嵌套函数与函数的零点问题

《函数零点》专项突破 高考定位函数的零点其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，以选择、填空题的形式考查可难可易，以大题形式出现，相对较难. 考点解析（1）零点个数的确定（2）二次函数的零点分布（3）零点与函数性质交汇（4）嵌套函数零点的确定（5）复杂函数的零点存在性定理（6）隐零点的处理（7）隐零点的极值点偏移处理 题型解析类型一、转化为二次函数的零点分布例1-1．（2022·全国·高三专题练习）已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y =f (2x 2+1)+f (λ-x )只有一个零点，则实数λ的值是（ ） A ．14B ．18C ．78-D ．38-练（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）若函数2()2a f x x ax =+-在区间(1,1)-上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2(2,)3-B ．2(0,)3C ．(2,)+∞D ．(0,2)例1-2．（2022·湖北恩施·高三其他模拟）设函数()()2x f x x a e =+在R 上存在最小值(其中e 为自然对数的底数，a R ∈)，则函数()2g x x x a =++的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．无法确定类型二、区间零点存在性定理例2-1．（2022·天津二中高三期中）已知函数()ln 1f x x x =-，则()f x 的零点所在的区间是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4练．（2022·天津·大钟庄高中高三月考）函数()2xf x x =+的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2类型三、利用两图像交点判断函数零点个数例3-1（一个曲线一个直线）14．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个练．已知m 、n 为函数()1ln xf x ax x+=-的两个零点，若存在唯一的整数()0,x m n ∈则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 3,92e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．ln 20,4e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 2,14e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭例3-2（一个曲线一个直线）（2018·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心高三学业考试）已知函数()()()()22,22,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，函数()()2g x b f x =--，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围为_______.例3-3【一个曲线和一个倾斜直线】【2022福建省厦门市高三】已知函数()221,20, ,0,xx x x f x e x ⎧--+-≤<=⎨≥⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为__________．例3-4（两个曲线）（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________.（两个曲线）（2022·四川·高三期中（理））已知定义在R 上的函数()f x 和()1f x +都是奇函数，当(]0,1x ∈时，21()log f x x=，若函数()()sin()F x f x x π=-在区间[1,]m -上有且仅有10个零点，则实数m 的最小值为（ ） A ．3 B ．72C ．4D ．92（两个曲线）【2022河北省武邑中学高三】若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且当[]0,1x ∈时， ()f x x =，则函数()3log y f x x =-的零点个数是（ ）A ． 6个B ． 4个C ． 3个D ． 2个例3-5（直接解出零点）（2022·四川·高三月考（理））函数()25sin sin 1f x x x =--在5π5π,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18类型三、利用周期性判断零点个数例3-1．（2022·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（ ） A ．404 B ．804C ．806D ．402例3-2．偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln2,ln63⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭类型四、零点之和例4-1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()1sin sin f x x x=+，定义域为R 的函数()g x 满足()()0g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =图象的交点为()()()112266,,,,,,x y x y x y ⋯，则()61i j i x y =+=∑（ ）A ．0B ．6C ．12D ．24例4-2（2022·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x =-，当[]1,1x ∈-时，()3f x x =，若函数()()()4g x f x k x =--的所有零点为()1,2,3,,i x i n =，当1335k <<时，1nii x==∑（ ）A ．20B ．24C ．28D ．36类型五、等高线的使用例5-1．（2022·福建宁德·高三期中）已知函数()()8sin ,02log 1,2x x f x x x π≤≤⎧=⎨->⎩，若a ､b ､c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是___________.例5-2（2022·山西太原·高三期中）设函数22log (1),13()(4),3x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3412114x x x x ++的取值范围是（ ）A ．109,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,1)C ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭例5-3（2022·吉林吉林·高三月考（理））()22,01ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c ，d 使得()()()()f f b f d m a c f ====，则下列结论中正确的为（ ）①()0,1m ∈；①()122e 2,e 1a b c d --+++∈--，其中e 为自然对数的底数； ①函数()y f x x m =--恰有三个零点. A ．①① B ．①① C ．①① D ．①①①例5-4．（2022·辽宁实验中学高三期中）已知函数()266,1ln 1,1x x x f x x x ⎧---≤⎪=⎨+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =恰有三个不同实数解123x x x <<，则关于n 的方程()()121222356516n x x x x x -+=++-的正整数解取值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4类型六、嵌套函数零点例6-1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））设函数()32,0lg ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数()()12y f f x =-的零点个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例6-2．（2022·天津市第四十七中学高三月考）已知函数()2e ,0,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，2()2g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())g f x m =恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则12322x x x -+的最大值为___________.例6-3（2022·全国·高三专题练习）设函数()210log 0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，若函数()()()g x f f x a=-有三个零点，则实数a 的范围为________．例6-4. 已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0 ，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ． (0,14) B ． (13,3) C ． (1,2) D ． (2,94)类型七、隐零点处理例7-1．（1）已知函数f(x)＝x 2＋πcos x ，求函数f(x)的最小值；（2）已知函数()()32213210f x x ax a x a a ⎛⎫=++++> ⎪⎝⎭，若()f x 有极值，且()f x 与()f x '（()f x '为()f x 的导函数）的所有极值之和不小于263-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3 B ．(]1,3 C ．[]1,3 D ．[)3,+∞例7-2已知函数()ln()(0)x af x ex a a -=-+>.（1）证明：函数()'f x 在(0,)+∞上存在唯一的零点；（2）若函数()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为1，求a 的值.例7-3已知函数()xf x xe =，()lng x x x =+．若()()()21f x g x b x -≥-+恒成立，求b 的取值范围．例7-4已知函数()()22e xx x f a x =-+.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，判断函数()()21ln 2g x f x x x -+=零点的个数，并说明理由.类型八、隐零点之极值点偏离类型一、目标与极值点相关思想：偏离−−→−转化对称 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域 （4）构造对称函数类型二、目标与极值点不相关 步骤：（1）利用单调性与零点存在定理判定零点个数 （2）确定极值点（3）确定零点所在区域（4）寻找零点之间的关系，消元换元来解决例8-1．（2022·江苏高三开学考试）已知函数()ln af x x x=+（a ∈R ）有两个零点.（1）证明：10ea <<. （2）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：a x x 221>+.（3）若()f x 的两个零点为1x ，2x ，且12x x <，证明：.121<+x x练、已知函数f(x)＝x 2＋πcos x. (1)求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－a 在(0，＋∞)上有两个零点x 1，x 2，且x 1<x 2，求证：x 1＋x 2<π.练、已知函数21()1xx f x e x-=+. （①）求()f x 的单调区间；（①）证明：当12()()f x f x = 12()x x ≠时，120x x +<练、已知函数f(x)＝xe －x .(1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若x 1≠x 2且f(x 1)＝f(x 2)，求证：x 1＋x 2>2.练、已知函数f(x)＝xln x 的图象与直线y ＝m 交于不同的两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．求证：x 1x 2<1e 2.练（2022·沙坪坝区·重庆八中）已知函数()222ln f x x ax x =-+（0a >）．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()2ln g x x bx cx =--，若函数()f x 的两个极值点1x ，2x （12x x <）恰为函数()g x 的两个零点，且()12122x x y x x g '+⎛⎫=- ⎪⎝⎭的取值范围是[)ln31,-+∞，求实数a 的取值范围．练．已知2()4ln f x x x a x =-+.已知函数()f x 有两个极值点12x x ，（12x x <），若123()20f x mx ->恒成立，试求m 的取值范围.。

嵌套函数的零点问题1.已知$f(x)=|e^x-1|+1$，若函数$g(x)=(f(x))^2+(a-2)f(x)-2a$有三个零点，则实数$a$的取值范围是什么？2.若函数$f(x)=\begin{cases} x+1.& x\leq 0 \\ \ln x。

& x>0 \end{cases}$，则函数$y=f(f(x))+1$的零点个数是多少？3.已知$f(x)=|e^x-1|$，$g(x)=f^2(x)-tf(x)$，若满足$g(x)=-1$的$x$有三个，则$t$的取值范围是什么？4.若函数$f(x)=e^x$，则方程$3f(f(x))-e^3=0$的根的个数是多少？5.已知函数$f(x)=\begin{cases} | \log(-x) |。

& x<0 \\ x^2+x-6x+4.& x\geq 2 \end{cases}$，若关于$x$的方程$f^2(x)-bf(x)+1=0$有8个不同的根，则实数$b$的取值范围是什么？6.已知函数$f(x)=\begin{cases} x^2+2x。

& x>0 \\ \ln(1-x)+4.& x\leq 0 \end{cases}$，那么关于$x$的方程$f(x^2-4x)=6$的不同实数根的个数是多少？7.已知函数$y=f(x)$是定义域为$\mathbb{R}$上的偶函数，当$x\geq 2$时，$f(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{x^2}\right)$，当$-2\leq x\leq 2$时，$f(x)=\frac{1}{4}(1-x^2)$。

若关于$x$的方程$(f(x))^2+af(x)+\frac{1}{16}=0$，$a\in\mathbb{R}$有且仅有8个不同的实数根，则实数$a$的取值范围是什么？8.已知函数$f(x)=x$，$g(x)=f(f(x)-1)$，其中$t>0$。

高考数学函数嵌套问题【题型归纳目录】题型一：“()()=f f x k ”型问题题型二：“()()=f g x k ”型问题题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题题型五：含参二次函数复合型零点问题题型六：零点求和问题题型七：其他型【解题思路】1.嵌套函数形式：形如2.解决嵌套函数零点个数的一般步骤(1)换元解套，转化为t ＝g (x )与y ＝f (t )的零点．(2)依次解方程，令f (t )＝0，求t ，代入t ＝g (x )求出x 的值或判断图象交点个数．注：抓住两点：(1)转化换元；(2)充分利用函数的图象与性质．【典型例题】题型一：“()()=f f x k ”型问题例1．设函数()|2|f x x x =-，0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，若0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例2．设函数()|2|f x x x =-，则当(0,2)x ∈时，函数()f x 的最大值等于，若0x 是函数()(())1g x f f x =-的所有零点中的最大值，且0(x k ∈，1)()k k Z +∈，则k =．例3．已知函数2|(1)|,(1,3)()5,[3,)log x x f x x x +∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，则函数()(())1g x f f x =-的零点个数为()A ．3B ．4C ．5D ．6变式1．已知函数22log (1),0()4,0x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩，则函数()[()]1g x f f x =-的零点个数为()A ．4B ．7C ．8D ．9变式2．已知函数2log (),(0)()2,(0)x x f x x x -<⎧=⎨-⎩，则函数()[()1]g x f f x =+的零点个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式3．已知函数2()f x x x q =++，集合{|()0A x f x ==，}x R ∈，{|(())0B x f f x ==，}x R ∈，若B 为单元素集，试求q 的值．题型二：“()()=f g x k ”型问题例4．已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩（1）求[g f （1）]的值；（2）若方程[()]0g f x a -=有4个实数根．求实数a 的取值范围．例5．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =．（1）求函数()h x 的单调递增区间．（2）若关于x 的方程()0h x a -=有4个不同的实数很，求实数a 的取值范围．例6．设函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+⎩，()[()]h x g f x =，求函数()h x 的单调递增区间．变式4．已知函数2()2f x x x =--，1;0()1;04x x g x x x x +⎧⎪=⎨+>⎪⎩，若函数[()]y g f x a =-有4个零点，则实数a 的取值范围是．变式5．已知函数32()31f x x x =-+，21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---⎩，则当方程[()]0g f x a -=有6个解时a 的取值范围是()A ．514a <<B ．54a >或81a -<C ．54a >D ．01a题型三：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f f x x 的零点问题例7．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1(0)f x ax b x b a =++-≠．（1）当1a =，3b =时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B 的中点C 在函数22()541ag x x a a =-+-+的图象上，求b 的最小值．例8．定义：若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．()I 当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（Ⅱ）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围．例9．设函数()0f x x =>，a R ∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是．变式6．设函数2()f x x x c =++．若对任意x R ∈，均有(())f f x x >，则实数c 的取值范围是．变式7．对于函数()f x ，若()f x x =，则称x 为()f x 的“不动点”，若(())f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，记{|()}A x f x x ==，{|(())}B x f f x x ==，则下列说法错误的是()A ．对于函数()f x x =，有AB =成立B ．若()f x 是二次函数，且A 是空集，则B 为空集C ．对于函数1()()2x f x =，有A B =成立D ．对于函数()bf x x=，存在(0,)b ∈+∞，使得A B =成立变式8．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”：若00(())f f x x =，则称0x 为()f x 的“稳定点”，如果函数2()1()f x ax a R =+∈的稳定点恰是它的不动点，那么a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞C ．31[,]44-D ．1(1,]4-变式9．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”．如果函数2()()f x x a a R =+∈的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是()A ．(-∞，1]4B ．3(4-，)+∞C ．3(4-，1]4D ．3[4-，14变式10．设函数())f x a R =∈．若存在[0b ∈，1]，使(f f （b ）)b =成立，则a 的取值范围是()A ．[0，14B ．[1，2]C ．[0，1]D ．1[4，1]变式11．设函数()f x a R =∈，e 为自然对数的底数），若存在[0b ∈，1]使[f f （b ）]b =成立，则a 的取值范围()A ．[1，]e B ．[0，]e C ．[2，]e D ．[1，1]e +变式12．设函数())f x a R =∈，若存在[1b ∈，]e ，使得(f f （b ）)b =成立，则实数a 的取值范围是()A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1-，0]变式13．设函数())f x a R =∈．若方程(())f f x x =有解，则a 的取值范围为()A ．1(,]4-∞B ．1(0,8C ．1(,]8-∞D ．[1，)+∞题型四：复合函数()⎡⎤=-⎣⎦y f g x x 的零点问题例10．设()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，若函数(())y f g x x =-有零点，则函数(())g f x 不可能是()A ．215x -B ．215x +C ．215x x +-D ．215x x ++例11．()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x g f x -=有实数解，则[()]f g x 不可能是()A ．32x-B ．23x -C ．4|1|5x --+D ．4|1|5x -+。

第12讲函数与方程知识梳理一、函数的零点对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有公共点⇔函数()y f x =有零点.三、零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0,f c c =也就是方程()0f x =的根.四、二分法对于区间[],a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()f x ，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.五、用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精度ε.（2）求区间(),a b 的中点1x .（3）计算()1f x .若()10,f x =则1x 就是函数()f x 的零点；若()()10f a f x ⋅<，则令1b x =（此时零点()01,x a x ∈）.若()()10f b f x ⋅<，则令1a x =（此时零点()01,x x b ∈）（4）判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则函数零点的近似值为a （或b ）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数)(x f 在定义域上是单调函数，则)(x f 至多有一个零点.②连续不断的函数)(x f ，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数)(x f 通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数)(x f 在闭区间][b a ，上有零点，不一定能推出0)()(<b f a f .必考题型全归纳题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数()h x 是奇函数，且()()2f x h x =+，若2x =是函数()y f x =的一个零点，则(2)f -=（）A ．4-B ．0C ．2D ．4【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知0x 是函数()tan 2f x x =-的一个零点，则0sin 2x 的值为（）A ．45-B ．35-C ．35D ．45【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()222,log ,log 2x f x x g x x x h x x =+=+=-的零点依次为,,a b c ，则（）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．c a b<<D ．b a c<<【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知()e ln 2x f x x =++，若0x 是方程()()e f x f x -'=的一个解，则0x 可能存在的区间是（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【解题总结】求函数()x f 零点的方法：（1）代数法，即求方程()0=x f 的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数()x f y =的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数()22log f x x x m =++在区间()1,2存在零点．则实数m 的取值范围是（）A ．(),5-∞-B ．()5,1--C ．()1,5D ．()5,+∞【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数3()2xf x a x=--的一个零点在区间()1,3内，则实数a 的取值范围是（）A ．()7,+∞B ．(),1-∞-C ．()(),17,-∞-+∞ D ．()1,7-【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数2()21x f x a =-+是R 上的奇函数，若函数(2)y f x m =-的零点在区间()11-，内，则m 的取值范围是（）A ．11(,)22-B ．(11)-，C ．(2,2)-D ．()01，【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数()2ln f x x ax b =++，若()f x 在区间[]2,3上有零点，则ab 的最大值为__________.【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数()sin sin f x ax a x =-在(0,2π)上有零点，则实数a 的取值范围___________.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知实数x ，y满足2y +=，e 5x x +=，则2x y +=________.【对点训练8】（2024·新疆·校联考二模）已知函数()3234f x ax x =+-，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x <，则a 的取值范围是________．【对点训练9】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数24,0()11,0x x a x f x a x x⎧++≤⎪=⎨++>⎪⎩，若函数()()1g x f x ax =--在R 上恰有三个不同的零点，则a 的取值范围是________．【对点训练10】（2024·江苏·校联考模拟预测）若曲线ln y x x =有两条过()e,a 的切线，则a 的范围是______.【对点训练11】（2024·天津北辰·统考三模）设R a ∈，对任意实数x ，记(){}2min e 2,e e 24x x x f x a a =--++．若()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是________．【对点训练12】（2024·广东·统考模拟预测）已知实数m ，n 满足()202323ln 22020e e ln ln 2e 02m m n n---=--=，则mn =___________.【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()21,02211,0x x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩，若关于x 的方程()()()2210f x k xf x kx -++=有且只有三个不同的实数解，则正实数k 的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()1,11,22⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭C ．()()0,11,2U D ．()2,+∞【对点训练13】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()221xf x =--，则关于x 的方程()()20f x mf x n ++=有7个不同实数解，则实数,m n 满足（）A ．0m >且0n >B ．0m <且0n >C ．01m <<且0n =D ．10m -<<且0n =【对点训练14】（2024·四川资阳·高三统考期末）定义在R 上函数()f x ，若函数()1y f x =-关于点()1,0对称，且()()[)21,0,1,e 2,1,,x x x f x x -⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩则关于x 的方程()()221f x mf x -=(m R ∈)有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．2B ．4C ．2或4D ．2或4或6【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()(1)x f x x x e =--，设关于x 的方程25()()()f x mf x m R e-=∈有n 个不同的实数解，则n 的所有可能的值为A ．3B ．1或3C ．4或6D ．3或4或6【解题总结】1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围．2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()211f x 2x x 2x 2⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的图象上存在点P ，函数g （x ）=ax -3的图象上存在点Q ，且P ，Q 关于原点对称，则实数a 的取值范围是（）A ．[]4,0-B ．50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D ．5,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，若()()h x g x kx =-无零点，则实数k 的取值范围是（）A ．21e ,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．(e,)+∞D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）已知函数12ln ,(e)ey a x x =-≤≤的图象上存在点M ，函数21y x =+的图象上存在点N ，且M ，N 关于x 轴对称，则a 的取值范围是（）A ．21e ,2⎡⎤--⎣⎦B ．213,e ∞⎡⎫--+⎪⎢⎣⎭C ．213,2e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦D ．2211e ,3e ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦【对点训练18】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()2g x a x =-（1x e e≤≤，e 为自然对数的底数）与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣【解题总结】转化为零点问题题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）若函数322ln ()x ex mx xf x x-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦D ．1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【对点训练19】（2024·湖北·高三校联考期中）设函数32()2ln f x x ex mx x =-+-，记()()f x g x x=，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是A ．21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．210,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦D ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎝⎦【对点训练20】（2024·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个x ，使得方程2ln (2)x mx x x ex -=-成立．则实数m 的取值范围为A ．21m e e≥+B ．21m e e≤+C ．1m e e≥+D ．1m e e≤+【对点训练21】（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数()22xx f x x x a e =--+（其中e 为自然对数的底数），若函数()f x 至少存在一个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,1e+B ．1(0,e e +C ．1[,)e e ++∞D ．1(,1]e-∞+【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()222e ex xf x x a +--=++++有唯一零点，则实数=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【对点训练22】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()π4π4sin cos x x f x e ea x x -=+-+有唯一零点，则=a （）A ．πeB ．4πeC D ．1【对点训练23】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()g x ，()h x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()sin xg x h e x x x ++=-，若函数()()20202320202x f g x x λλ-=---有唯一零点，则实数λ的值为A ．1-或12B ．1或12-C ．1-或2D ．2-或1【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()222212e 222x x x f x a a ---=-+-有唯一零点，则负实数=a A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1-【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】（2024·天津南开·高三南开中学校考期末）已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知0m >，函数(2)ln(1),1,()πcos 3,π,4x x x m f x x m x -+-<≤⎧⎪=⎨⎛⎫+<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩恰有3个零点，则m 的取值范围是（）A ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B ．π5π3π,2,12124⎡⎫⎡⎤⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦C ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ D ．5π3π0,2,124⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【对点训练26】（2024·陕西西安·高三统考期末）已知函数()e ,03,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，若函数()()()g x f x f x =--，则函数()g x 的零点个数为（）A ．1B ．3C ．4D ．5【对点训练27】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()f x =()22122,2212,sin x a x a x a x a x a π⎧⎡⎤⎛⎫-+<⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎨⎣⎦⎪-+++≥⎩，若函数()f x 在[0,)+∞内恰有5个零点，则a 的取值范围是（）A ．75,42⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．75,22,42⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：零点嵌套问题【例9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+-+-有三个不同的零点123,,x x x .其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x xx e x e x e ---的值为（）A ．1B ．2(1)a -C ．1-D ．1a-【对点训练28】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()()2ln ln f x ax x x x x =+--，有三个不同的零点，（其中123x x x <<），则2312123ln ln ln 111x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为A ．1a -B ．1a-C ．-1D ．1【对点训练29】（2024·辽宁·校联考二模）已知函数()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝的值为（）A ．81B ．﹣81C ．﹣9D ．9【对点训练30】（2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）设定义在R 上的函数()f x 满足22()9(3)3(3)x x f x x a xe a e =+-+-有三个不同的零点123,,,x x x 且1230,x x x <<<则3122312333x x x x x x e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是（）A ．81B ．-81C ．9D ．-9【解题总结】解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想.题型十：等高线问题【例10】（2024·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【对点训练32】（2024·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【对点训练33】（2024·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【解题总结】数形结合数学思想方法题型十一：二分法【例11】（2024·辽宁大连·统考一模）牛顿迭代法是我们求方程近似解的重要方法．对于非线性可导函数()f x 在0x 附近一点的函数值可用()()()()000f x f x f x x x '≈+-代替，该函数零点更逼近方程的解，以此法连续迭代，可快速求得合适精度的方程近似解．利用这个方法，解方程3310x x -+=，选取初始值012x =，在下面四个选项中最佳近似解为（）A ．0.333B ．0.335C ．0.345D ．0.347【对点训练34】（2024·全国·高三专题练习）函数()f x 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：()12f =-()1.50.625f =()1.250.984f =-()1.3750.260f =-()1.4380.165f =()1.40650.052f =-那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（）A ．1.5B ．1.25C ．1.41D ．1.44【对点训练35】（2024·全国·高三专题练习）利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【对点训练36】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()lg 2f x x x =+-的一个零点，根据参考数据，可得函数()f x 的一个零点的近似解（精确到0.1）为（）（参考数据：lg1.50.176≈，lg1.6250.211≈，lg1.750.243≈，lg1.8750.273≈，lg1.93750.287≈）A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.9【对点训练37】（2024·全国·高三专题练习）用二分法求函数()()ln 11f x x x =++-在区间[]0,1上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【解题总结】所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程()0f x =的近似解就是求函数()f x 零点的近似值.。

嵌套函数相关问题的研究与拓展【问题提出】问题1：设函数2222, 0(), 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩,若(())2f f a =，则a ＝_______变式：设函数f (x ）＝22+0,0x x x x x ⎧<⎨-≥⎩，，若f (f （a ））≤2，则实数a 的取值范围是__________。

问题2：对于函数()f x ,若存在0x R ∈,使()00f x x =成立,则称0x 为()f x 的不动点．已 知函数()()()211,0f x ax b x b a =+++-≠． (1)当1,2a b ==-时,求()f x 的不动点;（2）若对任意实数b ,函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．【探究拓展】探究1：若函数32()f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11(=f x x ）则关于x 的方程0)(2))((32=++b x af x f 的不同实根个数是______ ．变式1：设函数⎩⎨⎧<≤≤=0,,0,sin 2)(2x x x x x f π，则函数1)]([-=x f f y 的零点个数为_______.变式2：函数,0,00,11)(⎪⎩⎪⎨⎧≠≠-=x x xx f 方程[]0)()(2=++c x bf x f 有7个根的充要条件是 ________，变式3：设定义域为R 的函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥-=-0,44,0,15)(21x x x x x f x ，若关于x 的方程[]0)()12()(22=++-m x f m x f 有7个不同的实数解,则._______=m变式4：已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下图表示：给出下列四个命题：①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根； ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根； ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根； ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根； 其中正确命题的是__________（注：把你认为是正确的序号都填上）.变式5:已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题：① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ,使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根; ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为__________．变式7：已知函数13)(23+-=x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,86,0,41)(2x x x x xx x g ，试讨论方程0)]([=-a x f g 的解的情况。

嵌套函数问题嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题 典例1 (){}|A x f x x ==，()(){}|B x f f x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？ 若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.【解析】（1）若A =∅，则A B ⊆显然成立；若A ≠∅，设t A ∈，()()()(),f t t f f t f t t ===，t B ∴∈，故A B ⊆.（2）2,1A ax x ≠∅∴-=有实根，14a ∴≥-.又A B ⊆，所以()2211a ax x --=， 即3422210a x a x x a --+-=的左边有因式21ax x --，从而有()()222110ax x a x ax a --+-+=A B =，2210a x ax a ∴+-+=要么没有实根，要么实根是方程210ax x --=的根.若2210a x ax a +-+=没有实根，则34a <； 若2210a x ax a +-+=有实根且实根是方程210ax x --=的根，则由方210ax x --=， 得22a x ax a =+，代入2210a x ax a +-+=，有210ax +=.由此解得12x a=-， 再代入得111042a a +-=，由此34a =，故a 的取值范围是13,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （3）由题意：x 0是函数的稳定点, 则00))((x x f f =，① 若00)(x x f >，)(x f 是R 上的单调增函数，则)())((00x f x f f >，所以)(00x f x >，矛盾 ② 若)(00x f x >，)(x f 是R 上的单调增函数，则))(()(00x f f x f >，所以00)(x x f >，矛盾 故00)(x x f =，所以x 0是函数的不动点.类型二 嵌套函数中零点个数问题典例2若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x a f x b ++=的不同实根的个数是_____.【解析】函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，说明方程2'()320f x x ax b =++=的两根为1x ，2x ， ∴方程()()()2320f x af x b ++=的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是极小值点，由于()11f x x =，∴1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，21()()f x x f x =>只有一解，∴此时只有3解，若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，∴1x 是极小值，1()f x x =有2解，12x x >，21()()f x x f x =<只有一解，∴此时只有3解.类型三 嵌套函数中参数问题典例3 已知函数()()221,0,0x ax a x f x ln x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩ ()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a 的取值范围是________. 【解析】令()()0,f t t g x ==当10a -<时()f t 有两个零点121,1t t =->，需1211a a --∴当1=0a -时()f x 有三个零点， 1231,0,=2t t t =-=， 121a -=- 所以()()y f g x =有5个零点，舍； 当10a ->时，由于121a ->-所以24440a a ∆=+-> ，且2112a a a a +->- 5-11a << 综上实数a 的取值范围是()511,⎫-⋃+∞⎪⎪⎝⎭【小结】求解复合方程问题时，往往把方程[()]0f g x =分解为()0f t =和()g x t =处理，先从方程()0f t =中求t ，再带入方程()g x t =中求x 的值．巩固1. 设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________ 【解析】由题意可得 y 0=si nx 0∈[-1，1]，f （y 0）=e y 0+y 0-a ，∵曲线y =si nx 上存在点（x 0，y 0）使得f （f （y 0））=y 0，∴存在y 0∈[0，1]，使f （y 0）=y 0成立， 即f （x ）=x 在[0，1]上有解，即 e x +x -x 2=a 在[0，1]上有解． 令g （x ）=e x +x -x 2，则a 为g （x ）在[0，1]上的值域．∵当x ∈[0，1]时，g ′（x ）=e x +1-2x ＞0，故函数g （x ）在[0，1]上是增函数， 故g （0）≤g （x ）≤g （1），即1≤a ≤e ， 故答案为：[1，e ]巩固2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.【解析】作出5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象如下，又∵函数()y f x =是定义域为R 的偶函数， 且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，,a b R ∈有且仅有6个不同实数根，∴20x ax b ++=的两根分别为154x =，2514x <<或101x <≤，2514x <<， 由韦达定理可得a x x -=+21，若451,4521<<=x x ，则2549<-<a ，即4925-<<-a ，若101x <≤，2514x <<，则491<-<a ，即149-<<-a ，从而可知4925-<<-a 或149-<<-a巩固3．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．【解析】(1) f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，得a ＝0，b ＝－3 (2)由(1)知f (x )＝x 3－3x .因为f (x )＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g ′(x )＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g (x )的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g ′(x )＜0；当－2＜x ＜1时，g ′(x )＞0，故－2是g (x )的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g ′(x )＞0，故1不是g (x )的极值点．所以g (x )的极值点为－2. (3)令f (x )＝t ，则h (x )＝f (t )－c .先讨论关于x 的方程f (x )＝d 根的情况，d ∈[－2,2]．当|d |＝2时，由(2)可知，f (x )＝－2的两个不同的根为1和－2，注意到f (x )是奇函数，所以f (x )＝2的两个不同的根为－1和2.当|d |＜2时，因为f (－1)－d ＝f (2)－d ＝2－d ＞0，f (1)－d ＝f (－2)－d ＝－2－d ＜0， 所以－2，－1,1,2都不是f (x )＝d 的根．由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)． ①当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，于是f (x )是单调增函数，从而f (x )＞f (2)＝2， 此时f (x )＝d 无实根．同理，f (x )＝d 在(－∞，－2)上无实根．②当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0，于是f (x )是单调增函数，又f (1)－d ＜0，f (2)－d ＞0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(1,2)内有唯一实根．同理，f (x )＝d 在(－2，－1)内有唯一实根．③当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )是单调减函数，又f (－1)－d ＞0，f (1)－d ＜0，y ＝f (x )－d 的图象不间断，所以f (x )＝d 在(－1,1)内有唯一实根．由上可知：当|d |＝2时，f (x )＝d 有两个不同的根x 1，x 2满足|x 1|＝1，|x 2|＝2； 当|d |＜2时，f (x )＝d 有三个不同的根x 3，x 4，x 5满足|x i |＜2，i ＝3,4,5. 现考虑函数y ＝h (x )的零点．当|c |＝2时，f (t )＝c 有两个根t 1，t 2满足|t 1|＝1，|t 2|＝2，而f (x )＝t 1有三个不同的根，f (x )＝t 2有两个不同的根，故y ＝h (x )有5个零点．当|c |＜2时，f (t )＝c 有三个不同的根t 3，t 4，t 5满足|t i |＜2，i ＝3,4,5，而f (x )＝t i (i ＝3,4,5)有三个不同的根，故y ＝h (x )有9个零点．综上可知，当|c |＝2时，函数y ＝h (x )有5个零点；当|c |＜2时，函数y ＝h (x )有9个零点．巩固4.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.2()(1)0f x x ax b x c -=+-+=无实数根，2(1)40b ac ∆=--<.(())0f f x x -=即为222()()0a ax bx c b ax bx c c x ++++++-=， 22222()()0a ax bx c ax ax b ax bx c c x ++-+++++-=，2222()()(1)(1)(1)0a ax bx c x ax bx c x b ax b x c b +++++-+++-++=，222(1)(1)(1)(1)0a ax b x c ax b x c b ax b x c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++-++++-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 222(1)(1)10ax b x c a x a b x b ac ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦.于是有2(1)0ax b x c +-+=或22(1)10a x a b x b ac +++++=.21(1)40b ac ∆=--<；2222222(1)4(1)(1)4440a b a ac b a b ac a ⎡⎤∆=+-++=---<-<⎣⎦.故均不存在实数根.巩固5.设x b ax x x f cos )(2++=，{}{}∅≠==∈=0)]([,0)(x f f x R x x f x ，则满足条件的所有实数b a ,的取值分别为___________.【解析】由0)0(=f 易得0=b .a x x x f -==⇒=21,00)(（i ） 当0=a 时，显然成立（ii ） （ii ）当0≠a 时，记{}0)]([==x f f x B ，令t x f =)(，则0)(=t f ，可知a t t -==21,0 即0)(=x f 和a x f -=)(的解只能为a -,0，故a x f -=)(必须无解，解得40<<a 综上：40,0<≤=a b巩固6.设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x（e 是自然对数的底数），则)2(ln f 的值等于_______.【解析】由()1x f f x e e ⎡⎤-=+⎣⎦，采用换元()xt f x e =+，即有： ()1f t e =+……(1) ()x f x e t =+……(2)；可知：()1f e t =+……(3)；又已知函数()f x 为增函数，可知1t =，代入(2)式有()1x f x e =+；因此()ln2ln 213f e =+=；巩固7.)(x f 是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃ 0，都有[()ln ]1e f f x x -=+，则(1)f = ______．【解析】()ln f x x -必为常数函数，否则存在两个不同数，其对应值均为1e +，与单调函数矛盾． 所以可设()ln f x x c -=．则()ln f x x c =+． 将c 代入，得()1e f c =+，即ln c c +1e =+． ∵ln y x x =+是单调增函数， 当c = e 时，ln c c +1e =+成立， ∴()ln e f x x =+．则(1)e f =．巩固8. 已知定义在()∞+，0上的函数)(x f 为单调函数，且1)1)(()(=+xx f f x f ，则_______)1(=f . 【解析】设b f =)1(，可求得答案为251±.巩固9.设定义域为R 的函数|1|25 1 0()4 4 0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m =_____.【解析】∵题中原方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数根 ∴即要求对应于()f x 等于某个常数有3个不同实数解和4个不同的实数解 ∴故先根据题意作出()x f 的简图：由图可知，只有当()4f x =时，它有三个根故关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有一个实数根4 ∴()2244-4210m m ⋅++=，∴2m =或6=m ，6=m 时方程22()(21)()0f x m f x m -++=()()()4036132=⇔=+-⇔x f x f x f或()9=x f ,有5个不同的实数根∴2=m。

专题11 零点嵌套问题1．已知函数2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为( ) A ．1a − B ．1a − C ．1− D ．12．已知1x ，2x ，3x 是函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−三个不同的零点，且123x x x <<，设1(1i i i lnxM i x =−=，2，3)，则2123(M M M = )A ．1B ．1−C ．eD ．1e3．已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+−+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x ．其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−的值为( ) A ．1B ．2(1)a −C ．1−D ．1a −4．已知函数2()()x x x axf x a e e =+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( ) A ．1B ．1−C ．aD ．a −5．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e +++的值为( ) A ．1m + B ．e C ．1m − D ．16．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=−有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( ) A ．e B ．1m − C ．1m + D ．17．若关于x 的方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<其中m R ∈，2.71828e…，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)x x x e e e −+−+−+ 的值为( )A ．eB ．4C ．1m −D ．1m +8．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．(−∞，10)(2e∪，)+∞ D ．1(2e，)+∞ 9．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．1(,0)[,)2e−∞+∞ D ．1[,)2e+∞ 10．已知函数()(21)u x e x m =−−，()()x ln x m lnx υ+−若存在m ，使得关于x 的方程2()()a u x x x υ= 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是( ) A ．1(,0)(,)2e−∞+∞ B ．(,0)−∞ C ．1(0,)2eD ．1(,0)[,)2e−∞+∞ 11．已知2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 ．12．已知函数2()x f x ax lnx x lnx=+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为 ．专题11 零点嵌套问题1．已知函数2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x −−−的值为( ) A ．1a − B ．1a − C ．1− D ．1【解析】解：令()0f x =，分离参数得x lnxa x lnx x−−， 令()x lnxh x x lnx x=−−， 由22(1)(2)()0()lnx lnx x lnx h x x x lnx −−′==−，得1x =或x e =． 当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<． 即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．12301x x e x ∴<<<<<，11x lnx lnx alnx x lnx x x =−=−−−，令lnxxµ=， 则11aµµ−−，即2(1)10a a µµ+−+−=， 1210a µµ+=−<，1210a µµ=−<，对于lnx x µ=，21lnxxµ−′= 则当0x e <<时，0µ′>；当x e >时，0µ′<．而当x e >时，µ恒大于0． 画其简图，不妨设12µµ<，则111lnx x µ=，322323lnx lnx x x µµ===， 22312123123(1)(1)(1)(1)(1)(1)lnx lnx lnxx x x µµµ−−−=−−− 2212[(1)(1)][1(1)(1)]1a a µµ=−−=−−+−=．故选：D ．2．已知1x ，2x ，3x 是函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−三个不同的零点，且123x x x <<，设1(1i i i lnx M i x =−=，2，3)，则2123(M M M = )A ．1B ．1−C ．eD ．1e【解析】解：令()0f x =得x lnx a x lnx x−−， 令lnx t x =，则11x t x lnx t=−−−，11a t t ∴=−−． 即2(1)10t a t a +−+−=． 令()lnx g x x =，则21()lnxg x x−′=， ()g x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，且当01x <<时，()0g x <，当x e >时，()0g x >， ()g x g ∴…（e ）1e =，∴当10t e<<时，关于x 的方程()g x t =有两大于1的解，当0t …时，关于x 的方程()g x t =只有一小于1的解． 当1t e=时，关于x 的方程()g x t =有唯一解x e =． ()f x 有三个不同的零点，∴关于t 的方程2(1)10t a t a +−+−=在(−∞，10]{}e 和1(0,)e上各有1个解． 不妨设两解为1t ，2t ，则121t t a +=−，121t t a =−， 若1t e =，则11e a e e=−−，此时方程的另一解为1101e t a e e =−−=−<−， ∴原方程只有两解，不符合题意；同理0t =也不符合题意；设120t t <<，则111M t =−，2321M M t ==−， ∴2222123121212(1)(1)(1)1M M M t t t t t t =−−=−−+=．故选：A ．3．已知函数2()()(1)()1x x f x xe a xe a =+−+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x ．其中123x x x <<，则3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−的值为( ) A ．1B ．2(1)a −C ．1−D ．1a −【解析】解：令x t xe =，则(1)x t x e ′=+， 故当(1,)x ∈−+∞时，0t ′>，x t xe =是增函数， 当(,1)x ∈−∞−时，0t ′<，x t xe =是减函数， 可得1x =−处x t xe =取得最小值1e−，x →−∞，0t →，画出x t xe =的图象，由()0f x =可化为2(1)10t a t a +−+−=，故结合题意可知，2(1)10t a t a +−+−=有两个不同的根， 故△2(1)4(1)0a a =−−−>，故3a <−或1a >， 不妨设方程的两个根分别为1t ，2t ， ①若3a <−，1214t t a +=−>， 与1220t t e−<+<相矛盾，故不成立；②若1a >，则方程的两个根1t ，2t 一正一负；不妨设120t t <<，结合x t xe =的性质可得，_111x x e t =，_221x x e t =，_332x x e t =， 故3122123(1)(1)(1)x x x x e x e x e −−−2112(1)(1)(1)t t t =−−− 21212(1())t t t t =−++又121t t a =− ，121t t a +=−，31222123(1)(1)(1)(111)1x x x x e x e x e a a ∴−−−=−++−=． 故选：A ．4．已知函数2()()x x x axf x a e e =+−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( )A ．1B ．1−C ．aD ．a −【解析】解：令()x x t x e =，则1x xt e−′=， ∴当1x <时，()0t x ′>，函数()t x 在(,1)−∞单调递增，当1x >时，()0t x ′<，在(1,)+∞单调递减，且()1()1t x t e==极大值， 由题意，2()g t t at a =+−必有两个根10t <，且210t e<<，由根与系数的关系有，12t t a +=−，12t t a =−，由图可知，1x x t e =有一解10x <，2xxt e =有两解2x ，3x ，且2301x x <<<， 故12322222312122121212(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)][1()](1)1x x x x x x t t t t t t t t t a a e e e−−−=−−−=−−=−++=+−=． 故选：A ．5．若关于x 的方程0xx x x e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，e 为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e +++的值为( )A ．1m +B ．eC ．1m −D ．1【解析】解：由方程0xx xx e m e x e ++=+ ⇒101xxxm x e ++=+， 令xxte =，则有101t m t ++=+． 2(1)10t m t m ⇒++++=， 令函数()x x g x e =，1()xx g x e −′=， ()g x ∴在(,1)−∞递增，在(1,)+∞递减，其图象如下，要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=+有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<< 结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t << 且111x x t e =，23322x x x x t e e ==， 1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e∴+++ 212[(1)(1)]t t =++．121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m ++=+++=+−++=．1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]1x x x x x x t t e e e ∴+++++． 故选：D ．6．若关于x 的方程0x x x x e m e x e ++=−有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈，2.718e =为自然对数的底数，则1232312(1)(1)(1)x x x x x x e e e −−−的值为( )A ．eB ．1m −C ．1m +D ．1【解析】解：由方程0xx xx e m e x e ++=−⇒101x x x m x e ++=−， 令xx t e =，则有101t m t ++=−． 2(1)10t m t m ⇒+−+′−=， 令函数()xxg x e =，1()x x g x e −′=， ()g x ∴在(,1)−∞递增，在(1,)+∞递减，其图象如下，要使关于x 的方程0xx xx e m e x e ++=−有3个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<< 结合图象可得关于t 的方程2(1)10t m t m +−+′−=一定有两个实根1t ，2t ，12(0)t t << 且111x x t e =，23223x x x x t e e== ∴1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]x x x x x x t t e e e−−−−−． 121212(1)(1)()1(1)(1)11t t t t t t m m −−=−++=−−−+=． ∴1232231212(1)(1)(1)[(1)(1)]1x x x x x xt t e e e−−−−−．故选：D ．7．若关于x 的方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<其中m R ∈，2.71828e…，则3122(|1|1)(|1|1)(|1|1)x x x e e e −+−+−+ 的值为( )A ．eB ．4C ．1m −D ．1m +【解析】解：令|1|x t e =−，函数|1|x y e =−的图象如下：方程22|1|00|1|11x xe m t m e t −++=⇒++=−++．即2(1)20t m t m ++++=， 要使方程2|1|0|1|1x x e m e −++=−+有三个不相等的实数解1x 、2x 、3x ，123(0)x x x <<<，则方程2(1)20t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ， 可验证0t =或1不符合题意，所以方程2(1)20t m t m ++++=一定有两个实根1t ，2t ，且1201t t <<<． 且_1_21|1||1|x x e e t −=−=，_32|1|x e t −=， 则3122212(|1|1)(|1|1)(|1|1)[(1)(1)]x x x e e e t t −+−+−+++ ． 121212(1)(1)()1(2)(1)12t t t t t t m m ++++++−++．则3122212(|1|1)(|1|1)(|1|1)[(1)(1)]4x x x e e e t t −+−+−+++ ， 故选：B ．8．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．(−∞，10)(2e∪，)+∞ D ．1(2e，)+∞ 【解析】解：由题意得1(12)(1)(2)2m me ln t e lnt a x x−=+−+=−，(11)m t x +>， 令()(2)f t t e lnt =−，(1)t >， 则2()1ef t lnt t′=+−，212()0e f t t t ′′=+>，当t e >时，()f t f ′>′（e ）0=，当1t e <<时，()f t f ′<′（e ）0=， ()f t f ∴…（e ）e =−， 12e a∴−>−， 而1t →时，()0f t →， 则要满足102e a−<−<， 解得：12a e>， 故选：D ．9．若存在正实数m ，使得关于x 的方程(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,0)−∞ B ．1(0,)2eC ．1(,0)[,)2e−∞+∞ D ．1[,)2e+∞ 【解析】解：由(224)[()]0x a x m ex ln x m lnx ++−+−=得 2(2)0x mx a x m ex lnx+++−=， 即12(2)0x m x ma e ln x x+++−=， 即设x mt x+=，则0t >， 则条件等价为12(2)0a t e lnt +−=， 即1(2)2t e lnt a−=−有解，设()(2)g t t e lnt =−， 2()1eg t lnt t′=+−为增函数， g ′ （e ）211120elne e=+−=+−=， ∴当t e >时，()0g t ′>，当0t e <<时，()0g t ′<，即当t e =时，函数()g t 取得极小值为：g （e ）(2)e e lne e =−=−， 即()g t g …（e ）e =−， 若1(2)2t e lnt a−=−有解，则12e a −−…，即12e a…， 则0a <或12a e…， ∴实数a 的取值范围是1(,0)[2e−∞ ，)+∞． 故选：C ．10．已知函数()(21)u x e x m =−−，()()x ln x m lnx υ+−若存在m ，使得关于x 的方程2()()a u x x x υ= 有解，其中e 为自然对数的底数则实数a 的取值范围是( )A ．1(,0)(,)2e −∞+∞ B ．(,0)−∞ C ．1(0,)2e D ．1(,0)[,)2e−∞+∞ 【解析】解：由2()()a u x x x υ= 可得[2(21)2]0x m a e x am lnx x +−−−= ， 即2[(21)]10m x m a e ln x x +−−−= ，即2(2)10x m x m a e ln x x ++−−= ， 令x m t x +=，则方程1(2)2e t lnt a−=有解． 设()(2)f t e t lnt =−，则22()1e t e f t lnt lnt t t −′=−+=−+−， 显然()f t ′为减函数，又f ′（e ）0=，∴当0t e <<时，()0f t ′>，当t e >时，()0f t ′<，()f t ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减，()f t ∴的最大值为f （e ）e =， ∴12e a …，解得0a <或12a e…． 故选：D ．11．已知2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，则a 的取值范围为 (1，11)(1)e e +− ． 【解析】解：令()0f x =，分离参数得x lnx ax lnx x −−， 令()x lnx h x x lnx x =−−， 由22(1)(2)()0()lnx lnx x lnx h x x x lnx −−′==−，得1x =或x e =． 当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<． 即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．1x ∴=时，()h x 有极小值h （1）1=；x e =时，()h x 有极大值h （e ）11(1)e e =+−； 设lnxx µ=，则1µ<；这是因为对于函数y lnx x =−，0x >，有1xy x −′=，当01x <<时，0y ′>，函数单调递增；当1x >时，0y ′<，函数单调递减； 即1x =时函数有极大值，也是最大值1−，故0x ∀>，0lnx x −<，lnx x <，即得1lnxx <；11()(1)121111h x µµµµ=−=+−−−=−−…；∴当2()()()f x ax lnx x lnx x =+−−恰有三个不同零点，即y a =与()y h x =有三个不同的交点； 111(1)a e e ∴<<+−．故答案为：(1，11)(1)e e +−．12．已知函数2()x f x ax lnx x lnx =+−−有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中123)x x x <<，则2312123(1)(1)(1)lnxlnxlnx x x x −−−的值为 1 ． 【解析】解：由2()0x f x ax lnx x lnx =+−=−分离参数得x lnxa x lnx x −−， 令()x lnxh x x lnx x =−−， 由222211(1)(2)()0()()lnxlnx lnx lnx x lnx h x x lnx x x x lnx −−−−′=−==−−，得1x =或x e =．当(0,1)x ∈时，()0h x ′<；当(1,)x e ∈时，()0h x ′>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x ′<．即()h x 在(0,1)，(,)e +∞上为减函数，在(1,)e 上为增函数．而当0x →，()h x →+∞，当x →+∞，()1h x →， 又h （1）1=，h （e ）11(1)e e =+−； 结合函数的单调性可得，实数a 的取值范围为(1，11)(1)e e +−． 则12301x x e x <<<<<， 11x lnx lnx a lnx x lnx x x =−=−−−，令lnx x µ=， 则11aµµ−−，即2(1)10a a µµ+−+−=， 1210a µµ+=−<，1210a µµ=−<， 对于lnx xµ=，21lnx x µ−′= 则当0x e <<时，0µ′>；当x e >时，0µ′<．而当x e >时，µ恒大于0． 画其简图，不妨设12µµ<，则31212123,lnx lnx lnx x x x µµ===， ∴22231212212123(1)(1)(1)(1)(1)(1)[(1)(1)]lnx lnx lnx x x x µµµµµ−−−=−−−=−− 221212[1()][1(1)(1)]1a a µµµµ=−++=−−+−= 故答案为：1。

函数嵌套问题一、单选题1.已知函数f x =x 2,x ≤0x 2+14x,x >0，则关于x 的方程3f 2(x )-7f (x )+2=0实数解的个数为()A.4B.5C.3D.22.已知函数f (x )=3x -2+2,x ≤2log 3(x -2) ,x >2则函数F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199的零点个数是()A.2B.3C.4D.53.已知函数f (x )=log 2 x -1||，若函数g (x )=f 2(x )+af (x )+2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =()A.6B.-2C.2D.-64.已知函数f (x )=lg x -1 ,x ≠10,x =1，则函数y =f f x +m m ∈R 零点个数最多是()A.10B.12C.14D.165.已知函数f x =2x -3,x >0,x 3-3x +1,x ≤0 ，函数g x =f f x -m 恰有5个零点，则m 的取值范围是()A.-3,1B.0,1C.-1,1D.1,36.已知函数f x =11-x,x <0ln x ,x >0(e 为自然对数的底数)，则函数F x =f f x -1e 3f x -1的零点个数为()A.3B.5C.7D.97.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=4-2-x .若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解则实数m 的取值范围是()A.-∞,-3∪ 3,+∞B.-3,0 ∪0,3C.-4,-3 ∪3,4D.(-∞,-4)∪(4,+∞)8.已知函数f x =log 21-x ，若函数g x =f 2x +af x +2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =( )．A.6B.-2C.2D.-69.已知函数f x =x +4 -1,x ≤0412 x-1,x >0，关于x 的方程f 2x +2t -1 f x +1-t =0有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-75 ∪-32,+∞ B.-∞,-75∪-32,+∞ C.-75,-32D.-75,-32 ∪32,110.函数 f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0，若关于x 的方程f x 2-m +1 f x +m =0恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是()A.-1e<m <0 B.-1e <m ≤0 C.-1e≤m <0 D.-1e≤m ≤011.已知函数f x =32x 2+6x +5,x ≤-12x +1e x,x >-1，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰有5个零点，则实数m 的取值范围为()A.-1,2B.-1,0C.0,12D.12,212.已知定义在R 上的函数y =f x 是偶函数，当x ≥0时，f x =2sin πx2,0≤x ≤112x +32,x >1，若关于x 的方程f x2+2af x +b =0a ,b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A.-2,-34 B.-2,-74 C.-2,-74 ∪-74,-34D.-2,-34 ∪-12,-17二、多选题13.已知函数f x =x 2-2x +t ,x ≤02ln x +1 -1,x >0，若函数y =f f x 恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值可以是()A.-3B.-2C.0D.214.已知函数f x =-x 2+2x ,x ≥0x 2-2x ,x <0，若关于x 的不等式f x 2+af x <0恰有1个整数解，则实数a 的取值可以为()A.-2B.3C.5D.815.已知函数f x =-2x 2+2,x ≤12x-2,x >1，若关于x 的方程[f (f (x ))]2=(m +2)f (f (x ))-2m 至少有8个不等的实根，则实数m 的取值不可能为()A.-1B.0C.1D.216.已知函数f x =ln -x ,x <0,2x 3-3x 2-1,x ≥0,若函数g x =f x 2-m -1 f x -m 有4个零点，则m 的取值可能是()A.-32B.-1C.0D.217.已知函数f (x )=2x 2+4x ,x <02-x-1,x ≥0，若关于x 的方程4f 2x -4a ⋅f x +2a +3=0有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为()A.-76B.-1712C.-54D.-373018.已知函数f x =e x x<04x3-6x2+1x≥0，其中e是自然对数的底数，记h x =f x2-f x +a，g x =f f x-3，则()A.g x 有唯一零点B.方程f x =x有两个不相等的根C.当h x 有且只有3个零点时，a∈-2,0D.a=0时，h x 有4个零点三、填空题19.设函数f(x)=ln xx,x>1-(x-1)3,x<1，若关于x的方程[f(x)]2+mf(x)-1-m=0恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是．20.已知函数f x 是R上的奇函数，当x<0时，f x =4-2-x，若关于x的方程f f x=m有且仅有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是.21.已知函数f x =e x,x≤0ln x,x>0，g x =f f x-a，若g x 有2个不同的零点，则实数a的取值范围是.22.已知函数f x =1-xe x，若关于x的方程2f x2-4af x +1=0有两个不同的实数根时，实数a的取值范围是.23.已知函数f x =2x-1,x<1x2-6x+6,x≥1，若函数F x =f x2-2af x +3a-1有5个零点，则实数a的取值范围为．24.已知函数f(x)=x2-mx-m2+1,x≥0lg(-x),x<0，g(x)=x2+1-m，若函数y=f(g(x))至少有4个不同的零点，则实数m的取值范围是.四、解答题25.已知函数f(x)=1+log2x，g(x)=2x．(1)若F x =f g x⋅g f x，求函数F(x)在x∈[1，4]的值域；(2)令h(x)=f(x)-1，则G x =h2x +4-kf x ，已知函数G(x)在区间1,4有零点，求实数k的取值范围．26.已知二次函数f x 的图象经过原点，对称轴为直线x=1，方程f x +1=0有两个相等实根.(1)求f x 的解析式;(2)若对任意x∈12,8，2f log2x+m≥0恒成立，求实数m的取值范围;(3)若函数g x =f3x+13x与h x =k⋅3x-43k-2的图象有且只有一个公共点，求实数k的取值范围.函数嵌套问题一、单选题1.已知函数f x =x 2,x ≤0x 2+14x,x >0，则关于x 的方程3f 2(x )-7f (x )+2=0实数解的个数为()A.4B.5C.3D.2【解析】因为3f 2(x )-7f (x )+2=0，解之得f x =13或2，当x ≤0时，f x ≥0；当x >0时，f x =x 2+14x =14x +1x ≥14×2x ⋅1x =12，当且仅当x =1时等号成立，所以f x ，y =2，y =13的图象如图：由图可知使得f x =13或f x =2的点有4个.故选：A .2.已知函数f (x )=3x -2+2,x ≤2log 3(x -2) ,x >2则函数F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199的零点个数是()A.2B.3C.4D.5【解析】设f (x )=t ，则F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199=f (t )-2t -199，令F (x )=0，即f (t )-2t -199=0，转化为y =f (t )与y =2t +199的交点，画出图像如图所示：由图像可知，t 1=0,t 2∈(2,3)，所以函数f (x )=t 1=0有一个解，f (x )=t 2∈(2,3)有两个解，故F (x )=f [f (x )]-2f (x )-199的零点个数是4个.故选：C3.已知函数f (x )=log 2 x -1||，若函数g (x )=f 2(x )+af (x )+2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =()A.6B.-2C.2D.-6【解析】由函数y =log 2x 的图象，经过沿y 轴翻折变换，可得函数y =log 2|x |的图象，再经过向右平移1个单位，可得y =log 2|x -1|的图象，最终经过沿x 轴翻折变换，可得y =log 2x -1 的图象，如下图：则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，令t=f(x)，则y=t2+at+2b，由图可知，当t=0时，t=f(x)有2个零点，当t>0时，t=f(x)有4个零点，因为函数g(x)=f2(x)+af(x)+2b有6个不同的零点，所以函数y=t2+at+2b有两个零点，一个等于0，一个大于0，又因为g(x)的最小的零点为x=-1，且f(-1)=1，所以函数y=t2+at+2b的两个零点，一个等于0，一个等于1，根据韦达定理得0+1=-a，0×1=2b，即a=-1，b=0，则2a+b=-2．故选：B．4.已知函数f(x)=lg x-1,x≠10,x=1，则函数y=f f x+m m∈R零点个数最多是()A.10B.12C.14D.16【解析】画出f(x)的图像，如图所示，由y=f(f(x))+m，令y=0，得f(f(x))=-m，设f x =t，由图像可知t≥0，则f(t)=-m，得y=f(t)的图像，如图所示，由图像可知，f(t)≥0，①当m>0时，即f t =-m<0，没有根；②当m=0时，即f t =0，此时有3个根t1=0，t2=1，t3=2，当t=0时，即f x =0，有3个根，当t=1时，即f x =1，有4个根，当t=2时，即f x =2，有4个根，故m=0时，f t =-m=0有11个根；③当m<0时，f t =-m>0，此时有三个根，0<t4<1<t5<2<t6，当t=t4∈(0,1)时，即f x =t4∈(0,1)，有4个根，当t=t5∈(1,2)时，即f x =t5∈(1,2)，有4个根，当t=t6∈(2,+∞)时，即f x =t6∈(2,+∞)，有4个根，故m<0时，f t =-m有12个根；综上所述，f(f(x))=-m最多有12个根，故选：B．5.已知函数f x =2x -3,x >0,x 3-3x +1,x ≤0，函数g x =f f x -m 恰有5个零点，则m 的取值范围是()A.-3,1B.0,1C.-1,1D.1,3【解析】当x ≤0时，f x =3x 2-3．由f x >0，得x <-1，由f x <0，得-1<x ≤0，则f x 在-1,0 上单调递减，在-∞,-1 上单调递增，故f x 的大致图象如图所示．设t =f x ，则m =f t ，由图可知当m >3时，m =f t 有且只有1个实根，则t =f x 最多有3个不同的实根，不符合题意．当m =3时，m =f t 的解是t 1=-1，t 2=3．f (x )=t 1有2个不同的实根，f (x )=t 2有2个不同的实根，则t =f x 有4个不同的实根，不符合题意．当1≤m <3时，m =f t 有3个不同的实根t 3，t 4，t 5，且t 3∈-2,-1 ，t 4∈-1,0 ，t 5∈2,3 ．f (x )=t 3有2个不同的实根，f (x )=t 4有2个不同的实根，f (x )=t 5有3个不同的实根，则t =f x 有7个不同的实根，不符合题意．当-1≤m <1时，m =f t 有2个不同的实根t 6，t 7，且t 6∈-3,-1 ，t 7∈1,2 ．f (x )=t 6有2个不同的实根，f (x )=t 7有3个不同的实根，则t =f x 有5个不同的实根，符合题意．当-3<m <-1时，m =f t 有2个不同的实根t 8，t 9，且t 8∈-3,-1 ，t 9∈0,1 ，f (x )=t 8有2个不同的实根，f (x )=t 9，有2个不同的实根，则t =f x 有4个不同的实根，不符合题意．当m ≤-3时，m =f t 有且只有1个实根，则t =f x 最多有3个不同的实根，不符合题意，综上，m 的取值范围是-1,1 ．故选：C .6.已知函数f x =11-x,x <0ln x ,x >0(e 为自然对数的底数)，则函数F x =f f x -1e 3f x -1的零点个数为()A.3B.5C.7D.9【解析】设f x =t ，令F x =0可得：f t =1e 3t +1,对于y =11-x ，y =1(1-x )2，故y =11-x 在x x =0处切线的斜率值为k 1=1，设y =k 2x +1与y =ln x 相切于点x 2,ln x 2 ，∵(ln x ) =1x ,∴切线斜率k 2=1x 2，则切线方程为：y -ln x 2=1x 2x -x 2 ，即y =1x 2⋅x +ln x 2-1,∴k 2=1x 2ln x 2-1=1，解得：x 2=e 2,k 2=1e 2；由于1e 3<1e2<1，故作出f x 与y =1e 3x +1图象如下图所示，∴y =1e 3x +1与f x 有四个不同交点，即y =1e 3t +1与f t 有四个不同交点，设三个交点为t 1,t 2,t 3,t 4t 1<t 2<t 3<t 4 ，由图象可知：t 1<0<t 2<1<t 3<t 4，作出函数y =t ,y =f(x )的图象如图，由此可知f x 与y =t 1无交点，与y =t 2有三个不同交点，与y =t 3,y =t 4各有两个不同交点，∴F x =f f x -1e2f x -1的零点个数为7个，故选：C7.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=4-2-x .若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解则实数m 的取值范围是()A.-∞,-3∪ 3,+∞B.-3,0 ∪0,3C.-4,-3 ∪3,4D.(-∞,-4)∪(4,+∞)【解析】由题设f (0)=0，若x >0，则f (x )=-f (-x )=-(4-2x )=2x -4，所以f (x )=4-2-x ,x <00,x =02x -4,x >0，值域为R ，函数图象如下：当f (x )∈(-∞,-3]时，只有一个x ∈(-∞,-log 27]与之对应；当f (x )∈(-3,0)时，有两个对应自变量，记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则-log 27<x 1<-2<0<x 2<2；当f (x )=0时，有三个对应自变量且x ={-2,0,2}；当f (x )∈(0,3)时，有两个对应自变量，记为x 3,x 4(x 3<x 4)，则-2<x 3<0<2<x 4<log 27；当f (x )∈[3,+∞)时，有一个x ∈[log 27,+∞)与之对应；令t =f (x )，则f (t )=m ，要使f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解，若f (t )=m 有三个解，则t =f (x )∈{-2,0,2}，此时x 有7个解，不满足；若f (t )=m 有两个解t 1,t 2且t 1<t 2，此时t 1=f (x )和t 2=f (x )各有一个解，结合图象知，不存在这样的t ，故不存在对应的m ；若f (t )=m 有一个解t 0，则t 0=f x 有两个解，此时t 0∈-3,-log 27∪ log 27,3 ，所以对应的m ∈(-4,-3]∪[3,4)，综上，m ∈(-4,-3]∪[3,4).故选：C .8.已知函数f x =log 21-x ，若函数g x =f 2x +af x +2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1，则2a +b =( )．A.6B.-2C.2D.-6【解析】由函数y =log 2x 的图象，经过翻折变换，可得函数y =log 2x 的图象，再经过向右平移1个单位，可得y =log 2x -1 =log 21-x 的图象，最终经过翻折变换，可得y =log 21-x 的图象，如下图：则函数y =f x 的图象关于直线x =1对称，令t =f x因为函数g x =f 2x +af x +2b 最小的零点为x =-1，且f -1 =1，故当f x =1时，方程g x =0有4个零点，所以，要使函数g x =f 2x +af x +2b 有6个不同的零点，且最小的零点为x =-1,则f x =0，或f x =1，所以，关于t 方程t 2+at +2b =0的两个实数根为0,1所以，由韦达定理得a =-1,b =0，2a +b =-2，故选：B 9.已知函数f x =x +4 -1,x ≤0412 x-1,x >0，关于x 的方程f 2x +2t -1 f x +1-t =0有6个不等实数根，则实数t 的取值范围是()A.-∞,-75 ∪-32,+∞ B.-∞,-75∪-32,+∞ C.-75,-32D.-75,-32 ∪32,1【解析】作出函数f x 的图象如图所示，∴函数f x 的图象与函数y =c c ∈R 的图象最多三个交点，且f x =c 有3个实数根时，-1<c <3，∴f 2x +2t -1 f x +1-t =0有6个不等实数根等价于一元二次方程x 2+2t -1 x +1-t =0在-1,3 上有两个不同的实数根，∴Δ=2t -1 2-41-t >0-1<-2t -12<31-2t -1 +1-t >09+32t -1 +1-t >0，解得：-75<t <-32或32<t <1，即实数t 的取值范围为-75,-32 ∪32,1 .故选：D .10.函数 f x =x ln x ,x >0x +1,x ≤0，若关于x 的方程f x 2-m +1 f x +m =0恰有5个不同的实数根，则实数m 的取值范围是()A.-1e<m <0 B.-1e<m ≤0 C.-1e≤m <0 D.-1e≤m ≤0【解析】由[f (x )]2-m +1 f (x )+m =[f (x )-m ][f (x )-1]=0，可得f (x )=m 或f (x )=1，令y =x ln x 且定义域为(0,+∞)，则y =ln x +1，当x ∈0,1e 时y <0，即y 递减；当x ∈1e ,+∞ 时y >0，即y 递增；所以y min =-1e，且y |x =1=0，在x 趋向正无穷y 趋向正无穷，综上，根据f (x )解析式可得图象如下图示：显然f (x )=1对应两个根，要使原方程有5个根，则f (x )=m 有三个根，即f (x ),y =m 有3个交点，所以-1e <m <0.故选：A11.已知函数f x =32x 2+6x +5,x ≤-12x +1e x,x >-1，若函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰有5个零点，则实数m 的取值范围为()A.-1,2B.-1,0C.0,12D.12,2【解析】因为函数g x =f x 2-m +2 f x +2m 恰有5个零点，所以方程f x 2-m +2 f x +2m =0有5个根，所以f x -m f x -2 =0有5个根，所以方程f x =2和f x =m 共有5个根；当x >-1时，f x =2x +1e x，fx =2e x -2x +1 e x e2x=-2x e x ，当-1<x <0时，f x >0，函数f x 在-1,0 上单调递增；当x >0时，f x <0，函数f x 在0,+∞ 上单调递减；因为x >-1，所以f x >0，f 0 =2，当x >-1且x →-1时，f x →0，x →+∞时，f x→0，当x ≤-1时，f x =32x 2+6x +5=32x +2 2-1，f -1 =12，故函数f x 在-∞,-1 上的图象为对称轴为x =-2，顶点为-2,-1 的抛物线的一段，根据以上信息，作函数f x 的图象如下：观察图象可得函数y =f x 的图象与函数y =2的图象有2个交点，所以方程f x =2有两个根，所以方程f x =m 有3个异于方程f x =2的根，观察图象可得12<m <2，所以m 的取值范围为12,2 ..故选：D .12.已知定义在R 上的函数y =f x 是偶函数，当x ≥0时，f x =2sin πx2,0≤x ≤112x +32,x >1，若关于x 的方程f x2+2af x +b =0a ,b ∈R 有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是()A.-2,-34 B.-2,-74C.-2,-74 ∪-74,-34D.-2,-34 ∪-12,-17【解析】由题意可知，函数f x 的图象如图所示：根据函数图像，函数f x 在-∞,-1 ，0,1 上单调递增，在-1,0 ，1,+∞ 上单调递减；且x =±1时取最大值2，在x =0时取最小值0，y =32是该图像的渐近线.令f x =t ，则关于x 的方程f x 2+2af x +b =0a ,b ∈R 即可写成t 2+2at +b =0a ,b ∈R ，此时关于t 的方程应该有两个不相等的实数根设t 1，t 2为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意：①当t 1∈0,32 ，t 2∈32,2时，此时-2a =t 1+t 2∈32,72 ，则a ∈-74,-34 ；②当t 1=2，t 2∈32,2 时，此时-2a =t 1+t 2∈72,4 ，则a ∈-2,-74；综上可知，实数a 的取值范围是-2,-74 ∪-74,-34.故选：C .二、多选题13.已知函数f x =x 2-2x +t ,x ≤02ln x +1 -1,x >0，若函数y =f f x 恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值可以是()A.-3B.-2C.0D.2【解析】由题意可知：当x ≤0时，f x 在-∞,0 上单调递减，则f x ≥f 0 =t ；当x >0时，f x 在0,+∞ 上单调递增，则f x >2ln1-1=-1；若函数y =f f x 恰好有4个不同的零点，令u =f x ，则y =f u 有两个零点，可得：当u >0时，则2ln u +1 -1=0，解得u =e -1>0；当u <0时，则u 2-2u +t =0，可得t ≤0u =1-1-t；可得f x =e -1和f x =1-1-t 均有两个不同的实根，即y =f x 与y =e -1、y =1-1-t 均有两个交点，不论t 与-1的大小关系，则e -1>-1e -1≥t，且1-1-t >-11-1-t ≥t ，解得-3<t ≤0，综上所述：实数t 的取值范围为-3,0 .且-3∉-3,0 ,-2∈-3,0 ,0∈-3,0 ,2∉-3,0 ，故A 、D 错误，B 、C 正确.故选：BC .14.已知函数f x =-x 2+2x ,x ≥0x 2-2x ,x <0，若关于x 的不等式f x 2+af x <0恰有1个整数解，则实数a 的取值可以为()A.-2 B.3 C.5 D.8【解析】由f x 解析式可得f x 图象如下图所示，由f x 2+af x <0得：f x +a f x <0，当a =0时，f x 2<0，不等式无解；当a >0时，由f x +a f x <0得：-a <f x <0，若不等式恰有1个整数解，则整数解为3，又f 3 =-3，f 4 =-8，∴-8≤-a <-3，所以3<a ≤8；当a <0时，由f x +a f x <0得：0<f x <-a ，此时有多个解，故舍去；综上所述：实数a 的取值范围为3,8 .故选：CD .15.已知函数f x =-2x 2+2,x ≤12x -2,x >1，若关于x 的方程[f (f (x ))]2=(m +2)f (f (x ))-2m 至少有8个不等的实根，则实数m 的取值不可能为()A.-1B.0C.1D.2【解析】由[f (f (x ))]2=(m +2)f (f (x ))-2m ，得[f (f (x ))-2][f (f (x ))-m ]=0，解得f (f (x ))=2或f (f (x ))=m ，作出f (x )的图象如图所示，若f (x )=2，则x =0或x =2，设t =f (x )，由f (f (x ))=2，得f (t )=2，此时t 1=0或t 2=2.当t 1=0时，f (x )=t 1=0，有2个不等的实根;当t 2=2时，f (x )=t 2=2，有2个不等的实根，所以f (f (x ))=2有4个不等的实根，若原方程至少有8个不等的实根，则必须有m ≠2且f (f (x ))=m 至少有4个不等实根，若m =0，由f (t )=m =0，得t 1=-1或t 2=1,f (x )=-1有1个根，f (x )=1有3个不等的实根，此时有4个不等的实根，满足题意;若m >2，由f (t )=m ，得t >2,f (x )=t 有1个根，不满足题意;若m <0，由f (t )=m ，得t <-1,f (x )=t 有1个根，不满足题意;若0<m <2，由f (t )=m ，得-1<t 1<0或0<t 2<1或1<t 3<2，当-1<t 1<0,f (x )=t 1有1个根，当0<t 2<1时，f (x )=t 2有3个不等的实根，当1<t 3<2时，f (x )=t 3有3个不等的实根，此时共有7个不等的实根，满足题意.综上实数m 的取值范围为[0,2).故选：AD .16.已知函数f x =ln -x ,x <0,2x 3-3x 2-1,x ≥0,若函数g x =f x 2-m -1 f x -m 有4个零点，则m 的取值可能是()A.-32 B.-1 C.0 D.2【解析】令g x =f x 2-m -1 f x -m =0，即f x +1 f x -m =0，解得f x =-1或f x =m .当x ≥0时，f x =6x 2-6x =6x x -1 .由f x >0，得x >1，由f x <0，得0≤x <1，则f x 在[0,1)上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，且f 0 =-1,f 1 =-2.画出f x 的图象，如图所示.由图可知f x =-1有2个不同的实根，则g x 有4个零点等价于f x =m 有2个不同的实根，且m ≠-1，故m ∈-2,-1 ∪0 .故选：AC17.已知函数f (x )=2x 2+4x ,x <02-x -1,x ≥0 ，若关于x 的方程4f 2x -4a ⋅f x +2a +3=0有5个不同的实根，则实数a 的取值可以为()A.-76 B.-1712C.-54D.-3730【解析】作出函数f (x )=2x 2+4x ,x <02-x -1,x ≥0 的图象如下：因为关于x 的方程4f 2(x )-4a ⋅f (x )+2a +3=0有5个不同的实根，令t =f (x )，则方程4t 2-4at +2a +3=0有2个不同的实根t 1,t 2，则Δ=16a 2-16(2a +3)>0，解得a <-1或a >3，若t 1<t 2，则-2<t 1≤-1<t 2<0或-1<t 1<t 2=0，令g (t )=4t 2-4at +2a +3，∴g -2 =19+10a >0g -1 =7+6a ≤0g 0 =2a +3>0 或2a +3=0，解得g -2 =19+10a >0g -1 =7+6a ≤0g 0 =2a +3>0，得-32<a ≤-76；当2a +3=0时解得a =-32，此时4t 2+6t =0，解得t 2=0，t 1=-32，不符合题意，故舍去；综上可得-32<a ≤-76.故选：ABCD .18.已知函数f x =e x x <0 4x 3-6x 2+1x ≥0，其中e 是自然对数的底数，记h x =f x 2-f x +a ，g x =f f x -3，则()A.g x 有唯一零点B.方程f x =x 有两个不相等的根C.当h x 有且只有3个零点时，a ∈-2,0D.a =0时，h x 有4个零点【解析】因为f (x )=4x 3-6x 2+1(x ≥0)，所以f (x )=12x 2-12x =12x (x -1)(x ≥0)，所以x ∈(0,1)时，f (x )<0，x ∈(1,+∞)时，f (x )>0所以f x =e x x <04x 3-6x 2+1x ≥0 的图像如下图，选项A ，因为g x =f f x -3，令f (x )=t ，由g x =0，得到f (t )=3，由图像知，存在唯一的t 0>1，使得f (t )=3，所以f (x )=t 0>1，由f (x )的图像知，存在唯一x 0，使f (x 0)=t 0，即g x =f f x -3只有唯一零点，所以选项A 正确；选项B ，令g (x )=x ，如图，易知g (x )=x 与y =f (x )有两个交点，所以方程f x =x 有两个不相等的根，所以选项B 正确；选项C ，因为h x =f x 2-f x +a ，令f (x )=m ，由h (x )=0，得到m 2-m +a =0，当h x 有且只有3个零点时，由f (x )的图像知，方程m 2-m +a =0有两等根m 0，且m 0∈(0,1)，或两不等根m 1,m 2，-1<m 1<0,m 2>1，或m 1=-1,m 2=1(舍弃，不满足韦达定理)，所以Δ=1-4a =0或Δ=1-4a >0f (0)<0f (-1)>0f (1)<0 即a =14或a <14a <0-2<a a <0，所以a =14或-2<a <0，当a =14时，m =12，满足条件，所以选项C 错误；选项D ，当a =0时，由h (x )=0，得到f (x )=0或f (x )=1，由f (x )的图像知，当f (x )=0时，有2个解，当f (x )=1时，有2个解，所以选项D 正确.故选：ABD .三、填空题19.设函数f (x )=ln x x,x >1-(x -1)3,x <1 ，若关于x 的方程[f (x )]2+mf (x )-1-m =0恰好有4个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是．【解析】因为f (x ) 2+mf (x )-1-m =0恰好有4个不相等的实数解，所以(f (x )+m +1)(f (x )-1)=0恰好有4个不相等的实数解，所以f (x )=1或f (x )=-m -1共有4个解，设h (x )=ln x x ，(x >1)，则h (x )=1-ln x x2，所以当x ∈(1,e )时，h (x )>0，h (x )单调递增；当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，h (x )单调递减，又h (1)=0，h (e )=1e ，当x →+∞时，h (x )→0，所以h (x )∈0,1e；设g (x )=-(x -1)3，(x <1)，则g (x )=-3(x -1)2<0，g (x )为单调减函数，且x →-∞时，g (x )→+∞，g (1)=0，g (x )∈(0,+∞)，作出函数f (x )的图象如图所示：由图可知f (x )=1只有一解，要(f (x )+m +1)(f (x )-1)=0恰好有4个不相等的实数解，即要f (x )=-m -1恰有3解，所以0<-m -1<1e ，即-1-1e <m <-1．所以实数m 的取值范围是-1-1e,-1 ．20.已知函数f x 是R 上的奇函数，当x <0时，f x =4-2-x ，若关于x 的方程f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解，则实数m 的取值范围是.【解析】由题设f (0)=0，若x >0，则f (x )=-f (-x )=-(4-2x )=2x -4，所以f (x )=4-2-x ,x <00,x =02x -4,x >0，值域为R ，函数图象如下：当f (x )∈(-∞,-3]时，只有一个x ∈(-∞,-log 27]与之对应；当f (x )∈(-3,0)时，有两个对应自变量，记为x 1,x 2(x 1<x 2)，则-log 27<x 1<-2<0<x 2<2；当f (x )=0时，有三个对应自变量且-2,0,2 ；当f (x )∈(0,3)时，有两个对应自变量，记为x 3,x 4(x 3<x 4)，则-2<x 3<0<2<x 4<log 27；当f (x )∈[3,+∞)时，有一个x ∈[log 27,+∞)与之对应；令t =f (x )，则f (t )=m ，要使f f x =m 有且仅有两个不相等的实数解，若f (t )=m 有三个解，则t =f (x )∈{-2,0,2}，此时x 有7个解，不满足；若f (t )=m 有两个解t 1,t 2且t 1<t 2，此时t 1=f (x )和t 2=f (x )各有一个解，结合图象知，不存在这样的t ，故不存在对应的m ；若f (t )=m 有一个解t 0，则t 0=f x 有两个解，此时t 0∈-3,-log 27∪ log 27,3 ，所以对应的m ∈(-4,-3]∪[3,4)，综上，m ∈(-4,-3]∪[3,4).21.已知函数f x =e x ,x ≤0ln x ,x >0 ，g x =f f x -a ，若g x 有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是.【解析】设h x =f f x ，当x ≤0时，e x >0，f f x =ln e x =x ；当0<x ≤1时，ln x ≤0，f f x =e ln x =x ；当x >1时，ln x >0，f f x =ln ln x .综上可得，h x =x ,x ≤1ln ln x ,x >1 .函数y =ln (ln x )的定义域为1,+∞ ，由复合函数单调性可知函数y =ln ln x 单调递增.又h e =ln ln e =0，作出h x 的图象如图所示由图象可知，当a ≤1时，曲线h x 与y =a 恒有两个交点，即g x 有两个零点，所以a 的取值范围是-∞,1 .22.已知函数f x =1-x e x ，若关于x 的方程2f x 2-4af x +1=0有两个不同的实数根时，实数a 的取值范围是.【解析】因为f x =1-x e x ，所以f x =-xe x ，所以f 0 =0，当x <0时，f x >0，当x >0时，f x <0，所以在-∞,0 上单调递增，在0,+∞ 上单调递减，f x max =f 0 =1，如图，设t =f x ，则2t 2-4at +1=0，显然t =0不是方程2t 2-4at +1=0的解，则4a =2t +1t (t ≤1且t ≠0)，如下图所示，(1)当-22<4a <22时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)无交点，则方程2f x 2-4af x +1=0无实数解，(2)当4a =-22时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t (t ≤1且t ≠0)有唯一交点，其横坐标为-22，此时直线t =-22与曲线f x =1-x e x 有唯一交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有唯一实数解(3)当4a =22时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t (t ≤1且t ≠0)有唯一交点，其横坐标为22，此时直线t =22与曲线f x =1-x e x 有两个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有两个实数解，(4)当22<4a <3，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)有两个交点，设其横坐标分别为t 1，t 20<t 1<22<t 2<1 ，此时直线t =t 1和直线t =t 2与曲线f x =1-x e x 各有两个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有四个实数解，(5)当4a =3时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)有两个交点，设其横坐标分别为t 30<t 3<22，1，此时直线t =t 3与曲线f x =1-x e x 各有两个交点，直线t =1与曲线f x =1-x e x 有唯一的交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有三个实数解，(6)当4a >3时，直线y =4a 与曲线y =2t +1t(t ≤1且t ≠0)有唯一个交点，设其横坐标分别为t 40<t 4<22，此时直线t =t 4与曲线f x =1-x e x 有两个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有两个实数解，(7)当4a <-22时，直线y =4a 与曲线有两个公共点，对应的t 有两个负值，设为t 5,t 6，此时直线t =t 5和直线t =t 6与曲线f x =1-x e x 各有一个交点，即方程2f x 2-4af x +1=0有两个实数解，综上，当a <-22或a =22或a >34时，方程2f x 2-4af x +1=0有两个不同的实数根.23.已知函数f x =2x -1,x <1x 2-6x +6,x ≥1 ，若函数F x =f x2-2af x +3a -1有5个零点，则实数a 的取值范围为．【解析】F x 有5个零点等价于f x 2-2af x +3a -1=0有5个不等实根；作出f x 图象如下图所示，设f x =t ，则t 2-2at +3a -1=0有两个不等实根，∴Δ=4a 2-43a -1 >0；记t 2-2at +3a -1=0的两根为t 1,t 2，∴t 1=10<t 2<1 或-3<t 1≤00<t 2<1 ；当t 1=1时，1-2a +3a -1=0，解得：a =0，此时t 2=-1，不满足0<t 2<1；当-3<t 1≤00<t 2<1 时，9+6a +3a -1>03a -1≤01-2a +3a -1>0Δ>0，解得：0<a ≤13；综上所述：实数a 的取值范围为0,13.24.已知函数f (x )=x 2-mx -m 2+1,x ≥0lg (-x ),x <0，g (x )=x 2+1-m ，若函数y =f (g (x ))至少有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是.【解析】设g x =t ，因为y =f (g (x ))至少有4个不同的零点，所以方程f t =0有且仅有两个不相等的根t 1,t 2，且由g x =x 2+1-m =t 得x 2=t -1-m ，故t 1>1-m ,t 2>1-m .当t <0时，由lg -t =0得t =-1.①若1-m =-1，则m =2，此时f x =x 2-2x ,x ≥0lg -x ,x <0 有3根t 1=-1,t 2=0,t 3=2，g x =x 2-1=t 1,t 2,t 3共5个零点，故y =f (g (x ))有5个零点，满足题意；②若1-m <-1，则m >2，所以f 0 =1-m 2<0，方程f t =0有且仅有一个正根t 1与一个负根t 2=-1，此时g x =x 2+1-m =t 1,t 2共4个零点，故y =f (g (x ))有4个零点，满足题意；③若1-m >-1，则m <2，此时f t =0必有两正根t 1,t 2，且t 1>1-m ,t 2>1-m ，此时f t =t 2-mt -m 2+1满足m 2-41-m 2 >0f 0 =-m 2+1>0f 1-m =1-m 2-m 1-m -m 2+1>0m 2>0m 2>1-m，即m 2+2m -4>0m <24m 2-7m +4>0m >23 ，解得5-1<m <2.综上有m >5-1.四、解答题25.已知函数f (x )=1+log 2x ，g (x )=2x ．(1)若F x =f g x ⋅g f x ，求函数F (x )在x ∈[1，4]的值域；(2)令h (x )=f (x )-1，则G x =h 2x +4-k f x ，已知函数G (x )在区间1,4 有零点，求实数k 的取值范围．【解析】(1)因为f x =1+log 2x ,g x =2x ，所以F x =f g x ⋅g f x =1+log 22x ⋅21+log 2x =1+x ⋅2×2log 2x =2x 1+x =2x 2+2x =2x +12 2-12，由二次函数的性质可知，当x ∈1,4 时，函数F (x )为增函数，所以函数的最大值为F 4 =40，函数的最小值为F 1 =4，则函数的值域为4,40 ．(2)G x =log 2x 2+4-k log 2x +4-k ，令t =log 2x ，由于x ∈1,4 ，则t ∈0,2 ，则问题等价为y =t 2+4-k t +4-k 在t ∈0,2 上有零点，即t 2+4-k t +4-k =0在t ∈0,2 上有解，即k =t 2+4t +41+t =(t +1)2+2(t +1)+1t +1=t +1+1t +1+2，令m =t +1，则m ∈1,3 ，则k =m +1m +2，则由对勾函数的性质可知k =m +1m +2在m ∈1,3 上单调递增，则当m =1时，k =1+1+2=4，当m =3时，k =3+13+2=163，∴4≤m +1m +2≤163，即4≤k ≤163，即实数k 的取值范围是4,163 ．26.已知二次函数f x 的图象经过原点，对称轴为直线x =1，方程f x +1=0有两个相等实根.(1)求f x 的解析式;(2)若对任意x ∈12,8，2f log 2x +m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围;(3)若函数g x =f 3x +13x 与h x =k ⋅3x -43k -2的图象有且只有一个公共点，求实数k 的取值范围.【解析】(1)设f x =ax 2+bx +c a ≠0 ，由题意可得f 0 =0-b 2a =1Δ=b 2-4a c +1 =0 ，解之得c =0a =1b =-2，∴f x =x 2-2x .(2)由题可得，2log 2x 2-4log 2x +m ≥0对任意x ∈12,8恒成立.令t =log 2x ，则t ∈-1,3 ，分离参数可得：m ≥-2t 2+4t =-2t -1 2+2对任意t ∈-1,3 恒成立.易知当t=1时，y=-2t-12+2取得最大值2，∴实数m的取值范围为2,+∞；(3)∵y=g x 与y=h x 的图象有且只有一个公共点，令n=3x，则n>0，∴n2-2n+1n =kn-43k-2⇒k-1n2-43kn-1=0只有一个实数根.若k=1，则n=-34，不符合题意，舍去;若k≠1，则方程的两个异号的根或方程有两个相等的正实数根，∴-1 k-1<0，或Δ=43k2-4k-1×-1=0，43kk-1>0,-1k-1>0，解得k∈-3∪1,+∞综上，实数k的取值范围是-3∪1,+∞.。

专题01嵌套函数问题嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点.类型一嵌套函数中不动点稳定点问题典例1(){}|A x f x x ==，()(){}|B x ff x x ==.（1）求证：A B ⊆；（2）若()()21,f x ax a R x R =-∈∈，且A B =≠∅，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.类型二嵌套函数中零点个数问题典例2若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是_____.类型三嵌套函数中参数问题典例3已知函数()()221,0,{ ,0,x ax a x f x ln x x --+≥=-<()212g x x a =+-.若函数()()y f g x =有4个零点，则实数a的取值范围是________.1.设函数a x e x f x -+=)(（a R ∈，e 为自然对数的底数），若曲线x y sin =上存在点),(00y x ，使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是__________2．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数.当0x ≥时，5sin() (01)42()1() 1 (1)4x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是_____.3．已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．4.已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，(())f f x x =是否有实数根？并证明你的结论.5.设x b ax x x f cos )(2++=，{}{}∅≠==∈=0)]([,0)(x f f x R x x f x ，则满足条件的所有实数b a ,的取值分别为___________.6.设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x （e 是自然对数的底数），则)2(ln f 的值等于_______.7.已知函数是定义在正实数集上的单调函数，且满足对任意x ˃0，都有，则=________．8.已知定义在()∞+，0上的函数)(x f 为单调函数，且1)1)(()(=+xx f f x f ，则_______)1(=f .9.已知{}{}n n f ,3,2,13,2,1:→，（N n n ∈≥,3）满足)())((x f x f f =，求这样的函数个数有多少个？10.设定义域为R 的函数|1|25 1 0()4 4 0x x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程22()(21)()0f x m f x m -++=有7个不同的实数解，则m=_____.。