《作业推荐》—4.5函数的应用（二）函数零点模块一、单选题(共 36 分)1.方程(12)x −x 12=0 有解x 0，则x 0在下列哪个区间（ ） A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】B【解析】【分析】 根据题意，构造函数f (x )=(12)x −x 12，判断函数在定义域上为单调减函数，分析可得f （0）＞0，f （1）＜0，用零点存在定理判断即可．【详解】根据题意，构造函数f (x )=(12)x−x 12，函数在[0,+∞)上单调递减，∵f (0)=1>0，f (1)=12−1=−12<0， ∴函数f (x )=(12)x−x 12的零点在区间(0,1)上，故选：B【点睛】本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，关键是掌握函数零点的判定定理．2.函数f(x)=log 3x −32x 在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为（ ）A.[1,32]B.[32,2]C.[2,52]D.[52,3] 【答案】C【解析】【分析】分别求得f(1),f(32),f(2),f(52),f(3),进而根据零点存在性定理进行判断即可 【详解】由题,f(1)=−32<0,f(32)=log 332−1=log 332−log 33=log 312<0, f(2)=log 32−34=log 32−log 3334=log √334log 3√16274<0,f(52)=log 352−35=log 352−log 3335=log 2√275>log 2√325log 354>0, f(3)=1−12=12>0, 因此,f(2)⋅f(52)<0,则函数f(x)的零点在区间[2,52]内, 故选：C【点睛】本题考查利用零点存在性定理判断零点所在区间,考查对数的运算3.函数f (x )=3x |log 2x |−1的零点个数为（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】函数的零点转化为方程3x |log 2x |−1=0的解，转化为函数y =|log 2x |与y =(13)x 的交点，数形结合即可解得. 【详解】解：函数f (x )=3x |log 2x |−1的零点，即方程3x |log 2x |−1=0的解，即|log 2x |=(13)x ，转化为函数y =|log 2x |与y =(13)x的交点， 在同一平面直角坐标系上作出函数y =|log 2x |与y =(13)x的图象，如下所示：从函数图象可知，y =|log 2x |与y =(13)x有两个交点，即方程3x |log 2x |−1=0有两个实数根，即函数f (x )=3x |log 2x |−1有两个零点，【点睛】本题考查函数的零点，体现了函数方程思想及数形结合思想，属于基础题.4.设函数f(x)={2x,x<1|x−3|,x≥1，则函数g(x)=f(x)−12x−1的零点的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【详解】由g(x)=f(x)−12x−1得f(x)=12x+1，作出f(x)与y=12x+1的图象，由图象知两个函数共有4个交点，则函数g(x)的零点个数为4个，故选：D【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合或者定义法是解决本题的关键．5.已知函数f(x)=(x−1)(x−2)+(x−1)(x−3)+(x−2)(x−3)有两个零点，这两个零点所在的区间为（）A.(−∞,1)∪(2,3)B.(1,2)∪(3,+∞)C.(−∞,1)∪(3,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【答案】D【解析】【分析】可利用零点存在定理进行求解由零点存在定理，得f(1)=(1−2)(1−3)=2，f(2)=(2−1)(2−3)=−1，f(3)=(3−1)(3−2)=2，f(1)⋅f(2)<0,f(2)⋅f(3)<0，则零点区间在(1,2)和(2,3)内故选：D【点睛】本题考查函数零点存在定理的应用，属于基础题6.已知函数f(x)={|log2x|,x>0，−x2−2x,x≤0.关于x的方程f(x)=m,m∈R，有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的取值范围为（）A.(0,+∞)B.(0,12) C.(1,32) D.(1,+∞)【答案】B【解析】【分析】由题意作函数y=f(x)与y=m的图象，从而可得x1+x2=−2，0<log2x4⩽2，x3·x4=1，从而得解【详解】解：因为f(x)={|log2x|,x>0，−x2−2x,x≤0.，可作函数图象如下所示：依题意关于x的方程f(x)=m,m∈R，有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,即函数y=f(x)与y=m的图象有四个不同的交点，由图可知令x1<−1<x2<0<12<x3<1<x4<2，则x1+x2=−2，−log2x3=log2x4，即log2x3+log2x4=0，所以x3x4=1，则x3=1x4，x4∈(1,2)所以x1+x2+x3+x4=−2+1x4+x4，x4∈(1,2)因为y=1x +x，在x∈(1,2)上单调递增，所以y∈(2,52)，即1x4+x4∈(2,52)∴x1+x2+x3+x4=−2+1x4+x4∈(0,12)故选：B【点睛】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．属于中档题7.函数f(x)={2log2x,x≥1,f(x+1),x<1,，若方程f(x)=−2x+m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A.(−∞,4) B.(−∞,4] C.(−2,4) D.(−2,4]【答案】A【解析】【分析】令g(x)=−2x+m,分别画出f(x)与g(x)的图象,根据只有两个交点找到m的范围【详解】令g(x)=−2x+m,画出f(x)与g(x)的图象,平移直线,当直线经过(1,2)时只有一个交点,此时m=4,向右平移,不再符合条件,故m<4故选：A【点睛】本题考查已知零点个数求参问题,考查数形结合思想8.函数f (x )={√1−x 2,|x|≤1|x|,|x|>1，若方程f (x )=a 有且只有一个实数根，则实数a 满足（ ） A.a =1 B.a >1 C.0≤a <1 D.a <0【答案】A【解析】【分析】作出函数f (x )图像，数形结合，即可求出答案.【详解】做出函数f (x )图像，如下图所示：f (x )=1有且只有一个实数根.故选:A【点睛】本题考查函数零点的个数，考查数形结合思想，属于基础题.9.已知函数f(x)={x 3−3x,x ≤0,x +a x ,x >0,下列关于函数y =f(f(x))−2的零点个数判断正确的是（）A.当a >0时，至少有2个零点B.当a >0时，至多有9个零点C.当a <0时，至少有4个零点D.当a <0时，至多有4个零点【答案】B【解析】【分析】画出f(x)的图像,再分a >0,a <0两种情况分析复合函数的零点个数即可.【详解】先分析y=x3−3x,x≤0,y′=3x2−3,令y′=3x2−3=0,x=±1,故y=x3−3x,x≤0在x=−1处取最大值2.①当a>0时：要取得最少的零点个数,则a>1,此时x+ax ≥2√x⋅ax=2√a>2,(x>0).此时函数图像如图.故y=f(f(x))−2=0有f(f(x))=2,故f(x)=−1,由图得y=f(f(x))−2零点个数为1.故A错误.要取得最多的零点个数,则此时0<a<1,此时x+ax ≥2√x⋅ax=2√a<2,(x>0).如图故y=f(f(x))−2=0有f(f(x))=2,所以f1(x)=−1,f2(x)=t1,f3(x)=t2.当2√a<t1,t2<2时, f1(x)=−1有一根, f2(x)=t1,f3(x)=t2均有4根,一共有9个零点.此时t+at=2即t2−2t+a=0在区间(2√a,2)上有两根t1,t2.故{(2√a)2−2×2√a+a>022−2×2+a>0(−2)2−4a>0.求解得1625<a<1.故B正确.②当a<0时,函数y=x+ax为增函数,画出图像有=2⇒t2−2t+a=0,由图知t>0,故t=1+√1−a>2.故f1(x)=−1令y=f(f(x))−2=0有f1(x)=−1,f2(x)=t,其中t+at有2个零点, f2(x)=t有一个零点.故一共有3个零点.所以C,D错误.【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数的零点个数的问题,一般方法是画出图像再分析内层函数的函数值,再当成函数值求零点个数.属于难题.二、填空题(共24 分)10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2x．若关于x的方程f(x)−m=0有四个不同的实数解，则实数m的取值范围是_____．【答案】(−1,0)【解析】【分析】若方程f(x)−m=0有四个不同的实数解，则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点，作出函数f(x)的图象，由数形结合法分析即可得答案．【详解】因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且当x≥0时，f(x)=x2−2x，所以函数f(x)图象关于y轴对称，作出函数f(x)的图象：若方程f(x)−m=0有四个不同的实数解，则函数y=f(x)与直线y=m有4个交点，由图象可知：−1<m <0时，即有4个交点.故m 的取值范围是(−1,0)，故答案为：(−1,0)【点睛】本题主要考查了偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，数形结合，属于中档题.11.已知函数f(x)=|(12)x −2|−k ,若函数f(x)有两个不同零点，则实数k 取值范围是______【答案】(0,2)【解析】【分析】函数f(x)=|(12)x −2|−k 有两个不同零点，转化为|(12)x −2|=k 有2个不等实根，作出y =|(12)x −2|与y =k 的图象，数形结合即可求解.【详解】由f(x)=|(12)x −2|−k =0可得|(12)x −2|=k ， 作出y =|(12)x −2|与y =k 的图象函数图象如图：由图象可知，当k ∈(0,2)时，图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点故答案为：(0,2)【点睛】本题主要考查了函数零点，函数与方程，函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.12.已知函数f (x )={4x −x 2,x ≥01x,x <0 ，若函数g (x )=|f (x )|−b 有两个零点，则实数b 的取值范围为__________.【答案】(4,+∞)∪{0}【解析】【分析】可将函数零点问题通过构造函数ℎ(x)=|f(x)|,t(x)=b，采用数形结合思想进行求解【详解】令g(x)=|f(x)|−b=0，即|f(x)|=b，令ℎ(x)=|f(x)|,t(x)=b，先画出ℎ(x)=|f(x)|的图像，如图所示：要使函数g(x)=|f(x)|−b有两个零点，即使ℎ(x)与t(x)有两交点，即ℎ(2)=4，故当b∈(4,+∞)时，函数g(x)=|f(x)|−b有两个零点，故答案为：(4,+∞)∪{0}【点睛】本题考查函数与方程中由零点个数确定参数范围，构造函数法，数形结合思想的应用，属于中档题13.定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−f(x+2)，f(x)=f(2−x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2，则方程f(x)=1在[−8,10]上x−2所有根的和为______________【答案】16【解析】【分析】根据f(x)=−f(x+2)推出周期,根据f(x)=−f(x+2)，f(x)=f(2−x),以及当x∈[0,1]时，f(x)=x2,推出x∈[1,5]的解析式,根据解析式作出一个周期的图象,再根据周期得到函数在[−8,10]的图象,根据f(4−x)+f(x)=0得到f(x)的图象关于(2,0)成中心对称,由图可知8个交点分成4组关于(2,0)成中心对称,由对称性可得答案.【详解】因为f(4−x)=f[2−(x−2)]=f(x−2),而f(x−2)=−f(x−2+2)=−f(x),所以f(4−x)=−f(x),即f(4−x)+f(x)=0,所以f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称,当x∈[0,1]时,f(x)=x2,当x∈[1,2]时,2−x∈[0,1],所以f(x)=f(2−x)=(2−x)2,当x∈[−1,0]时, x+2∈[1,2],所以f(x)=−f(x+2)=−[(2−(x+2)]2=−x2,当x∈[2,3]时,2−x∈[−1,0],所以f(x)=f(2−x)=−(2−x)2=−(x−2)2,又由f(x)=−f(x+2),得f(x+2)=−f(x+4),所以f(x)=−[−f(x+4)]=f(x+4),所以f(x)的周期为4,由此可得函数f(x)在[−8,10]内的图像和函数y=1x−2的图象,如图所示:因为方程f(x)=1x−2在[−8,10]上所有根的和等于函数y=f(x)与函数y=1x−2的交点的横坐标之和,由图可知,两个函数共有8个交点,这8个交点的横坐标之和为4+4+4+4=16.故答案为:16【点睛】本题考查了函数的周期性,对称性,数形结合思想,函数与方程思想,找到8个交点的对称性是解题关键,本题属于较难题.14.已知函数f(x)={x+4x,0<x<4−x2+10x−20,x≥4，若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是_________．【答案】(96,100)【解析】【分析】根据解析式画出图象，数形结合可得y∈(4,5)时，存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，根据解析式可以求出x1x2=4，x3+x4=10，所以x1x2x3x4可化成−4(x3−5)2+100，再结合x3范围即可求出取值范围．【详解】解：∵f(x)={x+4x,0<x<4−x2+10x−20,x≥4可得函数图象如下所示由图可知，当y∈(4,5)时，存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，不妨令此时y=a，则对于x1、x2满足方程x+4x=a，即x2−ax+4=0，所以x1x2=4；对于x3、x4满足方程−x2+10x−20=a，即−x2+10x−20−a=0，所以x3+x4=10，则有x4=10−x3，∴x1x2x3x4=4x3x4=4x3(10−x3)=−4(x3−5)2+100，其中x3∈(4,5)，则−4(x3−5)2+100∈(96,100)，即x1x2x3x4∈(96,100)故答案为：(96,100)．【点睛】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题．15.若定义在R上的函数y=f(x)，其图像是连续不断的，且存在常数k(k∈R)使得f(x+k)+kf(x)=0对任意实数x都成立，则称y =f (x )是一个“k ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为____________.①f (x )=3x 是一个“k ～特征函数”；②f (x )=x −3不是“k ～特征函数”；③f (x )=0是常数函数中唯一的“k ～特征函数”；④“13～特征函数”至少有一个零点； 【答案】②②②【解析】【分析】根据题意：依次检验定义域，连续性，是否存在常数k(k ∈R)使得f(x +k)+kf(x)=0对任意实数x 都成立即可.【详解】①f(x)=3x ，考虑f(x)=3x 即：3x+k +3x k =0，3x (3k +k)=0，考虑g(k)=3k +k,g(−1)=−23,g(0)=1，必存在k 0∈(−1,0)使g(k 0)=0， 即存在k 0∈(−1,0)，使得f(x +k 0)+k 0f(x)=0对任意实数x 都成立，所以①正确；②f(x)=x −3，讨论f(x +k)+kf(x)=0，即x +k −3+k(x −3)=0当x =2时，关于k 的方程2+k −3+k(2−3)=0无解，不存在k(k ∈R)使f(x +k)+kf(x)=0对任意实数x 都成立，所以f(x)=x −3不是“k ～特征函数”，所以②正确；③设常数函数f(x)=m ，讨论f(x +k)+kf(x)=0，即(1+k)m =0，当k =−1时对任意实数x 都成立，所以任何一个常数函数都可以是“-1～特征函数”，所以③错误；④设f(x)是“13～特征函数”， 则f(x)是定义在R 上的连续函数， 且f(x +13)+13f(x)=0对任意实数x 都成立， 下面利用反证法证明f(x)必有零点：证明：假设f(x)没有零点，因为f(x)是定义在R 上的连续函数，则f(x)>0恒成立，或f(x)<0恒成立；当f(x)>0恒成立，则f(x +13)>0，f(x +13)+13f(x)>0，与题矛盾； 当f(x)<0恒成立，则f(x +13)<0，f(x +13)+13f(x)<0，与题矛盾；所以f(x)必有零点，所以④正确.故答案为：②②②【点睛】此题作为一个新定义题型，重点考查函数的相关性质，对函数性质的综合应用能力要求极高，关键在于读懂题意，抓住细节，如定义域，连续函数，存在常数k(k ∈R)对任意实数x 都成立，对转化与化归思想要求较高.三、解答题(共 40 分)16.已知定义在R 上的函数f (x )={−x 2+4x,x ≤a |x −2|,x >a. （1）当a =1时，写出f (x )的单调区间；（2）若关于x 的方程f (x )=a 有三个不等的实根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）增区间(−∞,1],(2,+∞)；减区间(1,2]；（2）(0,1)∪[3,4).【解析】【分析】（1）当a =1时，将f (x )写为分段函数的形式，由此求得f (x )的单调区间.（2）对a 分成a <2,a >2,a =2三种情况进行分类讨论，结合分段函数f (x )的解析式、单调区间和根的分布，求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当a =1时，f (x )={−x 2+4x,x ≤12−x,1<x ≤2x −2,x >2，所以f (x )的增区间为(−∞,1],(2,+∞)；减区间为(1,2].（2）当a <2时，f (x )={−x 2+4x,x ≤a2−x,a <x ≤2x −2,x >2，所以f (x )在(−∞,a ],(a,2],(2,+∞)上都是单调函数，故f (x )=a 在每个区间内各有一根.−x 2+4x =a 在(−∞,a ]内有一根，需满足a ≤−a 2+4a ，解得0≤a ≤3.2−x =a 在(2,a ]内有一根，需满足0≤a ≤2−a 得0≤a <1.x −2=a 在(2,+∞)内有一根，需满足a >0.综上得0<a <1.当a >2时，f (x )={−x 2+4x,x ≤a x −2,x >a，f (x )在(−∞,2],(2,a ],(a,+∞)上都是单调函数，故f (x )=a 在每个区间内各有一根. −x 2+4x =a 在(−∞,2]，(2,a ]内各有一根，需满足−a 2+4a ≤a <4，得3≤a <4.x −2=a 在(a,+∞)内有一根，需满足a −2<a ，成立.综上得3≤a <4.当a =2时，f (x )={−x 2+4x,x ≤2x −4,x >2，此时f (x )只有两个单调区间，方程f (x )=a 不可能有三个不同的根. 综上所述，a 的取值范围是(0,1)∪[3,4).【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.17.已知函数f (x )＝|x －2|.(1)求不等式f (x )≤5－|x －1|的解集；(2)若函数g (x )＝1x－f (2x )－a 的图象在(12,+∞)上与x 轴有3个不同的交点，求a 的取值范围. 【答案】(1) [－1,4]；(2) (2√2－2,1).【解析】【分析】（1）零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.（2）设h(x)＝1x －f(2x)＝1x－|2x－2|，利用基本不等式求出h(x)min＝2√2－2.将问题等价于h(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，利用数形结合即可求解. 【详解】(1)由f(x)≤5－|x－1|，得|x－1|＋|x－2|≤5，所以{x>22x−3≤5或{1≤x≤21≤5或{x<13−2x≤5，解得－1≤x≤4，故不等式f(x)≤5－|x－1|的解集为[－1,4].(2)设h(x)＝1x －f(2x)＝1x－|2x－2|＝{1x−2x+2, x≥11x+2x−2, 12<x<1，当12<x<1时，h(x)＝1x ＋2x－2≥2√1x×2x－2＝2√2－2，当且仅当1x ＝2x即x＝√22时取等号，所以h(x)min＝2√2－2.当x≥1时，h(x)＝1x－2x＋2递减，画出函数h(x)的草图，如图：原问题等价于h(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，结合h(x)的图象可得，a∈(2√2－2,1).【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，数形结合的思想以及化归、转化的思想，属于中档题.。
