大学微积分入门

λ →0
i =1
n
n
λ → 0 i =1
= k ∫a f ( x )dx .
b
性质3
b
假设a < c < b
c b
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
例 若 a < b < c,
c b
f ( x )dx .
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫b f ( x )dx
（2）定义中区间的分法和ξ i 的取法是任意的.
（3）当函数 f ( x ) 在区间[a , b]上的定积分存在时，
b
b
b
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a , b]上可积.
定理2 设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上有界，
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
b
性质2 证
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
kf (ξ i )∆xi ∑ ∫a kf ( x )dx = lim λ → 0 i =1
n
b
b
( k 为常数).
= lim k ∑ f (ξ i )∆xi = k lim ∑ f (ξ i )∆xi
A4
∫a f ( x )dx = A1 − A2 +
b
A3 − A4
几何意义：
它是介于 x 轴、函数 f ( x ) 的图形及两条 直线 x = a, x = b 之间的各部分面积的代 数和． 在 x 轴上方的面积取正号； 在 x 轴下方的面 积取负号．
+
−
+
−
例1 利用定义计算定积分
i 解 将[0,1]n 等分，分点为 x i = ，( i = 1,2,/ , n ) n 1 小区间[ x i −1 , x i ]的长度∆x i = ，( i = 1,2,/ , n ) n 取ξ i = x i ，( i = 1,2,/ , n )
且 只 有 有 限 个 第 一 类 的 间 断 点 ，
则 f ( x ) 在 区间[a , b ]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x ) > 0, f ( x ) < 0,
∫a f ( x )dx = A ∫a f ( x )dx = − A
A3
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值
A1
A2
M = f( )= 4 π Q b−a = 2 π ∴ ⋅ ≤ π 4 1 ∴ ≤ 2
π
2 2
π
2
−
π
2
π
,m = f ( ) = , 2 π
π
2
∫π
4
4 4 sin x 2 2 π dx ≤ ⋅ , π 4 x
=
π
,
∫π
π
2
4
sin x 2 dx ≤ . 2 x
性质7（Th5.1 定积分第一中值定理）
x
于是
∫0
−2
可以直接作出答案
性质5的推论： （1）如果在区间[a , b ]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ，
则 ∫a f ( x )dx ≤
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
证
4 f ( x ) ≤ g ( x ),
∴ g ( x ) − f ( x ) ≥ 0,
∴
∫a [ g( x ) − f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx − ∫a f ( x )dx ≥ 0,
若干个分点
a = x < x < x </ < x
0 1 2
n −1
< x =b
n
把区间[a , b ]分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为
∆x i = x i − x i −1 ，( i = 1,2,/ ) ， 在各小区间上任取
一点ξ i （ξ i ∈ ∆x i ），作乘积 f (ξ i )∆x i ( i = 1,2,/ )
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续，
则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ ，
使 ∫a f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .
b
(a ≤ ξ ≤ b )
积分中值公式
证
4 m (b − a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M (b − a )
b
1 b ∴ m≤ f ( x ) dx ≤ M ∫ b−a a
b
证
4 m ≤ f ( x) ≤ M , b b b ∴ ∫a mdx ≤ ∫a f ( x )dx ≤ ∫a Mdx ,
b
m (b − a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M (b − a ).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间
例2 不计算定积分 估计 解
并作和 S = ∑ f (ξ i )∆x i ，
i =1
n
记 ∆x = max{∆x1 , ∆x2 ,L , ∆xn } ，
如果不论对[a , b ]
点ξ i 怎样的取法，只要当
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i −1 , x i ]上
∆x → 0 时，和 S 总趋于
确定的极限 I ， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b ]上的定积分， 记为
则 ∫ f ( x )dx ≥ 0 .
(a < b)
证
4 f ( x ) ≥ 0, ∴ f (ξ i ) ≥ 0, ( i = 1,2,/ , n)
4 ∆xi ≥ 0,
n
∴
λ = max{∆x1 , ∆x2 ,/ , ∆xn }
b
f ( ξ i ) ∆ x i ≥ 0, ∑ i =1
n
∴ lim ∑ f (ξ i )∆xi = ∫ f ( x )dx ≥ 0. a λ →0
在每个小区间 [ xi −1 , xi ] 上任取一点 ξ i，
o
a
x1
x i −1 ξ i xi
x n −1 b
x
以 [ xi −1 , xi ]为底，f (ξ i ) 为高的小矩形面积为
Ai = f (ξ i )∆xi
曲边梯形面积的近似值为
Байду номын сангаас
A ≈ ∑ f (ξ i )∆xi
当分割无限加细, 记小区间的最大长度 λ 或者 ( ∆ x )
则
c
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx − ∫b f ( x )dx
= ∫a f ( x )dx + ∫c f ( x )dx .
c b
b
c
c
（定积分对于积分区间具有可加性）
性质4
∫a 1 ⋅ dx = ∫a
b a
b
b
dx = b − a .
性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0 ，
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a , b]上至少存在一个点ξ ，
使 即
1 b f (ξ ) = f ( x )dx , ∫ a b−a
f (ξ )(b − a ) . (a ≤ ξ ≤ b ) 积分中值公式的几何解释：
∫a f ( x )dx =
b
y
f (ξ )
在区间[a , b]上至少存在一 个点ξ ，使得以区间[a , b]为
定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y
y = f ( x)
A=?
o
a b x
x = b 所围成.
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y y
o
a
（四个小矩形）
b
i =1
例 1 比较积分值 ∫0 e dx 和 ∫0 xdx 的大小.
x
−2
−2
解
令 f ( x ) = e − x,
x
x ∈ [ − 2, 0]
4 f ( x ) > 0,
∴
0
∫−2 (e
−2
0
x
− x )dx > 0,
∴
∫−2 e
0
x
dx > ∫− 2xdx , e dx < ∫0 xdx .
b
b
b
b
∫a [ f ( x ) ± g( x )]dx n = lim ∑ [ f (ξ i ) ± g (ξ i )]∆xi λ →0
= lim ∑ f (ξ i )∆xi ± lim ∑ g (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
b i =1 n n
λ → 0 i =1
= ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论： （2） 证
∫a f ( x )dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x )dx . (a < b )
4 − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ,
∴ − ∫a f ( x )dx ≤ ∫a f ( x )dx ≤ ∫a f ( x )dx ,
底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f (ξ )
的一个矩形的面积。
o
a ξ
b x
Th5.2(推广的积分第一中值定理） 如果函数 f ( x ) ,g(x)在闭区间[a , b]上连续，
即 ∫ f ( x )dx ≤
a b
b
b
∫a
b
f ( x )dx .
说明： | f ( x ) |在区间[a , b]上的可积性是显然的.
性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值，
则 m ( b − a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ( b − a ) .
∆ x = max{∆ x1 , ∆ x2 , L ∆ xn }
i =1
n
趋近于零 ( ∆ x → 0或者 λ → 0) 时，
曲边梯形面积为 A = lim ∑ f (ξ i )∆xi
λ → 0 i =1
n
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度 v = v ( t )是 时 间 间 隔 [T1 , T2 ] 上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v ( t ) ≥ 0 ，求物体在这段时间内所经过的路程
1 2
n
∆x → 0 ⇒ n → ∞
2 x dx = lim ∑ ξ i ∆xi ∫0
λ → 0 i =1
1⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 = lim ⎜ 1 + ⎟⎜ 2 + ⎟ = . n→ ∞ 6 ⎝ n ⎠⎝ n⎠ 3
五、定积分 的性质
性质1 证
∫a [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
某时刻的速度
（2）求和
s ≈ ∑ v (τ i )∆t i
i =1 n
n
（3）取极限 λ = max{∆t1 , ∆t 2 ,/ , ∆t n } 路程的精确值 s = lim ∑ v (τ i )∆t i
λ → 0 i =1
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x ) 在[a , b ]上有界， 在[a , b]中任意插入
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
曲边梯形如图所示，
在区间 [a , b]内插入若干 个分点， a = x0 < x1 < x2 < / < xn−1 < xn = b, 把区间 [a , b] 分成 n y 个小区间 [ xi −1 , xi ]，
长度为 ∆xi = xi − xi −1 ;
∫0 x dx .
2
1
∑
i =1
n
f (ξ i )∆xi = ∑ ξ i ∆xi = ∑ xi2 ∆xi ,
2 i =1
i =1
n
n
1 n 2 1 n( n + 1)( 2n + 1) ⎛i⎞ 1 = ∑⎜ ⎟ ⋅ = 3 ∑i = 3 ⋅ n n i =1 6 n i =1 ⎝ n ⎠
n
2
1 ⎞⎛ 1⎞ 1⎛ = ⎜ 1 + ⎟⎜ 2 + ⎟ , 6⎝ n ⎠⎝ n⎠
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
（1）分割
T1 = t 0 < t1 < t 2 < / < t n−1 < t n = T2 ∆ t i = t i − t i −1
部分路程值
∆si ≈ v (τ i )∆t i
∫
sin x π π f ( x) = , x ∈[ , ] x 4 2
f ′( x ) =
π 2 π 4
sin x dx 的大小 x π π f ( x)在[ , ]上单调下降, 4 2
x cos x − sin x cos x ( x − tan x ) = <0 2 2 x x π π 故 x = 为极大点， x = 为极小点, 4 2
积分上限
f (ξ i )∆x i ∑ ∫a f ( x )dx = I = lim λ → 0 i =1
积分下限
b
n
积分和
积分变量
[a , b] 积分区间
被积表达式
被积函数
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关，
而与积分变量的字母无关.
∫a f ( x )dx = ∫a f ( t )dt = ∫a f ( u)du