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人教A版数学选修4第二讲参数方程本讲优化总结高考真题选萃

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-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 信达 1．(2008·高考重庆卷)曲线C： x＝cos θ－1y＝sin θ＋1(θ为参数)的普通方程为( ) A．(x－1)2＋(y＋1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝1 D．(x－1)2＋(y－1)2＝1 答案：C

2．(2010·高考湖南卷)极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程 x＝－1－ty＝2＋3t(t为参数)所表示的图形分别是( ) A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线

解析：选A.由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，所以x2＋y2＝x，即(x－12)2＋y2＝14，它表示

以(12，0)为圆心，以12为半径的圆．由x＝－1－t得t＝－1－x，所以y＝2＋3t＝2＋3(－1－x)＝－3x－1，表示直线．

3．(2011·高考湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 x＝cos α，y＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________． 解析：曲线C1化为普通方程为圆：x2＋(y－1)2＝1，曲线C2化为直角坐标方程为直线：x－y＋1＝0.因为圆心(0,1)在直线x－y＋1＝0上，故直线与圆相交，交点个数为2.

答案：2 -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 信达 4．(2011·高考广东卷)已知两曲线参数方程分别为 x＝5cos θ，y＝sin θ(0≤θ＜π)和 x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________． 解析：将两曲线的参数方程化为一般方程分别为x25＋y2＝1(0≤y≤1，－5＜x≤5)和y2＝45x，联立解得交点坐标为1，255.

答案：1，255 5．(2010·高考陕西卷)已知圆C的参数方程为 x＝cos α，y＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为__________． 解析：∵y＝ρsinθ， ∴直线l的直角坐标方程为y＝1.

由 x＝cos α，y＝1＋sin α，得x2＋(y－1)2＝1.

由 y＝1，x2＋y－12＝1，得 x＝－1y＝1或 x＝1，y＝1. ∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)． 答案：(－1,1)，(1,1) 6．(2012·高考湖北卷)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴

建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线 x＝t＋1，y＝t－12(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为__________．

解析：射线θ＝π4的普通方程为y＝x(x≥0)，代入 x＝t＋1，y＝t－12，得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3. 当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1,1)； 当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4,4)．

所以AB的中点坐标为52，52.

答案：52，52 7．(2012·高考北京卷)直线 x＝2＋ty＝－1－t，(t为参数)与曲线 x＝3cos αy＝3sin α，(α为参数)的交点个数为________． 解析：将 x＝2＋t，y＝－1－t消去参数t得直线x＋y－1＝0；将 x＝3cos α，y＝3sin α消去参数

α得圆x2＋y2＝9.又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝22<3.因此直线与圆相交，故-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 信达 直线与曲线有2个交点． 答案：2

8．(2012·高考湖南卷)在直角坐标系xOy中，已知曲线C1： x＝t＋1，y＝1－2t(t为参数)

与曲线C2： x＝asin θ，y＝3cos θ(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝__________. 解析：∵ x＝t＋1，y＝1－2t，消去参数t得2x＋y－3＝0. 又 x＝asin θ，y＝3cos θ，消去参数θ得x2a2＋y29＝1. 方程2x＋y－3＝0中，令y＝0得x＝32，将32，0代入x2a2＋y29＝1，得94a2＝1.又a>0，∴a＝32.

答案：32 9．(2012·高考天津卷)已知抛物线的参数方程为 x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________. 解析：根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y2M＝6p，所以

E－p2，±6p，Fp2，0，所以p2＋3＝p2＋6p，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去)．

答案：2 10．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为

 x＝ty＝t，(t为参数)和 x＝2cos θy＝2sin θ，(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为

________． 解析：C1的普通方程为y2＝x(x≥0，y≥0)， C2的普通方程为x2＋y2＝2.

由 y2＝x，x≥0，y≥0，x2＋y2＝2，得 x＝1，y＝1. ∴C1与C2的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)

11．(2012·高考课标全国卷)已知曲线C1的参数方程是 x＝2cos φ，y＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，π3)． (1)求点A，B，C，D的直角坐标； (2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．

解：(1)由已知可得A2cosπ3，2sinπ3， -------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------------------------------------------- 信达 B2cosπ3＋π2，2sin

π3＋π

2，

C2cosπ3＋π，2sin

π

3＋π，

D2cosπ3＋3π2，2sin

π3＋3π

2，

即A(1，3)，B(－3，1)，C(－1，－3)，D(3，－1)． (2)设P(2cosφ，3sinφ)， 令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2， 则S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]． 12．(2012·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2

＝4. (1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

解 ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，

故圆C1与圆C2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)． 注：极坐标系下点的表示不惟一．

(2)法一：由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为 x＝1，y＝t，－3≤t≤3. (或参数方程写成 x＝1，y＝y，－3≤y≤3) 法二：将x＝1代入 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为 x＝1，y＝tan θ，－π3≤θ≤π3.

13．(2009·高考江苏卷)已知曲线C的参数方程为 x＝t－1ty＝3t＋1t(t为参数，t>0)，求曲线C的普通方程． 解：∵x2＝t＋1t－2，∴x2＋2＝t＋1t＝y3， 故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0. 14．(2011·高考辽宁卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作1．若曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt y ＝2pt 2(t 为参数)上异于原点的不同两点M 1，M 2所对应的参数分别是t 1，t 2，则弦M 1M 2所在直线的斜率是( )A ．t 1＋t 2B ．t 1－t 2C.1t 1＋t 2D.1t 1－t 2答案：A2．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1t －1y ＝t －1t ＋1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆C ．抛物线D ．圆答案：A3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3t 2＋4y ＝t 2－2所表示的曲线是( ) A ．双曲线的一支 B ．线段C ．圆弧D ．射线答案：D4．若0<x <π，则函数y ＝2－cos x sin x的最大值是( ) A ．3 B ．2 C. 3 D ．2－ 3答案：C5．动点(3＋2cos θ，cos 2θ)的轨迹的焦点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫3，－12B.⎝⎛⎭⎫3，12 C.⎝⎛⎭⎫－3，12 D.⎝⎛⎭⎫－3，－12 答案：A6．若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案：A 7．双曲线⎩⎨⎧ x ＝23tan θy ＝32sec θ的焦点坐标是________，渐近线方程是________． 答案：(0，±30) y ＝±62x 8．(2013·高考江西卷)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝t 2化为普通方程为y ＝x 2，由于ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos 2θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝09．参数方程⎩⎨⎧ x ＝cos θ1＋cos θy ＝sin θ1＋cos θ化为普通方程是________． 答案：y 2＝1－2x10．已知实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，求x ＋y 的最大值．解：由题意可知3x 2＋2y 2＝6x ，∴(x －1)2＋2y 23＝1， ∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝32sin θ. 则x ＋y ＝1＋cos θ＋32sin θ ＝1＋102sin(θ＋φ)，tan φ＝23. ∴x ＋y 的最大值为1＋102. 11．已知A 为抛物线y 2＝2px (p >0)上的一个定点，BC 是垂直于x 轴的一条弦，直线AB 交抛物线的对称轴于D 点，直线AC 交抛物线的对称轴于E 点，求证：抛物线的顶点平分线段DE .证明：设抛物线上的点B 的坐标是(t 22p ，t )，则点C 的坐标是(t 22p ，－t )，点A 的坐标是(a 22p，a )， 于是AB 的方程是y －a ＝t －a t 2－a22p(x －a 22p )， 即y －a ＝2p t ＋a(x －a 22p )， AB 与x 轴的交点为D (－at 2p，0)， 同理直线AC 的方程是y －a ＝2p a －t(x －a 22p )，∴点E 的坐标为(at 2p，0)， ∴抛物线的顶点平分DE .12．在双曲线x 2－2y 2＝8上求一点P ，使它到直线x －y －1＝0的距离最小． 解：设点P 的坐标是(22sec θ，2tan θ)，其中θ∈[0,2π)．点P 到直线的距离d ＝|22sec θ－2tan θ－1|2＝12|2(2－sin θ)cos θ－1|. 令t ＝2－sin θcos θ，则sin θ＋t cos θ＝2， 于是2t 2＋1≤1，解得t ≥1或t ≤－1. 则2t －1≥1或2t －1≤－3.∴d 的最小值是12， 此时sin θ＋cos θ＝2，θ＝π4， ∴P 的坐标为(4,2)．。

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高中数学人教版选修4-4第二讲参数方程 02 参数方程A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2018高一上·林芝月考) 函数y=-x2-4x+1，x∈[-3,2]的值域（）A . (-∞,5)B . [5，+∞)C . [-11，5]D . [4，5]2. （2分）曲线C：，（为参数）的普通方程为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·淮北月考) 已知向量，，其中，若，则的最小值（）A .B . 2C .D .4. （2分）已知直线l1:(m-1)x+2y-1=0,l2:mx-y+3=0 若，则m的值为（）A . 2.B . -1C . 2或-1D .5. （2分） (2018高三上·定远期中) 设函数f(x)＝，[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f(x)]的值域是（）A . {0,1}B . {0，－1}C . {－1,1}D . {1,1}6. （2分）已知tanx=，则sinxcosx+1等于（）A .B . -C .D . -7. （2分） (2016高二上·汕头期中) 动点A在圆x2+y2=1上移动时，它与定点B（3，0）连线的中点的轨迹方程是（）A . （x+3）2+y2=4B . （x﹣3）2+y2=1C . （2x﹣3）2+4y2=1D . （x+3）2+y2=8. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 已知是圆外一点，过点作圆的切线，切点为，记四边形的面积为，当在圆上运动时，的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2019高三上·天津期末) 已知直线(为参数)与轴交于点，点是圆上的任一点，则的最大值为________．10. （1分）(2012·广东) （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1与C2的参数方程分别为（t为参数）和（θ为参数），则曲线C1与C2的交点坐标为________．11. （1分） (2018高一上·吉林期末) 已知直线与圆相切，则的值为________．三、解答题 (共3题；共30分)12. （10分） (2019高二下·蕉岭月考) 设锐角三角形的内角的对边分别为，．（1）求的大小；（2）求的取值范围．13. （10分） (2018高一上·寻乌期末) 已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点.（1）当经过圆心时，求直线的方程；（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长.14. （10分） (2018高一上·长安期末) 如图所示，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，，点坐标为，平行四边形的面积为．（1）求的最大值；（2）若，求的值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共30分)12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、14-2、。

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知识建构 专题一 专题二
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3.参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式. 参数方程 普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲 线的两种不同表达形式.
知识建构 专题一 专题二
综合应用
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应用1 求方程4x2+y2=16的参数方程. (1)设y=4sin θ,以θ为参数; (2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数. 提示:对于(1),可直接把y=4sin θ代入已知方程,解方程求出x即可; 对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解. 解:(1)把y=4sin θ代入方程,得4x2+16sin2θ=16, 于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ. 所以x=±2cos θ. 由于参数θ的任意性,可取x=2cos θ, ������ = 2cos������, 2 2 因此 4x +y =16 的参数方程是 (������为参数). ������ = 4sin������
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知识建构 专题一 专题二
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专题一 曲线的参数方程与普通方程的互化 1.将曲线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步 骤为: (1)将参数t用变量x表示; (2)将t代入y的代数式; (3)整理得到x,y的关系,即为普通方程. 2.参数方程与普通方程的区别与联系. 曲线的普通方程 F(x,y)=0 是相对参数方程而言,它反映了坐标变 ������ = ������(������), 量 x 与 y 之间的直接联系;而参数方程 (������∈D)是通过参数 ������ = ������(������) t 反映坐标变量 x 与 y 之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变 数,变数的个数比方程的个数多 1; 曲线的参数方程中有三个变数和 两个方程,变数的个数比方程的个数多 1,从这个意义上讲,曲线的普 通方程和参数方程是“一致”的.
人教A版数学选修4第二讲三、四直线的参数方程渐开线与摆线课时训练(含答案解析).docx

人教A版数学选修4第二讲三、四直线的参数方程渐开线与摆线课时训练(含答案解析).docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ＋2y ＝－2t －1(t 为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为(－2，π)，则点P 到直线l 的距离为( )A.12B.22 C ．1 D. 2 答案：B2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3) 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋ty ＝1－t(t 为参数)被圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝25所截得的弦长为( )A.98 B ．4014C.82D.93＋4 3答案：C4．直线⎩⎨⎧x ＝2＋ty ＝3t(t 为参数)被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为( )A ．210 B.10 C ．2 5 D. 5答案：A5．在参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t cos θy ＝b ＋t sin θ(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是( )A.t 1－t 22B.t 1＋t 22C.|t 1－t 2|2D.|t 1＋t 2|2答案：B6．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO 的倾斜角为π4，则P 点坐标是( ) A ．(3,4) B ．(322，22)C ．(－3，－4)D ．(125，125)答案：D7．直线l 的方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－3t (t 为参数)，则l 上任一点到定点(1,2)的距离是( )A ．tB ．|t |C.13|t |D.|t |13答案：C 8．(2013·高考重庆卷)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16. 答案：169．已知直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝－1－t sinπ6y ＝2＋t cos π6(t 为参数)，则直线的倾斜角大小是________．答案：2π310．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cosπ6y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t .(2)把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4， t 2＋(3＋1)t －2＝0，t 1t 2＝－2， 则点P 到A ，B 两点的距离之积为2. 11．(2013·高考辽宁卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos(θ－π4)＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值． 解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4， 直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. 解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为(4，π2)，(22，π4)．注：极坐标系下点的表示不惟一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab 2＋1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为34π的直线，它与抛物线交于A 、B 两点，求这两点间的距离．解：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，设过焦点F (1,0)，倾斜角为34π的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t y ＝22t(t 为参数)，将此代入y 2＝4x ，得t 2＋42t －8＝0，设这个方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系，有 t 1＋t 2＝－42，t 1·t 2＝－8， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝ (－42)2＋32＝64＝8. ∴A 、B 两点间的距离是8.。