数列求和教学设计讲课教案

第4讲数列求和考纲要求：1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法考点1公式法与分组求和法1公式法直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和1等差数列的前n项和公式：S n＝错误!＝2等比数列的前n项和公式：S n＝错误!2．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．考点2倒序相加法与并项求和法1．倒序相加法如果一个数列{a n}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．2．并项求和法在一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n＝－1n fn类型，可采用两项合并求解．例如，S n＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050考点3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．考点4错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．经典习题：1 [课本改编]数列{1＋2n－1}的前n项和为A 1＋2nB 2＋2nC n＋2n－1D n＋2＋2n2 [课本改编]设函数f是一次函数，若f0＝1，且f3是f1，f8的等比中项，则f2＋f4＋…＋f2n 等于A n2n＋3B n3n＋4C 2n2n＋3D 3nn＋43 [2021·保定模拟]在10到2021之间，形如2n n∈N*的各数之和为A 1008B 2021C 2021D 20214 [2021·河南郑州市质量预测]在正项等比数列{a n}中，a1＝1，前n项和为S n，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为A 125B 126C 127D 1285 [2021·金版创新]设直线n＋n＋1＝错误!n∈N*与两坐标轴围成的三角形面积为S n，则S1＋S2＋…＋S2021的值为A 错误!B 错误!C 错误!D 错误!。

第四节 数列求和1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d ；(2)等比数列的前n 项和公式： 1111,(1)1.11n n nna q S a a q a q q qq ⎧=⎪=⎨--=≠⎪--⎩2．倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f(n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.1．(人教A 版教材习题改编)等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项的和为S n ，则数列{S nn}的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100 【解析】 ∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，∴S nn ＝n ＋2.∴数列{S nn }前10项的和为：(1＋2＋…＋10)＋20＝75.【答案】 C2．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是( )A ．100＋200×(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9)C ．200(1－2－9) D ．100(1－2－9) 【解析】 第10次着地时，经过的路程为100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋ (2)9) ＝100＋200×2－1（1－2－9）1－2－1＝100＋200(1－2－9)． 【答案】 A3．(2013·合肥质检)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 【解析】 ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15. 【答案】 A4．(2012·大纲全国卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A .100101B .99101C .99100D .101100 【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d.∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×（5－1）2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.【答案】 A5．设数列{a n }的通项a n ＝4n －1，数列{b n }的通项b n ＝3n －1，则数列{a n ·b n }的前n 项和T n ＝________．【解析】 T n ＝1·2＋4·5＋42·8＋…＋4n －1(3n －1)，① 4T n ＝4·2＋42·5＋43·8＋…＋4n (3n －1)．②②－①得：3T n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋4n (3n －1)＝－2＋4(1－4n －1)＋4n (3n －1)＝2＋(3n －2)·4n .所以T n ＝(n －23)·4n ＋23.【答案】 (n －23)·4n ＋23已知函数f(x)＝2x －3x －1，点(n ，a n )在f(x)的图象上，a n 的前n 项和为S n .(1)求使a n ＜0的n 的最大值； (2)求S n .【思路点拨】 (1)由条件，求出a n ，利用数列的性质求a n ＜0的n 的最大值；(2)将{a n }转化为两个特殊数列求和．【尝试解答】 (1)∵点(n ，a n )在函数f (x )＝2x －3x －1的图象上， ∴a n ＝2n －3n －1，∵a n ＜0，∴2n －3n －1＜0，即2n ＜3n ＋1， 又∵n ∈N *，∴n ≤3，即n 的最大值为3. (2)∵a n ＝2n －3n －1，∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(21－3×1－1)＋(22－3×2－1)＋…＋(2n －3×n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－3(1＋2＋3＋…＋n )－n ＝2（1－2n ）1－2－3·n （n ＋1）2－n＝2n ＋1－n （3n ＋5）2－2.,1．数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列求和． 2．常见类型及方法(1)a n ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解； (2)a n ＝a ·q n －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解；(3)a n ＝b n ±c n ，数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{a n }的前n 项和．若数列{a n }是1，(1＋12)，(1＋12＋14)，…，(1＋12＋14＋…＋12n －1)，…，试求数列{a n }的前n 项和S n .【解】 a n ＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－（12）n1－12＝2(1－12n )，∴S n ＝2[(1－12)＋(1－122)＋…＋(1－12n )]＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋12n )]＝2[n －12（1－12n ）1－12]＝2[n －(1－12n )]＝2n －2＋12n －1.公差不为0的等差数列{a n }中，a 1＝2，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{c n }的前n 项和为S n ，且na n c n ＝1，求证：S n ＜1.【思路点拨】 (1)由a 1，a 3，a 7成等比数列，求得公差d ，进而确定{a n }的通项公式． (2)根据{c n }的通项公式特征，利用裂项相消法求得S n ，从而证得S n ＜1. 【尝试解答】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 3＝2＋2d ，a 7＝2＋6d . ∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴(2＋2d )2＝2(2＋6d )，又d ≠0，∴可求d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(2)∵na n c n ＝1，又由(1)知a n ＝n ＋1，∴c n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴S n ＝11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＜1.,1．本题中在求数列{c n }的前n 项和S n 时，把c n ＝1n （n ＋1）变形为c n ＝1n －1n ＋1是解题的关键．2．裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．从而达到求和的目的．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，S 6＝66.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝2（n ＋1）a n，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n ，T 10.【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝8，S 6＝6a 1＋6×52d ＝66解之得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝6，d ＝2. ∴a n ＝6＋(n －1)·2＝2n ＋4.(2)b n ＝2（n ＋1）a n ＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＝12－1n ＋2＝n2（n ＋2），从而T 10＝102（10＋2）＝512.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .【思路点拨】 由a n ＋1＝S n ＋1－S n 得S n 与S n ＋1的递推关系，求得S n 和a n ，由a n 的特征，利用错位相减法求数列{na n }的前n 项和T n .【尝试解答】 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ，∴S n ＋1＝3S n .又∵S 1＝a 1＝1， ∴数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，因此S n ＝3n －1(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2(n ≥2)，∴数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2，① 3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1，②①－②得：－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3（1－3n －2）1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1，∴T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋(n －12)·3n －1(n ∈N *)．,1．本例(2)求T n 时，易盲目利用错位相减法直接求和，忽视讨论n ＝1的情形． 2．(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和．一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，若{b n }的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．(2012·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8. (1)确定常数k ，并求a n ； (2)求数列{9－2a n2n }的前n 项和T n .【解】 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4， 从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n ＝2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n2n －1＝4－n ＋22n －1.两种思路解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．(2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和．两个提醒1.裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差．2．在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点(见学生用书第99页)数列求和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．易错辨析之九通项遗漏导致错位相减求和错误(2012·浙江高考改编)已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2＋n－3，n∈N*，数列{b n}满足a n＝4log2b n＋3，n∈N*.(1)求a n，b n；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.【错解】(1)由S n＝2n2＋n－3，得n≥2时，S n－1＝2(n－1)2＋(n－1)－3，∴a n＝2n2－2(n－1)2＋1＝4n－1，由4n－1＝a n＝4log2b n＋3，得b n＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知a n b n＝(4n－1)·2n－1，n∈N*，所以T n＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1，2T n＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，所以2T n－T n＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5.故T n＝(4n－5)2n＋5，n∈N*.错因分析：(1)求a n，忽视n＝1的情形，错求a n，导致后续问题不能正确求解．(2)错位相减求和时，弄错等比数列的项数，盲目认为除首、末项外成等比数列．防范措施：(1)由S n 求a n ，当n ＝1时，a 1＝S 1检验是否满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，若不满足，应分段表示a n ，从而求T n 时，应分类讨论．(2)由于{a n b n }的通项分段表示，求T n 时，不仅注意对n 进行讨论，而且在写出“T n ”与“qT n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和． 【正解】 (1)在错解中，补上当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，不适合a n ＝4n －1(n ≥2)，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 （n ＝1），4n －1 （n ≥2），∴a 1＝4log 2b 1＋3，∴b 1＝2－34，于是b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－34 （n ＝1），2n －1（n ≥2）.(2)T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ， 当n ＝1时，T 1＝a 1b 1＝0×2－34＝0，当n ≥2时，T n ＝7×2＋11×22＋15×23＋…＋(4n －1)·2n －1， ∴2T n ＝7×22＋11×23＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ， 则T n ＝2T n －T n ＝(4n －1)·2n －14－4(22＋23＋…＋2n －1)＝(4n －1)·2n－14－4×22（1－2n －2）1－2＝(4n －5)·2n ＋2，又n ＝1时，T 1＝0适合上式， 故T n ＝(4n －5)·2n ＋2，n ∈N *.1．(2012·课标全国卷)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 830 【解析】 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，从而a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，a 2k ＋3＋a 2k ＋1＝2，因此a 2k ＋3＝a 2k －1，∴a 1＝a 5＝a 9＝…＝a 61， 于是S 60＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61) ＝3＋7＋11＋…＋(2×60－1)＝30×（3＋119）2＝1 830.【答案】 D2．(2013·青岛调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)设数列{a n2n －1}的前n 项和为S n ，∵a n 2n －1＝2－n 2n －1＝12n －2－n 2n －1， ∴S n ＝(2＋1＋12＋122＋…＋12n －2)－(1＋22＋322＋…＋n2n －1)．记T n ＝1＋22＋322＋…＋n2n －1，①则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，② ①－②得：12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ，∴12T n ＝1－12n1－12－n 2n .即T n ＝4(1－12n )－n2n －1. ∴S n ＝2[1－（12）n ]1－12－4(1－12n )＋n 2n －1＝4(1－12n )－4(1－12n )＋n 2n －1＝n2n －1.。

等比数列求和公式教学设计教学设计：等比数列求和公式一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握等比数列的概念和性质；理解等比数列求和公式的推导过程；能够运用等比数列求和公式解决实际问题；2.过程与方法目标：合作探究，培养学生的自主学习能力；让学生在实践中运用公式，提高思维能力；3.情感态度与价值观目标：培养学生合作意识和团队精神；加深学生对数学知识的兴趣；培养学生的分析问题和解决问题能力；二、教学重点与难点：1.教学重点：等比数列的概念和性质；2.教学难点：如何引导学生理解和掌握等比数列求和公式的推导过程；如何在实际问题中运用等比数列求和公式；三、教学准备：1.教学资料：教材、课件、黑板、书写工具等；2.实验器材：计算器；3.教学环节和内容安排：导入新课、概念讲解、公式推导、例题演示、合作探究、课堂练习、总结与布置作业。

四、教学过程：1.导入新课（10分钟）通过提问学生已学的等差数列的求和公式，引导学生回顾和思考，并激发学习等差数列求和公式的兴趣。

老师问：“大家回忆一下，我们之前学过的等差数列能用什么方法求和呢？”学生回答：“可以用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2、”老师说：“非常好，那么我们今天来学习一下等比数列的求和公式。

”2.概念讲解（15分钟）a.等比数列的概念：老师出示等比数列的定义：“等比数列是指一个数列中后一项是前一项乘以同一个固定的数。

”b.等比数列的性质：老师通过举例子来解释等比数列的性质。

-等比数列首项为a，公比为r，第n项为an，则有如下性质：an=a*r^(n-1)（其中，^表示乘方运算）a(n-1)=a*r^n（其中，n-1表示n-1项）(an/an-1)=r（相邻项的比值恒为r）- 当公比，r，<1时，等比数列的前n项和的极限为S=infinity当公比，r，=1时，则无极限值。

当公比，r，>1时，等比数列的前n项和的极限为S=a/(1-r)3.公式推导（15分钟）a.老师引导学生思考如何推导等比数列的求和公式。

高中数学数列的求和教案
一、教学目标
1. 知识与技能：了解数列的基本概念与性质，掌握等差数列、等比数列的求和公式，能够熟练计算数列的和。

2. 过程与方法：通过理论学习和实际练习，培养学生的数学思维能力和解决问题的方法。

3. 情感态度：培养学生对数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性。

二、教学重点和难点
1. 等差数列、等比数列的求和公式的掌握和应用。

2. 解题方法的灵活应用和实际问题的转化。

三、教学内容
1. 数列的基本概念与性质
2. 等差数列的求和公式
3. 等比数列的求和公式
四、教学过程
1. 导入：通过提出一个生活中的实际问题，引出数列的概念和重要性。

2. 讲解：介绍数列的基本概念和性质，重点讲解等差数列、等比数列的求和公式。

3. 实例讲解：通过几个具体的例题，讲解如何应用求和公式计算数列的和。

4. 练习：学生独立或分组完成一些练习题，巩固所学知识。

5. 拓展：带领学生思考更复杂的数列求和问题，引导学生拓展思维。

6. 讲评：对学生的练习情况进行总结和讲评，指导学生做好巩固练习。

五、板书设计
1. 数列的概念与性质
2. 等差数列的求和公式
3. 等比数列的求和公式
六、教学反思
通过本节课的教学，学生能够较好地掌握数列求和的基本方法和技巧，但是在应用中还存在一定的困难，需要通过更多的实践和练习加以巩固。

下节课可以通过更复杂的案例实践来提高学生的解题能力。