常见分布的期望和方差.pdf
- 格式：pdf
- 大小：214.00 KB
- 文档页数：5
x +
FX (x) = F(x, +) =
边缘分布函数：
[
− −
f (u, y)dy]du
y +
FY ( y) = F(+, y) =
[
− −
f (x, v)dx]dv
二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。
6、随机变量的独立性：若 F(x, y) = FX (x)FY ( y) 则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。
9、期望的性质：……（3）、 E(X +Y) = E(X ) + E(Y) ；（4）、若 X，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X )E(Y) 。
10、方差： D(X ) = E(X 2 ) − (E( X ))2 。 若 X，Y 不相关，则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) ，否则 D(X +Y) = D(X ) + D(Y) + 2Cov(X ,Y) ，
分布类型
0-1 分布 B（1，p） 二项分布 B（n，p）
泊松分布 P(λ)
均匀分布 U（ a,b ） 正态分布 N（ , 2 ）
指数分布 E（λ）
2 分布， 2 (n)
t 分布， t(n)
常见分布的期望和方差
概率密度函数
pi = P X = i = Cni piqn−i (q =1− p),(i =1, 2,..., n)
⑵、 0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x，y 有： F(−, y) = F(x, −) = 0 ；
⑶、 F(x, y) 关于 x 右连续，关于 y 右连续；
⑷、对于任意的 (x1, y1), (x2, y2 ), x1 x2, y1 y2 ，有下述不等式成立：
F(x2, y2 ) − F(x1, y2 ) − F(x2, y1) + F (x1, y1) 0
D(Xi ) =
n n2
=
n
，即独立同分布的随机
3
变量的均值当 n 充分大时，近似服从正态分布 N ( ) 。 n
(3)、由上可知：
lim
n→
Pa
Zn
b
=
(b)
−
(a)
Pa
Zn
b
(b)
−
(a)
。
17、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理：设 m 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对任意 x ,
所估参数
条件
估计函数
已知
未知
u= x− n
t = x− n s
1 − 2
未知
2 1
=
2 2
未知
2
=
(n
− 1) s 2
2
+
+
7、两个独立随机变量之和的概率密度： fZ (z) = − fX (x) fY (z − x)dx = − fY ( y) f X (z − y)dy 其中 Z＝X＋Y
8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z = aX + bY
N
(a1
+
b2 ,
a
2
2 1
+
b2
2 2
)
。
2、随机变量函数的概率密度： X 是服从某种分布的随机变量，求Y = f (X ) 的概率密度： fY ( y) = fX (x)[h( y)] h '( y) 。（参见 P66～72）
xy
3、分布函数 F (x, y) =
f (u, v)dudv 具有以下基本性质：
− −
⑴、是变量 x，y 的非降函数；
=
Cov( X D(X )
,Y) D(Y )
，
XY
1，当且仅当 X 与 Y 存在线性关系时 XY
= 1，且 XY
=
1, −1,
当b>0; 当b<0。
13、k 阶原点矩： vk = E( X k ) ，k 阶中心矩： k = E[( X − E( X ))k ] 。
14、切比雪夫不等式： P
pi
=
PX
= i =
i i!
e −
(i = 0,1, 2,3...)
f (x) = 1 或f (x) = 1 等
b−a
r 2
f (x) =
1
−(x− )2
e 2 2
2
(− x +, 0)
e−x , x 0 f (x) =
0, x 0
X1, X2,...Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)
2
=
X
2 1
+
X
2 2
+ ... +
X
2 n
X N(0,1) Y x2 (n) t = X Yn
期望
p
np
λ
a+b 2 1
n
0
1
方差
pq
npq
λ
(b − a)2 12
2 1 2
2n
n (n 2) n−2
概率与数理统计重点摘要
1、正态分布的计算： F(x) = P(X x) = ( X − ) 。
X − E(X )
D(X ) ,或P 2
X − E(X )
1−
D(X ) 2
。贝努利大数定律：
lim
P
n→0
m n
−
p
=1。
15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因
P
1 n
n i =1
Xi
−
1−
n 2
，所以
lim
n→0
P
1 n
n i =1
Xi
−
=
1 。
16、独立同分布序列的中心极限定理：
4、一个重要的分布函数：
F ( x,
y)
=
1
(
+
arctan
x )( 2+a Nhomakorabeactan
y) 3
的概率密度为：
f
(x,
y)
=
2 xy
F ( x,
y)
=
2 (x2
+
6 4)( y2
+
9)
5、二维随机变量的边缘分布：
+
fX (x) =
边缘概率密度：
−
f (x, y)dy
+
fY ( y) = − f (x, y)dx
D(X −Y) = D(X ) + D(Y) − 2Cov(X ,Y)
11、协方差： Cov(X ,Y) = E[(X − E(X ))(Y − E(Y))]，若 X，Y 独立，则 Cov(X ,Y) = 0，此时称：X 与 Y 不相关。
12、相关系数：
XY
=
Cov( X ,Y ) (X ) (Y )
n
(1)、当 n 充分大时，独立同分布的随机变量之和 Zn = Xi 的分布近似于正态分布 N (n, n 2 ) 。 i =1
(2)、对于 X1, X2,...Xn 的平均值 X
=
1 n
n i =1
Xi
，有 E(X ) =
1 n
n
E(Xi) =
i=1
n n
= ， D(X ) =
1 n2
n i =1
lim
P
m
−
np
x
=
(x)
，
其中 q =1−
p。
n→ npq
(1)、当 n 充分大时，m 近似服从正态分布， N(np npq) 。
(2)、当 n 充分大时， m 近似服从正态分布， N ( p, pq ) 。
n
n
18、参数的矩估计和似然估计：(参见 P200)
19、正态总体参数的区间估计：
