2015年秋人教版九年级数学上同步授课课件24.2.2.3切线长定理

3、你还有哪些收获？
P101 第5、6题 P102第11、 12题
三角形外接圆
C
．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外接圆圆心：三角形三 边垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到 三个顶点的距离。
内切圆圆心：三角形三 个内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到 三边的距离。
N
D O
P
AL
C M B
例2：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点 D、E、F，求AF、BD和CE的长。(学生黑板板书 过程）
数学语言：
A
∵ PA、PB分别切⊙O
于点A、B.
P
O
∴ PA = PB
B
∠OPA=∠OPB
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O
于点D、E，交AB于C.
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP .
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角. 解： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
切线长定义
A
O·
P
B
从圆外一点能够作圆的两条切线，切线 上这一点和切点间的线段长叫做这点到 圆的切线长.
A
O
P
B
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1、PA、PB相等吗？为什么？
2、∠OPA、∠OPB相等吗？
P
为什么？
反思：在解决有关圆的

三角形的内切圆，掌握内心的性质.（重点）
1.切线长定理及应用
互动探究
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线 (如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的 切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
A
P O
B
A
O.
P
B
知识要点
1.切线长的定义：
切线上一点到切点
A
之间的线段的长叫做这
则S△OBC=
1 2
ar,
S△OBA=
1
cr,
2
1 S△OAC= 2 br,
S△ABC=S△OBC +S△OBA +S△OAC
B
=
1 ar
2
+
12cr
+12
br
= 1 r（a+c+b）
2
= 12lr
A
M
· r r O r
D
N C
练一练
4.如图,在△ABC中,点P是△ABC的内心,则 ∠PBC+∠PCA+∠PAB= 90° .
1. PA、PB是☉O的两条切线，A,B是切点，OA=3.
A
（1）若AP=4,则OP= 5 ;
O
P
（2）若∠BPA=60 °,则OP= 6 .
B
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如 下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为
30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到 相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相
3．【中考·云南】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、 AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA ＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( A )

连接AB以后，还能得到哪些信息？
2.如图，⊙O内切于△ABC,交点分别为D、E、F，你能得到哪些信息？
(1)AB⊥OD,BC⊥OF, AC⊥OE.(2)AO、BO、CO分别平分∠A 、∠B和∠C.
1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题.
拓展延伸
解：∵AB、BC、CD分别与⊙O相切，则OB平分∠EBF，DC平分∠FCG.∵AB∥CD,∴∠EBF+∠GCF=180°.∴∠BOC=180°-∠OBF-∠OCF =90°.
1. 如图，△ABC中，∠ABC=50°， ∠ACB=75°，点 O是△ABC的内心，求∠BOC的度数。
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
（4）写出图中所有的等腰三角形；
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC相等的角和图中相等的线段；
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
.
例2
解：设AF=x,则AE=x, CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x.由BD+CD=BC,可得(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4.因此，AF=4，BD=5，CE=9.
基础巩固
1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为( )A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
2. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的 面积。(提示：设△ABC的内心为O,连接OA，OB，OC.)

【类型二】利用切线长定理求角的大 小
如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切 点分别为 A、B，点 C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．
一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关 数据，进而可求得铁环的半径．若测得 PA ＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你 是如何判断的．
∵∠AOB＝ 2∠ACB＝ 140° ， ∴ ∠APB＝ 360 点．所以∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以 CD＝
° － ∠PAO－ ∠AOB－ ∠OBP＝ 360° － 90° － 140°－ 90°＝ 40°.又 易 证
1 BC，OC＝2OD.又由 BC＝2，则 CD＝1.在 Rt 2
1 △POA≌△POB， ∴ ∠ OPA＝ ∠ APB＝ 20° .
解：过 O 作 OQ⊥AB 于 Q，设铁环的圆 心为 O，连接 OP、OA.∵AP、AQ 为⊙O 的切 线 ， ∴ AO 为 ∠PAQ 的 平 分 线 ， 即 ∠PAO＝ ∠QAO.又 ∠BAC＝ 60° ， ∠ PAO＋ ∠QAO＋ ∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝ 5 5(cm)，即铁环的半径为 5 5c
选
第 3 课时 切线长定理
掌握知识点，多做练习 题，基础知识很重要！
1．掌握切线长定理，初步学会运用切 线长定理进行计算与证明．
2．了解有关三角形的内切圆和三角形 的内心的概念．
3．学会利用方程思想解决几何问题， 体验数形结合思想．
人教版初中数学 和你一 起共同进步学业有成！
2 故答案为 20.
△ OCD 中 ， 根 据 勾 股 定 理 得 OD2＋ CD2＝ 3
OC2，所以 OD2＋12＝(2OD)2，所以 OD＝ . 3