嵌套函数与函数的零点问题

，
结合图象可得 ，
故答案为 ， ．
变式5．已知函数 ， ，则当方程 有6个解时 的取值范围是
A． B． 或 C． D．
【解析】解： 函数 ， ，
，
令 得： ，或 ，
故当 时，函数 取极大值1，当 时，函数取极小值 ；
则 与 的交点情况为：
当 ，或 时，有一个交点；
当 ，或 时，有两个交点；
当 时，有三个交点；
令： ，则方程在 ， 上一定有解
，
．
故答案为： ．
变式6．设函数 ．若对任意 ，均有 ，则实数 的取值范围是．
【解析】解：函数 ．若对任意 ，均有 ，
即为 ，
即 ，
可得 恒成立，
由 ，
即有 ，
故答案为： ．
变式7．对于函数 ，若 ，则称 为 的“不动点”，若 ，则称 为 的“稳定点”，记 ， ，则下列说法错误的是
若 ，
则可判断 有解，故成立；
若 ，
则可判断 有解，故成立；
若 ，
则可判断 有解，故成立；
若 ，
则可判断 无解，故不成立；
故选： ．
例11． 和 都是定义在 上的函数，且方程 有实数解，则 不可能是
A． B． C． D．
【解析】解：因为 ，所以 ，得 ，
即 ，所以 与 是等价的，
即 有解， 也有解，也就是说有解得都是有可能的，
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△ ，
即 恒成立，则△ ，故 ．
（3）设 ， ， ， ， ， ，
又 的中点在该直线上，所以 ，
，
而 ， 应是方程①的两个根，所以 ，即 ，
，
当 时， ．
例8．定义：若函数 对于其定义域内的某一数 ，有 ，则称 是 的一个不动点．已知函数 ．

《函数零点》专项突破 高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难. 考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理 题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例3-2（一个曲线一个直线）（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2022福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．例3-4（两个曲线）（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.（两个曲线）（2022·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．92（两个曲线）【2022河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个例3-5（直接解出零点）（2022·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2022·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24例4-2（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36类型五、等高线的使用例5-1．（2022·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.例5-2（2022·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ）A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例5-3（2022·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①例5-4．（2022·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型六、嵌套函数零点例6-1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6-2．（2022·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.例6-3（2022·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．例6-4. 已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ． (0,14) B ． (13,3) C ． (1,2) D ． (2,94)类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3 B ．(]1,3 C ．[]1,3 D ．[)3,+∞例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2022·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （①）求()f x 的单调区间；（①）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<练、已知函数f(x)＝xe －x .(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x 1≠x 2且f(x 1)＝f(x 2)，求证：x 1＋x 2>2.练、已知函数f(x)＝xln x 的图象与直线y ＝m 交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．求证：x 1x 2<1e 2.练（2022·沙坪坝区·重庆八中）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln31,-+∞，求实数a 的取值范围．练．已知2()4ln f x x x a x =-+.已知函数()f x 有两个极值点12x x ，（12x x <），若123()20f x mx ->恒成立，试求m 的取值范围.。

嵌套函数的零点问题1.已知$f(x)=|e^x-1|+1$，若函数$g(x)=(f(x))^2+(a-2)f(x)-2a$有三个零点，则实数$a$的取值范围是什么？2.若函数$f(x)=\begin{cases} x+1.& x\leq 0 \\ \ln x。

& x>0 \end{cases}$，则函数$y=f(f(x))+1$的零点个数是多少？3.已知$f(x)=|e^x-1|$，$g(x)=f^2(x)-tf(x)$，若满足$g(x)=-1$的$x$有三个，则$t$的取值范围是什么？4.若函数$f(x)=e^x$，则方程$3f(f(x))-e^3=0$的根的个数是多少？5.已知函数$f(x)=\begin{cases} | \log(-x) |。

& x<0 \\ x^2+x-6x+4.& x\geq 2 \end{cases}$，若关于$x$的方程$f^2(x)-bf(x)+1=0$有8个不同的根，则实数$b$的取值范围是什么？6.已知函数$f(x)=\begin{cases} x^2+2x。

& x>0 \\ \ln(1-x)+4.& x\leq 0 \end{cases}$，那么关于$x$的方程$f(x^2-4x)=6$的不同实数根的个数是多少？7.已知函数$y=f(x)$是定义域为$\mathbb{R}$上的偶函数，当$x\geq 2$时，$f(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)$，当$-2\leq x\leq 2$时，$f(x)=\frac{1}{4}(1-x^2)$。

若关于$x$的方程$(f(x))^2+af(x)+\frac{1}{16}=0$，$a\in\mathbb{R}$有且仅有8个不同的实数根，则实数$a$的取值范围是什么？8.已知函数$f(x)=x$，$g(x)=f(f(x)-1)$，其中$t>0$。

高考数学函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【解题思路】1.嵌套函数形式：形如2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩（1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1(0)f x ax b x b a =++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+。

第12讲函数与方程知识梳理一、函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点.三、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0,f c c =也就是方程()0f x =的根.四、二分法对于区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()f x ，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.五、用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精度ε.（2）求区间(),a b 的中点1x .（3）计算()1f x .若()10,f x =则1x 就是函数()f x 的零点；若()()10f a f x ⋅<，则令1b x =（此时零点()01,x a x ∈）.若()()10f b f x ⋅<，则令1a x =（此时零点()01,x x b ∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(x f 在定义域上是单调函数，则)(x f 至多有一个零点.②连续不断的函数)(x f ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(x f 通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(x f 在闭区间][b a ，上有零点，不一定能推出0)()(<b f a f .必考题型全归纳题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数()h x 是奇函数，且()()2f x h x =+，若2x =是函数()y f x =的一个零点，则(2)f -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知0x 是函数()tan 2f x x =-的一个零点，则0sin 2x 的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log ,log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知()e ln 2x f x x =++，若0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，则0x 可能存在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【解题总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数()22log f x x x m =++在区间()1,2存在零点．则实数m 的取值范围是（）A ．(),5-∞-B ．()5,1--C ．()1,5D ．()5,+∞【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数3()2xf x a x=--的一个零点在区间()1,3内，则实数a 的取值范围是（）A ．()7,+∞B ．(),1-∞-C ．()(),17,-∞-+∞ D ．()1,7-【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数，若函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，则m 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．(11)-，C ．(2,2)-D ．()01，【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数()2ln f x x ax b =++，若()f x 在区间[]2,3上有零点，则ab 的最大值为__________.【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数()sin sin f x ax a x =-在(0,2π)上有零点，则实数a 的取值范围___________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x ，y满足2y +=，e 5x x +=，则2x y +=________.【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数()3234f x ax x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是________．【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数24,0()11,0x x a x f x a x x⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--在R 上恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是________．【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设R a ∈，对任意实数x ，记(){}2min e 2,e e 24x x x f x a a =--++．若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m ，n 满足()202323ln 22020e e ln ln 2e 02m m n n---=--=，则mn =___________.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）A ．0m >且0n >B ．0m <且0n >C ．01m <<且0n =D ．10m -<<且0n =【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R 上函数()f x ，若函数()1y f x =-关于点()1,0对称，且()()[)21,0,1,e 2,1,,x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则关于x 的方程()()221f x mf x -=(m R ∈)有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．2B ．4C ．2或4D ．2或4或6【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()211f x 2x x 2x 2⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数g （x ）=ax -3的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D ．5,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（）A ．21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【解题总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e≥+D ．1m e e≤+【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xx f x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x -=+-+有唯一零点，则=a （）A ．πeB ．4πeC D ．1【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：零点嵌套问题【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x xx e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a-【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．1a -B ．1a-C ．-1D ．1【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝的值为（）A ．81B ．﹣81C ．﹣9D ．9【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R 上的函数()f x 满足22()9(3)3(3)x x f x x a xe a e =+-+-有三个不同的零点123,,,x x x 且1230,x x x <<<则3122312333x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．81B ．-81C ．9D ．-9【解题总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型十：等高线问题【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【解题总结】数形结合数学思想方法题型十一：二分法【例11】（2024·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数()f x 在0x 附近一点的函数值可用()()()()000f x f x f x x x '≈+-代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程3310x x -+=，选取初始值012x =，在下面四个选项中最佳近似解为（）A ．0.333B ．0.335C ．0.345D ．0.347【对点训练34】（2024·全国·高三专题练习）函数()f x 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A ．1.5B ．1.25C ．1.41D ．1.44【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg1.50.176≈，lg1.6250.211≈，lg1.750.243≈，lg1.8750.273≈，lg1.93750.287≈）A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.9【对点训练37】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【解题总结】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.。

嵌套函数相关问题的研究与拓展【问题提出】问题1：设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩,若(())2f f a =，则a ＝_______变式：设函数f (x ）＝22+0,0x x x x x ⎧<⎨-≥⎩，，若f (f （a ））≤2，则实数a 的取值范围是__________。

问题2：对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点．已 知函数()()()211,0f x ax b x b a =+++-≠． (1)当1,2a b ==-时,求()f x 的不动点;（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．【探究拓展】探究1：若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11(=f x x ）则关于x 的方程0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是______ ．变式1：设函数⎩⎨⎧<≤≤=0,,0,sin 2)(2x x x x x f π，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数为_______.变式2：函数,0,00,11)(⎪⎩⎪⎨⎧≠≠-=x x xx f 方程[]0)()(2=++c x bf x f 有7个根的充要条件是 ________，变式3：设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-0,44,0,15)(21x x x x x f x ，若关于x 的方程[]0)()12()(22=++-m x f m x f 有7个不同的实数解,则._______=m变式4：已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图表示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根； ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根； ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根； ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根； 其中正确命题的是__________（注：把你认为是正确的序号都填上）.变式5:已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根; ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为__________．变式7：已知函数13)(23+-=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,86,0,41)(2x x x x xx x g ，试讨论方程0)]([=-a x f g 的解的情况。

嵌套函数问题嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题 典例1 (){}|A x f x x ==，()(){}|B x f f x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.【解析】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，()()()(),f t t f f t f t t ===，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）2,1A ax x ≠∅∴-=有实根，14a ∴≥-.又A B ⊆，所以()2211a ax x --=， 即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=A B =，2210a x ax a ∴+-+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=的根.若2210a x ax a +-+=没有实根，则34a <； 若2210a x ax a +-+=有实根且实根是方程210ax x --=的根，则由方210ax x --=， 得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +-+=，有210ax +=.由此解得12x a=-， 再代入得111042a a +-=，由此34a =，故a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （3）由题意：x 0是函数的稳定点, 则00))((x x f f =，① 若00)(x x f >，)(x f 是R 上的单调增函数，则)())((00x f x f f >，所以)(00x f x >，矛盾 ② 若)(00x f x >，)(x f 是R 上的单调增函数，则))(()(00x f f x f >，所以00)(x x f >，矛盾 故00)(x x f =，所以x 0是函数的不动点.类型二 嵌套函数中零点个数问题典例2若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x a f x b ++=的不同实根的个数是_____.【解析】函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，说明方程2'()320f x x ax b =++=的两根为1x ，2x ， ∴方程()()()2320f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于()11f x x =，∴1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，∴此时只有3解，若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，∴1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，∴此时只有3解.类型三 嵌套函数中参数问题典例3 已知函数()()221,0,0x ax a x f x ln x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩ ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是________. 【解析】令()()0,f t t g x ==当10a -<时()f t 有两个零点121,1t t =->，需1211a a --∴当1=0a -时()f x 有三个零点， 1231,0,=2t t t =-=， 121a -=- 所以()()y f g x =有5个零点，舍； 当10a ->时，由于121a ->-所以24440a a ∆=+-> ，且2112a a a a +->- 5-11a << 综上实数a 的取值范围是()511,⎫-⋃+∞⎪⎪⎝⎭【小结】求解复合方程问题时，往往把方程[()]0f g x =分解为()0f t =和()g x t =处理，先从方程()0f t =中求t ，再带入方程()g x t =中求x 的值．巩固1. 设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________ 【解析】由题意可得 y 0=si nx 0∈[-1，1]，f （y 0）=e y 0+y 0-a ，∵曲线y =si nx 上存在点（x 0，y 0）使得f （f （y 0））=y 0，∴存在y 0∈[0，1]，使f （y 0）=y 0成立， 即f （x ）=x 在[0，1]上有解，即 e x +x -x 2=a 在[0，1]上有解． 令g （x ）=e x +x -x 2，则a 为g （x ）在[0，1]上的值域．∵当x ∈[0，1]时，g ′（x ）=e x +1-2x ＞0，故函数g （x ）在[0，1]上是增函数， 故g （0）≤g （x ）≤g （1），即1≤a ≤e ， 故答案为：[1，e ]巩固2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.【解析】作出5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象如下，又∵函数()y f x =是定义域为R 的偶函数， 且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，∴20x ax b ++=的两根分别为154x =，2514x <<或101x <≤，2514x <<， 由韦达定理可得a x x -=+21，若451,4521<<=x x ，则2549<-<a ，即4925-<<-a ，若101x <≤，2514x <<，则491<-<a ，即149-<<-a ，从而可知4925-<<-a 或149-<<-a巩固3．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．【解析】(1) f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝0，b ＝－3 (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. (3)令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c .先讨论关于x 的方程f (x )＝d 根的情况，d ∈[－2,2]．当|d |＝2时，由(2)可知，f (x )＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f (x )是奇函数，所以f (x )＝2的两个不同的根为－1和2.当|d |＜2时，因为f (－1)－d ＝f (2)－d ＝2－d ＞0，f (1)－d ＝f (－2)－d ＝－2－d ＜0， 所以－2，－1,1,2都不是f (x )＝d 的根．由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)． ①当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，于是f (x )是单调增函数，从而f (x )＞f (2)＝2， 此时f (x )＝d 无实根．同理，f (x )＝d 在(－∞，－2)上无实根．②当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，于是f (x )是单调增函数，又f (1)－d ＜0，f (2)－d ＞0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(1,2)内有唯一实根．同理，f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一实根．③当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )是单调减函数，又f (－1)－d ＞0，f (1)－d ＜0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d |＝2时，f (x )＝d 有两个不同的根x 1，x 2满足|x 1|＝1，|x 2|＝2； 当|d |＜2时，f (x )＝d 有三个不同的根x 3，x 4，x 5满足|x i |＜2，i ＝3,4,5. 现考虑函数y ＝h (x )的零点．当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．当|c |＜2时，f (t )＝c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5满足|t i |＜2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根，故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点；当|c |＜2时，函数y ＝h (x )有9个零点．巩固4.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.2()(1)0f x x ax b x c -=+-+=无实数根，2(1)40b ac ∆=--<.(())0f f x x -=即为222()()0a ax bx c b ax bx c c x ++++++-=， 22222()()0a ax bx c ax ax b ax bx c c x ++-+++++-=，2222()()(1)(1)(1)0a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b +++++-+++-++=，222(1)(1)(1)(1)0a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++-++++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 222(1)(1)10ax b x c a x a b x b ac ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦.于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x b ac +++++=.21(1)40b ac ∆=--<；2222222(1)4(1)(1)4440a b a ac b a b ac a ⎡⎤∆=+-++=---<-<⎣⎦.故均不存在实数根.巩固5.设x b ax x x f cos )(2++=，{}{}∅≠==∈=0)]([,0)(x f f x R x x f x ，则满足条件的所有实数b a ,的取值分别为___________.【解析】由0)0(=f 易得0=b .a x x x f -==⇒=21,00)(（i ） 当0=a 时，显然成立（ii ） （ii ）当0≠a 时，记{}0)]([==x f f x B ，令t x f =)(，则0)(=t f ，可知a t t -==21,0 即0)(=x f 和a x f -=)(的解只能为a -,0，故a x f -=)(必须无解，解得40<<a 综上：40,0<≤=a b巩固6.设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x（e 是自然对数的底数），则)2(ln f 的值等于_______.【解析】由()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦，采用换元()xt f x e =+，即有： ()1f t e =+……(1) ()x f x e t =+……(2)；可知：()1f e t =+……(3)；又已知函数()f x 为增函数，可知1t =，代入(2)式有()1x f x e =+；因此()ln2ln 213f e =+=；巩固7.)(x f 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃ 0，都有[()ln ]1e f f x x -=+，则(1)f = ______．【解析】()ln f x x -必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1e +，与单调函数矛盾． 所以可设()ln f x x c -=．则()ln f x x c =+． 将c 代入，得()1e f c =+，即ln c c +1e =+． ∵ln y x x =+是单调增函数， 当c = e 时，ln c c +1e =+成立， ∴()ln e f x x =+．则(1)e f =．巩固8. 已知定义在()∞+，0上的函数)(x f 为单调函数，且1)1)(()(=+xx f f x f ，则_______)1(=f . 【解析】设b f =)1(，可求得答案为251±.巩固9.设定义域为R 的函数|1|25 1 0()4 4 0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =_____.【解析】∵题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数根 ∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解 ∴故先根据题意作出()x f 的简图：由图可知，只有当()4f x =时，它有三个根故关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有一个实数根4 ∴()2244-4210m m ⋅++=，∴2m =或6=m ，6=m 时方程22()(21)()0f x m f x m -++=()()()4036132=⇔=+-⇔x f x f x f或()9=x f ,有5个不同的实数根∴2=m。

专题11 零点嵌套问题1．已知函数2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为( ) A ．1a − B ．1a − C ．1− D ．12．已知1x ，2x ，3x 是函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−三个不同的零点，且123x x x <<，设1(1i i i lnxM i x =−=，2，3)，则2123(M M M = )A ．1B ．1−C ．eD ．1e3．已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+−+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x ．其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−的值为( ) A ．1B ．2(1)a −C ．1−D ．1a −4．已知函数2()()x x x axf x a e e =+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( ) A ．1B ．1−C ．aD ．a −5．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e +++的值为( ) A ．1m + B ．e C ．1m − D ．16．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=−有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( ) A ．e B ．1m − C ．1m + D ．17．若关于x 的方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<其中m R ∈，2.71828e…，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)x x x e e e −+−+−+ 的值为( )A ．eB ．4C ．1m −D ．1m +8．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．(−∞，10)(2e∪，)+∞ D ．1(2e，)+∞ 9．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．1(,0)[,)2e−∞+∞ D ．1[,)2e+∞ 10．已知函数()(21)u x e x m =−−，()()x ln x m lnx υ+−若存在m ，使得关于x 的方程2()()a u x x x υ= 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是( ) A ．1(,0)(,)2e−∞+∞ B ．(,0)−∞ C ．1(0,)2eD ．1(,0)[,)2e−∞+∞ 11．已知2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 ．12．已知函数2()x f x ax lnx x lnx=+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为 ．专题11 零点嵌套问题1．已知函数2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为( ) A ．1a − B ．1a − C ．1− D ．1【解析】解：令()0f x =，分离参数得x lnxa x lnx x−−， 令()x lnxh x x lnx x=−−， 由22(1)(2)()0()lnx lnx x lnx h x x x lnx −−′==−，得1x =或x e =． 当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<． 即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．12301x x e x ∴<<<<<，11x lnx lnx alnx x lnx x x =−=−−−，令lnxxµ=， 则11aµµ−−，即2(1)10a a µµ+−+−=， 1210a µµ+=−<，1210a µµ=−<，对于lnx x µ=，21lnxxµ−′= 则当0x e <<时，0µ′>；当x e >时，0µ′<．而当x e >时，µ恒大于0． 画其简图，不妨设12µµ<，则111lnx x µ=，322323lnx lnx x x µµ===， 22312123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x µµµ−−−=−−− 2212[(1)(1)][1(1)(1)]1a a µµ=−−=−−+−=．故选：D ．2．已知1x ，2x ，3x 是函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−三个不同的零点，且123x x x <<，设1(1i i i lnx M i x =−=，2，3)，则2123(M M M = )A ．1B ．1−C ．eD ．1e【解析】解：令()0f x =得x lnx a x lnx x−−， 令lnx t x =，则11x t x lnx t=−−−，11a t t ∴=−−． 即2(1)10t a t a +−+−=． 令()lnx g x x =，则21()lnxg x x−′=， ()g x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，且当01x <<时，()0g x <，当x e >时，()0g x >， ()g x g ∴…（e ）1e =，∴当10t e<<时，关于x 的方程()g x t =有两大于1的解，当0t …时，关于x 的方程()g x t =只有一小于1的解． 当1t e=时，关于x 的方程()g x t =有唯一解x e =． ()f x 有三个不同的零点，∴关于t 的方程2(1)10t a t a +−+−=在(−∞，10]{}e 和1(0,)e上各有1个解． 不妨设两解为1t ，2t ，则121t t a +=−，121t t a =−， 若1t e =，则11e a e e=−−，此时方程的另一解为1101e t a e e =−−=−<−， ∴原方程只有两解，不符合题意；同理0t =也不符合题意；设120t t <<，则111M t =−，2321M M t ==−， ∴2222123121212(1)(1)(1)1M M M t t t t t t =−−=−−+=．故选：A ．3．已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+−+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x ．其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−的值为( ) A ．1B ．2(1)a −C ．1−D ．1a −【解析】解：令x t xe =，则(1)x t x e ′=+， 故当(1,)x ∈−+∞时，0t ′>，x t xe =是增函数， 当(,1)x ∈−∞−时，0t ′<，x t xe =是减函数， 可得1x =−处x t xe =取得最小值1e−，x →−∞，0t →，画出x t xe =的图象，由()0f x =可化为2(1)10t a t a +−+−=，故结合题意可知，2(1)10t a t a +−+−=有两个不同的根， 故△2(1)4(1)0a a =−−−>，故3a <−或1a >， 不妨设方程的两个根分别为1t ，2t ， ①若3a <−，1214t t a +=−>， 与1220t t e−<+<相矛盾，故不成立；②若1a >，则方程的两个根1t ，2t 一正一负；不妨设120t t <<，结合x t xe =的性质可得，_111x x e t =，_221x x e t =，_332x x e t =， 故3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−2112(1)(1)(1)t t t =−−− 21212(1())t t t t =−++又121t t a =− ，121t t a +=−，31222123(1)(1)(1)(111)1x x x x e x e x e a a ∴−−−=−++−=． 故选：A ．4．已知函数2()()x x x axf x a e e =+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( )A ．1B ．1−C ．aD ．a −【解析】解：令()x x t x e =，则1x xt e−′=， ∴当1x <时，()0t x ′>，函数()t x 在(,1)−∞单调递增，当1x >时，()0t x ′<，在(1,)+∞单调递减，且()1()1t x t e==极大值， 由题意，2()g t t at a =+−必有两个根10t <，且210t e<<，由根与系数的关系有，12t t a +=−，12t t a =−，由图可知，1x x t e =有一解10x <，2xxt e =有两解2x ，3x ，且2301x x <<<， 故12322222312122121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)][1()](1)1x x x x x x t t t t t t t t t a a e e e−−−=−−−=−−=−++=+−=． 故选：A ．5．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e +++的值为( )A ．1m +B ．eC ．1m −D ．1【解析】解：由方程0xx xx e m e x e ++=+ ⇒101xxxm x e ++=+， 令xxte =，则有101t m t ++=+． 2(1)10t m t m ⇒++++=， 令函数()x x g x e =，1()xx g x e −′=， ()g x ∴在(,1)−∞递增，在(1,)+∞递减，其图象如下，要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<< 结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t << 且111x x t e =，23322x x x x t e e ==， 1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e∴+++ 212[(1)(1)]t t =++．121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m ++=+++=+−++=．1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]1x x x x x x t t e e e ∴+++++． 故选：D ．6．若关于x 的方程0x x x x e m e x e ++=−有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( )A ．eB ．1m −C ．1m +D ．1【解析】解：由方程0xx xx e m e x e ++=−⇒101x x x m x e ++=−， 令xx t e =，则有101t m t ++=−． 2(1)10t m t m ⇒+−+′−=， 令函数()xxg x e =，1()x x g x e −′=， ()g x ∴在(,1)−∞递增，在(1,)+∞递减，其图象如下，要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=−有3个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<< 结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m +−+′−=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t << 且111x x t e =，23223x x x x t e e== ∴1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]x x x x x x t t e e e−−−−−． 121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m −−=−++=−−−+=． ∴1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]1x x x x x xt t e e e−−−−−．故选：D ．7．若关于x 的方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<其中m R ∈，2.71828e…，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)x x x e e e −+−+−+ 的值为( )A ．eB ．4C ．1m −D ．1m +【解析】解：令|1|x t e =−，函数|1|x y e =−的图象如下：方程22|1|00|1|11x xe m t m e t −++=⇒++=−++．即2(1)20t m t m ++++=， 要使方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<，则方程2(1)20t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ， 可验证0t =或1不符合题意，所以方程2(1)20t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，且1201t t <<<． 且_1_21|1||1|x x e e t −=−=，_32|1|x e t −=， 则3122212(|1|1)(|1|1)(|1|1)[(1)(1)]x x x e e e t t −+−+−+++ ． 121212(1)(1)()1(2)(1)12t t t t t t m m ++++++−++．则3122212(|1|1)(|1|1)(|1|1)[(1)(1)]4x x x e e e t t −+−+−+++ ， 故选：B ．8．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．(−∞，10)(2e∪，)+∞ D ．1(2e，)+∞ 【解析】解：由题意得1(12)(1)(2)2m me ln t e lnt a x x−=+−+=−，(11)m t x +>， 令()(2)f t t e lnt =−，(1)t >， 则2()1ef t lnt t′=+−，212()0e f t t t ′′=+>，当t e >时，()f t f ′>′（e ）0=，当1t e <<时，()f t f ′<′（e ）0=， ()f t f ∴…（e ）e =−， 12e a∴−>−， 而1t →时，()0f t →， 则要满足102e a−<−<， 解得：12a e>， 故选：D ．9．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．1(,0)[,)2e−∞+∞ D ．1[,)2e+∞ 【解析】解：由(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=得 2(2)0x mx a x m ex lnx+++−=， 即12(2)0x m x ma e ln x x+++−=， 即设x mt x+=，则0t >， 则条件等价为12(2)0a t e lnt +−=， 即1(2)2t e lnt a−=−有解，设()(2)g t t e lnt =−， 2()1eg t lnt t′=+−为增函数， g ′ （e ）211120elne e=+−=+−=， ∴当t e >时，()0g t ′>，当0t e <<时，()0g t ′<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值为：g （e ）(2)e e lne e =−=−， 即()g t g …（e ）e =−， 若1(2)2t e lnt a−=−有解，则12e a −−…，即12e a…， 则0a <或12a e…， ∴实数a 的取值范围是1(,0)[2e−∞ ，)+∞． 故选：C ．10．已知函数()(21)u x e x m =−−，()()x ln x m lnx υ+−若存在m ，使得关于x 的方程2()()a u x x x υ= 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是( )A ．1(,0)(,)2e −∞+∞ B ．(,0)−∞ C ．1(0,)2e D ．1(,0)[,)2e−∞+∞ 【解析】解：由2()()a u x x x υ= 可得[2(21)2]0x m a e x am lnx x +−−−= ， 即2[(21)]10m x m a e ln x x +−−−= ，即2(2)10x m x m a e ln x x ++−−= ， 令x m t x +=，则方程1(2)2e t lnt a−=有解． 设()(2)f t e t lnt =−，则22()1e t e f t lnt lnt t t −′=−+=−+−， 显然()f t ′为减函数，又f ′（e ）0=，∴当0t e <<时，()0f t ′>，当t e >时，()0f t ′<，()f t ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，()f t ∴的最大值为f （e ）e =， ∴12e a …，解得0a <或12a e…． 故选：D ．11．已知2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 (1，11)(1)e e +− ． 【解析】解：令()0f x =，分离参数得x lnx ax lnx x −−， 令()x lnx h x x lnx x =−−， 由22(1)(2)()0()lnx lnx x lnx h x x x lnx −−′==−，得1x =或x e =． 当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<． 即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．1x ∴=时，()h x 有极小值h （1）1=；x e =时，()h x 有极大值h （e ）11(1)e e =+−； 设lnxx µ=，则1µ<；这是因为对于函数y lnx x =−，0x >，有1xy x −′=，当01x <<时，0y ′>，函数单调递增；当1x >时，0y ′<，函数单调递减； 即1x =时函数有极大值，也是最大值1−，故0x ∀>，0lnx x −<，lnx x <，即得1lnxx <；11()(1)121111h x µµµµ=−=+−−−=−−…；∴当2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，即y a =与()y h x =有三个不同的交点； 111(1)a e e ∴<<+−．故答案为：(1，11)(1)e e +−．12．已知函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnxlnxlnx x x x −−−的值为 1 ． 【解析】解：由2()0x f x ax lnx x lnx =+−=−分离参数得x lnxa x lnx x −−， 令()x lnxh x x lnx x =−−， 由222211(1)(2)()0()()lnxlnx lnx lnx x lnx h x x lnx x x x lnx −−−−′=−==−−，得1x =或x e =．当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<．即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．而当0x →，()h x →+∞，当x →+∞，()1h x →， 又h （1）1=，h （e ）11(1)e e =+−； 结合函数的单调性可得，实数a 的取值范围为(1，11)(1)e e +−． 则12301x x e x <<<<<， 11x lnx lnx a lnx x lnx x x =−=−−−，令lnx x µ=， 则11aµµ−−，即2(1)10a a µµ+−+−=， 1210a µµ+=−<，1210a µµ=−<， 对于lnx xµ=，21lnx x µ−′= 则当0x e <<时，0µ′>；当x e >时，0µ′<．而当x e >时，µ恒大于0． 画其简图，不妨设12µµ<，则31212123,lnx lnx lnx x x x µµ===， ∴22231212212123(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]lnx lnx lnx x x x µµµµµ−−−=−−−=−− 221212[1()][1(1)(1)]1a a µµµµ=−++=−−+−= 故答案为：1。

函数嵌套问题一、单选题1.已知函数f x =x 2,x ≤0x 2+14x,x >0，则关于x 的方程3f 2(x )-7f (x )+2=0实数解的个数为()A.4B.5C.3D.22.已知函数f (x )=3x -2+2,x ≤2log 3(x -2) ,x >2则函数F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199的零点个数是()A.2B.3C.4D.53.已知函数f (x )=log 2 x -1||，若函数g (x )=f 2(x )+af (x )+2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =()A.6B.-2C.2D.-64.已知函数f (x )=lg x -1 ,x ≠10,x =1，则函数y =f f x +m m ∈R 零点个数最多是()A.10B.12C.14D.165.已知函数f x =2x -3,x >0,x 3-3x +1,x ≤0 ，函数g x =f f x -m 恰有5个零点，则m 的取值范围是()A.-3,1B.0,1C.-1,1D.1,36.已知函数f x =11-x,x <0ln x ,x >0(e 为自然对数的底数)，则函数F x =f f x -1e 3f x -1的零点个数为()A.3B.5C.7D.97.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=4-2-x .若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解则实数m 的取值范围是()A.-∞,-3∪ 3,+∞B.-3,0 ∪0,3C.-4,-3 ∪3,4D.(-∞,-4)∪(4,+∞)8.已知函数f x =log 21-x ，若函数g x =f 2x +af x +2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =( )．A.6B.-2C.2D.-69.已知函数f x =x +4 -1,x ≤0412 x-1,x >0，关于x 的方程f 2x +2t -1 f x +1-t =0有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-75 ∪-32,+∞ B.-∞,-75∪-32,+∞ C.-75,-32D.-75,-32 ∪32,110.函数 f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0，若关于x 的方程f x 2-m +1 f x +m =0恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是()A.-1e<m <0 B.-1e <m ≤0 C.-1e≤m <0 D.-1e≤m ≤011.已知函数f x =32x 2+6x +5,x ≤-12x +1e x,x >-1，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰有5个零点，则实数m 的取值范围为()A.-1,2B.-1,0C.0,12D.12,212.已知定义在R 上的函数y =f x 是偶函数，当x ≥0时，f x =2sin πx2,0≤x ≤112x +32,x >1，若关于x 的方程f x2+2af x +b =0a ,b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A.-2,-34 B.-2,-74 C.-2,-74 ∪-74,-34D.-2,-34 ∪-12,-17二、多选题13.已知函数f x =x 2-2x +t ,x ≤02ln x +1 -1,x >0，若函数y =f f x 恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值可以是()A.-3B.-2C.0D.214.已知函数f x =-x 2+2x ,x ≥0x 2-2x ,x <0，若关于x 的不等式f x 2+af x <0恰有1个整数解，则实数a 的取值可以为()A.-2B.3C.5D.815.已知函数f x =-2x 2+2,x ≤12x-2,x >1，若关于x 的方程[f (f (x ))]2=(m +2)f (f (x ))-2m 至少有8个不等的实根，则实数m 的取值不可能为()A.-1B.0C.1D.216.已知函数f x =ln -x ,x <0,2x 3-3x 2-1,x ≥0,若函数g x =f x 2-m -1 f x -m 有4个零点，则m 的取值可能是()A.-32B.-1C.0D.217.已知函数f (x )=2x 2+4x ,x <02-x-1,x ≥0，若关于x 的方程4f 2x -4a ⋅f x +2a +3=0有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为()A.-76B.-1712C.-54D.-373018.已知函数f x =e x x<04x3-6x2+1x≥0，其中e是自然对数的底数，记h x =f x2-f x +a，g x =f f x-3，则()A.g x 有唯一零点B.方程f x =x有两个不相等的根C.当h x 有且只有3个零点时，a∈-2,0D.a=0时，h x 有4个零点三、填空题19.设函数f(x)=ln xx,x>1-(x-1)3,x<1，若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．20.已知函数f x 是R上的奇函数，当x<0时，f x =4-2-x，若关于x的方程f f x=m有且仅有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是.21.已知函数f x =e x,x≤0ln x,x>0，g x =f f x-a，若g x 有2个不同的零点，则实数a的取值范围是.22.已知函数f x =1-xe x，若关于x的方程2f x2-4af x +1=0有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.23.已知函数f x =2x-1,x<1x2-6x+6,x≥1，若函数F x =f x2-2af x +3a-1有5个零点，则实数a的取值范围为．24.已知函数f(x)=x2-mx-m2+1,x≥0lg(-x),x<0，g(x)=x2+1-m，若函数y=f(g(x))至少有4个不同的零点，则实数m的取值范围是.四、解答题25.已知函数f(x)=1+log2x，g(x)=2x．(1)若F x =f g x⋅g f x，求函数F(x)在x∈[1，4]的值域；(2)令h(x)=f(x)-1，则G x =h2x +4-kf x ，已知函数G(x)在区间1,4有零点，求实数k的取值范围．26.已知二次函数f x 的图象经过原点，对称轴为直线x=1，方程f x +1=0有两个相等实根.(1)求f x 的解析式;(2)若对任意x∈12,8，2f log2x+m≥0恒成立，求实数m的取值范围;(3)若函数g x =f3x+13x与h x =k⋅3x-43k-2的图象有且只有一个公共点，求实数k的取值范围.函数嵌套问题一、单选题1.已知函数f x =x 2,x ≤0x 2+14x,x >0，则关于x 的方程3f 2(x )-7f (x )+2=0实数解的个数为()A.4B.5C.3D.2【解析】因为3f 2(x )-7f (x )+2=0，解之得f x =13或2，当x ≤0时，f x ≥0；当x >0时，f x =x 2+14x =14x +1x ≥14×2x ⋅1x =12，当且仅当x =1时等号成立，所以f x ，y =2，y =13的图象如图：由图可知使得f x =13或f x =2的点有4个.故选：A .2.已知函数f (x )=3x -2+2,x ≤2log 3(x -2) ,x >2则函数F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199的零点个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】设f (x )=t ，则F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199=f (t )-2t -199，令F (x )=0，即f (t )-2t -199=0，转化为y =f (t )与y =2t +199的交点，画出图像如图所示：由图像可知，t 1=0,t 2∈(2,3)，所以函数f (x )=t 1=0有一个解，f (x )=t 2∈(2,3)有两个解，故F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199的零点个数是4个.故选：C3.已知函数f (x )=log 2 x -1||，若函数g (x )=f 2(x )+af (x )+2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =()A.6B.-2C.2D.-6【解析】由函数y =log 2x 的图象，经过沿y 轴翻折变换，可得函数y =log 2|x |的图象，再经过向右平移1个单位，可得y =log 2|x -1|的图象，最终经过沿x 轴翻折变换，可得y =log 2x -1 的图象，如下图：则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，令t=f(x)，则y=t2+at+2b，由图可知，当t=0时，t=f(x)有2个零点，当t>0时，t=f(x)有4个零点，因为函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6个不同的零点，所以函数y=t2+at+2b有两个零点，一个等于0，一个大于0，又因为g(x)的最小的零点为x=-1，且f(-1)=1，所以函数y=t2+at+2b的两个零点，一个等于0，一个等于1，根据韦达定理得0+1=-a，0×1=2b，即a=-1，b=0，则2a+b=-2．故选：B．4.已知函数f(x)=lg x-1,x≠10,x=1，则函数y=f f x+m m∈R零点个数最多是()A.10B.12C.14D.16【解析】画出f(x)的图像，如图所示，由y=f(f(x))+m，令y=0，得f(f(x))=-m，设f x =t，由图像可知t≥0，则f(t)=-m，得y=f(t)的图像，如图所示，由图像可知，f(t)≥0，①当m>0时，即f t =-m<0，没有根；②当m=0时，即f t =0，此时有3个根t1=0，t2=1，t3=2，当t=0时，即f x =0，有3个根，当t=1时，即f x =1，有4个根，当t=2时，即f x =2，有4个根，故m=0时，f t =-m=0有11个根；③当m<0时，f t =-m>0，此时有三个根，0<t4<1<t5<2<t6，当t=t4∈(0,1)时，即f x =t4∈(0,1)，有4个根，当t=t5∈(1,2)时，即f x =t5∈(1,2)，有4个根，当t=t6∈(2,+∞)时，即f x =t6∈(2,+∞)，有4个根，故m<0时，f t =-m有12个根；综上所述，f(f(x))=-m最多有12个根，故选：B．5.已知函数f x =2x -3,x >0,x 3-3x +1,x ≤0，函数g x =f f x -m 恰有5个零点，则m 的取值范围是()A.-3,1B.0,1C.-1,1D.1,3【解析】当x ≤0时，f x =3x 2-3．由f x >0，得x <-1，由f x <0，得-1<x ≤0，则f x 在-1,0 上单调递减，在-∞,-1 上单调递增，故f x 的大致图象如图所示．设t =f x ，则m =f t ，由图可知当m >3时，m =f t 有且只有1个实根，则t =f x 最多有3个不同的实根，不符合题意．当m =3时，m =f t 的解是t 1=-1，t 2=3．f (x )=t 1有2个不同的实根，f (x )=t 2有2个不同的实根，则t =f x 有4个不同的实根，不符合题意．当1≤m <3时，m =f t 有3个不同的实根t 3，t 4，t 5，且t 3∈-2,-1 ，t 4∈-1,0 ，t 5∈2,3 ．f (x )=t 3有2个不同的实根，f (x )=t 4有2个不同的实根，f (x )=t 5有3个不同的实根，则t =f x 有7个不同的实根，不符合题意．当-1≤m <1时，m =f t 有2个不同的实根t 6，t 7，且t 6∈-3,-1 ，t 7∈1,2 ．f (x )=t 6有2个不同的实根，f (x )=t 7有3个不同的实根，则t =f x 有5个不同的实根，符合题意．当-3<m <-1时，m =f t 有2个不同的实根t 8，t 9，且t 8∈-3,-1 ，t 9∈0,1 ，f (x )=t 8有2个不同的实根，f (x )=t 9，有2个不同的实根，则t =f x 有4个不同的实根，不符合题意．当m ≤-3时，m =f t 有且只有1个实根，则t =f x 最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是-1,1 ．故选：C .6.已知函数f x =11-x,x <0ln x ,x >0(e 为自然对数的底数)，则函数F x =f f x -1e 3f x -1的零点个数为()A.3B.5C.7D.9【解析】设f x =t ，令F x =0可得：f t =1e 3t +1,对于y =11-x ，y =1(1-x )2，故y =11-x 在x x =0处切线的斜率值为k 1=1，设y =k 2x +1与y =ln x 相切于点x 2,ln x 2 ，∵(ln x ) =1x ,∴切线斜率k 2=1x 2，则切线方程为：y -ln x 2=1x 2x -x 2 ，即y =1x 2⋅x +ln x 2-1,∴k 2=1x 2ln x 2-1=1，解得：x 2=e 2,k 2=1e 2；由于1e 3<1e2<1，故作出f x 与y =1e 3x +1图象如下图所示，∴y =1e 3x +1与f x 有四个不同交点，即y =1e 3t +1与f t 有四个不同交点，设三个交点为t 1,t 2,t 3,t 4t 1<t 2<t 3<t 4 ，由图象可知：t 1<0<t 2<1<t 3<t 4，作出函数y =t ,y =f(x )的图象如图，由此可知f x 与y =t 1无交点，与y =t 2有三个不同交点，与y =t 3,y =t 4各有两个不同交点，∴F x =f f x -1e2f x -1的零点个数为7个，故选：C7.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=4-2-x .若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解则实数m 的取值范围是()A.-∞,-3∪ 3,+∞B.-3,0 ∪0,3C.-4,-3 ∪3,4D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】由题设f (0)=0，若x >0，则f (x )=-f (-x )=-(4-2x )=2x -4，所以f (x )=4-2-x ,x <00,x =02x -4,x >0，值域为R ，函数图象如下：当f (x )∈(-∞,-3]时，只有一个x ∈(-∞,-log 27]与之对应；当f (x )∈(-3,0)时，有两个对应自变量，记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则-log 27<x 1<-2<0<x 2<2；当f (x )=0时，有三个对应自变量且x ={-2,0,2}；当f (x )∈(0,3)时，有两个对应自变量，记为x 3,x 4(x 3<x 4)，则-2<x 3<0<2<x 4<log 27；当f (x )∈[3,+∞)时，有一个x ∈[log 27,+∞)与之对应；令t =f (x )，则f (t )=m ，要使f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解，若f (t )=m 有三个解，则t =f (x )∈{-2,0,2}，此时x 有7个解，不满足；若f (t )=m 有两个解t 1,t 2且t 1<t 2，此时t 1=f (x )和t 2=f (x )各有一个解，结合图象知，不存在这样的t ，故不存在对应的m ；若f (t )=m 有一个解t 0，则t 0=f x 有两个解，此时t 0∈-3,-log 27∪ log 27,3 ，所以对应的m ∈(-4,-3]∪[3,4)，综上，m ∈(-4,-3]∪[3,4).故选：C .8.已知函数f x =log 21-x ，若函数g x =f 2x +af x +2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =( )．A.6B.-2C.2D.-6【解析】由函数y =log 2x 的图象，经过翻折变换，可得函数y =log 2x 的图象，再经过向右平移1个单位，可得y =log 2x -1 =log 21-x 的图象，最终经过翻折变换，可得y =log 21-x 的图象，如下图：则函数y =f x 的图象关于直线x =1对称，令t =f x因为函数g x =f 2x +af x +2b 最小的零点为x =-1，且f -1 =1，故当f x =1时，方程g x =0有4个零点，所以，要使函数g x =f 2x +af x +2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1,则f x =0，或f x =1，所以，关于t 方程t 2+at +2b =0的两个实数根为0,1所以，由韦达定理得a =-1,b =0，2a +b =-2，故选：B 9.已知函数f x =x +4 -1,x ≤0412 x-1,x >0，关于x 的方程f 2x +2t -1 f x +1-t =0有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-75 ∪-32,+∞ B.-∞,-75∪-32,+∞ C.-75,-32D.-75,-32 ∪32,1【解析】作出函数f x 的图象如图所示，∴函数f x 的图象与函数y =c c ∈R 的图象最多三个交点，且f x =c 有3个实数根时，-1<c <3，∴f 2x +2t -1 f x +1-t =0有6个不等实数根等价于一元二次方程x 2+2t -1 x +1-t =0在-1,3 上有两个不同的实数根，∴Δ=2t -1 2-41-t >0-1<-2t -12<31-2t -1 +1-t >09+32t -1 +1-t >0，解得：-75<t <-32或32<t <1，即实数t 的取值范围为-75,-32 ∪32,1 .故选：D .10.函数 f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0，若关于x 的方程f x 2-m +1 f x +m =0恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是()A.-1e<m <0 B.-1e<m ≤0 C.-1e≤m <0 D.-1e≤m ≤0【解析】由[f (x )]2-m +1 f (x )+m =[f (x )-m ][f (x )-1]=0，可得f (x )=m 或f (x )=1，令y =x ln x 且定义域为(0,+∞)，则y =ln x +1，当x ∈0,1e 时y <0，即y 递减；当x ∈1e ,+∞ 时y >0，即y 递增；所以y min =-1e，且y |x =1=0，在x 趋向正无穷y 趋向正无穷，综上，根据f (x )解析式可得图象如下图示：显然f (x )=1对应两个根，要使原方程有5个根，则f (x )=m 有三个根，即f (x ),y =m 有3个交点，所以-1e <m <0.故选：A11.已知函数f x =32x 2+6x +5,x ≤-12x +1e x,x >-1，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰有5个零点，则实数m 的取值范围为()A.-1,2B.-1,0C.0,12D.12,2【解析】因为函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰有5个零点，所以方程f x 2-m +2 f x +2m =0有5个根，所以f x -m f x -2 =0有5个根，所以方程f x =2和f x =m 共有5个根；当x >-1时，f x =2x +1e x，fx =2e x -2x +1 e x e2x=-2x e x ，当-1<x <0时，f x >0，函数f x 在-1,0 上单调递增；当x >0时，f x <0，函数f x 在0,+∞ 上单调递减；因为x >-1，所以f x >0，f 0 =2，当x >-1且x →-1时，f x →0，x →+∞时，f x→0，当x ≤-1时，f x =32x 2+6x +5=32x +2 2-1，f -1 =12，故函数f x 在-∞,-1 上的图象为对称轴为x =-2，顶点为-2,-1 的抛物线的一段，根据以上信息，作函数f x 的图象如下：观察图象可得函数y =f x 的图象与函数y =2的图象有2个交点，所以方程f x =2有两个根，所以方程f x =m 有3个异于方程f x =2的根，观察图象可得12<m <2，所以m 的取值范围为12,2 ..故选：D .12.已知定义在R 上的函数y =f x 是偶函数，当x ≥0时，f x =2sin πx2,0≤x ≤112x +32,x >1，若关于x 的方程f x2+2af x +b =0a ,b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A.-2,-34 B.-2,-74C.-2,-74 ∪-74,-34D.-2,-34 ∪-12,-17【解析】由题意可知，函数f x 的图象如图所示：根据函数图像，函数f x 在-∞,-1 ，0,1 上单调递增，在-1,0 ，1,+∞ 上单调递减；且x =±1时取最大值2，在x =0时取最小值0，y =32是该图像的渐近线.令f x =t ，则关于x 的方程f x 2+2af x +b =0a ,b ∈R 即可写成t 2+2at +b =0a ,b ∈R ，此时关于t 的方程应该有两个不相等的实数根设t 1，t 2为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：①当t 1∈0,32 ，t 2∈32,2时，此时-2a =t 1+t 2∈32,72 ，则a ∈-74,-34 ；②当t 1=2，t 2∈32,2 时，此时-2a =t 1+t 2∈72,4 ，则a ∈-2,-74；综上可知，实数a 的取值范围是-2,-74 ∪-74,-34.故选：C .二、多选题13.已知函数f x =x 2-2x +t ,x ≤02ln x +1 -1,x >0，若函数y =f f x 恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值可以是()A.-3B.-2C.0D.2【解析】由题意可知：当x ≤0时，f x 在-∞,0 上单调递减，则f x ≥f 0 =t ；当x >0时，f x 在0,+∞ 上单调递增，则f x >2ln1-1=-1；若函数y =f f x 恰好有4个不同的零点，令u =f x ，则y =f u 有两个零点，可得：当u >0时，则2ln u +1 -1=0，解得u =e -1>0；当u <0时，则u 2-2u +t =0，可得t ≤0u =1-1-t；可得f x =e -1和f x =1-1-t 均有两个不同的实根，即y =f x 与y =e -1、y =1-1-t 均有两个交点，不论t 与-1的大小关系，则e -1>-1e -1≥t，且1-1-t >-11-1-t ≥t ，解得-3<t ≤0，综上所述：实数t 的取值范围为-3,0 .且-3∉-3,0 ,-2∈-3,0 ,0∈-3,0 ,2∉-3,0 ，故A 、D 错误，B 、C 正确.故选：BC .14.已知函数f x =-x 2+2x ,x ≥0x 2-2x ,x <0，若关于x 的不等式f x 2+af x <0恰有1个整数解，则实数a 的取值可以为()A.-2 B.3 C.5 D.8【解析】由f x 解析式可得f x 图象如下图所示，由f x 2+af x <0得：f x +a f x <0，当a =0时，f x 2<0，不等式无解；当a >0时，由f x +a f x <0得：-a <f x <0，若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，又f 3 =-3，f 4 =-8，∴-8≤-a <-3，所以3<a ≤8；当a <0时，由f x +a f x <0得：0<f x <-a ，此时有多个解，故舍去；综上所述：实数a 的取值范围为3,8 .故选：CD .15.已知函数f x =-2x 2+2,x ≤12x -2,x >1，若关于x 的方程[f (f (x ))]2=(m +2)f (f (x ))-2m 至少有8个不等的实根，则实数m 的取值不可能为()A.-1B.0C.1D.2【解析】由[f (f (x ))]2=(m +2)f (f (x ))-2m ，得[f (f (x ))-2][f (f (x ))-m ]=0，解得f (f (x ))=2或f (f (x ))=m ，作出f (x )的图象如图所示，若f (x )=2，则x =0或x =2，设t =f (x )，由f (f (x ))=2，得f (t )=2，此时t 1=0或t 2=2.当t 1=0时，f (x )=t 1=0，有2个不等的实根;当t 2=2时，f (x )=t 2=2，有2个不等的实根，所以f (f (x ))=2有4个不等的实根，若原方程至少有8个不等的实根，则必须有m ≠2且f (f (x ))=m 至少有4个不等实根，若m =0，由f (t )=m =0，得t 1=-1或t 2=1,f (x )=-1有1个根，f (x )=1有3个不等的实根，此时有4个不等的实根，满足题意;若m >2，由f (t )=m ，得t >2,f (x )=t 有1个根，不满足题意;若m <0，由f (t )=m ，得t <-1,f (x )=t 有1个根，不满足题意;若0<m <2，由f (t )=m ，得-1<t 1<0或0<t 2<1或1<t 3<2，当-1<t 1<0,f (x )=t 1有1个根，当0<t 2<1时，f (x )=t 2有3个不等的实根，当1<t 3<2时，f (x )=t 3有3个不等的实根，此时共有7个不等的实根，满足题意.综上实数m 的取值范围为[0,2).故选：AD .16.已知函数f x =ln -x ,x <0,2x 3-3x 2-1,x ≥0,若函数g x =f x 2-m -1 f x -m 有4个零点，则m 的取值可能是()A.-32 B.-1 C.0 D.2【解析】令g x =f x 2-m -1 f x -m =0，即f x +1 f x -m =0，解得f x =-1或f x =m .当x ≥0时，f x =6x 2-6x =6x x -1 .由f x >0，得x >1，由f x <0，得0≤x <1，则f x 在[0,1)上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，且f 0 =-1,f 1 =-2.画出f x 的图象，如图所示.由图可知f x =-1有2个不同的实根，则g x 有4个零点等价于f x =m 有2个不同的实根，且m ≠-1，故m ∈-2,-1 ∪0 .故选：AC17.已知函数f (x )=2x 2+4x ,x <02-x -1,x ≥0 ，若关于x 的方程4f 2x -4a ⋅f x +2a +3=0有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为()A.-76 B.-1712C.-54D.-3730【解析】作出函数f (x )=2x 2+4x ,x <02-x -1,x ≥0 的图象如下：因为关于x 的方程4f 2(x )-4a ⋅f (x )+2a +3=0有5个不同的实根，令t =f (x )，则方程4t 2-4at +2a +3=0有2个不同的实根t 1,t 2，则Δ=16a 2-16(2a +3)>0，解得a <-1或a >3，若t 1<t 2，则-2<t 1≤-1<t 2<0或-1<t 1<t 2=0，令g (t )=4t 2-4at +2a +3，∴g -2 =19+10a >0g -1 =7+6a ≤0g 0 =2a +3>0 或2a +3=0，解得g -2 =19+10a >0g -1 =7+6a ≤0g 0 =2a +3>0，得-32<a ≤-76；当2a +3=0时解得a =-32，此时4t 2+6t =0，解得t 2=0，t 1=-32，不符合题意，故舍去；综上可得-32<a ≤-76.故选：ABCD .18.已知函数f x =e x x <0 4x 3-6x 2+1x ≥0，其中e 是自然对数的底数，记h x =f x 2-f x +a ，g x =f f x -3，则()A.g x 有唯一零点B.方程f x =x 有两个不相等的根C.当h x 有且只有3个零点时，a ∈-2,0D.a =0时，h x 有4个零点【解析】因为f (x )=4x 3-6x 2+1(x ≥0)，所以f (x )=12x 2-12x =12x (x -1)(x ≥0)，所以x ∈(0,1)时，f (x )<0，x ∈(1,+∞)时，f (x )>0所以f x =e x x <04x 3-6x 2+1x ≥0 的图像如下图，选项A ，因为g x =f f x -3，令f (x )=t ，由g x =0，得到f (t )=3，由图像知，存在唯一的t 0>1，使得f (t )=3，所以f (x )=t 0>1，由f (x )的图像知，存在唯一x 0，使f (x 0)=t 0，即g x =f f x -3只有唯一零点，所以选项A 正确；选项B ，令g (x )=x ，如图，易知g (x )=x 与y =f (x )有两个交点，所以方程f x =x 有两个不相等的根，所以选项B 正确；选项C ，因为h x =f x 2-f x +a ，令f (x )=m ，由h (x )=0，得到m 2-m +a =0，当h x 有且只有3个零点时，由f (x )的图像知，方程m 2-m +a =0有两等根m 0，且m 0∈(0,1)，或两不等根m 1,m 2，-1<m 1<0,m 2>1，或m 1=-1,m 2=1(舍弃，不满足韦达定理)，所以Δ=1-4a =0或Δ=1-4a >0f (0)<0f (-1)>0f (1)<0 即a =14或a <14a <0-2<a a <0，所以a =14或-2<a <0，当a =14时，m =12，满足条件，所以选项C 错误；选项D ，当a =0时，由h (x )=0，得到f (x )=0或f (x )=1，由f (x )的图像知，当f (x )=0时，有2个解，当f (x )=1时，有2个解，所以选项D 正确.故选：ABD .三、填空题19.设函数f (x )=ln x x,x >1-(x -1)3,x <1 ，若关于x 的方程[f (x )]2+mf (x )-1-m =0恰好有4个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是．【解析】因为f (x ) 2+mf (x )-1-m =0恰好有4个不相等的实数解，所以(f (x )+m +1)(f (x )-1)=0恰好有4个不相等的实数解，所以f (x )=1或f (x )=-m -1共有4个解，设h (x )=ln x x ，(x >1)，则h (x )=1-ln x x2，所以当x ∈(1,e )时，h (x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，h (x )单调递减，又h (1)=0，h (e )=1e ，当x →+∞时，h (x )→0，所以h (x )∈0,1e；设g (x )=-(x -1)3，(x <1)，则g (x )=-3(x -1)2<0，g (x )为单调减函数，且x →-∞时，g (x )→+∞，g (1)=0，g (x )∈(0,+∞)，作出函数f (x )的图象如图所示：由图可知f (x )=1只有一解，要(f (x )+m +1)(f (x )-1)=0恰好有4个不相等的实数解，即要f (x )=-m -1恰有3解，所以0<-m -1<1e ，即-1-1e <m <-1．所以实数m 的取值范围是-1-1e,-1 ．20.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f x =4-2-x ，若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是.【解析】由题设f (0)=0，若x >0，则f (x )=-f (-x )=-(4-2x )=2x -4，所以f (x )=4-2-x ,x <00,x =02x -4,x >0，值域为R ，函数图象如下：当f (x )∈(-∞,-3]时，只有一个x ∈(-∞,-log 27]与之对应；当f (x )∈(-3,0)时，有两个对应自变量，记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则-log 27<x 1<-2<0<x 2<2；当f (x )=0时，有三个对应自变量且-2,0,2 ；当f (x )∈(0,3)时，有两个对应自变量，记为x 3,x 4(x 3<x 4)，则-2<x 3<0<2<x 4<log 27；当f (x )∈[3,+∞)时，有一个x ∈[log 27,+∞)与之对应；令t =f (x )，则f (t )=m ，要使f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解，若f (t )=m 有三个解，则t =f (x )∈{-2,0,2}，此时x 有7个解，不满足；若f (t )=m 有两个解t 1,t 2且t 1<t 2，此时t 1=f (x )和t 2=f (x )各有一个解，结合图象知，不存在这样的t ，故不存在对应的m ；若f (t )=m 有一个解t 0，则t 0=f x 有两个解，此时t 0∈-3,-log 27∪ log 27,3 ，所以对应的m ∈(-4,-3]∪[3,4)，综上，m ∈(-4,-3]∪[3,4).21.已知函数f x =e x ,x ≤0ln x ,x >0 ，g x =f f x -a ，若g x 有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是.【解析】设h x =f f x ，当x ≤0时，e x >0，f f x =ln e x =x ；当0<x ≤1时，ln x ≤0，f f x =e ln x =x ；当x >1时，ln x >0，f f x =ln ln x .综上可得，h x =x ,x ≤1ln ln x ,x >1 .函数y =ln (ln x )的定义域为1,+∞ ，由复合函数单调性可知函数y =ln ln x 单调递增.又h e =ln ln e =0，作出h x 的图象如图所示由图象可知，当a ≤1时，曲线h x 与y =a 恒有两个交点，即g x 有两个零点，所以a 的取值范围是-∞,1 .22.已知函数f x =1-x e x ，若关于x 的方程2f x 2-4af x +1=0有两个不同的实数根时，实数a 的取值范围是.【解析】因为f x =1-x e x ，所以f x =-xe x ，所以f 0 =0，当x <0时，f x >0，当x >0时，f x <0，所以在-∞,0 上单调递增，在0,+∞ 上单调递减，f x max =f 0 =1，如图，设t =f x ，则2t 2-4at +1=0，显然t =0不是方程2t 2-4at +1=0的解，则4a =2t +1t (t ≤1且t ≠0)，如下图所示，(1)当-22<4a <22时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)无交点，则方程2f x 2-4af x +1=0无实数解，(2)当4a =-22时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t (t ≤1且t ≠0)有唯一交点，其横坐标为-22，此时直线t =-22与曲线f x =1-x e x 有唯一交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有唯一实数解(3)当4a =22时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t (t ≤1且t ≠0)有唯一交点，其横坐标为22，此时直线t =22与曲线f x =1-x e x 有两个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有两个实数解，(4)当22<4a <3，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)有两个交点，设其横坐标分别为t 1，t 20<t 1<22<t 2<1 ，此时直线t =t 1和直线t =t 2与曲线f x =1-x e x 各有两个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有四个实数解，(5)当4a =3时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)有两个交点，设其横坐标分别为t 30<t 3<22，1，此时直线t =t 3与曲线f x =1-x e x 各有两个交点，直线t =1与曲线f x =1-x e x 有唯一的交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有三个实数解，(6)当4a >3时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)有唯一个交点，设其横坐标分别为t 40<t 4<22，此时直线t =t 4与曲线f x =1-x e x 有两个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有两个实数解，(7)当4a <-22时，直线y =4a 与曲线有两个公共点，对应的t 有两个负值，设为t 5,t 6，此时直线t =t 5和直线t =t 6与曲线f x =1-x e x 各有一个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有两个实数解，综上，当a <-22或a =22或a >34时，方程2f x 2-4af x +1=0有两个不同的实数根.23.已知函数f x =2x -1,x <1x 2-6x +6,x ≥1 ，若函数F x =f x2-2af x +3a -1有5个零点，则实数a 的取值范围为．【解析】F x 有5个零点等价于f x 2-2af x +3a -1=0有5个不等实根；作出f x 图象如下图所示，设f x =t ，则t 2-2at +3a -1=0有两个不等实根，∴Δ=4a 2-43a -1 >0；记t 2-2at +3a -1=0的两根为t 1,t 2，∴t 1=10<t 2<1 或-3<t 1≤00<t 2<1 ；当t 1=1时，1-2a +3a -1=0，解得：a =0，此时t 2=-1，不满足0<t 2<1；当-3<t 1≤00<t 2<1 时，9+6a +3a -1>03a -1≤01-2a +3a -1>0Δ>0，解得：0<a ≤13；综上所述：实数a 的取值范围为0,13.24.已知函数f (x )=x 2-mx -m 2+1,x ≥0lg (-x ),x <0，g (x )=x 2+1-m ，若函数y =f (g (x ))至少有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是.【解析】设g x =t ，因为y =f (g (x ))至少有4个不同的零点，所以方程f t =0有且仅有两个不相等的根t 1,t 2，且由g x =x 2+1-m =t 得x 2=t -1-m ，故t 1>1-m ,t 2>1-m .当t <0时，由lg -t =0得t =-1.①若1-m =-1，则m =2，此时f x =x 2-2x ,x ≥0lg -x ,x <0 有3根t 1=-1,t 2=0,t 3=2，g x =x 2-1=t 1,t 2,t 3共5个零点，故y =f (g (x ))有5个零点，满足题意；②若1-m <-1，则m >2，所以f 0 =1-m 2<0，方程f t =0有且仅有一个正根t 1与一个负根t 2=-1，此时g x =x 2+1-m =t 1,t 2共4个零点，故y =f (g (x ))有4个零点，满足题意；③若1-m >-1，则m <2，此时f t =0必有两正根t 1,t 2，且t 1>1-m ,t 2>1-m ，此时f t =t 2-mt -m 2+1满足m 2-41-m 2 >0f 0 =-m 2+1>0f 1-m =1-m 2-m 1-m -m 2+1>0m 2>0m 2>1-m，即m 2+2m -4>0m <24m 2-7m +4>0m >23 ，解得5-1<m <2.综上有m >5-1.四、解答题25.已知函数f (x )=1+log 2x ，g (x )=2x ．(1)若F x =f g x ⋅g f x ，求函数F (x )在x ∈[1，4]的值域；(2)令h (x )=f (x )-1，则G x =h 2x +4-k f x ，已知函数G (x )在区间1,4 有零点，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为f x =1+log 2x ,g x =2x ，所以F x =f g x ⋅g f x =1+log 22x ⋅21+log 2x =1+x ⋅2×2log 2x =2x 1+x =2x 2+2x =2x +12 2-12，由二次函数的性质可知，当x ∈1,4 时，函数F (x )为增函数，所以函数的最大值为F 4 =40，函数的最小值为F 1 =4，则函数的值域为4,40 ．(2)G x =log 2x 2+4-k log 2x +4-k ，令t =log 2x ，由于x ∈1,4 ，则t ∈0,2 ，则问题等价为y =t 2+4-k t +4-k 在t ∈0,2 上有零点，即t 2+4-k t +4-k =0在t ∈0,2 上有解，即k =t 2+4t +41+t =(t +1)2+2(t +1)+1t +1=t +1+1t +1+2，令m =t +1，则m ∈1,3 ，则k =m +1m +2，则由对勾函数的性质可知k =m +1m +2在m ∈1,3 上单调递增，则当m =1时，k =1+1+2=4，当m =3时，k =3+13+2=163，∴4≤m +1m +2≤163，即4≤k ≤163，即实数k 的取值范围是4,163 ．26.已知二次函数f x 的图象经过原点，对称轴为直线x =1，方程f x +1=0有两个相等实根.(1)求f x 的解析式;(2)若对任意x ∈12,8，2f log 2x +m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围;(3)若函数g x =f 3x +13x 与h x =k ⋅3x -43k -2的图象有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围.【解析】(1)设f x =ax 2+bx +c a ≠0 ，由题意可得f 0 =0-b 2a =1Δ=b 2-4a c +1 =0 ，解之得c =0a =1b =-2，∴f x =x 2-2x .(2)由题可得，2log 2x 2-4log 2x +m ≥0对任意x ∈12,8恒成立.令t =log 2x ，则t ∈-1,3 ，分离参数可得：m ≥-2t 2+4t =-2t -1 2+2对任意t ∈-1,3 恒成立.易知当t=1时，y=-2t-12+2取得最大值2，∴实数m的取值范围为2,+∞；(3)∵y=g x 与y=h x 的图象有且只有一个公共点，令n=3x，则n>0，∴n2-2n+1n =kn-43k-2⇒k-1n2-43kn-1=0只有一个实数根.若k=1，则n=-34，不符合题意，舍去;若k≠1，则方程的两个异号的根或方程有两个相等的正实数根，∴-1 k-1<0，或Δ=43k2-4k-1×-1=0，43kk-1>0,-1k-1>0，解得k∈-3∪1,+∞综上，实数k的取值范围是-3∪1,+∞.。

专题01嵌套函数问题嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.类型一嵌套函数中不动点稳定点问题典例1(){}|A x f x x ==，()(){}|B x ff x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.类型二嵌套函数中零点个数问题典例2若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是_____.类型三嵌套函数中参数问题典例3已知函数()()221,0,{ ,0,x ax a x f x ln x x --+≥=-<()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a的取值范围是________.1.设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.3．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．4.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.5.设x b ax x x f cos )(2++=，{}{}∅≠==∈=0)]([,0)(x f f x R x x f x ，则满足条件的所有实数b a ,的取值分别为___________.6.设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x （e 是自然对数的底数），则)2(ln f 的值等于_______.7.已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃0，都有，则=________．8.已知定义在()∞+，0上的函数)(x f 为单调函数，且1)1)(()(=+xx f f x f ，则_______)1(=f .9.已知{}{}n n f ,3,2,13,2,1:→，（N n n ∈≥,3）满足)())((x f x f f =，求这样的函数个数有多少个？10.设定义域为R 的函数|1|25 1 0()4 4 0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=_____.。

函数专题（复合函数的零点问题）一、相关概念及有关结论 1.复合函数的定义设函数()u x ϕ=的定义域为是A ，值域是B ；又设函数()y f u =的定义域是C ，且B C y M ⊆∈，，这时对A 内每一个x ，通过ϕ，得到B 内唯一的一个u 与此x 对应，再通过f 又得到M 内唯一的一个y 与此x 对应．因此对于A 内的每一个x 先通过ϕ再通过f ，得到M 内唯一的一个y 与此x 对应，这就确定了一个从A 到M 的函数，称它是由()u x ϕ=与()y f u =合成的复合函数（也称嵌套函数），记为()y f x ϕ⎡⎤=⎣⎦．称u 为中间变量，为了叙述方便起见，不妨将()u x ϕ=称为内层函数，称()y f u =为外层函数． 2.有关命题与结论函数的零点问题不仅与函数、方程、不等式、导数等知识交汇融合，同时还涉及“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类与讨论”等数学思想．以下引入上述思想的相关命题，以便为下面的分析与求解提供理论支撑． 二、常见复合函数零点问题的考察类型 1．“()()=f f x k ”型问题 例11．设函数()2log f x x =，则函数()()()1g x f f x =−的零点为 ． 【答案】4【分析】由题知2log 2x =，即求.【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，也即()22log log 10x −=的解.()22log log 1x =，即2log 2x = 解得4x =，即函数()g x 的零点为4． 故答案为：4 例22．设函数f (x )＝22,0,0x x x x x ⎧+<⎨−≥⎩若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是 .【答案】a ≤【分析】对()f a 的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f (a )≥－2，再对a 的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.【详解】当()0f a <时，f (f (a ))≤2即为2()()2f a f a +≤，()()[1][2]0f a f a −+≤， 解得()21f a −≤≤，所以()20f a −≤<；当()0f a ≥时，f (f (a ))≤2即为2()2f a −≤，因为2()2f a ≥−恒成立，所以()0f a ≥满足题意.所以f (a )≥－2，则202a a a <⎧⎨+≥−⎩或22a a ≥⎧⎨−≥−⎩，解得a ≤故答案为：a ≤【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题. 2.“()()=f g x k ”型问题 例33．设函数()()3221014680x x f x x x g x x x x x ⎧+>⎪=−+=⎨⎪−−−≤⎩，，，，，则函数()()()1h x f g x =−的零点为 ．【答案】14322−−−，，， 【分析】由题可知求()()1f g x =的解，再利用分段函数求方程的解即可. 【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()1f g x =的解． 令()t g x =，则原方程的解变为方程组()()1t g x f t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解． 由方程②可得320t t −=， 解得0t =或1t =，将0t =代入方程①，而方程104x x+=无解， 由方程2680x x −−−=解得4x =−或2x =−；将1t =代入方程①，而方程114x x +=，解得12x =， 由方程2681x x −−−=，解得3x =−．综上，函数()h x 的零点为14322−−−，，，，共四个零点． 故答案为：14322−−−，，，. 3.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f f x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：若()f x 单调，则()()0000f f x x f x x ⎡⎤=⇔=⎣⎦．证明 一方面，若()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦，不妨设()f x 单调递增，若()00f x x >，则()()000f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，与()00f f x x ⎡⎤=⎣⎦矛盾，同理可证()00f x x <的情形； 另一方面，若()00f x x =，则()()000f f x f x x ⎡⎤==⎣⎦，综上可知结论成立． 例44．设函数()f x a ∈R ，e 为自然对数的底数），若曲线sin y x =上存在点()00x y ，使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）． A ．[]1e ， B ．111e ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦， C ．[]1e 1+， D ．11e 1e ⎡⎤−+⎢⎥⎣⎦，【答案】A【分析】由题可得2e x x a x +−=，再利用函数的单调性即求.【详解】显然()f x =于是()()00f f y y =等价于()00f y y =，即00y =≥， 又00sin 1y x =≤，故001y ≤≤，从而0200e y a y y =+−，令()2e x g x x x =+−， 则()()'e 12''e 20x xg x x g x =+−=−=，，令()''0g x =，则ln2x =，可知当[]0ln2x ∈，时，()'g x 单调递减，当[]ln21x ∈，时，()'g x 单调递增， 从而()()''ln232ln20g x g ≥=−>， 故()g x 在[]01，上单调递增， 从而()()][011e a g g ⎡⎤∈=⎣⎦，，. 故选：A ．4.复合函数()⎡⎤=−⎣⎦y f g x x 的零点问题一般地，关于复合函数()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点有如下结论：()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦有零点()y g f x x ⎡⎤⇔=−⎣⎦有零点．证明 设()00f g x x ⎡⎤=⎣⎦，则(){}()00g f g x g x ⎡⎤=⎣⎦，可知()0g x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，反之若0x 为()y g f x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点，则同理可得()0f x 为()y f g x x ⎡⎤=−⎣⎦的零点． 例55．若()f x 和()g x 都是定义在实数集R 上的函数，且方程()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦有实数根，则()g f x ⎡⎤⎣⎦不可能是A ．215x x +−B ．215x x ++C ．215x −D ．215x +【答案】B【详解】试题分析：设0x 为方程的 ()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦的一个根，∴00[()]f g x x =，∴{}00()[()]g x g f g x =，再令0()t g x =，故有 [()]t g f t =，从而可知方程[()]g f x x =至少有一个实数根 t ，A ，C ，D 选项中的函数均符合条件，而B 选项：215x x x ++=无解，故选B ． 【点睛】本题考查的是抽象函数与方程的问题，需挖掘条件中的隐含信息，对已知条件中的式子()0x f g x ⎡⎤−=⎣⎦进行等价变形，可以得到 [()]g f x x =至少也有一个实数根，分别考察四个选项中的函数，判断根的情况，从而可知选B ． 5.含参二次函数复合型零点问题 例66．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64}【答案】D【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.【详解】设关于()f x 的方程()()20mf x nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=−对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2bx a =−对称．而选项D 中41616422++≠.故选D. 【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 例77．若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()232f x af x +0b +=的不同实根个数是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【分析】由题意求导结合极值点的性质可得原方程等价于1()f x x =或2()f x x =，按照12x x <、12x x >分类，作出函数图象，数形结合即可得解.【详解】由题意2()32f x x ax b '=++，1x ，2x 为函数()f x 的极值点， 所以2()320f x x ax b '=++=有两解12,x x ，所以方程()()()232f x af x +0b +=等价于1()f x x =或2()f x x =，当12x x <时，则1x 为函数()f x 的极大值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极小值点，画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；当12x x >时，则1x 为函数()f x 的极小值点，且()11f x x =，2x 为函数()f x 的极大值点， 画出函数图象，如图：此时1()f x x =有两个不同实根，2()f x x =有一个实根，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根；综上，()()()232f x af x +0b +=有三个不同实根. 故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数极值的关系、函数与方程的综合应用，考查了逻辑推理能力与数形结合思想，属于中档题.6.其他型 例88．已知定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，若对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则方程()2f x =的解集为 ．【答案】{}416，． 【分析】由题可求()122log f x x =−，再利用数形结合即求.【详解】∵定义在()0+∞，上的单调函数()f x ，对任意()0x ∈+∞，都有()12log 3f f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 令()12log f x x c +=，则()3f c =，在上式中令x c =，则()1122log log 3f c c c c c +==−，，解得2c =，故()122log f x x =−，由()2f x =122log 2x −=2log x =在同一坐标系中作出函数2log y x =和y可知这两个图像有2个交点，即()42，和()164，，则方程()2f x ={}416，． 故答案为：{}416，. 例99．已知函数()12f x x x=+−，如果关于x 的方程()4213021xx f t ⎛⎫ ⎪−+−= ⎪−⎝⎭有三个相异的实数根，求t 的范围．【答案】104t −<<．【分析】令21xm −=，由题得()232410m t m t −+++=，再采用数形结合法及二次方程根的分布即求．【详解】令21xm −=，则()430f m t m ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭，即14230m t m m ⎛⎫+−+−= ⎪⎝⎭，去分母得：()232410m t m t −+++=，此方程最多有两个根，由函数21xm =−图像可知，方程()232410m t m t −+++=的两根必须有一根m 1≥，另一根01m <<，才能保证原方程有三根，设()()23241g m m t m t =−+++，因此由根的分布知识得：()()041011(32)410g t g t t ⎧=+>⎪⎨=−+++<⎪⎩或()()11(32)410041032012g t t g t t ⎧⎪=−+++=⎪=+>⎨⎪+⎪<<⎩，，，解得：104t −<<．7.零点求和问题 例1010．定义域为R 的函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，，若关于x 的函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，则2222212345x x x x x ++++等于（ ）．A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【分析】结合函数的图象可知1102a ++=，进而可得()1f x =或()12f x =，即求. 【详解】作函数()12212x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩，，，的图象如图所示，则由函数()()()212h x f x af x =++有5个不同的零点知1102a ++=，解得32a =−．解()()231022f x f x −+=得()1f x =或()12f x =．若()1f x =，则2x =或3x =或1x =； 若()12f x =，则0x =或4x =． 故222221234530x x x x x ++++=.故选：C ． 同步练习11．设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a =−有三个零点，则实数a 的范围为 ．【答案】(]01，． 【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求．【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =， 则原方程的解变为方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t >时，有唯一的x 与之对应；当1t ≤时，有两个不同的x 与之对应． 由方程组()()t f x f t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x 知，需要方程②有两个不同的t ，且一个1t >，一个1t ≤，结合图象可知，当(]01a ∈，时，满足一个(]10t ∈−，，一个(]12t ∈，，符合要求， 综上，实数a 的取值范围为(]01，． 故答案为：(]01，12．设函数()()2210230x x f x x x g x x x x ⎧+>⎪=+=⎨⎪−+≤⎩，，，，，若函数()()()h x g f x a =−有六个不同的零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(]23，． 【分析】利用数形结合即求.【详解】函数()h x 的零点即为方程()0h x =的解，也即()()g f x a =的解， 令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =和直线y t =的图象如图所示． 由图可知，当1t >−时，有两个不同的x 与之对应；当1t =−时，有一个x 与之对应，当1t <−时，没有x 与之对应．由方程组()()t f x g t a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，①②有六个不同的x 解知，需要方程②有三个不同的t ，且都大于1−，作出函数()y g t =和直线y a =的图象如图所示，由图可知当(]23a ∈，时满足要求， 综上，实数a 的取值范围为(]23，． 故答案为：(]23，13．已知函数2()(1)x f x x x e =−−，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e−=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为 A ．3 B ．1或3 C ．4或6 D ．3或4或6【答案】A【详解】()()()()'12,xf x x x e f x =−+∴在(),2−∞−和()1,+∞上单增，()2,1−上单减，又当x →−∞时，()0,f x x →→+∞时，()f x →+∞故()f x 的图象大致为：令()f x t =，则方程250t mt e −−=必有两个根，12,t t 且125t t e=−，不仿设120t t << ，当1t e=−时，恰有225t e −=，此时()1f x t =，有1个根，()2f x t =，有2个根，当1t e <−时必有2205t e −<<，此时()1f x t =无根，()2f x t =有3个根，当10e t −<<时必有225t e −>，此时()1f x t =有2个根，()2f x t =，有1个根，综上，对任意m R ∈，方程均有3个根，故选A.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题 .14．已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【详解】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象15．设定义域为R 的函数2lg ,0(){2,0x x f x x x x >=−−≤, 若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 ． 【答案】【详解】关于的二次方程至多有两个实数根，设()2,2210f x t t bt =++=，要使得有8个零点，就是()f x t =有4个解，由图象知()f x t =，(0,1)t ∈内有4个解． 二次方程22210t bt ++=在内有两个不等的实数根，故有故填16．已知定义在R 上的函数()y f x =存在零点，且对任意R m n ∈，都满足()()()()2f mf m f n f x n +=+，若关于x 的方程()()31log (01)a f f x x a a −=−>≠，恰有三个不同的根，求a 的取值范围． 【答案】（3，+∞）．【分析】令函数()y f x =的零点为m ，即f （m ）＝0，则由对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ．可得f [f （x ）]＝x ，进而x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，可转化为|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，根据对数函数的图象和性质分类讨论后，可得答案．【详解】令函数y ＝f （x ）的零点为m ，即f （m ）＝0， ∵对任意m ，n ∈R 都满足f [mf （m ）+f （n ）]＝f 2（m ）+n ． 则f [f （n ）]＝n 恒成立， 即f [f （x ）]＝x ，若关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根， 即|x ﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，当0＜a ＜1时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当1＜a ＜3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有一个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有一个不同的根，不满足条件； 当a ＝3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有两个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有两个不同的根，不满足条件； 当a ＞3时，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象如下图所示：由图可知，函数y ＝|x ﹣3|与y ＝1﹣log a x 的图象有三个交点，即关于x 的方程|f [f （x ）]﹣3|＝1﹣log a x （a ＞0，a ≠1）恰有三个不同的根，满足条件； 综上所述，实数a 的取值范围是（3，+∞）.17．定义在R 上的函数1,22()1,2x x f x x ⎧≠⎪−=⎨⎪=⎩若关于x 的方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解1x ， 2x ，3x ，且 123x x x <<，则下列结论错误的是A ．22212314x x x ++= B ．2a b += C ．134x x += D ．1322x x x +>【答案】D【详解】试题分析：当2x ≠时，()1()0,2f x x =∈+∞−且关于y 轴对称， 因为方程2()()3f x af x b ++=有三个不同的实数解， 所以当时，，必为方程的一个解，代入方程得，即选项B 正确；因为()()131f f ==，所以，所以选项A 、C 正确，而选项D 错． 故正确答案选D ．。

高考数学复习考点题型解题技巧专题讲解第10讲函数零点专项突破高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难.考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一个零点，则实数λ的值是（）A．14B．18C．78-D．38-【答案】C利用函数零点的意义结合函数f (x )的性质将问题转化为一元二次方程有等根即可. 【详解】依题意，函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )的零点，即方程f (2x 2+1)+f (λ-x )=0的根， 由f (2x 2+1)+f (λ-x )=0得f (2x 2+1)=-f (λ-x )，因f (x )是R 上奇函数， 从而有f (2x 2+1)=f (x -λ)，又f (x )是R 上的单调函数，则有2x 2+1=x -λ，而函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，于是得2x 2-x +1+λ=0有两个相等实数解， 因此得Δ=1-8(1+λ)=0，解得λ=78-，所以实数λ的值是78-.故选：C.练（2021·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)【答案】B 【详解】因为()f x 为开口向上的抛物线，且对称轴为2a x =-，在区间（－1，1）上有两个不同的所以()()101002112f f a f a ⎧->⎪>⎪⎪⎛⎫⎨-< ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-<-<⎩，即22102102022222a a a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎪+->⎪⎨⎪⎛⎫---<⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-<<⎩，解得023a <<， 所以实数a 的取值范围是2(0,)3.故选：B例1-2．（2021·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定 【答案】C解析：()()22x f x x x a e '=++当1a ≥时，220x x a ++≥在R 恒成立，所以()()2'20xf x x x a e =++≥在R 恒成立，所以函数()()2x f x x a e =+在R 上单调递增，没有最小值；当1a <时，令() '0f x =得111x a =---，211x a =--，且12x x <当x →-∞时，所以若有最小值，只需要2∵()()22221022100xf x a e a a =--⇔--≤⇔≤≤，∴20x x a ++=的判别式1410a ∆=->≥，因此()2g x x x a =++有两个零点.故选：C ．类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2021·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ） A ．()0,1B ．()1,2 C ．()2,3D ．()3,4【答案】B 【详解】∵()ln 1f x x x =-，()1ln f x x '=+，由()1ln 0f x x '=+=得，1ex =，∴1,()0ex f x '>>，函数()f x 为增函数，当01x <<时，()ln 10f x x x =-<，又()()410,2ln 21ln 0e12f f =-<=-=>，故()f x 的零点所在的区间是()1,2.练．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B 【详解】因为()2xf x x =+为单调递增函数，当2x =-时，()2722204f --=-=-<，当1x =-时，()1112102f --=-=-<，当0x =时，()002010f =+=>，由于()()010f f ⋅-<，且()f x 的图象在()1,0-上连续， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,0-上必有零点，故选：B.类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案． 【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ）A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．ln 20,4e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，作出函数()21ln x g x x +=的图象，可知满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，从而可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】由()1ln 0x f x ax x +=-=可得21ln xa x +=，令()21ln x g x x +=，其中0x >，则()()243121ln 2ln 1x x x x x g x x x ⋅-+--'==.当120x e -<<时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当12x e ->时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减.且当12x e ->时，()21ln 0xg x x +=>，作出函数()g x 的图象如下图所示：由图可知，满足不等式()a g x <的整数解有且只有一个，所以，()1,m n ∈，()2,m n ∉，所以，()()21g a g ≤<，即1ln2ln2144e a +=≤<.因此，实数a 的取值范围是ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.例3-2（一个曲线一个直线）28．（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.【答案】7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】求出函数()()y f x g x =-的表达式，构造函数()()(2)h x f x f x =+-，作函数()h x 的图象，利用数形结合进行求解即可. 【详解】∵()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，∴()222,02,0x x f x x x ⎧--⎪-=⎨<⎪⎩… ，∵函数y =f (x )−g (x )恰好有四个零点，∴方程f (x )−g (x )=0有四个解，即f (x )+f (2−x )−b =0有四个解， 即函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象有四个交点，()()222,022,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧++<⎪=+-=⎨⎪-+>⎩剟 ， 作函数y =f (x )+f (2−x )与y =b 的图象如下，115572222224f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，结合图象可知，74<b <2， 故答案为:7,24⎛⎫⎪⎝⎭. 例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2021福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．【答案】13a ≤-或2a e ≥【解析】函数g x f x ax a =-+（）（）存在零点，即方程0f x ax a -+=（） 存在实数根，也就是函数y f x =（）与1y a x =-（）的图象有交点．如图：直线1y a x =-（）恒过定点10（，）， 过点21-（，）与10（，）的直线的斜率101213k -=---＝； 设直线1y a x =-（）与x y e =相切于00x x e （，），则切点处的导数值为0x e ，则过切点的直线方程为()000x x y e e x x --＝，由切线过10（，），则()00000012x x x x e e x x e e --∴＝，＝， 得02x = ．此时切线的斜率为2e ．由图可知，要使函数g x f x ax a =-+（）（） 存在零点，则实数a 的取值范围为13a ≤- 或2a e ≥．【点睛】本题考查函数零点的判定，其中数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法的灵活应用．例3-4（两个曲线）49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2 【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定. 【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+-222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数， 在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点， 即f (x )的零点个数为2. 故答案为：2.（两个曲线）8．（2021·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3B ．72C ．4D ．92【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性确定函数()f x 的周期，将函数的零点问题转化为两函数的交点，最后通过数形结合求解出参数的值. 【详解】因为()1f x +是奇函数，所以函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 即(2)()0f x f x -+=．又因为函数()f x 为奇函数，所以(2)()()f x f x f x -=-=-，即(2)()f x f x +=，所以函数()y f x =是周期为2的周期函数．由于函数()y f x =为定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，得(2)(4)0f f ==． 又因为当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，所以21log 212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示，由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-，12-，0，12，1，32，2，52，3，72，第11个交点的横坐标为4．因此，实数m 的取值范围是7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故实数m 的最小值为72．故选：B．f x满足（两个曲线）【2021河北省武邑中学高三】若定义在R上的偶函数() ()()=，则函数()3logf x xy f x x=-的零点个数是+=，且当[]2x∈时，()f x f x0,1（）A． 6个 B． 4个 C． 3个 D． 2个【答案】B|x|的图象，【解析】分析：在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3这两个函数图象的交点个数即为所求．详解：∵偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2．当x∈[0，1]时，f （x）=x，|x|的零点的个数等于函数故当x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣x．因为函数y=f（x）﹣log3|x|的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y=f y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：（x）的图象与函数y=log3显然函数y=f （x ）的图象与函数y=log 3|x|的图象有4个交点，故选B ．点睛：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，根据函数零点和方程的关系进行转化是解决本题的关键．判断零点个数一般有三种方法：（1）方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.本题利用的就是方法（3）.例3-5（直接解出零点）（2021·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12B ．14C ．16D ．18 【答案】C 【分析】令()25sin sin 10f x x x =--=可得21sin sin 5x x -=，根据()2sin sin g x x x =-为偶函数，只需求()21sin sin 5g x x x =-=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解的个数，等价于21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-的解的个数，结合正弦函数的性质以及对称性即可求解.【详解】令()0f x =可得21sin sin 5x x -=，设()2sin sin g x x x =-，则()()22sin sin sin sin g x x x x x g x -=--=-=，所以()2sin sin g x x x =-是偶函数，故只需要讨论21sin sin 5x x -=在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的解得个数， 当0x ≥时，由21sin sin 5x x -=可得21sin sin 5x x -=或21sin sin 5x x -=-，解方程21sin sin 5x x -=可得sin x =sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =解方程21sin sin 5x x -=-可得sin x =或sin x =，此时在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，sin x =有三解，sin x =有三解， 所以在5π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，()21sin sin 5g x x x =-=有8解， 根据对称性可得()21sin sin 5g x x x =-=在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上有16解，所以函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为16， 故选：C.类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402 【答案】A 【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数． 【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为()f x 为偶函数，所以()()()444f x f x f x +=-=-， 所以()()8f x f x +=所以()f x 是周期函数，且周期为8，且()f x 关于4x =对称，又当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=， 则()()()221ln 21ln 2(0)x x xx f x x x x ⋅--'==>， 令()0f x '=，解得e2x =，所以当e0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数，当e ,42x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，作出()f x 一个周期内图象，如图所示：因为()f x 为偶函数，且不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，所以不等式在()0,200内有100个整数解，因为()f x 周期为8，所以在()0,200内有25个周期， 所以()f x 在一个周期内有4个整数解，（1）若0a >，由()()20f x af x +>，可得()0f x >或()f x a <-，由图象可得()0f x >有7个整数解，()f x a <-无整数解，不符合题意； （2）若0a =，则()0f x ≠，由图象可得，不满足题意；（3）若0a <，由()()20f x af x +>，可得 ()f x a >-或()0f x <，由图象可得()0f x <在一个周期内无整数解，不符合题意， 所以()f x a >-在一个周期()0,8内有4个整数解，因为()f x 在()0,8内关于4x =对称， 所以()f x 在()0,4内有2个整数解，因为()1ln 2f =，()ln 42ln 22f ==，()ln 633f =， 所以()f x a >-在()0,4的整数解为1x =和2x =，所以ln 6ln 23a ≤-<，解得ln 6ln 23a -<≤-. 故选：C类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24 【答案】A 【分析】首先判断()f x 的奇偶性，再根据奇偶函数的对称性计算可得；【详解】由()()0g x g x -+=得()y g x =的图象关于()0,0对称，因为()1sin sin f x x x=+，定义域为{}|,x x k k Z π≠∈，且()()()()11sin sin sin sin f x x x f x x x -=+-=--=--，所以()1sin sin f x x x=+为奇函数，即()1sin sin f x x x=+也关于()0,0对称， 则函数()1sin sin f x x x=+与()y g x =图象的交点关于()0,0对称，则不妨设关于点()0,0对称的坐标为()()1166,,,,x y x y ⋯，则16160,022x x y y ++==， 252534340,0,0,02222x x y y x x y y ++++==== 则1616252534340,0,0,0,0,0x x y y x x y y x x y y +=+=+=+=+=+=，即()61i i i x y =+=∑()3000⨯+=，故选：A ．例4-2（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36 【答案】C 【分析】根据题意可得函数()f x是周期为4，关于点(4,0)中心对称的函数，再将函数()()()4y k x=与()4=-的交点的横坐标，又函数=--的所有零点转化为()y f xg x f x k x()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，在坐标系中作出草图，根据数形结合y k x即可求出结果.【详解】∵定义在R上的奇函数()=-，故图象关于1f x f x2f x满足()()x=对称，∴()()2+=-，f x f x--=-，故()()2f x f x∴()()()f x f x f x+=-+=，即周期为4，42又()f x一个对称中心，f x定义在R上的奇函数，所以(4,0)是函数()又因为当[]=，作出函数()f x的草图，如下：f x xx∈-时，()31,1函数()()()4=与()4y k x=-的交点的横坐标，y f xg x f x k x=--的所有零点即为()易知函数()4=-经过定点(4,0)，且关于(4,0)中心对称，y k x又1335k <<，分别作出函数()143y x =-和()345y x =-的图象，则函数()4y k x =-的图象在函数()143y x =-和()345y x =-的图象之间，如下图所示：则()y f x =与()4y k x =-交点关于(4,0)中心对称，由图像可知关于(4,0)对称的点共有3对，同时还经过点(4,0)，所以1324428ni i x ==⨯⨯+=∑.故选：C.类型五、等高线的使用例5-1．（2021·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________. 【答案】[)3,10/310a b c ≤++<【分析】根据题意，作出函数()y f x =图象，数形结合即可求解.根据题意，作出函数()y f x =图象，令()()()f a f b f c t ===，可知函数()y f x =图象与y t =的图象有三个不同交点，由图可知01t ≤<.因a ､b ､c 互不相等，故不妨设a b c <<，由图可知1212a b +=⨯=.当01t <<，时()8log 1c t -=，因01t <<，所以118c <-<，即29c <<，故310a b c <++<； 当0t =时，2c =，故3a b c ++=. 综上所述，310a b c ≤++<. 故答案为：[)3,10.例5-2（2021·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ） A ．109,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A根据分段函数解析式研究()f x 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得123412345x x x x <<<<<<<<、348x x +=、12(1)(1)1x x --=，进而将目标式转化并令11121t x x =-+，构造1()21g x x x =-+，则只需研究()g x 在3(,2)2上的范围即可. 【详解】由分段函数知：12x <≤时()(,0]f x ∈-∞且递减；23x <≤时()[0,1]f x ∈且递增；34x <<时，()(0,1)f x ∈且递减；4x ≥时，()[0,)f x ∈+∞且递增；∴()f x 的图象如下：()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，由图知：01a <<时()f x a =有四个实数根，且123412345x x x x <<<<<<<<，又348x x +=， 由对数函数的性质：121212(1)(1)()11x x x x x x --=-++=，可得21111x x =-， ∴令()3411122111112214x x x x x t x x x ++=+=-+=，且1322x <<， 由1()21g x x x=-+在3(,2)2上单增，可知31()21(2)2g x g x<-+<，所以10932t <<故选：A.例5-3（2021·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ） ①()0,1m ∈；②()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ③函数()y f x x m =--恰有三个零点.A ．①②B．①③C．②③D．①②③ 【答案】D 【分析】①将问题转化为直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，观察图像可得答案；②设a b c d <<<，则可得2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，根据关系代入a b c d +++求值域即可；③函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，关注1m =和0m =时的交点个数即可得答案根据图像可得答案. 【详解】解：函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩的图像如图：()()()()f f b f d a c f m ====，即直线y m =与函数()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩图像有4个交点，故()0,1m ∈，①正确；()()()()f f b f d a c f m ====，不妨设a b c d <<<，则必有2a b +=-， ()1ln 1ln c d -+=+，ln ln 2d c ∴+=-，则2e c d-=，且11e d << 2e c d d d-∴++=，由对勾函数的性质可得函数2e y x x -=+在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2122e ,e 1e dc d d ---∴+=∈++，()1222,1a b c d e e --∴+++∈--，②正确；函数()y f x x m =--的零点个数，即为函数()y f x =与y x m =+的图像交点个数，如图当1m =时，函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 当0m =时，研究y x =与1ln y x =+是否相切即可，1y x'=，令1y '=，则1x =，则切点为()1,1，此时切线方程为11y x -=-，即y x =， 所以y x =与1ln y x =+图像相切，此时函数()y f x =与y x m =+的图像有3个交点， 因为()0,1m ∈，故函数()y f x =与y x m =+的图像恒有3个交点， 即函数()y f x x m =--恰有三个零点，③正确.故选：D. 【点睛】关键点点睛：将函数的零点问题转化为图像的交点问题，可以使问题更加直观，并方便解答.例5-4．（2021·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】ABC 【分析】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象，根据图象有3个交点确定出123,,x x x 的关系，所以可将方程转化为()3315(ln 21)n x x -+=-，然后构造函数()()()ln 21g x x x =+-并分析()g x 的单调性确定出其值域，由此可求解出n 的取值范围，则n 的值可确定.【详解】在同一平面直角坐标系中作出(),y f x y m ==的函数图象如下图所示：当1x ≤时，()2333y x =-++≤，当1x >时，ln 11y x =+>，所以由图象可知：()1,3m ∈时关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解，又()221223236,ln 625x x x x x ++=⨯-=+-=--，所以()()()121223323ln 2)5651(16n x x x x x x x -+=+++-=-， 又因为()1,3m ∈，所以()3ln 11,3x +∈，所以()231,e x ∈ ， 设()()()()()2ln 211,e g x x x x =+-∈，所以()1ln 3g x x x'=-+，显然()g x '在()21,e 上单调递增，所以()()120g x g ''>=>，所以()g x 在()21,e 上单调递增，所以()()()()21,e g x g g ∈，即()()20,4e 4g x ∈-， 所以()1250,4e 4n -∈-，所以n 可取1,2,3 故选：ABC.类型六、嵌套函数零点例6-1．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C 【详解】函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象如图所示，由()()102y f f x =-=，得()()12f f x =，令()f x t =，则1()2f t =，当0t ≤时，1322t +=，得12t =-，当0t >时，1lg 2t =，则t所以当12t =-时，1()2f x =-，由图象可知方程有两个实根，当 =t ()f x =，由图象可知，方程有1个实根，综上，方程()()12f f x =有3个实根，所以函数()()12y f f x =-的零点个数为3，故选：C例6-2．（2021·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________. 【答案】3ln3- 【分析】设()f x t =，则根据题意得2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <，故122t t +=，212t t =-，再结合()f x 的图象可得1221x x e t ==，3212x t t ==-，101t <<，进而1231122ln 34x x x t t -+=-+，再构造函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，分析函数的单调性，求得最大值. 【详解】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t m t t m -=-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，方程1()f x t =或2()f x t =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<， 作出图象如图所示：那么1221x x e t ==，可得3212x t t ==-，101t <<， 所以1231122ln 34x x x t t -+=-+，构造新函数()()ln 34,01h t t t t =-+<<，则13()t h t t-'=，所以()h t 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()3ln 33h t h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以12322x x x -+的最大值为3ln3-. 故答案为：3ln3-.例6-3（2021·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________． 【答案】(]01，．【分析】令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =，采用数形结合法即求． 【详解】函数()g x 的零点即为方程()0g x =的解，令()t f x =，则原方程的解变为方程组()()t f x f t a =⎧⎪⎨=⎪⎩，①②的解，作出函数()y f x =的图象，由图象可知，当1t>时，有唯一的x与之对应；当1t≤时，有两个不同的x与之对应．由方程组()()t f xf t a=⎧⎪⎨=⎪⎩，①②有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个1t>，一个1t≤，结合图象可知，当(]01a∈，时，满足一个(]10t∈-，，一个(]12t∈，，符合要求，综上，实数a的取值范围为(]01，．故答案为：(]01，.例6-4. 已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的图形将原问题转化为二次方程根的分布的问题，据此得到关于a的不等式组，求解不等式组即可.【详解】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得： .即 的取值范围是.类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x xax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3B ．(]1,3C ．[]1,3D ．[)3,+∞【解析】（1）易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，令2x －πsin x=0，得2,0π==x x ，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.（2）【答案】B 【解析】由题意得()221362f x x ax a a'=+++()0a >， 因为()f x 有极值，所以()2213620f x x ax a a'=+++=有2个不等实根，即()222116432120a a a a a ⎛⎫⎛⎫∆=-⨯⨯+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即310a a->， 因为0a >，解得1a >．令()()()2213620h x f x x ax a a a '==+++>，由()660h x x a '=+=得x a =-，设()f x 的极值点为1x ，2x ，则1x ，2x 为方程()2213620f x x ax a a'=+++=的根，则122x x a +=-，2122133a x x a=+， 因为()()3223221211122211321321f x f x x ax a x x ax a x a a ⎛⎫⎛⎫+=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3221212121212121336220x x x x x x a x x ax x a x x a ⎛⎫=+-+++-++++= ⎪⎝⎭，所以()()()2121263f x f x f a a a '++-=-+≥-， 令()()211g a a a a =-+>，易得()g a 在()1,+∞上单调递减，且()2633g =-，所以31≤<a ． 故选：B.例7-2已知函数()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>. （1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）12（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点即可；（2）根据导函数零点0x ，判断出()f x 的单调性，从而()min f x 可确定，利用()min 1f x =以及1ln y x x=-的单调性，可确定出0,x a 之间的关系，从而a 的值可求. 【详解】（1）证明：∵()ln()(0)x a f x e x a a -=-+>，∴1()x af x e x a-'=-+. ∵x a e -在区间(0,)+∞上单调递增，1x a+在区间(0,)+∞上单调递减， ∴函数()'f x 在(0,)+∞上单调递增.又1(0)a aaa e f e a ae--'=-=，令()(0)a g a a e a =->，()10ag a e '=-<， 则()g a 在(0,)+∞上单调递减，()(0)1g a g <=-，故(0)0f '<.令1m a =+，则1()(1)021f m f a e a ''=+=->+ 所以函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.（2）解：由（1）可知存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00010x af x ex a-'=-=+，即001x a e x a-=+（*）. 函数1()x af x e x a-'=-+在(0,)+∞上单调递增. ∴当()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.∴()()0min 00()ln x af x f x e x a -==-+.由（*）式得()()min 0001()ln f x f x x a x a==-++. ∴()001ln 1x a x a-+=+，显然01x a +=是方程的解. 又∵1ln y x x =-是单调递减函数，方程()001ln 1x a x a -+=+有且仅有唯一的解01x a +=， 把01x a =-代入（*）式，得121a e -=，∴12a =，即所求实数a 的值为12.【方法总结】类型一：化为一元二次函数得零点问题 类型二：复杂函数得零点思想：①先设后求、设而不求②与零点存在性定理结合使用步骤：(1)用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f(x 0)＝0，并结合f(x)的单调性得到零点的取值范围．(2)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小．例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围． 【答案】(],2-∞．解：原不等式等价于()()ln 21xxe x x b x -+≥-+，即ln 1x xe x x bx +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，等价于ln 1x xe x x b x +--≥，在()0,x ∈+∞上恒成立，令()ln 1x xe x x t x x +--=，()0,x ∈+∞，∴()22ln x x e xt x x+'=， 令()2ln xx x e x ϕ=+，则()x ϕ为()0,∞+上的增函数，又当0x →时，()x ϕ→-∞，()10e ϕ=>，∴()x ϕ在()0,1存在唯一的零点0x ，即0020e n 0l xx x +=，由0001ln 2000000ln 1ln 0ln x x x x x e x x e e x x ⎛⎫+=⇔=-= ⎪⎝⎭，又有x y xe =在()0,∞+上单调递增， ∴0001ln ln x x x ==-，001x e x =，∴()()00000min 0ln 12x x e x x t x t x x +--===⎡⎤⎣⎦， ∴2b ≤，∴b 的取值范围是(],2-∞．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.【答案】（1）答案见解析；（2）()g x 只有一个零点，理由见解析.（1）求出导数()'f x ，按a 分类讨论确定()'f x 的正负，得函数的单调性；（2）求出导函数()'g x ，对其中一部分，设()1e xh x x=-(0x >)，用导数确定它的零点0(0,1)x ∈，这样可确定()g x 的单调性与极值，然后结合零点存在定理确定结论． 【详解】（1）()f x 的定义域为R ，()()()()2222e 2e 2e x x xx x x a f x a x =-+-+=+-'，当2a ≥时，()0f x '≥，则()f x 在R 上是增函数；当2a <时，()(2(2)e e xx x a x x f x ⎡⎤=--=⎣⎦'，所以()0x f x =⇔='()0x f x >⇔<'或x > ()0f x x ⇔<'<所以()f x 在(上是减函数，在(,-∞和)+∞上是增函数.（2）当1a =时，()()2211e ln 2xg x x x x =--+，其定义域为()0,∞+，则()()()1e 11x g x x x x '=+--⎛⎫⎪⎝⎭.设()1e xh x x =-(0x >)，则()21e 0xh x x'=+>，从而()h x 在()0,∞+上是增函数，又1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()1e 10h =->， 所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0001e 0x h x x =-=，即001e x x =，00ln x x =-. 列表如下：由表格，可得()g x 的极小值为()12g =-；()g x 的极大值为()()022222000000000002111111e ln 2222x x x g x x x x x x x x x -+=--+=--=-+-因为()0g x 是关于0x 的减函数，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()03128g x -<<-，所以()g x 在(]0,1内没有零点.又()1102g =-<，()22e 2ln 20g =-+>，所以()g x 在()1,+∞内有一个零点. 综上，()g x 只有一个零点.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关 思想：偏离−−→−转化对称步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数 类型二、目标与极值点不相关步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2021·江苏高三开学考试）已知函数()ln a f x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<.（2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先求出导函数，当0a ≤时显然不成立，当0a >时求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值()f a ，依题意()0f a <，即可求出参数a 的取值范围；（2）由（1）可得120x a x <<<，设()()()2g x f a x f x =--，求出函数的导函数，即可得到122x x a +>，（3）由（1）可得120x a x <<<，再设21x tx =，1t >，则1221ln ln x x t x x ==，则()()12ln 1ln ln 1t t x x t t t +⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭，再利用导数说明()ln 1th t t =-的单调性，即可得到121x x +<，从而得证； 【详解】（1）证明：由()ln af x x x=+，0x >，可得()21af x x x '=-，0x >.当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，与题意不符.当0a >时，令()210af x xx '=-=，得x a =. 当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.可得当x a =时，()f x 取得极小值()ln 1f a a =+.又因为函数()ln a f x x x=+有两个零点，所以()n 10l a f a =+<，可得1e a <.综上，10ea <<.（2）解：由上可得()f x 的极小值点为x a =，则120x a x <<<.设()()()()l 2ln 22n a ag x f a x f x a x a x xx =--=-+---，()0,x a ∈， 可得()()()()222224110222a x a a ag x a x x x a x x a x ---'=--+=>---，()0,x a ∈，所以()g x 在()0,a 上单调递增，所以()()0g x g a <=，即()()20f a x f x --<，则()()2f a x f x -<，()0,x a ∈，所以当120x a x <<<时，12a x a ->，且()()()1122f a x f x f x -<=.因为当(),x a ∈+∞时，()f x 单调递增，所以122a x x -<，即122x x a +>.（3）由（1）可得120x a x <<<，设21x tx =，1t >，则1122ln 0,ln 0,a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩则1221ln ln x x t x x ==，即()1211ln ln ln ln ln x t x t tx t x t ===+.所以1ln ln 1t tx t =--， 所以()()()()()1211ln 1ln ln ln ln 1ln ln 1ln 111t t tt x x x t x t t t t t t ⎛⎫++=+=++=-++=- ⎪--⎝⎭.又因为()ln 1th t t =-，则()()211l n 01t t h t t --'=<-，所以()h t 在()1,+∞上单调递减，所以()ln 1ln 1t t t t +<-，所以()12ln 0x x +<，即12 1.x x +<综上，1221a x x <+<.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π. 【解析】 (1)易知函数f(x)为偶函数，故只需求x∈[0，＋∞)时f(x)的最小值．f′(x)＝2x －πsin x ，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，设h(x)＝2x －πsin x ，h′(x)＝2－πcos x ，显然h′(x)单调递增，而h′(0)＜0，h′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，由零点存在性定理知，存在唯一的x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得h′(x 0)＝0.当x∈(0，x 0)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，π2时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，而 h(0)＝0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，故x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，h(x)＜0，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f′(x)＜0，f(x)单调递减，又当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞时，2x ＞π＞πsin x ，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π24.(2)证明：依题意得x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞，f(x 1)=f(x 2), 构造函数F(x)＝f(x)－f(π－x)，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，F′(x)＝f′(x)＋f′(π－x)＝2π－2πsin x ＞0，即函数F(x)单调递增，所以F(x)＜F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，即当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，f(x)＜f(π－x)，而x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以f(x 1)＜f(π－x 1)，又f(x 1)＝f(x 2)，即f(x 2)＜f(π－x 1)，此时x 2，π－x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞. 由(1)可知，f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，＋∞上单调递增，所以x 2＜π－x 1，即x 1＋x 2＜π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当12()()f x f x =12()x x ≠时，120x x +<【解析】解： (Ⅰ) .)123)12)1()1)11()('222222x x x xe x x e x x e x x f x x x ++--⋅=+⋅--+⋅-+-=（（（ ;)(,0)(']0-02422单调递增时，，（当x f y x f x =>∞∈∴<⋅-=∆单调递减）时，，当)(,0)('0[x f y x f x =≤∞+∈.所以，()y f x =在0]-∞在（，上单调递增；在[0x ∈+∞，）上单调递减. （Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(－x)即可。

第12讲函数与方程知识梳理一、函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点.三、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0,f c c =也就是方程()0f x =的根.四、二分法对于区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()f x ，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.五、用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精度ε.（2）求区间(),a b 的中点1x .（3）计算()1f x .若()10,f x =则1x 就是函数()f x 的零点；若()()10f a f x ⋅<，则令1b x =（此时零点()01,x a x ∈）.若()()10f b f x ⋅<，则令1a x =（此时零点()01,x x b ∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(x f 在定义域上是单调函数，则)(x f 至多有一个零点.②连续不断的函数)(x f ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(x f 通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(x f 在闭区间][b a ，上有零点，不一定能推出0)()(<b f a f .必考题型全归纳题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数()h x 是奇函数，且()()2f x h x =+，若2x =是函数()y f x =的一个零点，则(2)f -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知0x 是函数()tan 2f x x =-的一个零点，则0sin 2x 的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log ,log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知()e ln 2x f x x =++，若0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，则0x 可能存在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【解题总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数()22log f x x x m =++在区间()1,2存在零点．则实数m 的取值范围是（）A ．(),5-∞-B ．()5,1--C ．()1,5D ．()5,+∞【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数3()2xf x a x=--的一个零点在区间()1,3内，则实数a 的取值范围是（）A ．()7,+∞B ．(),1-∞-C ．()(),17,-∞-+∞ D ．()1,7-【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数，若函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，则m 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．(11)-，C ．(2,2)-D ．()01，【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数()2ln f x x ax b =++，若()f x 在区间[]2,3上有零点，则ab 的最大值为__________.【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数()sin sin f x ax a x =-在(0,2π)上有零点，则实数a 的取值范围___________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x ，y满足2y +=，e 5x x +=，则2x y +=________.【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数()3234f x ax x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是________．【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数24,0()11,0x x a x f x a x x⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--在R 上恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是________．【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设R a ∈，对任意实数x ，记(){}2min e 2,e e 24x x x f x a a =--++．若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m ，n 满足()202323ln 22020e e ln ln 2e 02m m n n---=--=，则mn =___________.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）A ．0m >且0n >B ．0m <且0n >C ．01m <<且0n =D ．10m -<<且0n =【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R 上函数()f x ，若函数()1y f x =-关于点()1,0对称，且()()[)21,0,1,e 2,1,,x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则关于x 的方程()()221f x mf x -=(m R ∈)有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．2B ．4C ．2或4D ．2或4或6【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()211f x 2x x 2x 2⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数g （x ）=ax -3的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D ．5,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（）A ．21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【解题总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e≥+D ．1m e e≤+【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xx f x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x -=+-+有唯一零点，则=a （）A ．πeB ．4πeC D ．1【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：零点嵌套问题【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x xx e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a-【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．1a -B ．1a-C ．-1D ．1【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝的值为（）A ．81B ．﹣81C ．﹣9D ．9【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R 上的函数()f x 满足22()9(3)3(3)x x f x x a xe a e =+-+-有三个不同的零点123,,,x x x 且1230,x x x <<<则3122312333x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．81B ．-81C ．9D ．-9【解题总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型十：等高线问题【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【解题总结】数形结合数学思想方法题型十一：二分法【例11】（2024·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数()f x 在0x 附近一点的函数值可用()()()()000f x f x f x x x '≈+-代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程3310x x -+=，选取初始值012x =，在下面四个选项中最佳近似解为（）A ．0.333B ．0.335C ．0.345D ．0.347【对点训练34】（2024·全国·高三专题练习）函数()f x 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A ．1.5B ．1.25C ．1.41D ．1.44【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg1.50.176≈，lg1.6250.211≈，lg1.750.243≈，lg1.8750.273≈，lg1.93750.287≈）A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.9【对点训练37】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【解题总结】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.。

嵌套函数是数学中常见的概念，也是高考数学中的重点内容。

在冲刺2024年高考数学压轴题微切口突破中，嵌套函数问题通常是压轴题的难点之一、本文将从嵌套函数的基本概念、题型分析和解题策略等方面，对如何突破嵌套函数问题进行探讨。

首先，我们来回顾一下嵌套函数的基本概念。

嵌套函数可以理解为一个函数内部包含了另一个函数。

通常，外层函数称为主函数，内层函数称为子函数。

子函数的输入来自主函数，子函数的输出作为主函数的一些步骤的计算结果。

在解决嵌套函数问题时，我们需要了解主函数的输入和输出，以及子函数的输入和输出之间的关系。

在冲刺2024年高考数学压轴题微切口突破中，嵌套函数问题的题型多种多样，常见的有求导、极值、函数图像等。

在解题过程中，我们需要根据问题的要求，灵活运用函数的基本性质和规律，以及合理的数学思维方式，来解决问题。

对于求导问题，通常我们需要根据链式法则和复合函数求导法则，仔细分析主函数和子函数之间的关系。

在求导过程中，我们需要注意运用求导法则和基本函数的导数公式，以及合理运用化简的方法，使得计算过程简洁明了。

对于极值问题，我们通常需要根据函数在一定区间上的单调性、导数的符号和零点等信息，来确定函数的极值点。

在嵌套函数问题中，我们需要仔细分析主函数和子函数之间的关系，并根据导数的性质，结合函数图像的特点来解题。

对于函数图像问题，我们通常需要结合主函数和子函数的图像特点，来确定函数的图像形状、对称性和变化趋势等。

同时，我们还需要运用函数图像的性质和定理，来解决相关的问题。

在解决嵌套函数问题时，我们需要注意以下几点策略。

首先，我们要充分理解题目的要求和条件，并运用已经掌握的基本概念和技巧，来分析问题。

其次，我们要注重培养空间想象力和数学直觉，通过观察和分析函数的图像、符号和变化趋势等，来解题。

此外，我们还可以通过化简运算、构造合适的例子和寻找一些特殊点等方法，来简化解题过程。

最后，我们要多进行练习和总结，不断强化对嵌套函数的理解和运用能力。

x＋12，x≤0.
①当 t>0 时，f(t)＝ln t－1t ，则函数 f(t)在(0，＋∞)上单调递增， 由于 f(1)＝－1<0，f(2)＝ln 2－12>0，
由零点存在定理可知，存在t1∈(1,2)，使得f(t1)＝0； ②当t≤0时，f(t)＝t2＋2t，
由f(t)＝t2＋2t＝0，解得t2＝－2，t3＝0.
称，即f(x)为奇函数，故A正确；
由双曲线的顶点为(± 3，0)，渐近线方程为 y＝± 33x，
可得 f(x)的图象的渐近线为 x＝0 和 y＝±33x，
由图象关于直线 y＝
3x
对称，可得
f(x)的图象过点
23，23或
23，－32，

故 B 正确；
由对称性可得f(x)的图象按逆时针旋转60°位于
一、三象限，按顺时针旋转60°位于二、四象
12345678
作出函数t＝f(x)＋1，直线t＝t1，t＝－2，t＝0的图象如图所示， 由图象可知，直线t＝t1与函数t＝f(x)＋1的图象 有两个交点； 直线t＝0与函数t＝f(x)＋1的图象有两个交点； 直线t＝－2与函数t＝f(x)＋1的图象有且只有 一个交点. 综上所述，函数y＝f(f(x)＋1)的零点个数为5.
专题强化练
考点一
嵌套函数中的零点问题
考向1 函数的零点个数问题
例1 已知函数 f(x)＝l－nxxe＋x，1x，<0x，≥0， 函数 g(x)＝f(f(x))－12的零点个数为
A.4
B.3
C.2
√D.1
令 u＝f(x)，令 g(x)＝0，则 f(u)－12＝0， 当u≥0时，则f(u)＝ln(u＋1)， 所以 ln(u＋1)＝12，所以 u＝ e－1. 当u<0时，f(u)＝－ueu，则f′(u)＝－(u＋1)eu， 当u<－1时，f′(u)>0；当－1<u<0时，f′(u)<0. 此时，函数 y＝f(u)在 u＝－1 处取得极大值，且极大值为 f(－1)＝1e<12. 所以当 u<0 时，f(u)<12，

专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。

可以说是函数中最困难的部分都不为过，如果能把该板块内容理解透彻，那你对函数的理解有上了一个新的台阶。

我们常见有两类嵌套函数分别是：“自（互）嵌套型”和“二次嵌套型”，解题的主要思路是:首先通过“换元”达到“解套”的目的，再利用数形结合的思想解决具体问题即可。

1.嵌套函数形式：形如f(g(x))2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)求出x的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．目录题型一嵌套（复合）函数求值问题 (2)题型二分段函数等值线（方程根之间的数量关系） (2)题型三分段函数，复合函数由单调性求取值范围 (5)题型四分段函数的满足某条件求参数范围 (6)题型五关于的f(x)的一元二次方程或嵌套函数 (7)题型六分段函数与嵌套函数综合（画2个函数图像） (9)题型一 嵌套（复合）函数求值问题1． 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为________.2． 任意时，恒成立，且函数y ＝f (t )单调，则_________.3． 已知函数f (x )是定义域内的单调函数，且满足，则函数的解析式_______，若不等式对任意恒成立，则实数m 的取值范围是_______.题型二 分段函数等值线（方程根之间的数量关系）4．设函数若函数有三个零点:，则________.()f x R x ()21213x f f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦()2log 3f t R +∈1[()]2f f t t −=1()2019f =()2[3)]1(f f x ln x ln －＋＝＋()f x ()f x ＝()xf x m e ＞－0[)x ∈∞，＋1,2()log |2|1,21a x f x x x a =⎧=⎨−+≠>⎩，2()[()]()g x f x bf x c =++123,,x x x 122313x x x x x x ++=重点题型·归类精讲5．已知函数若存在实数，且，则的取值范围是 ．6．已知函数2()|54|f x x x kx =−+−有三个零点123,,x x x ，则123x x x ++=（ ） A.7 B.8 C.15 D.167． 设函数，关于的方程有4个不相等的实数根，则 的最小值为8．已知函数.，若关于x 的方程有四个不同的且有则的取值范围是_______9．已知函数,若方程有4个不同的实根，且,则 .【相似题】()23log ,0221,25x x x f x x −⎧⎪=⎨−⎪⎩＜＜≤＜1234x x x x ＜＜＜()()()()1234f x f x f x f x ===()()341222x x x x −−lg ,03()(6),36x x f x f x x ⎧ <⎪=⎨− <<⎪⎩≤x ()f x m =1234,,,x x x x 22221234x x x x +++22122,)log 02(,x x f x x x x ⎧++⎪=⎨⎪>⎩≤()f x a =1234,,,,x x x x 1234,x x x x <<<212344x x x x x ++()22log (1),131910,322x x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪−<≤+>⎩−()f x m =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<341211()x x x x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭10． 已知函数，若方程有四个不同的解且 则的取值范围为( ) A.(－1，＋∞) B.(－1，1] C .(－∞，1) D.[－1，1)11． 已知函数，若实数a,b,c 满足0<a<b<c ，且,下列结论中恒成立的是( ) A.ab=1 B.32c a −= C.a+c<2b D.240b ac−<12． 已知函数,若方程有4个根分别为，且,则的取值范围是______13． （多选）已知函数,若，且,则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．22(1),0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩()f x a =1234,x x x x ，，，1234,x x x x <<<3122341()x x x x x ++212log ,02()3log ,22x x f x x x ⎧<<⎪=⎨⎛⎫−> ⎪⎪⎝⎭⎩()()()f a f b f c ==24,[4,0]()|lg |2,(0,)x x x f x x x ⎧−−∈−=⎨+∈+∞⎩()0f x m −=123,,,x x x 4x 1231.x x x x <<<1234x x x x ⋅⋅⋅222,0()|log |,0x x x f x x x ⎧−−≤=⎨>⎩1234x x x x <<<()()()()1234f x f x f x f x ===121x x +=−341x x =412x <<12340 1x x x x <<14． 已知函数，则 .若存在,使得则 .15． 已知函数，若方程有四个不同的实根满足则的取值范围是（ ）A．(0，3) B．（0，4]C．（3，4]D．(1，3)16． （多选）已知函数.若且，则下列结论正确的有（ ）A ．B ．C ．D ．题型三 分段函数，复合函数由单调性求取值范围17． 设函数是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围为_________．|21|,1()32,1x xx f x x ⎧−≤=⎨−>⎩((3))f f =a b c <<()()()f a f b f c ==1222a b c +++=32|log |,03()1108,333x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨−+>⎪⎩()f x m ＝1234x x x x ,,,，1234x x x x <<<()()341233x x x x −−★()22log ,0log 1,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨−+≤⎪⎩()()()()1234f x f x f x f x ===1234x x x x >>>12340x x x x +++<12340x x x x ++>+12341x x x x ≥123401x x x x <<2|2|,()6,x x x af x ax x a ⎧−−≥=⎨−<⎩18． 已知0a >且1a ≠,函数11x y a −=+的图像恒过定点()m n ，，函数2log ()a y mx ax n =−+在区间(1],−∞上是减函数，则a 的取值范围是______19． 设函数是定义在R 上的增函数,则实数a 取值范围是 .20． 已知f (x )＝log a (ax 2﹣x )（a ＞0且a ≠1）在1142⎛⎫⎪⎝⎭，上是增函数，则实数a 取值范围是 ．题型四 分段函数的满足某条件求参数范围21． 若函数的值域为,则实数a 的取值范围是 .22． 已知且a ≠1)，若f (x )有最小值，则实数a 取值范围是____________23． 函数在区间上既有最大值又有最小值,实数a 的范围( )A. B. C. D. 2|2|,()6,x x x af x ax x a⎧−−≥=⎨−<⎩224,()22,xx x x af x x a ⎧−+≤=⎨+>⎩[3,)+∞||1,1()1xx a x f x a a x −+>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，(0a >()||f x x x a =−()0,1)222,0⎡−⎣(0,222⎤−⎦2,12⎫⎪⎪⎣⎭)222,1⎡⎣24． 设函数，若恰有2个零点,则实数a 的取值范围是_______.25． 已知函数若存在使得则的取值 范围为 .题型五 关于的f (x )的一元二次方程或嵌套函数26． 已知，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．27． 已知函数,.①若方程有两个解,则的取值范围为 ；②若不等式在R 上恒成立,则m 的取值范围为 ．(第一空1分,第二空2分)28． 设函数则函数的零点个数是 ．29． （天津高考）已知函数 (a ＞0，且a ≠1)在R 上单调递减，且关于x 的方程恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是________.2,1()4()(2,1)x a x f x x a x a x ⎧−<=⎨−−≥⎩()f x 221,[0,1)()log ,[1,)x x f x x x −∈⎧=⎨∈+∞⎩12,x x <12()(),f x f x =12()x f x ⋅()11xf x e =−+2()[()](2)()2g x f x a f x a =+−−a (2,1)−−(1,0)−(0,1)(1,2)()2,x f x x R =∈()2f x m −=m 2[()]()0f x f x m +−>2|log |,0,()2,0,xx x f x x >⎧=⎨⎩2()3()8()4g x f x f x =−+2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+−+<=⎨++≥⎩，，()2f x x ＝－30． （多选）设定义域为R 的函数，若关于x 的方程有且仅有三个不同的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1 ＜ x 2 ＜ x 3．下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．31． 已知函数，若对任意的[]2,1m ∈−−,恒成立,求实数c 的取值范围.【相似题】——改数据32． 已知函数，若对任意的[]2,1m ∈−−,恒成立,求实数c 的取值范围.33． 已知函数，则函数的零点个数为______. 34． 已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为______.1, 1|1|()1, 1x x f x x ⎧≠−⎪+=⎨⎪=−⎩2[()]()0f x af x b ++=2221235x x x ++=10a b ++=1322x x x +>132x x +=−()2x f x =(1)2()()1f xg x f x +−=+()()()()220g mf x c g f x −++<[]0,2x ∈()2x f x =(1)2()()1f xg x f x +−=+()()()()220g mf x c g f x −++<[]0,2x ∈()1,0ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩()1y f f x ⎡⎤=−⎣⎦x 21log 02m mx x ⎛⎫−+> ⎪⎝⎭[1]2，m题型六 分段函数与嵌套函数综合（一般画2个函数图像来分析）35． 已知函数，若方程至少有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是_________36． 设定义域为R 的函数若关于x 的函数有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是_________.37． 已知定义域为R 的函数 若关于x 的函数有5个不同的零点.,则 .38． 已知函数，若方程恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是_________.39． 已知，则方程的根个数可能是|ln |1,0()1,0x x x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩2()2g x x x =−−()()0f g x a −=2|lg |,0()2,0x x f x x x x ⎧>=⎨−−≤⎩22()2()1y f x bf x =++ln 2,2()1,22x x g x x ⎧−≠⎪=⎨=⎪⎩23()()()2h x g x g x c =−+12345,,,,x x x x x 2222212345x x x x x ++++=|51|1()8,11x x f x x x ⎧−<⎪=⎨≥⎪+⎩()()f f x a =21,0()2,0x x f x x x x ⎧−>⎪=⎨−−≤⎪⎩()(22)0R xf a a −−=∈A ．3B ．4C ．5D ．640． 已知函数，若关于x 的方程恰有个实数根,求m 的取值范围.41． 已知函数则方程的根的个数可能为（ ）A ．2B ．5C ．6D ．842． 知函数若函数恰有8个零点，则m的取值范围是________.43． 已知函数，若函数，恰有个不同的零点，则实数取值范围为_________.44． （2023·浙江·二模）已知函数()e xf x x a =−，则()()f f x a =至多有______个实数解.45． 已知2|21|,1()log (1),1x x f x x x +<⎧=⎨−>⎩，()g x 为三次函数，其图象如图所示.若()()y f g x m =−有9个零点，则m 的取值范围是___________.lg(),0()|2|,0x x x f x e x ⎧−<=⎨−≥⎩2()()210f x mf x m +++=5221,0,()|log |1,0x x f x x x ⎧+≤=⎨−>⎩2()2()10f x f x a −+−=2|ln |,0,()43,0x x f x x x x >⎧=⎨++≤⎩2()[()]4()1g x f x f x m =−++()()22log 2,2021,0x x f x x x x ⎧+−⎪=⎨−+⎪⎩＜≤＞()()()()21g x f x a f x a =−++a ∈R 3a专题1-7嵌套（复合）函数，分段函数综合问题嵌套函数的零点数量、零点范围、参数范围等问题常见于高考和各类模拟试题的压轴小题。