中考一轮复习专用数学教材复习课件 第23讲 圆的基本性质

A.8
B.12
C.16
D.2
2．(2021·长沙)如图，在⊙O 中，弦 AB 的长为 4，圆心到弦 AB 的距离为 2， 则∠AOC 的度数为 45° .
圆周角定理及其推论(10 年 3 考) 例 如图，BD 是⊙O 的直径，点 A，C 在⊙O 上，A︵B＝A︵D，AC 交 BD 于 点 G.若∠COD＝120°，则∠A如图所示的网格中，画出点 P，并简要说明点 P 的位
置是如何找到的(不要求证明)： 取 BC 与网格线的交点 D，连接 OD 并延 长 OD 交⊙O 于点 E，连接 AE 交 BC 于点 G，连接 BE，延长 AC 交 BE 的
延长线于 F，连接 FG 并延长 FG 交 AB 于点 P，点 P 即为所求
8．(2021·宿迁)如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝32°，点 B， C 在⊙O 上，边 AB，AC 分别交⊙O 于 D，E 两点，点 B 是C︵D的中点，则 ∠ABE＝ 13° .
9．(2021·湖州)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，∠ACD 是A︵D所对的圆周角， ∠ACD＝30°. (1)求∠DAB 的度数；
B.30° D.40°
5．(2013·益阳)如图，若 AB 是⊙O 的直径，AB＝10cm，∠CAB＝30°，则 BC＝ 5 cm.
6．(2012·益阳)如图，点 A，B，C 在圆 O 上，∠A＝60°，则∠BOC ＝ 120 度．
7．(2021·随州)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D，若∠C＝50°，则∠BAD 的度数为 40° .
12．
(2021·淄博)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的
一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一

成立，则其余对应的两项也成立.如图，①∠AOB＝∠COD，
②弧AB＝弧CD，③AB＝CD，“知一推二”.
注意点
①进一步拓展，在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、弦心距
这四个量中，有一个量相等，则其余三个量都相等.
②一条弦所对的圆心角只有一个，而所对的弧有两条.
圆周角的概念与性质
1.圆周角
顶点在
圆周 上，角的两边都与圆 相交
可以A为圆心，AB长为半
径作圆
图形
模型
特征
①共斜边的两个直角三角形的四
个顶点共圆，圆心为斜边中点，
四点 如图
共圆
②共边三角形且边所对角相等的
四个顶点共圆，如图
图形
模型
特征
四点 ③对角互补四边形的四个顶
共圆 点共圆，如图
图形
特征
模型
在☉O中，AB的长度为定值（即定
弦），C为动点，且∠C为定值，根
圆心
，并且平
⁠
分弦所对的两条弧；
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦
所对的另一条弧；
（3）圆的两条平行弦所夹的弧 相等 .
⁠
注意点
（1）根据圆的对称性，在以下5个结论中：①过圆心；②垂直
于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
如果满足其中的2个结论，那么可推出其余3个结论，注意解题
径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若
∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ D ）
第8题图
A.70°
B.105°
C.125°
D.155°
9.（2023·泰安模拟）如图，AB是☉O的直径，∠ACD＝∠CAB，

(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的__一__半___． 圆周角定理的推论： ①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧__相__等___． ②半圆(或直径)所对的圆周角是__直__角___；90°的圆周角所对的弦是 __直__径___．
[对应训练] 1．(1)(2014·南宁)在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油以后， 截面如图．若油面的宽AB＝160 cm，则油的最大深度为( A ) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm
(2)(2016·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 AB ＝8，CD＝6，则 BE＝__4_－____7___．
[对应训练] 3．(1)(2015·河池)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，∠BOD ＝48°，则∠BAC的大小是( D ) A．60° B．48° C．30° D．24°
(2)(2015·梧州)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，分别连
接AC，BC，CD，OD.若∠DOB＝140°，则∠ACD＝( A )
【例3】 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA， CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70° C．60° D．40°
【点评】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或 圆心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等 的弧把角联系起来．
A．20°
B．30°
C．40°
D．70°
(3)(2016·河池)如图，AB是⊙O的直径，点C，D都在⊙O上，∠ABC＝ 50°，则∠BDC的大小是____4_0_°_．

例 4 如图，正方形 ABCD 内接于⊙O，E 为 AB 的中点，连结 CE 交 BD 于点 F，延长 CE 交⊙O 于点 G，连结 BG.
(1)求证：FB2＝FE·FG； (2)若 AB＝6，求 FB 和 EG 的长．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD＝BC，
∴A︵D＝B︵C.
(2)如图，连结 OC，CD，OD，OD 交 BC 于点 F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD， ∴BD＝DC． ∵OB＝OC，∴OD 垂直平分 BC． ∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝2 10，∴BD＝2 5. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5. 设 OF＝t，则 DF＝5－t. 在 Rt△BOF 和 Rt△BDF 中，52－t2＝(2 5)2－(5－t)2，解得 t＝3， ∴BF＝4.∴BC＝8.
理
相等的圆周角所对的弧相等..
推 1、半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. 论 2、圆内接四边形的对角互补,并且任何一个外角等于它的内对角.
常 见 图 形
圆中常用辅助线：
遇到 弦时
有作垂直于弦的 半径(或直径)或再连接过弦的端点
的半径.
常连弦心距
【解】如图 1，当 PA，PB 不在同一个半圆时，过点 P 作直径 PQ，连结
AQ，BQ.
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PAQ＝∠PBQ＝90°.
∵⊙O 的半径 r＝1，
∴PQ＝2r＝2.
图1
∵PA＝ 3，PB＝ 2，
∴cos∠APQ＝PPAQ＝ 23，
cos∠BPQ＝PPQB＝
2 2.
∴∠APQ＝30°，∠BPQ＝45°.
∴∠APB＝∠APQ＋∠BPQ＝75°.