2020-2021深圳市荔香中学高三数学上期中试卷及答案

2020-2021深圳大学附属中学高中必修三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．一组数据如下表所示：x1 2 3 4y e3e 4e 6e已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5ˆbx ye =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5eB ．112eC ．132eD ．7e3．用电脑每次可以从区间()0,1内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于13的概率为（ ） A ．127B ．23C ．827D ．494．在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．145．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<6．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．157．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A ．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”8．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，109．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为（）A．20B．25C．30D．3510．运行该程序框图，若输出的x的值为16，则判断框中不可能填（）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，...，960，分组后某组抽到的号码为41．抽到的32人中，编号落入区间[]401,755 的人数为（ ） A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题13．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________14．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；15．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__.16．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和不超过9的概率为______．17．从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为________.18．某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个19．执行如图所示的程序框图，如果输出3s=，则正整数M为__________．20．正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．三、解答题21．中国神舟十一号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，引起全国轰动．开学后，某校高二年级班主任对该班进行了一次调查，发现全班60名同学中，对此事关注的占13，他们在本学期期末考试中的物理成绩如下面的频率分布直方图：（1）求“对此事关注”的同学的物理期末平均分（以各区间的中点代表该区间的均值）．（2）若物理成绩不低于80分的为优秀，请以是否优秀为分类变量，①补充下面的22⨯列联表：物理成绩优秀物理成绩不优秀合计对此事关注对此事不关注合计②是否有95%以上的把握认为“对此事是否关注”与物理期末成绩是否优秀有关系？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的60名学生，得到数据如下表：喜欢统计课程 不喜欢统计课程 合计 男生 20 10 30 女生 10 20 30 合计303060（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查，将这6名学生作为一个样本，从中任选3人，求恰有2个男生和1个女生的概率． 下面的临界值表供参考：0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）23．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数r （0.75r >线性相关较强）加以说明；（2）建立y 与t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量. （参考数据）719.32i i y ==∑，()()712.89i i i t ty y =--≈∑()7210.55i i y y =-≈∑，()7212 2.646i i t t =-≈⨯∑，()72128i i t t=-≈∑，2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211niii nniii i t t y y r t t y y ===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bta =+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii tty y b tt==--=-∑∑$，a y bt =-$$.24．某地随着经济的发展，居民收入逐年增长该地一建设银行统计连续五年的储蓄存款（年底余额）得到下表： 年份x2014 2015 2016 2017 2018 储蓄存款y （千亿元）567810为便于计算，工作人员将上表的数据进行了处理（令2013,t x =-5=-z y ），得到下表： 时间t 1 2 3 4 5 储蓄存款z1235（1）求z 关于t 的线性回归方程；（2）通过（1）中的方程，求出y 关于x 的回归方程；（3）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中1221ˆni ii nii xy nx yb xnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 25．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)标准煤的几组对照数据x34 5 6y 2.5 344.5(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y b x a =+$$； (2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?参考公式：()1122211()()nni i i i i i n n iii i x x y y x y nxy b x x x nx a y bx====⎧---⎪==⎪⎨--⎪=-⎪⎩∑∑∑∑26．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]20,45的教师队伍中随机选取100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]30,35,35,40,40,45中用分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ， 则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦， ()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ， 故275s <．选A ． 【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．C解析：C 【解析】 【分析】令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+，根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：12342.54x +++==，1346 3.54z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得136.52y e e ==.故选：C .【点睛】本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.3．C解析：C 【解析】 由题意可得： 每个实数都大于13的概率为12133p =-=， 则3个实数都大于13的概率为328327⎛⎫= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意结合组合的知识可知，总的答案的个数为11个，而正确的答案只有1个，根据古典概型的计算公式，即可求得结果. 【详解】总的可选答案有：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ， ABC ，ABD ，ACD ，BCD ，ABCD ，共11个， 而正确的答案只有1个， 即得5分的概率为111p =. 故选：C.【点睛】本题考查了古典概型的基本知识，关键是弄清一共有多少个备选答案，属于中档题.5．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．6．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.7．A解析：A 【解析】 【分析】根据不能同时发生的两个事件，叫互斥事件，依次判断． 【详解】根据互斥事件不能同时发生，判断A 是互斥事件；B 、C 、D 中两事件能同时发生，故不是互斥事件； 故选A ． 【点睛】本题考查了互斥事件的定义．是基础题．8．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.9．B解析：B 【解析】 【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的n 的值. 【详解】输出20,80,100n m s ==≠；21,79,100n m s ==≠； 22,78,100n m s ==≠； 23,77,100n m s ==≠； 24,76,100n m s ==≠； 25,75,100n m s ===，退出循环，输出25n =，故选B. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．D解析：D 【解析】运行该程序，第一次，1,k 2x ==, 第二次，2,k 3x ==， 第三次，4,k 4x ==， 第四次，16,k 5x ==， 第五次，4,k 6x ==， 第六次，16,k 7x ==， 第七次，4,k 8x ==， 第八次，16,k 9x ==， 观察可知，若判断框中为5k ≥．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为4k >．，则第四次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为9k ≥．，则第八次结束，输出x 的值为16，满足； 若判断框中为7k >．，则第七次结束，输出x 的值为4，不满足； 故选D.11．A解析：A 【解析】 【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果. 【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A. 【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为41，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为a n＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．二、填空题13．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.14．【解析】【分析】设事件A表示第一张抽到奇数事件B表示第二张抽取偶数则P（A）P（AB）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依解析：1 2【解析】【分析】设事件A表示“第一张抽到奇数”，事件B表示“第二张抽取偶数”，则P（A）35 =，P（AB）3235410=⨯=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率．【详解】解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”， 则P （A ）35=，P （AB ）3235410=⨯=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：P （A|B ）()()3P AB 1103P A 25===． 【点睛】本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．15．【解析】由题意可知与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积即所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积由几何概型的概率公式知其恰落在与三个顶点的距离都大于2的地方的概率为答案 解析：1515π- 【解析】由题意可知，与三个顶点的距离都小于2的区域的面积恰好为一个半径为2的半圆的面积，即2π，所以与三个顶点的距离都大于2的区域的面积302π-。

百师联盟2020-2021学年上学期期中试题高三数学（文）一、单选题1．（ ）(12)(12)34i i i -+=+A ． B ．C ．D ．3455i -+3455-i 4355i -+4355i -【答案】B【解析】根据复数代数形式的四则运算法则，即可求出． 【详解】，(12)(12)5(34)3434(34)(34)55i i i i i i i -+-==-++-故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用，属于基础题．2．已知全集，集合，则U =R {}{}|(1)(2)0,03A x x x B x x =+-=………()⋂=U C A B （ ） A ． B ．C ．D ．[0,2)[0,2](2,3][2,3]【答案】A【解析】根据补集定义先求出，再由交集的运算即可求出． U C A 【详解】，所以，{}{|(1)(2)0}12U C A x x x x x =+-<=-<<(){}|02U A B x x ⋂=<…ð故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的交集，补集运算，属于基础题．3．在抽样调查中，样本能否代表总体，直接影响着统计结果的可靠性,给出下列三个抽样问题：①高三（1）班想从8个班委中抽出2人参加会议；②教育部门想了解某地区中小学学生近视情况，将在该地区全体学生中抽取2%的学生进行调查；③工厂要检验某种产品合格情况，从一批产品中抽取1%进行检验. 则这三个问题对应的抽样方法较为恰当的一组是（ ）A ．①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样B ．①简单随机抽样 ②分层抽样 ③系统抽样C ．①系统抽样 ②简单随机抽样 ③分层抽样D ．①系统抽样 ②分层抽样 ③简单随机抽样 【答案】B【解析】根据简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点与适用条件，即可作出判断． 【详解】①样本容量为8，抽取样本数为2，用简单随机抽样方便快捷；②由于年龄差异大，学生近视情况差异较大，应从每个年龄段抽取2%的学生，样本更能代表总体，所以应采用分层抽样方法．③由于样本数较大，且个体无明显差异，可将这批产品随机编号，按系统抽样方法抽取1%进行检验，易操作， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点与适用条件，属于基础题．4．谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle ）是一种分形几何图形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出，它是一个自相似的例子，其构造方法是： （1）取一个实心的等边三角形（图1）；（2）沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形； （3）挖去中间的那一个小三角形（图2）；（4）对其余三个小三角形重复（1）（2）（3）（4）（图3）. 制作出来的图形如图4，….若图1（阴影部分）的面积为1，则图4（阴影部分）的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．9164192764827【答案】C【解析】根据图形的特点，观察规律，即可归纳出相邻图形之间的面积关系，由此求出． 【详解】设图1的面积为，图2被挖去的面积占图1面积的，则图2阴影部分的面积为a 14，同理图3被挖去的面积占图2面积的，所以图3阴影部分的面积为，34a 14234a ⎛⎫⎪⎝⎭按此规律图1、图2、图3…的面积组成等比数列：,公比为23333,,,444a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由已知图1（阴影部分）的面积为1，则图4（阴影部分）的面积为，342764故选：C ． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于基础题．5．正方形ABCD 和矩形BEFC 组成图1，G 是EF 的中点，BC=2BE .将矩形BEFC 沿BC 折起，使平面平面ABCD ，连接AG ，DF ，得到图2，则（ ）BEFC ⊥图1. 图2.A ．，且直线是相交直线 AG DF =,AG DFB ．，且直线是相交直线 AG DF ≠,AG DFC ．，且直线是异面直线 AG DF =,AG DFD ．，且直线是异面直线 AG DF ≠,AG DF 【答案】B【解析】根据平面图形翻折前后，相关线段或直线的位置变化可知，，并未改变，所以可知在一个平面内，又因为//,//AD BC BC EF ,AG DF ,所以是相交直线．再根据条件可得平面，所以FG DA ≠,AG DF GE ⊥ABE ，即．AG AE >AG DF ≠【详解】如图，连接，因为，且，同理，且,所以AE //EF CB EF CB =//DA CB DA CB =,且，故为平行四边形，所以在一个平面内．//EF DA EF DA =AEFD ,AG DF 又因为,所以是相交直线．由题知，所以FG DA ≠,AG DF ,CB AB CB BE ⊥⊥CB ⊥平面．ABE 故平面，所以，所以，即． GE ⊥ABE GE AE ⊥AG AE >AG DF ≠故选：B ．【点睛】本题主要考查平面图形翻折前后相关线段或直线位置变化，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．6．已知的三个内角所对的边分别为,且，则ABC A B C △△a b c △△sin cos sin cos B BC C=的一定是（ ）ABC A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】法一：根据变形，利用两角差的正弦公式即可得出，即sin cos sin cos B BC C=B C =可判断的一定是等腰三角形；ABC 法二：利用同角三角函数商的关系可得，有，即可判断的tan tan =B C B C =ABC 一定是等腰三角形；法三：根据正弦定理和余弦定理，即可得到，即可判断，一定是等腰三角b c =ABC 形． 【详解】 解法一：因为，则，即，sin cos sin cos B BC C=sin cos cos sin 0B C B C -=sin()0B C -=所以，所以一定是等腰三角形． B C =ABC 解法二：因为，所以,即，所以，所sin cos sin cos B B C C =sin sin cos cos B CB C=tan tan =B C B C =以的一定是等腰三角形． ABC 解法三：由正弦定理，所以， sin cos sin cos B BC C=cos cos b C c B =由余弦定理得，所以，所以的一定是等22222222a b c a c b b c ab ac+-+-⋅=⋅b c =ABC腰三角形． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查三角形形状的判断，涉及两角差的正弦公式，同角三角函数商的关系，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．7．执行下边的程序框图，如果输入的，则输出的值等于（ ）1,3a b ==cA ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C【解析】根据程序框图，执行循环，依次求出的值并判断，直至跳出循环，即可求出k 输出的值． c 【详解】第1次循环：是，； 13≤5,3,5,2c a b k ====第2次循环：是，； 23≤7,5,7,3c a b k ====第3次循环：是，； 33≤9,7,9,4c a b k ====第4次循环：否，输出，结束程序． 43≤9c =故选：C ． 【点睛】本题主要考查程序框图的理解，属于基础题．8．如图是某棱锥的三视图，其主视图和侧视图都是等腰直角三角形，直角边的长为1，则该棱锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12131623【答案】C【解析】根据三视图还原几何体，即可求出该棱锥的体积． 【详解】三视图为一个三棱锥，将三棱锥放在一个棱长为1的正方体中，如图，故该三棱锥的高为1，底面积为，所以该棱锥的体积为， 1211111326V =⨯⨯⨯=故选：C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体以及棱锥的体积公式应用，意在考查学生的直观想象能力，属于基础题．9．抛物线的焦点为F ，准线为，点在上，经过点且平行于轴的2:8C y x =l A l A x 直线交于点，若，则（ ） C B ||5AF =||BF =A ．3 B ．5C ．D ．98258【答案】D【解析】法一：利用勾股定理可求出点的纵坐标，然后由点在抛物线上，即可,A B B 求得点的横坐标，再根据焦半径公式，即可求出．B |BF |法二：根据平面几何知识可得，∽，，所以，即可求出ABD △AFE △||||||||AB AF AD FE =． 25||8BF =【详解】由抛物线可得．2:8C y x =(2,0),:2,||4F l x EF p =-==解法一：因为，所以．设，代入方程得，||5,||4AF EF ==||3AE =()1,3B x 2138x =所以， 198x =由抛物线定义知，． 125||28p BF x =+=解法二：设与轴的交点为，则为的中点，又因为，所以AF x D D AF ||||BA BF =，则∽，所以，即，所以BD AF ⊥ABD △AFE △||||||||AB AF AD FE =5525||248AB =⨯=． 25||8BF =故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．10．已知，为的中点，且，则的最大||||||1OA OB OC === D BC ||BC = AD BC ⋅值为（ ）A B ．C ．D ．322【答案】C【解析】以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，求出点的坐标，设O OD y ,,B C D出点，求得，即可求出的最大值．(,)A x y AD BC ⋅= AD BC ⋅【详解】因为，所以在以为圆心半径为1的圆上． ||||||1OA OB OC ===A B C △△O以为原点，所在直线为轴，建立坐标系，因为，为O OD y |||1BC OB ==D BC的中点，所以． 1||2OD =则，设，111,,0,222B C D ⎛⎫⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭(,)A x y 则，所以，因为，当1,,2AD x y BC ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭AD BC ⋅= 11x -≤≤A与重合，即时，．E 1x =-max ()AD BC ⋅=故选：C ．【点睛】本题主要考查利用解析法求解向量数量积的最值问题，解题关键是通过建系将向量关系转化为函数关系，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 11．已知数列的前项和为，且，则（ ） {}n a n n S 324,2n n S a a n +==2019a =A ．1010 B ．1011C ．2019D ．2020【答案】D 【解析】对关系式进行赋值，即可求出，根据合情推22n n S a n +=1232,3,4a a a ===理得，所以． 1n a n =+20192020a =【详解】因为，令，则，又，所以； 324,2n n S a a n +==1n =1122a S +=11S a =12a =令，则，所以，即，所以．3n =33232S a +=39S =1239a a a ++=23a =所以，根据合情推理得，所以． 1232,3,4a a a ===1n a n =+20192020a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查赋值法和合情推理的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．12．记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有R ()f x ()f x 'x ∈R，则（ ）()()f x xf x '<A ． B ． C ．()()ef f e ππ>()()ef f e ππ<()()ef e f ππ>D ．()()ef e f ππ<【答案】A【解析】因为，可构造函数，利用导数可知，在()()f x xf x '<()()f x g x x=()g x 单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项．(0,)+∞()()g g e π>【详解】不妨设，因为，设，则, 0x >()()f x xf x '<()()f x g x x =2()()()0xf x f x g x x '-'=>所以在单调递增，所以，即，从而()g x (0,)+∞()()g g e π>()(e)ef f ππ>．()()ef f e ππ>故选：A ． 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题．二、解答题13．已知点为坐标原点，动点满足，(2,0),(0,1),A B O M (,),OM OA OB R λμλμ=+∈当时，点的轨迹方程为_______； 1λμ+=M 【答案】220x y +-=【解析】设出点，根据向量相等，可以用表示出，再由，(,)M x y ,x y ,λμ1λμ+=即可求出轨迹方程． 【详解】设，则，因为,(,)M x y (,),(2,0),(0,1)OM x y OA OB === OM OA OB λμ=+ 所以，即，当，即，即(,)(2,)x y λμ=2,x y λμ==1λμ+=12xy +=．220x y +-=故答案为：． 220x y +-=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．14．如图，该模型为圆柱挖去一个圆锥后所得的几何体，已知圆柱底面半径和高都等于2，圆柱的上底面是圆锥的底面，圆锥高为1，则该模型的表面积等于______；【答案】(12π+【解析】由图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的下底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，分别求出，即可得到该模型的表面积． 【详解】如图知该模型的表面积由三个部分组成：圆柱的底面积，圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，所以圆柱的下底面积为；圆柱的侧面积为；圆锥的母线4π2228ππ⨯⨯=，所以圆锥的侧面积为，所以该模型的表面积为l ==12cl ⨯=．(12π+故答案为：． (12π+【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥侧面积的公式应用，属于基础题．15．甲、乙、丙三位同学周末参加一项志愿者服务，有A ，B 两处场地可供选择，且每个人只能选择一处场地，则甲、乙、丙选择同一处场地的概率为_____； 【答案】14【解析】先列举出甲、乙、丙三位同学选择志愿服务场地的所有情况，再找出甲、乙、丙选择同一处场地的情况，根据古典概型的概率计算公式，即可求出． 【详解】甲、乙、丙三位同学选择志愿服务的场地情况共有：；(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)A A A A A B A B A A B B B A A B A B B B A B B B 甲、乙、丙三位同学选择同一处场地有．所以． (,,),(,,)A A A B B B 2184P ==故答案为：． 14【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算，属于基础题．16．已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值()()x f x x a e =+⋅()f x (1,)+∞a 范围是_____； 【答案】[2,)-+∞【解析】根据函数在上单调递增，可知在()f x (1,)+∞e 0()(1)x f x x a '=++⋅…(1,)+∞上恒成立，即在上恒成立，即可求解． 1x a --…(1,)+∞【详解】因为，所以，()()e x f x x a =+⋅()(1)e x f x x a '=++⋅函数在上单调递增，可知在上恒成立， ()f x (1,)+∞e 0()(1)x f x x a '=++⋅…(1,)+∞即，所以，即，则实数的取值范围是． 1x a --…11a --≤2a -…a [2,)-+∞故答案为：． [2,)-+∞【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导数的关系应用，属于基础题． 17．已知数列是等差数列，是递增等比数列，满足：{}n a {}n b .11222331,2,2,2a b b a a a b ===+=（1）求数列的通项公式；{}{}n n a b 、（2）设，求数列的前项和. n n n c a b =⋅{}n c n n T 【答案】（1）；（2）,2nn n a b n ==1(1)22n n T n +=-+【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，根据题意列出两个方程，{}n a d {}n b q 即可解出，由此得到数列的通项公式；,d q {}{}n n a b 、（2）根据的形式，采用错位相加法可求出数列的前项和． n n n c a b =⋅{}n c n n T 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，由题设知． {}n a d {}n b q 1q >因为，则，111,2a b ==2112(12)2q dd d q =+⎧⎨+++=⎩消去得，，解得或（舍去）． d 22520q q -+=2q =12q =当时，，所以．2q =1d =,2nn n a b n ==（2）由（1）得 2nn n n c a b n =⋅=⋅则,1231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋯+-+⋅所以，23412122232(1)22nn n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+⋅ 两式相减得,()23122222nn n T n +-=++++-⋅ 所以，故．()1212212n n n T n +--=-⋅-1(1)22n n T n +=-+【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法，以及错位相减法的应用，意在考查学生的运算能力，属于中档题．18．已知函数的图象关于直线对称，且在上为()sin (0)f x x ωω=>94x =()f x [0,2]单调函数. （1）求； ω（2）当时，求的取值范围. 210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦sin cos x x ωω+【答案】（1）；（2） 29πω=【解析】（1）根据的图象关于直线对称，可得()sin (0)f x x ωω=>94x =，又因为 942k πωπ=+在上为单调函数，所以，故可求出； ()f x [0,2]04πω< (29)πω=（2）先利用辅助角公式求出，然后求出2()94g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的图象可得，即可求出25,9446x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦21sin ,1942x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．()g x ∈【详解】（1）因为函数的图像关于直线对称． ()sin f x x ω=94x =则，所以． 9()42k k Z πωπ=+∈42()9k k Z ππω+=∈又在上为单调函数，所以，即，()f x [0]2，022πω<⨯ (04)πω<…当满足题意，当或不满足题意．故． 20,9k πω==1k -...1,k ω (29)πω=（2）设，则，由（1）得()sin cos g x x x ωω=+()4g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2()94g x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，则，所以． 210,8x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦25,9446x ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦21sin ,1942x ππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故．所以取值范围是． ()g x ∈sin cos x x ωω+【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，辅助角公式的应用以及正弦型函数在闭区间上的值域求法，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．19．某企业为了解某产品的销售情况，选择某个电商平台对该产品销售情况作调查.统计了一年内的月销售数量（单位：万件），得到该电商平台月销售数量的茎叶图.（1）求该电商平台在这一年内月销售该产品数量的中位数和平均数；（2）该企业与电商签订销售合同时规定：如果电商平台当月的销售件数不低于40万件，当月奖励该电商平台10万元；当月低于40万件没有奖励，用该样本估计总体，从电商平台一个年度内高于该年月销售平均数的月份中任取两个月，求这两个月企业发给电商平台的奖金为20万元的概率.【答案】（1）中位数为33（万件），平均数为32.5；（2）15【解析】（1）由茎叶图可知，12个数据中间两个数据为32,34，所以中位数为33，由平均数公式可计算出电商平台的月销售数量的平均数；（2）一年内月销售量高于平均数的月份有6个，其中这6个月能获奖励的月份有3个月，记为，不能获奖励的份为，列举出从这6个月抽出的两个月的123,,A A A 123,,B B B 所有可能情况，再找出抽到的两个月都获奖励的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求出． 【详解】（1）由茎叶图知，电商平台的月销售数量的中位数为33（万件）， 电商平台的月销售数量的平均数为：（万1719232528323234363742445339032.51212x ++++++++++++===件）．（2）由题知，一年内月销售量高于平均数的月份有6个，其中这6个月能获奖励的月份有3个月，记为，不能获奖励的份为．123,,A A A 123,,B B B 记从一个年度内高于该年月销售平均数的月份中抽到的两个月都获奖励的事件为． A 则从一个年度内高于该年月销售平均数的月份中抽出的两个月的所有可能为：()()()()()1213111213,,,,,,,,,A A A A A B A B A B ()()()()23212223,,,,,,,A A A B A B A B ()()()313233,,,,,A B A B A B ()()1213,,,B B B B ．()23,B B 共有15种可能．抽到的两个月都获奖励的可能为：，共有3()()()121323,,,,,A A A A A A 种，所以． 31()155P A ==所以，这两个月企业发给电商平台的奖金为20万元的概率为． 15【点睛】本题主要考查根据茎叶图求中位数和平均数以及计算古典概型的概率，意在考查学生的数据处理和数学运算能力，属于基础题．20．在三棱锥中，已知是等边三角形，P ABC -,AB AC PBC = 分别是的中点，且. 12,,2PB PA D E ==,BC PA BE CE ⊥（1）证明：； PB DE ⊥（2）求点到平面的距离. E ABC【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）欲证，只需证明平面．易证平面，可PB DE ⊥DE ⊥PBC BC ⊥PAD 得，再根据勾股定理可证，所以平面，即得证； BC ED ⊥ED PD ⊥DE ⊥PBC （2）设点到平面的距离为，由等积法得，即E ABC d E ABC A BCE P BEC V V V ---==，分别求出，以及，即1133ABC EBC S d S PD ∆∆⨯⨯=⨯⨯1ABC ABC S S ∆∆==PD =可求出． d =【详解】（1）证明：连接，因为是的中点，所以． ,AD PD ,AB AC D =BC AD BC ⊥同理，所以平面．又平面，所以．故PD BC ⊥BC ⊥PAD ED ⊂PAD BC ED ⊥，又，EB EC =BE CE ⊥所以为等腰直角三角形．在等边中，可求得，BEC △PBC 1PD BD ==所以，而，则．故平面，又因为1ED =2224DE PD PE +==ED PD ⊥ED ⊥PBC 平面，所以．PB ⊂PBC PB DE ⊥（2）取的中点，连接，则 PD F EF EF ==AD =因为为的中点，所以． E PA E ABC A BCE P BEC V V V ---==设点到平面的距离为，所以，E ABC d 1133ABC EBC S d S PD ∆∆⨯⨯=⨯⨯又， 11122ABC ABC S AD BC S ED BC ∆∆=⨯⨯==⨯⨯=故． 所以点到平面．d =E ABC【点睛】本题主要考查异面直线垂直的证明以及点到面的距离的求法，涉及线面垂直的定义、判定定理的运用以及点到面的距离的求法----等积法的应用，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力．21．已知直线，点是直线上的动点，过点作直线，线:2l x =-(2,0),F M l M l l '⊥段的垂直平分线交于点，记点运动的轨迹为. MF l 'P P E （1）求的方程；E （2）已知，且点满足，经过的直线交于两点，且为A E ∈D 2AF FD =D E ,B C D 的中点，证明：为定值.BC ||||||AF BF CF ++【答案】（1）；（2）定值12，见解析28y x =【解析】（1）设出点，直接利用，列出方程化简即可得的方程； (,)P x y ||||PM PF =E （2）设出，由可得()()()()11223300,,,,,,,A x y B x y C x y D x y 2AF FD =， 1062x x -=又为的中点，所以，，最后根据抛物线的焦半径公D BC 2302x x x +=1236x x x ++=式可得． 123||||||612AF BF CF x x x ++=+++=【详解】（1）设，则，因为点在线段的垂直平分线上，则(,)P x y (2,)M y -P MF ．||||PM PF =，化简得．=28y x =所以的方程为．E 28y x =（2）设，则()()()()11223300,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，()()11002,,2,AF x y FD x y =--=-因为，所以，可得，2AF FD = ()()11002,24,2x y x y --=-1062x x -=又为的中点，所以，则．D BC 2302x x x +=1236x x x ++=因为在抛物线上，． ,,A B C E 123|2,2,|2AF x BF x CF x =+=+=+所以． 123||||||612AF BF CF x x x ++=+++=【点睛】本题主要考查利用直接法或者定义法求抛物线的标准方程，以及抛物线的简单性质的应用，涉及设而不求，整体思想的运用，属于中档题． 22．已知函数.2()ln ,f x x x mx x m R =-+∈（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求的值； ()y f x =(,())e f e m （2）若恒成立，求的取值范围. ()0f x <m 【答案】（1）；（2） 1em =(1,)+∞【解析】（1）根据导数的几何意义，可知，即可解出的值；(e)1f '=m （2）构造函数，要恒成立，即要恒成立，只需()ln 1g x x mx =-+()0f x <()0<g x 即可，利用导数，分类讨论函数的单调性，求出最值即可求得的取max 0g >()g x m 值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，而， ()f x (0,)+∞()ln 22f x x mx '=-+所以，令，解得． ()32f e me '=-(e)1f '=1em =（2）因为，()(ln 1),(0,)f x x x mx x =-+∈+∞构造函数，要恒成立，即要恒成立．又()ln 1g x x mx =-+()0f x <()0<g x ． 11()mx g x m x x'-=-=当时，，所以在上单调递增，而0m …1()0g x m x '=->()g x (0,)+∞，不满足题意．(1)10g m =->②当时，），则，所以在上0m >1()m x m g x x'⎛⎫- ⎪⎝⎭=10,()0x g x m '<……()g x 10,m ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，，所以在上单调递减，故时，1,()0x g x m '><()g x 1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1x m =()g x 取得最大．令，即，解得． 10g m ⎛⎫<⎪⎝⎭1ln 0m <1m >综上，所求的取值范围是 m (1,)+∞【点睛】本题主要考查导数几何意义的应用以及利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题．。

2020-2021高三数学上期中一模试卷含答案一、选择题1．若不等式组0220y x y x y x y a ⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]0,1C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭U2．已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，且数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，则n S 的最小正值为( ) A ．1SB ．19SC ．20SD ．37S3．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） ABCD． 4．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④5．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20476．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或57．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．168．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为102米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．3323B ．5323C ．323D ．83239．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<11．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}na 为等差数列，则9=a ( ) A ．12B ．54C ．45D ．45-二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n nn a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 15．设0,0,25x y x y >>+=______.16．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________． 17．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________18．已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是__________．19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=++. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设141n n b a =-，求出数列{}n b 的前n 项和.22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知0ccosB bsinC -=，2cosA cos A =．()1求C ；()2若2a =，求，ABC V 的面积ABC S V24．如图，Rt ABC V 中，,1,2B AB BC π===点,M N 分别在边AB 和AC 上，将AMN V 沿MN 翻折，使AMN V 变为A MN '△，且顶点'A 落在边BC 上,设AMN θ∠=（1）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （2）求线段CN 长度的最大值以及此时A MN '△的面积，25．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值. 26．等比数列{}n a 中，1752,4a a a ==． (Ⅰ)求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记n S 为{}n a 的前n 项和．若126m S =，求m ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】要确定不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是否一个三角形，我们可以先画出0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…，再对a 值进行分类讨论，找出满足条件的实数a 的取值范围． 【详解】不等式组0220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩…„…表示的平面区域如图中阴影部分所示．由22x y x y =⎧⎨+=⎩得22,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，由022y x y =⎧⎨+=⎩得()10B ,． 若原不等式组0220y x y x y x y a⎧⎪+⎪⎨-⎪⎪+⎩…„…„表示的平面区域是一个三角形，则直线x y a +=中a 的取值范围是(]40,1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭U 故选：D 【点睛】平面区域的形状问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合分类讨论的思想，针对图象分析满足条件的参数的取值范围．2．D解析：D 【解析】 【分析】由已知条件判断出公差0d <，对20191<-a a 进行化简，运用等差数列的性质进行判断，求出结果. 【详解】已知{}n a 为等差数列，若20191<-a a ，则2019190a a a +<， 由数列{}n a 的前n 项和n S 有最大值，可得0d <，19193712029000,,0,370a a a a a S <=∴+<>>， 31208190a a a a ∴+=+<，380S <，则n S 的最小正值为37S 故选D 【点睛】本题考查了等差数列的性质运用，需要掌握等差数列的各公式并能熟练运用等差数列的性质进行解题，本题属于中档题，需要掌握解题方法.3．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ）≥，即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.4．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=.对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.6．B解析：B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112n >， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．8．B解析：B 【解析】 【分析】如解析中图形，可在HAB ∆中，利用正弦定理求出HB ，然后在Rt HBO ∆中求出直角边HO 即旗杆的高度，最后可得速度．【详解】如图，由题意45,105HAB HBA ∠=︒∠=︒，∴30AHB ∠=︒，在HAB ∆中，sin sin HB AB HAB AHB =∠∠，即102sin 45HB =︒，20HB =． ∴sin 20sin 60103OH HB HBO =∠=︒=，10353v ==/秒）． 故选B ． 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是掌握正弦定理和余弦定理，解题时要根据条件选用恰当的公式，适当注意各个公式适合的条件．9．A【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.11．D解析：D 【解析】由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础二、填空题13．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-【解析】 【分析】 对于()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，求出10S .【详解】 由()()11132nn n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n nn a b ++=--，得b 1=-43，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047S =-. 故答案为20462047- 【点睛】本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.14．【解析】【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【解析】【分析】把分子展开化为再利用基本不等式求最值【详解】当且仅当即时成立故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立解析：【解析】 【分析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值．【详解】=Q0,0,25,0,x y x y xy >>+=>∴Q≥= 当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立，故所求的最小值为 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．16．或6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q ＝1时S3＝3a1即可求解当q≠1时根据求和公式求解【详解】当q ＝1时S3＝3a1＝3a3＝3×＝符合题意所以a1＝；当q≠1时S3＝＝a1(1解析：32或6 【解析】 【分析】由题意，要分公比1,1q q =≠两种情况分类讨论，当q ＝1时，S 3＝3a 1即可求解，当q ≠1时，根据求和公式求解. 【详解】当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32； 当q ≠1时，S 3＝()3111a q q--＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝232q ，代入上式，得232q (1＋q ＋q 2)＝92，即21q ＋1q －2＝0， 解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)． 因为q ＝－12，所以a 1＝23122⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ ＝6，综上可得a 1＝32或6. 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.17．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式解析：13-【解析】 【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】因为当0x ≥时 ()21,01,22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12mx -≤对[],1x m m ∈+恒成立，11111233m m m m -+≤∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥对[],1x m m ∈+恒成立，1123m m m -≥∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13-. 【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.18．【解析】【分析】由无穷等比数列的各项和为4得且从而可得的范围【详解】由题意可得且且 故答案为【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和而无穷等比数列的各项和是指当且时前n 项和的极限属于基础题 解析：(0,4)(4,8)⋃【解析】 【分析】由无穷等比数列{}n a 的各项和为4得,141a q=-,，||1q <且0q ≠,从而可得1a 的范围.由题意可得,14,||11a q q=<- ， 且0q ≠14(1)a q =- 108a ∴<<且14a ≠故答案为(0,4)(4,8)⋃ 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和,而无穷等比数列的各项和是指当,||1q <且0q ≠时前 n 项和的极限，属于基础题.19．50【解析】由题意可得=填50解析：50 【解析】由题意可得51011912a a a a e ==，1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.20．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解析：【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解 【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。

2020-2021高三数学上期中试题含答案(1)一、选择题1．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形2．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．323．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．16 4．设函数是定义在上的单调函数，且对于任意正数有，已知，若一个各项均为正数的数列满足，其中是数列的前项和，则数列中第18项（ ）A ．B ．9C ．18D ．365．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．136．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．217．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40378．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦9．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A ．2B ．92C ．143D ．510．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．6611．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，43a=，4b =，则B =（ ） A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒ C ．30B =︒D ．60B =︒12．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1二、填空题13．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且前n 项和分别为n S 和n T ，若321n n S n T n +=+，则44a b =_____． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 16．设数列{a n }的首项a 1＝32，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177n n S S <<的所有n 的和为________． 17．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 18．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____. 19．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ=______________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．在ABC V 中，3B π∠=，7b =，________________，求BC 边上的高．从①21sin 7A =， ②sin 3sin A C =， ③2a c -=这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．22．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．23．在△ABC 中，a , b , c 分别为内角A , B , C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =+++（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求sin sin B C +的最大值.24．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．25．已知等差数列{}n a 中，235220a a a ++=，且前10项和10100S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 2424442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B 【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤=当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比()717122,7,101612a q n S -====-，解得18a =，则()12*82217,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．【点睛】本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后利用数列的知识求解．4．C解析：C 【解析】∵f （S n ）=f （a n ）+f （a n +1）-1=f[a n （a n +1）]∵函数f （x ）是定义域在（0，+∞）上的单调函数，数列{a n }各项为正数∴S n =a n （a n +1）①当n=1时，可得a 1=1；当n≥2时，S n-1=a n-1（a n-1+1）②，①-②可得a n = a n （a n +1）-a n-1（a n-1+1）∴（a n +a n-1）（a n -a n-1-1）=0∵a n ＞0，∴a n -a n-1-1=0即a n -a n-1=1∴数列{a n }为等差数列，a 1=1，d=1；∴a n =1+（n-1）×1=n 即a n =n 所以故选C5．D解析：D 【解析】 【详解】试题分析：∵351024a a a ++=，∴410224a a +=，∴4102a a +=， ∴1134101313()13()1322a a a a S ++===，故选D.考点：等差数列的通项公式、前n项和公式. 6．A解析：A【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)Bt，(0,)C t，10)4(0,1)(1,4)AP=+=u u u r（，，即14)P（，，所以114)PBt=--u u u r（，，14)PC t=--u u u r（，，因此PB PC⋅u u u r u u u r11416tt=--+117(4)tt=-+，因为114244t tt t+≥⋅=，所以PB PC⋅u u u r u u u r的最大值等于13，当14tt=，即12t=时取等号．考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．7．C解析：C【解析】【分析】根据等差数列前n项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n项和0nS>成立的最大正整数n.【详解】由于等差数列{}n a满足120182019201820190,0,0a a a a a>+>⋅<，所以0d<，且20182019aa>⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a aS a aa a aS+⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n项和nS>成立的最大正整数n是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.8．A解析：A 【解析】 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立， 设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈， ()2210f x x∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.11．C解析：C 【解析】 【分析】将已知代入正弦定理可得1sin 2B =，根据a b >，由三角形中大边对大角可得：60B <︒，即可求得30B =︒. 【详解】解：60A =︒Q，a=4b =由正弦定理得：sin 1sin2b A B a === a b >Q60B ∴<︒ 30B ∴=︒故选C. 【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力.12．A解析：A 【解析】 【分析】 分析题意，取3x y +倒数进而求3x y+的最小值即可；结合基本不等式中“1”的代换应用即可求解。

2021-2022学年广东省深圳高级中学等九校联考高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．115．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣87．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．18．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为411．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是312．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为；该矩形纸最多能对折次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知z＝1﹣i（其中i为虚数单位），则z（+i）＝（）A．﹣1+i B．3+i C．1﹣i D．3﹣i【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．解：∵z＝1﹣i，∴，∴z（+i）＝（1﹣i）（1+2i）＝3+i．故选：B．2．设集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（2，4）}B．{（﹣3，9）}C．{（2，4），（﹣3，9）}D．∅【分析】利用交集定义直接求解．解：∵集合A＝{（x，y）|x+y＝6}，B＝{（x，y）|y＝x2}，∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（2，4），（﹣3，9）}．故选：C．3．已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件，必要条件和充要条件分别进行判断即可．运用定义来做题目．解：由＜1，可得a＞1或a＜0，故，由a＞1，能够推出＜1，故，a＞1，是＜1的充分条件，由＜1，不能够推出a＞1，故，a＞1，是＜1的不必要条件，综上所述，a＞1，是＜1的充分不必要条件，故选：A．4．小华在学习绘画时，对古典装饰图案产生了浓厚的兴趣，拟以矢量图（也称为面向对象的图象或绘图图象，在数学上定义为一系列由线连接的点，是根据几何特性绘制的图形）的模式精细地素描以下古典装饰图案，经过研究，小华发现该图案可以看成是一个边长为4的等边三角形ABC，如图，上边中间莲花形的两端恰好都是AB边的四等分点（E、F点），则•＝（）A．9B．16C．12D．11【分析】把都用来表示，即可求．解：设AB边的中点为D，则，同理，所以．故选：D．5．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象如图所示，且经过点A（，），则（）A．f（x）关于点（，0）对称B．f（x）关于直线x＝对称C．f（x+）为偶函数D．f（x+）为奇函数【分析】由定点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象和性质，得出结论．解：∵函数f（x）＝sin（2x+φ）的部分图象，可令φ∈（0，），∵它的经过点A（，），∴sin（+φ）＝cosφ＝，∴φ＝，故f（x）＝sin（2x+）．令x＝，求得f（x）＝，不是最值，故A、B都错误；由于f（x+）＝sin（2x+）＝cos2x，故f（x+）是偶函数，故C正确，由于f（x+）＝sin（2x+），故f（x+）不是奇函数，故D错误．故选：C．6．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1＝﹣2，a n+1＝S n，那么a6＝（）A．﹣64B．﹣32C．﹣16D．﹣8【分析】利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．解：∵a n+1＝S n，∴n≥2时，a n＝S n﹣1，相减可得：a n+1＝2a n．n＝1时，a2＝S1＝﹣2≠2a1，∴数列{a n}从第二项开始为等比数列，∴a6＝a2×24＝﹣2×24＝﹣32．故选：B．7．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且|AF1|＝|F1F2|，则直线AF1的斜率为（）A．B．C．D．1【分析】题意可得sin∠AF1F2，进而求出tan∠AF1F2，即可得到直线AF1的斜率．解：由题意如图所示：|AF1|＝|F1F2|，D为AF2的中点，椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，所以a＝2c，sin∠AF1F2＝＝，所以∠AF1F2＝，直线AF1的斜率为tan∠AF1F2＝tan＝，故选：B．8．已知a，b，c∈（0，1），且a2﹣2lna﹣1＝，b2﹣2lnb﹣1＝，c2﹣2lnc﹣1＝，则（）A．c＞b＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞a＞b【分析】构造函数f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，g（x）＝，f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，求导判断函数的单调性，利用函数的单调性比较大小即可．解：令g（x）＝，则g′（x）＝，故当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，故g（x）在（e，+∞）上单调递减，而g（3）＝，g（e）＝，g（π）＝，故g（e）＞g（3）＞g（π），令f（x）＝x2﹣2lnx﹣1，则f′（x）＝2x﹣＝，故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上单调递减，而f（a）＝a2﹣2lna﹣1，f（b）＝b2﹣2lnb﹣1，f（c）＝c2﹣2lnc﹣1，故f（a）＝g（3），f（b）＝g（e），f（c）＝g（π），故f（b）＞f（a）＞f（c），故b＜a＜c，故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如图频率分布直方图，根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元【分析】对于ABC，通过求解对应的频率，即可依次判断，对于D，结合平均值的计算公式，即可求解．解：对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为（0.02+0.04）×1＝6%，故A正确，对于B，家庭年收入介于2.5万元至7.5万元之间的频率为0.02+0.04+0.1+0.14+0.2＝0.5，故该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B正确，对于C，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2＝0.64＞0.5，故C正确，对于D，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02＝7.68＞6.5，故D错误．故选：ABC．10．设正实数x，y满足2x+y＝1，则（）A．x∈（0，）B．xy的最大值为C．x2+y2的最小值为D．4x+2y的最小值为4【分析】A．根据正实数x，y满足2x+y＝1，可得0＜2x＝1﹣y＜1，解得x范围即可判断出正误；B．由正实数x，y满足2x+y＝1，利用基本不等式即可判断出正误；C．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得y＝1﹣2x，x∈（0，），代入x2+y2，利用二次函数的单调性即可判断出正误；D．由正实数x，y满足2x+y＝1，可得4x+2y＝22x+2y，结合基本不等式即可判断出正误．解：A．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴0＜2x＝1﹣y＜1，解得0＜x＜，即x∈（0，），因此正确；B．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴1≥2，解得xy≤，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确；C．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，x∈（0，），∴x2+y2＝x2+（1﹣2x）2＝5+≥，x＝时取等号，因此正确；D．∵正实数x，y满足2x+y＝1，∴4x+2y＝22x+2y≥2＝2＝2，当且仅当2x＝y＝时取等号，因此不正确．故选：AC．11．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为AB，AD，B1C1的中点，以下说法正确的是（）A．三棱锥C﹣EFG的体积为2B．A1C⊥平面EFGC．异面直线EF与AG所成的角的余弦值为D．过点E、F、G作正方体的截面，所得截面的面积是3【分析】A三棱锥C﹣EFG的体积＝＝．B由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F．即可判断出结论．C如图所示，建立空间直角坐标系．对于C利用cos＜，＞＝，即可得出异面直线EF与AG所成的角的余弦值；②过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，可得的截面的面积S为以EF为一边的等边三角形面积的6倍．解：对于A、三棱锥C﹣EFG的体积＝＝＝1，故A错误；对于B、由正方体的性质可得：A1C⊥EF，A1C⊥FK，EF∩FK＝F，∴A1C⊥平面EFG；故B正确；对于C、如图所示建立空间直角坐标系．则F（1，0，0），E（2，1，0），A（2，0，0），G（1，2，2），＝（﹣1，﹣1，0），＝（﹣1，2，2），∴cos＜，＞＝＝﹣＝﹣．∴异面直线EF与AG所成的角的余弦值为，故C正确；对于D、过点E、F、G作正方体的截面为正六边形EFKNGM，K，N，M分别为棱的中点，所得的截面的面积S＝＝3≠4，因此D错误；故选：BC．12．已知f（x）是周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝，设g （x）＝f（x）+f（x+1），则（）A．g（2022）＝﹣1B．函数y＝g（x）为周期函数C．函数y＝g（x）的最大值为2D．函数y＝g（x）的图象既有对称轴又有对称中心【分析】根据周期的定义证得函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，即可判断B选项；进而求出g（2022）的函数值，即可判断A选项；然后求出g（x）的在[0，4]上的值域，进而求出在R的值域即可判断C选项；求出对称轴与对称中心即可判断D选项．解：因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+4）＝f（x），所以g（x+4）＝f（x+4）+f（x+5）＝f（x）+f（x+l）＝g（x），所以函数y＝g（x）是以4为周期的周期函数，故B正确；因此g（2022）＝g（2）＝f（2）+f（3）＝f（2）+f（﹣1）＝f（2）﹣f（1）＝2﹣2﹣1＝﹣1，故A正确；对于C，当x∈（0，1）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝x+2﹣（x+l）＝x+2﹣x﹣l＝1，当x∈（1，2）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝f（x）+f（x﹣3）＝f（x）﹣f（3﹣x）＝2﹣x﹣[2﹣（3﹣x）]＝﹣2x+3，所以g（x）单调递减，故g（x）∈（﹣l，1），当x∈（2，3）时，g（x）＝f（x）+f（x+1）＝﹣f（4﹣x）﹣f（3﹣x）＝﹣[2﹣（4﹣x）]当x∈（3，4）时，g（x）＝f（x）+f（x+l）＝﹣f（4﹣x）+f（x﹣3）＝﹣（4﹣x）﹣（x ﹣3）＝﹣1，且g（0）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，g（1）＝f（l）+f（2）＝1+0＝1，g（2）＝f（2）+f（3）＝0+f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，g（3）＝f（3）+f（4）＝f（﹣1）+f（0）＝﹣f（1）＝﹣1，g（4）＝g（0）＝1，所以x∈[0，4]时，g（x）∈[﹣1，1]，由于g（x）周期为4，故g（x）的最大值为1，故C错误；对于D，因为f（x）是周期为4的奇函数，所以f（x+2）＝﹣f（x），f（x﹣2）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝﹣f（x+l），又g（1﹣x）＝f（1﹣x）+f（2﹣x）＝﹣f（x﹣1）﹣f（x﹣2）＝f（x）+f（x+1）＝g（x），所以函数g（x）关于x＝对称，即函数y＝g（x）的图象有对称轴，因为g（x）+g（3﹣x）＝f（x）+f（x+l）+f（3﹣x）+f（4﹣x）＝f（x）+f（x+1）+f（﹣1﹣x）+f（﹣x）＝f（x）+f（x+1）﹣f（1+x）﹣f（x）＝0．所以函数g（x）关于（，0）对称，即函数y＝g（x）的图象有对称中心，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知多项式（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，则a1＝﹣3．【分析】直接利用二项展开式的应用求出结果．解：＝x3+3x2+3x+1；①同理：+＝x4①+②得：（x+1）3+（x﹣1）4＝x4﹣3x3+9x2﹣x+2，由于（x+1）3+（x﹣1）4＝x4+a1x3+a2x2+a3x+a4，所以a1＝﹣3．故答案为：﹣3．14．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则a≥2b的概率为．【分析】根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．解：由题意可得，抛掷两次骰子出现的总可能数为6×6＝36种，其中满足a≥2b的有（2，1），（4，1），（4，2），（6，1），（6，2），（6，3），共6种，故所求的概率P＝．故答案为：．15．已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，则曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是3x﹣y+2＝0．【分析】由已知求得x＜0时的函数解析式，求其导函数，得到函数在x＝﹣1处的导数，再求得f（﹣1），然后利用直线方程的点斜式得答案．解：设x＜0，则﹣x＞0，∵f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝lnx+x2，∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣ln（﹣x）﹣x2，则f′（x）＝﹣2x﹣（x＜0），∴则f′（﹣1）＝3，又f（﹣1）＝﹣1，∴曲线y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．故答案为：3x﹣y+2＝0．16．某校学生在研究折纸实验中发现，当对折后纸张达到一定的厚度时，便不能继续对折了．在理想情况下，对折次数n与纸的长边ω（cm）和厚度x（cm）有关系：n≤log2．现有一张长边为30cm，厚度为0.05cm的矩形纸，根据以上信息，当对折完4次时，的最小值为64；该矩形纸最多能对折6次．（参考数值：lg2≈0.3，lg3≈0.48．）【分析】根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．解：∵n≤log2，∴当对折完4次时，≥4，即，∴，∴的最小值为64，∵＝＝＝≈，∴矩形纸最多能对折6次．故答案为：64，6．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{a n}是等差数列，a1＝2，a2+a3+a4＝18．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝|（）﹣1000|，求数列{b n}的前15项和T15．【分析】（1）求得等差数列{a n}的公差，利用等差数列的通项公式可求得{a n}的通项公式；（2）b n＝|2n﹣1000|＝，利用分组求和及等比数列的求和公式可求得数列{b n}的前15项和T15．解：（1）∵{a n}是等差数列，a2+a3+a4＝18，∴a3＝6，又a1＝2，∴公差d＝＝2，∴a n＝2n；（2）∵a n＝2n，∴b n＝|（）﹣1000|＝|2n﹣1000|＝，∴数列{b n}的前15项和T15＝（1000﹣21）+...+（1000﹣29）+（210﹣1000）+（211﹣1000）+...+（215﹣1000）＝（9000﹣6000）﹣（21+22+...+29）+（210+211+ (215)＝3000﹣+210•＝3000+4+61×210＝65468．18．某工厂购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取80元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取200元，若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由.【分析】（1）由题意写出方案一，二的解析式即可；（2）由条形图分别求出概率，再列出分布列，求期望，判断哪个方案更省钱，更合适．解：（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为y＝10x+60，x∈N，方案二中的日收费y与x的函数关系式为y＝（2）设方案一中的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以E（X）＝190×0.1+200×0.4+210×0.1+220×0.2+230×0.2＝210（元）．方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为X200220240P0.60.20.2E（Y）＝200×0.6+220×0.2+240×0.2＝212（元）．所以从节约成本的角度考虑，选择方案一．19．在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠ADC＝，BC＝4．（1）若△ABC的面积为2，求AC；（2）若AD＝3，∠ACB＝∠ACD+，求tan∠ACD．【分析】（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，可得AB的值，再在△ABC中，利用余弦定理，即可得解；（2）设∠ACD＝α，用含α的式子表示出∠ACB和∠BAC，先在Rt△ACD中，利用三角函数表示出AC，再在△ABC中，由正弦定理，即可得解．解：（1）由S＝AB•BC•sin∠ABC，知2＝AB•4•sin，所以AB＝2，在△ABC中，由余弦定理知，AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos∠ABC＝4+16﹣2×2×4×＝12，所以AC＝2．（2）设∠ACD＝α，则∠ACB＝∠ACD+＝α+，∠BAC＝π﹣（∠ABC+∠ACB）＝﹣α，在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，所以AC＝＝，在△ABC中，由正弦定理知，＝，所以＝，即3cosα＝2sinα，所以tanα＝＝，所以tan∠ACD＝．20．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点，N为B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．（1）证明：A1C⊥BC1；（2）在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM？若存在，请确定Q的位置；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由线面垂直的判断和性质，可得证明；（2）在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．建立空间坐标系，求出平面A1CM的法向量，证明⊥，即可得出PQ∥平面A1CM．解：（1）由△A1B1C1中，A1B1＝B1C1，N为B1C1的中点，可得A1N⊥B1C1，又B1B⊥平面A1B1C1，A1N⊂平面A1B1C1，可得B1B⊥A1N，而B1B∩B1C1＝B1，所以A1N⊥平面B1BCC1，即有A1N⊥BC1，连接CN，由tan∠C1CN＝＝，tan∠CC1B＝＝＝，则tan∠C1CN•tan∠CC1B＝1，可得∠C1CN+∠CC1B＝90°，即有BC1⊥CN，而CN∩A1N＝N，所以BC1⊥平面A1CN，则A1C⊥BC1；（2）以A为原点，以AC，AB，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，则A1（0，0，2），C（2，0，0），M（0，1，0），N（1，1，2），P（1，1，1），所以＝（1，1，0），＝（1，1，﹣1），＝（﹣2，1，0），＝（﹣2，0，2），设平面A1CM的法向量为＝（x，y，z），则令y＝2，可得＝（1，2，1），设＝m＝（m，m，0），则＝﹣＝（m﹣1，m﹣1，1），所以•＝m﹣1+2（m﹣1）+1＝3m﹣2，当⊥时，可得PQ∥平面A1CM，所以3m﹣2＝0，即m＝．所以在线段A1N上存在点Q，且A1Q＝A1N．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到其焦点的距离为2．（1）求点P的坐标及抛物线C的方程；（2）若点M、N在抛物线C上，且k PM•k PN＝﹣，求证：直线MN过定点．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求出p，即可得到抛物线的方程；（2）设M（，y1），N（，y2），由直线的斜率公式可得直线MN的斜率，再由k PM•k PN＝﹣，可得y1，y2的关系式，求得直线MN的方程，再确定定点即可．解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，由抛物线的定义可得|PF|＝1+＝2，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，P（1，2）；（2）证明：设M（，y1），N（，y2），则k MN＝＝，所以k PM•k PN＝•＝＝﹣，所以y1y2+2（y1+y2）＝﹣36，即y1y2＝﹣2（y1+y2）﹣36，则直线MN的方程为y﹣y1＝（x﹣），所以y＝x+，所以y＝x﹣﹣2，即y+2＝（x﹣9），所以直线MN恒过定点（9，﹣2）．22．已知函数f（x）＝ax+lnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x1，x2（x1＜x2）是f（x）的两个零点．证明：（ⅰ）x1+x2＞﹣；（ⅱ）x2﹣x1＞﹣．【分析】（1）求出f'（x），分a≥0和a＜0两种情况，利用导数的正负判断函数的单调性即可；（2）（i）将问题转化为证明，令t＝，设，转化为证明g（t）＞0，然后利用导数研究函数g（t）的单调性，确定g（t）的取值范围，即可证明结论；（ii）设h（x）＝，由导数确定h（x）的单调性，得到﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，确定a的取值范围且1＜x1＜e＜x2，lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，转化为，得到，结合（i）中的结论，即可证明．解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）＝ax+lnx，所以f'（x）＝，当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，当0＜x＜时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增，当x＞时，f'（x）＜0，则f'（x）单调递减．综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（2）证明：（i）原不等式等价于，因为﹣ax1＝lnx1①，﹣ax2＝lnx2②，由②﹣①，可得﹣a（x2﹣x1）＝lnx2﹣lnx1，故，则等价于，因为x2＞x1＞0，所以lnx2﹣lnx1＞0，即证明③，等价于证明，令t＝，设，即证明g（t）＞0，因为，则g（t）在（1，+∞）上单调递增，且g（t）＞g（1）＝0，因此x1+x2＞﹣；（ii）设h（x）＝，则h'（x）＝，所以h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，因为﹣a＝h（x）有两个不相等的实数根，且h（e）＝，则且1＜x1＜e＜x2，因为lnx＜1﹣x对于x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则对于x∈（0，1）恒成立，所以，因为x1＞0，所以，又因为a＜0，△＝4+4ae＞0，所以或，因为0＜x1＜e且，所以，因为，所以，所以．。

2020-2021高三数学上期中试题(附答案)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20173．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则 A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形4．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9005．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+6．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．167．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．8．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D．9．在等差数列{}n a 中，351024a a a ++=，则此数列的前13项的和等于（ ） A ．16B ．26C ．8D ．1310．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n+C ．2324n n +D ．2n n +11．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( )A ．89B ．23C ．6481D ．12524312．若0,0x y >>，且211x y+=，227x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(8,1)-B ．(,8)(1,)-∞-⋃+∞C ．(,1)(8,)-∞-⋃+∞D ．(1,8)-二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且136S =，则91032a a -=__________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________15．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿16．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.17．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.18．已知数列是各项均不为的等差数列，为其前项和，且满足()221n n a S n *-=∈N．若不等式()()11181nn n n a nλ++-+⋅-≤对任意的n *∈N 恒成立，则实数的取值范围是 ．19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．20．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．三、解答题21．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3cos cos (tan tan 1)1A C A C -=．（Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）若33a c +=，3b =,求的面积．22．已知数列{}n a 是公差为2-的等差数列，若1342,,a a a +成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令12n n n b a -=-，数列{}n b 的前n 项和为n S ,求满足0n S ≥成立的n 的最小值.23．已知向量113,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C ，若有33f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边217,sin 7BC B ==，求ABC ∆的面积. 24．各项均为整数的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =-，2a ，3a ，41S +成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{(1)}nn a -•的前2n 项和2n T ．25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，14cos a C a+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V 的面积为32，求a ，c . 26．数列{}n a 中，11a = ，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足21()2n n n S a S =⋅-．（1）求n S 的表达式； (2)设n b ＝21nS n +,求数列{}n b 的前n 项和n T ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。

人教版高三（上学期）数学期中考试卷一、填空题（本大题满分70分，每小题5分）1．设集合A={x|x＞1}，B={x|x＜a}，若A∪B=R，则实数a的取值范围为．2．复数z=（1﹣2i）2+i的实部为．3．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方向，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取名学生．4．从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是．5．函数的图象中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为．7．等比数列{a n}的公比大于1，a5﹣a1=15，a4﹣a2=6，则a3= ．8．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍．9．在平面直角坐标系中，直线x﹣=0被圆x2+y2=4截得的弦长为．10．设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．11．已知点P（1，m）是函数y=ax+图象上的点，直线x+y=b是该函数图象在P点处的切线，则a+b﹣m= ．12．设P为△ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且AD=2，若，则= ．13．若存在正数x使e x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是．14．已知x+y=1，y＞0，x≠0，则+最小值为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知α∈（，π），tanα=﹣2[来源:学科网]（1）求的值；（2）求的值．16．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD，AF⊥PC 于点F，FE∥CD交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）若AC∩BD=O，证明FO∥平面AED．17．设椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过B、F、O三点的圆的圆心为C．（1）若C的坐标为（﹣1，1），求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率．18．为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草．如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB的顶点O为圆心，A在圆周上，B在半径OQ上，设计要求∠ABO=120°．（1）请设置一个变量x，写出该蝶形区域的面积S关于x的函数表达式；（2）x为多少时，该蝶形区域面积S最大？19．设数列{a n}的前n项和为S n（1）若数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，求常数m，t的值，使S n=ma n+t对一切大于零的自然数n都成立．（2）若数列{a n}是首项为a1，公差d≠0的等差数列，证明：存在常数m，t，b使得S n=ma n2+ta n+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=．（3）若数列{a n}满足S n=ma n2+ta n+b，n∈N+，m、t、b（m≠0）为常数，且S n≠0，证明：当t=时，数列{a n}为等差数列．20．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x，x∈R（1）证明f（x）为奇函数，并在R上为增函数；（2）若关于x的不等式f（x）≤me x﹣2x+2m﹣3在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值．附加题21．已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A（2，﹣1）变成了点A′（3，﹣4），点B（﹣1，2）变成了点B（0，5），求矩阵M．22．在极坐标系中，已知圆ρ=与直线相切，求实数a的值．23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥AC，AB=AC=A1B=2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B．（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B 1C1上确定一点P，使AP=，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的正弦值．24．已知（1+）n展开式的各项依次记为a1（x），a2（x），a3（x）…a n（x），a n+1（x）．设F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）．（1）若a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤2n﹣1（n+2）﹣1．人教版2017高三（上学期）数学期中考试卷参考答案一、1． a＞1．2．﹣3．3． 60．4．5． x=．6． 9；7． 48．9． 2．10． 2．11． 2．12． 0．13． a＞﹣1．14．二、15．解：（1）由得：，=（2）sin2α=2sinαcosα=．16．证明：（1）由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD又AD⊥DC，AD∩DC=C根据线面垂直的判定定理，得AD⊥平面PDC⇒又CF⊂面PCD，得AD⊥CF，又AF⊥CF，AF∩CF=C根据线面垂直的判定定理，得CF⊥平面ADF（2）因为AD=PD，由（1）知，F为PC中点．∵ABCD为正方形，AC ∩BD=O，∴O是AC中点，连接FO，则FO是三角形ACP的边AP的中位线，∴FO∥AP，又∵AP⊂面APD，FO⊄面APD，根据线面平行的判定定理，∴FO∥面APD，即FO∥面AED．17．解：（1）∵三角形BFO为直角三角形，∴其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C点坐标为（﹣1，1）得，b=2，c=2，∴a2=b2+c2=8，则圆半径，∴椭圆方程为，圆方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2；（2）由AD与圆C相切，得 AD⊥CO，BF方程为，由，得，由，得b4=2a2c2，（a2﹣c2）2=2a2c2a4﹣4a2c2+c4=0，解得：=．18．解：（1）设∠AOB=x，在三角形AOB中，由正弦定理得===，∴OB=sin（60°﹣x），则S=4S△AOB=2OA•OBsinx=sin（60°﹣x）sinx；（2）由（1）整理得：S=（cosx+sinx）sinx=sin（2x+30°）﹣，则x=30°时，蝶形区域面积最大．19．解：（1）所以m=2，t=﹣1（2）在等差数列{a n}中，a n=a1+（n﹣1）d，所以所以存在，，使得命题成立（3）由题知S n﹣S n﹣1=a n，∴，∴若a n+a n﹣1=0，则S2=0，与题设矛盾所以，m≠0，得所以数列{a n}为等差数列20．解：（1）x∈R，f（﹣x）=e﹣x﹣e x+2x=﹣（e x﹣e﹣x﹣2x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数∵，而，∴f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上增，（2）由f（x）≤me x﹣2x+2m﹣3得e x﹣e﹣x﹣2x≤me x﹣2x+2m﹣3，∴m（e x+2）≥e x﹣e﹣x+3，变形得，∴m只要大于或等于右边式子的最大值即可令t=e x﹣1得，∵∴；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]==2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．∵e x+e﹣x﹣2≥0，（i）当b≤2时，﹣2b+2≥﹣2，∴e x+e﹣x﹣2b+2≥0，∴g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．而g（0）=0，所以对任意x＞0，g（x）＞0．（ii）当b＞2时，∴2b﹣2＞2，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2，即0＜x＜ln（b﹣1+）时，g′（x）＜0．而g（0）=0，因此当0＜x＜ln（b﹣1+）时，g（x）＜0，不满足要求．综上b≤2，故b的最大值为2．21．解：设该二阶矩阵为M=，由题意得=，=，所以，解得，a=2，b=1，c=﹣1，d=2．即．22．解：已知圆ρ=，则转化为直角坐标方程为：转化为直角坐标方程为：x+y﹣a=0利用圆心到直线的距离：解得：a=1或﹣123．解：（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），∴=（0，2，2），=（2，﹣2，0），cos＜＞==﹣，∴AA1与棱BC所成的角是．（2）设，则P（2λ，4﹣2λ，2），，∴||=，解得或（舍），则P为棱B1C1的中点，其坐标为P（1，3，2），设平面PAB的法向量为，则，令z=1，得=（﹣2，0，1），由题意知平面ABA 1的法向量为=（1，0，0），设二面角P﹣AB﹣A1的平面角为θ，则cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴二面角P﹣AB﹣A1的平面角的正弦值为．24．解：（1）由题意可得 a k（x）=•，k=1、2、3，…n+1，x），a2（x），a3（x）的系数依次为=1，•=，故a=．再由2×=1+，解得 n=8．[来源:学&科&网]（2）∵F（x）=a1（x）+2a2（x）+2a2（x）+3a3（x）…+na n（x）+（n+1）a n+1（x）=+2•（）+3•+（n+1）•，∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．设S n=+2+3+…+（n+1），则有S n=（n+1）+n+…+3+2+．把以上2个式子相加，并利用=可得 2S n=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2n，∴S n=（n+2）•2n﹣1．当x∈[0，2]时，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函数，故对任意x1，x2∈[0，2]，恒有|F（x1）﹣F（x2）|≤F（2）﹣F（0）=2n﹣1（n+2）﹣1，命题得证．。

2020-2021高三数学上期中模拟试卷及答案(5)一、选择题1．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9002．已知关于x 的不等式()224300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212a x x x x ++的最大值是（ ） A ．63B ．233C ．433D ．433-3．()()()3663a a a -+-≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3D ．3224．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1825．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．166．已知不等式2230x x --<的解集为A ,260x x +-<的解集为B ，不等式2+0x ax b +<的解集为A B I ，则a b +=（ ）A ．-3B ．1C ．-1D ．37．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值318．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为56米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为()（米 /秒）A ．110B ．310C ．12D ．7109．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）A ．34 B ．56 C ．78D ．2310．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．(22,10C ．()22,10D ．)10,811．已知正项数列{}n a *12(1)()2n n n a a a n N +=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =12．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1B 3C 5D ．77二、填空题13．已知数列111112123123n+++++++L L L ，，，，，，则其前n 项的和等于______． 14．设不等式组30,{230,1x y x y x +-<--≤≥表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线20x y +=对称，对于任意的12,C D ∈Ω∈Ω，则CD 的最小值为__________．15．已知函数()3af x x x=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.16．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a=____. 17．不等式211x x --<的解集是 ．18．定义11222n n n a a a H n-+++=L 为数列{}n a 的均值,已知数列{}n b 的均值12n n H +=,记数列{}n b kn -的前n 项和是n S ,若5n S S ≤对于任意的正整数n 恒成立,则实数k 的取值范围是________．19．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．20．设变量,x y 满足约束条件：21y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为__________．三、解答题21．在ABC V 中，5cos 13A =-，3cos 5B =． (1)求sinC 的值；(2)设5BC =，求ABC V 的面积．22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．已知{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，且b 1＝a 1＝1，b 3＝a 4，b 1＋b 2＋b 3＝a 3＋a 4.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .24．已知向量11,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边7BC B ==，求ABC ∆的面积. 25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c()cos 2cos C b A =(Ⅰ)求角A 的大小；(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．26．在ABC ∆角中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若asinB =． （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为5a =，求ABC ∆的周长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 2．D解析：D 【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），根据韦达定理，可得：2123x x a =，x 1+x 2=4a ，那么：1212a x x x x ++=4a +13a． ∵a ＜0， ∴-（4a +13a ），即4a +13a ≤故1212a x x x x ++的最大值为3-． 故选D ．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.3．B解析：B 【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.4．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．5．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A 【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.6．A解析：A 【解析】 【分析】根据题意先求出集合,A B ，然后求出=1,2A B -I ()，再根据三个二次之间的关系求出,a b ，可得答案.【详解】由不等式2230x x --<有13x -<<，则(1,3)A =-. 由不等式260x x +-<有，则32x -<<，则(3,2)B =-. 所以=1,2A B -I ().因为不等式2+0x ax b +<的解集为A B I , 所以方程2+=0x ax b +的两个根为1,2-. 由韦达定理有：1212a b-+=-⎧⎨-⨯=⎩,即=12a b -⎧⎨=-⎩. 所以3a b +=-. 故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式的解法和三个二次之间的关系，属于中档题.7．A解析：A 【解析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.8．B解析：B 【解析】试题分析： 如下图：由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：56sin 45AB =o 103AB ∴=那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3sin 6010315AD AB ∴===o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为310（米 /秒）. 故选B ．考点：解三角形在实际问题中的应用．9．A【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34． 故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得a <<C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<.解析：B 【解析】【分析】()()1122n n n n+-=-的表达式，可得出数列{}n a的通项公式.【详解】(1)(1),(2)22n n n nn n+-=-=≥1=，所以2,(1),nn n a n=≥=，选B.【点睛】给出n S与n a的递推关系求n a，常用思路是：一是利用1,2n n na S S n-=-≥转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S的递推关系，先求出n S与n之间的关系，再求n a. 应用关系式11,1{,2nn nS naS S n-==-≥时，一定要注意分1,2n n=≥两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.12．D解析：D【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin0b A B=化简得cosA2=-，由余弦定理可得222227a b c bccosA c=+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin0b A B+=，可得sin2sin0sinB A B+=，即2sin sin0sinB AcosA B=由于：0sinBsinA≠，所以cosA2=-：，因为0＜A＜π，所以5πA6=．又b=，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c=+-=++=.即227a c=，所以ca=.故选：D．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．二、填空题13．【解析】【分析】由题意可知此数列为将代入根据数列特点将通项公式化简利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项以1为公差的等差数列的前n 项和由公式可得：所以数列通项 解析：21nn + 【解析】 【分析】由题意可知此数列为1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将n S 代入，根据数列特点，将通项公式化简，利用裂项相消的求和方法即可求出前n 项和. 【详解】由题意可知此数列分母为以1为首项，以1为公差的等差数列的前n 项和， 由公式可得：()12n n n S +=，所以数列通项：()1211211nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 求和得：122111nn n ⎛⎫-=⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查数列通项公式与数列求和，当通项公式为分式且分母为之差为常数时，可利用裂项相消的方法求和，裂项时注意式子的恒等，有时要乘上系数.14．【解析】作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分由三角形ABC 构成其中作出直线显然点A 到直线的距离最近由其几何意义知区域内的点最短距离为点A 到直线的距离的2倍由点到直线的距离公式有：所以区域内的点与区【解析】作出不等式组所表示的可行域1Ω ，如图阴影部分，由三角形ABC 构成，其中(11),(30),(12)A B C -，，， ，作出直线20x y += ，显然点A 到直线20x y +=的距离最近，由其几何意义知，区域12,ΩΩ 内的点最短距离为点A 到直线20x y +=的距离的2倍，由点到直线的距离公式有：d ==，所以区域1Ω 内的点与区域2Ω 内的点之，即CD =点睛：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题. 巧妙识别目标函数的几何意义是解答本题的关键.15．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30【解析】 【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x a ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.【详解】 ∵()3af x x x=++，*x ∈N ， ∴()2221a x af x x x -'=-=，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意， 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =当0x a <<()0f x '<，函数()f x 在区间(a 上单调递减，当x a ()0f x '>，函数()f x 在区间),a +∞上单调递增，∴当x a =()f x 取最小值，又*x ∈N ，∴x a ()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值， ∴56a <<或45a <≤，∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354a a++≤++， 解得2030a ≤≤.故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.16．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32aa 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=，0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.17．【解析】【分析】【详解】由条件可得 解析：{}|02x x <<【解析】 【分析】 【详解】 由条件可得18．【解析】【分析】因为从而求出可得数列为等差数列记数列为从而将对任意的恒成立化为即可求得答案【详解】故则对也成立则数列为等差数列记数列为故对任意的恒成立可化为:；即解得故答案为:【点睛】本题考查了根据解析：712[,]35【解析】 【分析】因为1112222n n n b b b n -+++⋯+=⋅,2121()2212n nn b b b n --++⋯+=-⋅,从而求出2(1)n b n =+,可得数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c ,从而将5n S S ≤对任意的*(N )n n ∈恒成立化为50c ≥,60c ≤,即可求得答案. 【详解】Q 1112222n n n n b b b H n-++++==L ,∴ 1112222n n n b b b n -++++=⋅L ,故2121()(22212)n nn b b n b n --⋅++=-≥+L ,∴112212()n n n n b n n -+=⋅--⋅1()2n n =+⋅,则2(1)n b n =+,对1b 也成立,∴2(1)n b n =+,则()22n b kn k n -=-+,∴数列{}n b kn -为等差数列,记数列{}n b kn -为{}n c .故5n S S ≤对任意的*N ()n n ∈恒成立,可化为:50c ≥,60c ≤；即5(2)206(2)20k k -+≥⎧⎨-+≤⎩,解得,71235k ≤≤,故答案为:712[,]35． 【点睛】本题考查了根据递推公式求数列通项公式和数列的单调性,掌握判断数列前n 项和最大值的方法是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.19．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15解析：【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin15040sin154AC ===oo，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC=∠∠，所以BC 80sin15160154012CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB＝((08116008160216002-+++⨯⨯⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB =则两目标A ，B间的距离为．故答案为． 【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．20．-10【解析】作出可行域如图所示：由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最大此时最小由得此时故答案为解析：-10 【解析】作出可行域如图所示：由3z x y =-得33x z y =-，平移直线33x zy =-，由图象可知当直线经过点A 时，直线33x zy =-的截距最大，此时z 最小由1{2x x y =-+=得(1,3)A -，此时13310z =--⨯=-故答案为10-三、解答题21．（1）1665；（2）83. 【解析】 【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换求得结果;(2)利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果． 【详解】(1)在ABC V 中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． 所以()16sin sin sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=； (2)由正弦定理sin sin AC BCB A=， 解得：sin 13sin 3BC B AC A ⋅==，所以ABC V 的面积：1113168sin 5223653S BC AC C =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=． 【点睛】本题考查的知识点：三角函数关系式的恒等变换，三角形内角和定理，正弦定理的应用，三角形面积公式的应用及相关的运算问题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。

2020-2021高三数学上期中一模试题(及答案)一、选择题1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值是( )A ．4B ．2C ．2-D ．4-2．已知数列{}n a 的首项11a =，数列{}n b 为等比数列，且1n n na b a +=．若10112b b =，则21a =（ ）A ．92B ．102C ．112D ．122 3．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1824．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（ ）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．()()3,24,5--⋃C ．(]4,5D ．（4,5）5．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A ．10 kmBkmC．D． 6．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）. A ．13B ．15C ．19D ．217．已知：0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2- B ．(][),42,-∞-+∞U C ．()2,4- D ．(][),24,-∞-⋃+∞8．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<9．在等比数列{}n a 中，21a a 2-=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，则4a 为( ) A ．9B ．27C ．54D ．8110．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14B ．21C ．28D ．3511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134 B ．135C ．136D ．13712．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ）A ．()8,10B ．()22,10C ．()22,10D ．()10,8二、填空题13．若数列{}n a 满足11a =，()()11132nn n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式()()112121n n n n a b ++=-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________14．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的取值范围为_______． 15．已知数列的前项和，则_______．16．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，则数列{}n a 的通项公式为________． 17．对一切实数x ，不等式2||10x a x ++≥恒成立，则实数a 的取值范围是_______18．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________19．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T 若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a ab b b b +++的值为_______． 20．（理）设函数2()1f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，2()4()(1)4()xf m f x f x f m m-≤-+恒成立，则实数m 的取值范围是______． 三、解答题21．为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD ．其中AB ＝3百米，AD 5是以D 为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC ，BD （路的宽度忽略不计），设∠BAD＝θ，θ∈(2π，π)．（1）当cos θ＝55-时，求小路AC 的长度； （2）当草坪ABCD 的面积最大时，求此时小路BD 的长度． 22．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 31cos a Cc A=-.（1）求角A 的大小；（2）若10b c +=，ABC ∆的面积43ABC S ∆=，求a 的值. 23．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 24．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =．（1）求索道AB 的长；（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？25．已知向量11,sin 22x x a ⎛⎫ ⎝=⎪ ⎪⎭v 与()1,b y =v 共线，设函数()y f x =. （1）求函数()f x 的最小正周期及最大值.（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,A B C，若有3f A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，边7BC B ==，求ABC ∆的面积. 26．已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n n n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】利用n S 先求出n a ，然后计算出结果. 【详解】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+,142a λ+∴=, 故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=,Q 数列{}n a 是等比数列,则11a =，故412λ+=, 解得2λ=-, 故选C . 【点睛】本题主要考查了等比数列前n 项和n S 的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.2．B解析：B【分析】由已知条件推导出a n =b 1b 2…b n-1，由此利用b 10b 11=2，根据等比数列的性质能求出a 21． 【详解】数列{a n }的首项a 1=1，数列{b n }为等比数列，且1n n na b a +=， ∴3212212a a b a b a a =＝，＝4312341233aa b b b a b b b a ∴=∴=，，＝，， …101211011211220120219101122n n a b b b b b a b b b b b b b b b -=⋯=∴=⋯=⨯⨯⋯⨯=Q ，，（）（）（） ． 故选B ． 【点睛】本题考查数列的第21项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递公式和等比数列的性质的合理运用．3．B解析：B 【解析】∵3572a a +=，∴11272(4)a d a d ++=+，即167a d +=，∴13711313(6)13791S a a d ==+=⨯=，故选B ．4．A解析：A 【解析】 【分析】不等式等价转化为(1)()0x x a --<，当1a >时，得1x a <<，当1a <时，得1<<a x ，由此根据解集中恰有3个整数解，能求出a 的取值范围。