【推荐重点】2019版高考数学二轮复习 专题九 选做大题 专题对点练27 不等式选讲 文

第2讲　不等式选讲年份卷别考查内容及考题位置命题分析卷Ⅰ绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T 23卷Ⅱ绝对值不等式的解法、不等式的恒成立问题·T 232018卷Ⅲ含绝对值函数图象的画法、不等式的恒成立问题·T 23卷Ⅰ含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围·T 23卷Ⅱ基本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法·T 232017卷Ⅲ含绝对值不等式的解法、函数最值的求解·T 23卷Ⅰ含绝对值函数图象的画法、含绝对值不等式的解法·T 24卷Ⅱ含绝对值不等式的解法、比较法证明不等式·T 242016卷Ⅲ含绝对值不等式的解法、绝对值不等式的性质·T 241.不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．2．此部分命题形式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用. 绝对值不等式的解法(综合型)含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ；(2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．[典型例题](2018·太原模拟)已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|.(1)当m ＝－1时，求不等式f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含，求m 的取值范围．[34，2]【解】　(1)当m ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|2x －1|，当x ≥1时，f (x )＝3x －2≤2，所以1≤x ≤；43当<x <1时，f (x )＝x ≤2，所以<x <1；1212当x ≤时，f (x )＝2－3x ≤2，所以0≤x ≤，1212综上可得原不等式f (x )≤2的解集为.{x |0≤x ≤43}(2)由题意可知f (x )≤|2x ＋1|在上恒成立，当x ∈时，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －1|＝|x[34，2][34，2]＋m |＋2x －1≤|2x ＋1|＝2x ＋1，所以|x ＋m |≤2，即－2≤x ＋m ≤2，则－2－x ≤m ≤2－x ，且(－2－x )max ＝－，(2－x )min ＝0，因此m 的取值范围为.114[－114，0]|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)，|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根．②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间．③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集．④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x －a |＋|x －b |与|x －a |－|x －b |分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )(c >0)或|x －a |－|x －b |≥c (或≤c )(c >0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观．　[对点训练](2018·合肥第一次质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|.(1)解关于x 的不等式f (x )－f (x ＋1)≤1；(2)若关于x 的不等式f (x )<m －f (x ＋1)的解集不是空集，求m 的取值范围．解：(1)f (x )－f (x ＋1)≤1⇔|2x －1|－|2x ＋1|≤1，则或{x ≥12，2x －1－2x －1≤1){－12<x <12，1－2x －2x －1≤1)或{x ≤－12，1－2x ＋2x ＋1≤1，)解得x ≥或－≤x <，121412即x ≥－，14所以原不等式的解集为.[－14，＋∞)(2)由条件知，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|<m 有解，则m >(|2x －1|＋|2x ＋1|)min 即可．由于|2x －1|＋|2x ＋1|＝|1－2x |＋|2x ＋1|≥|1－2x ＋2x ＋1|＝2，当且仅当(1－2x )(2x ＋1)≥0，即x ∈时等号成立，故m >2.[－12，12]所以m 的取值范围是(2，＋∞)． 不等式的证明(综合型)含有绝对值的不等式的性质|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b|. 算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则≥，当且仅当a ＝b 时，等号成立．a ＋b2ab 定理3：如果a ，b ，c 为正数，则≥，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．a ＋b ＋c33abc 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则≥，当且仅当a 1＝a 2＝…＝an 时，等号成立．a 1＋a 2＋…＋a n nn a 1a 2…a n[典型例题](2018·长春质量检测(一))设不等式||x ＋1|－|x －1||<2的解集为A .(1)求集合A ；(2)若a ，b ，c ∈A ，求证：>1.|1－abcab －c|【解】　(1)由已知，令f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝{2，x ≥1，2x ，－1<x <1，－2，x ≤－1，)由|f (x )|<2得－1<x <1，即A ＝{x |－1<x <1}．(2)证明：要证>1，只需证|1－abc |>|ab －c |，|1－abcab －c|只需证1＋a 2b 2c 2>a 2b 2＋c 2，只需证1－a 2b 2>c 2(1－a 2b 2)，只需证(1－a 2b 2)(1－c 2)>0，由a ，b ，c ∈A ，得a 2b 2<1，c 2<1，所以(1－a 2b 2)(1－c 2)>0恒成立．综上，>1.|1－abcab －c|证明不等式的方法和技巧(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或是否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的基本思路是化去绝对值符号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[对点训练](2018·陕西教学质量检测(一))已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明t 2＋1≥＋3t .3t解：(1)依题意，得f (x )＝{－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，)所以f (x )≤3⇔或或{x ≤－1，－3x ≤3){－1<x <12，2－x ≤3){x ≥12，3x ≤3，)解得－1≤x ≤1，即不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，所以M ＝[3，＋∞)．t 2＋1－3t －＝＝，3t t 3－3t 2＋t －3t （t －3）（t 2＋1）t因为t ∈M ，所以t －3≥0，t 2＋1>0，所以≥0，（t －3）（t 2＋1）t所以t 2＋1≥＋3t .3t 含绝对值不等式的恒成立问题(综合型)[典型例题](2018·郑州第一次质量预测)设函数f (x )＝|x ＋3|，g (x )＝|2x －1|.(1)解不等式f (x )<g (x )；(2)若2f (x )＋g (x )>ax ＋4对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．【解】　(1)由已知，可得|x ＋3|<|2x －1|，即|x ＋3|2<|2x －1|2，所以3x 2－10x －8>0，解得x <－或x >4.23故所求不等式的解集为∪(4，＋∞)．(－∞，－23)(2)由已知，设h (x )＝2f (x )＋g (x )＝2|x ＋3|＋|2x －1|＝{－4x －5，x ≤－3，7，－3<x <12，4x ＋5，x ≥12.)当x ≤－3时，只需－4x －5>ax ＋4恒成立，即ax <－4x －9恒成立，因为x ≤－3<0，所以a >＝－4－恒成立，－4x －9x 9x 所以a >，所以a >－1；(－4－9x)max当－3<x <时，只需7>ax ＋4恒成立，即ax －3<0恒成立，12只需所以所以－1≤a ≤6；{－3a －3≤0，12a －3≤0，){a ≥－1，a ≤6，)当x ≥时，只需4x ＋5>ax ＋4恒成立，即ax <4x ＋1恒成立．12因为x ≥>0，所以a <＝4＋恒成立．124x ＋1x 1x 因为4＋>4，且x →＋∞时，4＋→4，1x 1x 所以a ≤4.综上，a 的取值范围是(－1，4]．绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )形式．(2)转化最值：f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .(3)求最值：利用基本不等式或绝对值不等式求最值．(4)得结论．　[对点训练]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝故不等式f (x )>1的{－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥ 1.)解集为{x |x >}．12(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立．若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <，所以≥1，故0<a ≤2.2a 2a综上，a 的取值范围为(0，2]．2．(2018·洛阳第一次联考)已知函数f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|，a ∈R ，g (x )＝x 2－2x －4＋.4（x －1）2(1)若f (2a 2－1)>4|a －1|，求实数a 的取值范围；(2)若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (2a 2－1)>4|a －1|，所以|2a 2－2a |＋|a 2－1|>4|a －1|，所以|a －1|(2|a |＋|a ＋1|－4)>0，所以|2a |＋|a ＋1|>4且a ≠1.①若a ≤－1，则－2a －a －1>4，所以a <－；53②若－1<a <0，则－2a ＋a ＋1>4，所以a <－3，此时无解；③若a ≥0且a ≠1，则2a ＋a ＋1>4，所以a >1.综上所述，a 的取值范围为∪(1，＋∞)．(－∞，－53)(2)因为g (x )＝(x －1)2＋－54（x －1）2≥2－5＝－1，显然可取等号，（x －1）2·4（x －1）2所以g (x )min ＝－1.于是，若存在实数x ，y ，使f (x )＋g (y )≤0，只需f (x )min ≤1.又f (x )＝|x ＋1－2a |＋|x －a 2|≥|(x ＋1－2a )－(x －a 2)|＝(a －1)2，所以(a －1)2≤1，所以－1≤a －1≤1，所以0≤a ≤2，即a ∈[0，2]．1．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝{2x ＋4，x ≤－1，2，－1＜x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.)可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．2．(2018·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.(1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．解：(1)设F (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝{－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G （x ）＝2－x ，2x ，x ≥ 1.)由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}．(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；当m <x <时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－<g (x )<－m ；m 2m2当x ≥时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－.m 2m2则g (x )的值域为，[－m2，＋∞)不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，即1>－，解得m >－2，m2由于m <0，则m 的取值范围是(－2，0)．3．(2018·石家庄质量检测(一))已知函数f (x )＝|ax －1|－(a －2)x .(1)当a ＝3时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若函数f (x )的图象与x 轴没有交点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝3时，不等式可化为|3x －1|－x >0，即|3x －1|>x ，所以3x －1<－x 或3x －1>x ，即x <或x >，1412所以不等式f (x )>0的解集为.{x |x <14或x >12}(2)当a >0时，f (x )＝{2x －1，x ≥1a，2（1－a ）x ＋1，x <1a，)要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需即1≤a <2；{2a－1>0，2（1－a ）≤0，)当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1，函数f (x )的图象与x 轴有交点，不合题意；当a <0时，f (x )＝{2x －1，x ≤1a，2（1－a ）x ＋1，x >1a，)要使函数f (x )的图象与x 轴无交点，只需此时无解．{2a－1<0，2（1－a ）≤0，)综上可知，若函数f (x )的图象与x 轴无交点，则实数a 的取值范围为[1，2)．4．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝{－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥ 1.)y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.5．(2018·石家庄质量检测(二))已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋1|.(1)当a ＝1时，求f (x )≤2的解集；(2)若g (x )＝4x 2＋ax －3.当a >－1且x ∈时，f (x )≥g (x )，求实数a 的取值范围．[－12，a2]解：(1)当a ＝1时，f (x )＝.{－4x ，x <－122，－12≤x ≤124x ，x >12)当x <－时，f (x )≤2无解；12当－≤x ≤时，f (x )≤2的解集为；1212{x |－12≤x ≤12}当x >时，f (x )≤2无解．12综上所述，f (x )≤2的解集为.{x |－12≤x ≤12}(2)当x ∈时，f (x )＝(a －2x )＋(2x ＋1)＝a ＋1，所以f (x )≥g (x )可化为a ＋1≥g (x )．[－12，a2]又g (x )＝4x 2＋ax －3在上的最大值必为g 、g 之一，则，[－12，a 2](－12)(a 2){a ＋1≥g (－12)a ＋1≥g(a 2))即，即－≤a ≤2.{a ≥－2－43≤a ≤2)43又a >－1，所以－1<a ≤2，所以a 的取值范围为(－1，2]．6．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋3a 2|.(1)当a ＝0时，求不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集；(2)若对于任意函数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝0时，不等式可化为|2x |＋|x －2|≥3，得或或，{x <0－2x ＋2－x ≥3){0≤x ≤22x ＋2－x ≥3){x >22x ＋x －2≥3)解得x ≤－或x ≥1，13所以当a ＝0时，不等式f (x )＋|x －2|≥3的解集为∪[1，＋∞)．(－∞，－13](2)对于任意实数x ，不等式|2x ＋1|－f (x )<2a 恒成立，即|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|<2a 恒成立．因为|2x ＋1|－|2x ＋3a 2|≤|2x ＋1－2x －3a 2|＝|3a 2－1|，所以要使原不等式恒成立，只需|3a 2－1|<2a .当a <0时，无解；当0≤a ≤时，1－3a 2<2a ，解得<a ≤；331333当a >时，3a 2－1<2a ，解得<a <1.3333所以实数a 的取值范围是.(13，1)7．(2018·福州模拟)已知函数f (x )＝x 2－|x |＋1.(1)求不等式f (x )≥2x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≥在[0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．|x2＋a |解：(1)不等式f (x )≥2x 等价于x 2－|x |－2x ＋1≥0，①当x ≥0时，①式化为x 2－3x ＋1≥0，解得x ≥或0≤x ≤；3＋523－52当x <0时，①式化为x 2－x ＋1≥0，解得x <0，综上所述，不等式f (x )≥2x 的解集为.{x |x ≤3－52或x ≥3＋52}(2)不等式f (x )≥在[0，＋∞)上恒成立，|x 2＋a |等价于－f (x )≤＋a ≤f (x )在[0，＋∞)上恒成立，x 2等价于－x 2＋x －1≤＋a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，x 2等价于－x 2＋x －1≤a ≤x 2－x ＋1在[0，＋∞)上恒成立，1232由－x 2＋x －1＝－－≤－(当且仅当x ＝时取等号)，12(x －14)2 1516151614x 2－x ＋1＝＋≥(当且仅当x ＝时取等号)，32(x －34)2 71671634所以－≤a ≤，1516716综上所述，实数a 的取值范围是.[－1516，716]8．(2018·武汉调研)已知函数f (x )＝x 2＋2，g (x )＝|x －a |－|x －1|，a ∈R .(1)若a ＝4，求不等式f (x )>g (x )的解集；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝4时，不等式f (x )>g (x )为x 2＋2>|x －4|－|x －1|，g (x )＝|x －4|－|x －1|＝{－3，x ≥4，－2x ＋5，1<x <4，3，x ≤ 1.)①当x ≥4时，x 2＋2>－3恒成立，所以x ≥4.②当1<x <4时，x 2＋2>－2x ＋5，即x 2＋2x －3>0，得x >1或x <－3，所以1<x <4.③当x ≤1时，x 2＋2>3，则x >1或x <－1，所以x <－1.由①②③可知不等式f (x )>g (x )的解集为{x |x <－1或x >1}．(2)当a ≥1时，g (x )＝所以g (x )的最大值为a －1.{1－a ，x ≥a ，a ＋1－2x ，1<x <a ，a －1，x ≤1，)要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥a －1，则a ≤3，所以1≤a ≤3.当a <1时，g (x )＝所以g (x )的最大值为1－a .{－a ＋1，x ≥1，2x －a －1，a <x <1，a －1，x ≤a )要使f (x 1)≥g (x 2)，只需2≥1－a ，则a ≥－1，所以－1≤a <1.综上，实数a的取值范围是[－1，3].。

专题对点练26坐标系与参数方程(选修4—4)1.(2018全国Ⅰ,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.2.(2018全国Ⅱ,文22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.3.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1α为常数,0<α<π,且α≠,点A,B(A在x轴下方)是曲线C1与C2的两个不同交点.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)求|AB|的最大值及此时点B的坐标.4.已知曲线C的参数方程为(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C上的点按坐标变换得到曲线C',以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.(1)求曲线C'的极坐标方程;(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C'交于M,N两点,弦MN的中点为P,求的值.专题对点练26答案1.解(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=-或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-|x|+2.2.解(1)曲线C的直角坐标方程为=1.当cos α≠0时,l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,当cos α=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-,故2cos α+sin α=0,于是直线l的斜率k=tan α=-2.3.解(1)曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),普通方程为+y2=1;曲线C2的极坐标方程为ρ(tan α·cos θ-sin θ)=1,直角坐标方程为x tan α-y-1=0.(2)C2的参数方程为(t为参数),代入+y2=1,得t2-2t sin α=0,∴t1+t2=,t1t2=0,∴|AB|=.∵0<α<π,且α≠,∴sin α∈(0,1),∴|AB|max=,此时B的坐标为.4.解(1)C:=1,将代入C的普通方程可得x'2+y'2=1.因为ρ2=x2+y2,所以曲线C'的极坐标方程为C':ρ=1.(2)点A的直角坐标是A,将l的参数方程代入x2+y2=1,可得4t2-6t+5=0,∴t1+t2=,t1·t2=,∴.。

专题对点练27不等式选讲(选修4—5) 1. (2018全国Ⅰ,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,文23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象;(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.3.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.求证:(1)ab+bc+ac≤;(2)≥1.4.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.专题对点练27答案1.解(1)当a=1时,f(x)=|x+1|-|x-1|,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为.(2)当x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2].2.解(1)f(x)=y=f(x)的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5.3.证明(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+(a+b+c)≥2(a+b+c),即≥a+b+c.所以≥1.4.解(1)当a=1时,f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为.(2)由题设可得f(x)=所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),故△ABC的面积为 (a+1)2.由题设得 (a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).。

专题对点练27　不等式选讲(选修4—5)1. (2018全国Ⅰ,文23)已知f (x )=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立,求a 的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,文23)设函数f (x )=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f (x )的图象;(2)当x ∈[0,+∞)时,f (x )≤ax+b ,求a+b 的最小值.3.设a ,b ,c 均为正数,且a+b+c=1.求证:(1)ab+bc+ac ≤;(2)≥1.a 2b +b 2c +c 2a 4.已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围.专题对点练27答案1.解 (1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为.{x |x >12}(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立.若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<,所以≥1,故0<a ≤2.综上,a 的取值范围为(0,2].2.解 (1)f (x )={-3x ,x <-12,x +2,-12≤x <1,3x ,x ≥1.y=f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知,y=f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a ≥3且b ≥2时,f (x )≤ax+b 在[0,+∞)成立,因此a+b 的最小值为5.3.证明 (1)由a 2+b 2≥2ab ,b 2+c 2≥2bc ,c 2+a 2≥2ca ,得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c )2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca )≤1,即ab+bc+ca ≤.(2)因为+b ≥2a ,+c ≥2b ,+a ≥2c ,故+(a+b+c )≥2(a+b+c ),即≥a+b+c.a 2b b 2c c 2a a 2b +b 2c +c 2a a 2b +b 2c +c 2a 所以≥1.a 2b +b 2c +c 2a 4.解 (1)当a=1时,f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为.{x |23<x <2}(2)由题设可得f (x )={x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ,B (2a+1,0),C (a ,a+1),(2a -13,0)故△ABC 的面积为 (a+1)2.由题设得 (a+1)2>6,故a>2.所以a 的取值范围为(2,+∞).。