max
| FS |max A腹板
50 103 130 5 106
76.9MPa
2020/4/13
2
max max
满足
max [ ] max [ ]
是否强度就没有问题了？

( - 30 )+ 10 (- 30 )- 10 = +
cos 120o - (- 20 )sin 120 o
上一页 下一页
第三节 平面应力状态分析——图解法
s x +s y s x -s y sa = + cos2a -t xy sin2a 2 2 t =s x -s y sin2a +t cos2a a xy 2 方程消去参数（2α），得： 2 2 s x +s y s s x y 2 2 」 s + t = + t a a xy

2


2

此方程曲线为圆——应力圆（或莫尔圆， 由德国工程师：Otto Mohr引入） 2 d d x dx +d y 2 y + t xy 半径为 2 ,0 ） 圆心坐标 （ 2
上一页 下一页
二、应力圆的画法
①以σα为横轴，τα为纵轴建立τα —— σα坐标系。 y σy ②选取合适的比例尺，按比例画出 点A（σx τxy）和点B（σy -τxy ） ③连接AB与轴交点C即为圆心。 ④以C为圆心，以AC为半径画圆 ——应力圆。 τα C σα B(σy τxy) τxy σx
例3 应力单位为MPa，求与水 平面夹角为30°的方向面上的正 应力和切应力。
上一页 下一页
s x = -30 (MPa) 解： s y = 10 (MPa) t xy = -20 (MPa) a = 60o
sa
2 2 = 17.3 (MPa) - 30 )- 10 ( ta = sin 120o + (- 20 )cos 120o 2 = -7.32 (MPa)