微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社 第五章

1 第五章

习题5-1

1.求下列不定积分：

(1) 2(5)xxdx; (2) 2(1)xxdx;

(3) 3exxdx； (4) 2cos2xdx；

(5) 23523xxxdx； (6) 22cos2dcossinxxxx.

解 5151732222222210(1)(5)(5)573ddddxxxxxxxxxxxC

113222221132223522(1)12(2)(2)242235ddddddxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxC

213(3)3(3)(3)ln(3)1ln31cos1111(4)coscossin222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln2ln3)3ln()3eededeedddddddd xxxxxxxxxxxxxxxxCCxxxxxxxxxCxxxxxCxC2222222222cos2cossin(6)(cscsec)cossincossincscseccottanddd ddxxxxxxxxxxxxxxxxxxC

2. 解答下列各题：

(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为2x-2,求该曲线方程；

(2) 设sinx为f(x)的一个原函数，求()fxdx；

(3) 已知f(x)的导数是sinx，求f(x)的一个原函数；

(4) 某商品的需求量Q是价格P的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q=1000), 2 已知需求量的变化率(边际需求)为Q′(P)=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系.

解 (1)设所求曲线方程为y=f(x),由题设有f′(x)=2x-2,

2()(22)2dfxxxxxC

又曲线过点(1,0),故f(1)=0代入上式有1-2+C=0得C=1,所以,所求曲线方程为

2()21fxxx.

(2)由题意有(sin)()xfx,即()cosfxx,

故 ()sinfxx,

所以 ()sinsincosdddfxxxxxxxC.

(3)由题意有()sinfxx,则1()sincosdfxxxxC

于是 12()(cos)sinddfxxxCxxCxC.

其中12,CC为任意常数,取120CC,得()fx的一个原函数为sinx.

注意 此题答案不唯一.如若取121,0CC得()fx的一个原函数为sinxx.

(4)由1()1000()ln33PQP得

111()[1000()ln3]1000ln3()1000().333ddPPPQPxxC

将P=0时,Q=1000代入上式得C=0

所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQP.

习题5-2

1.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：

(1) dx = d(ax+b)(a≠0)； (2) dx= d(7x-3)；

(3) xdx= d(52x)； (4) xdx= d(1-2x)；

(5) 3xdx= d(3x4-2); (6) 2exdx= d(2ex)；

(7) 2exdx= d(1+2ex); (8) dxx= d(5ln｜x｜);

(9) 2d1xx = d(1-arcsinx); (10) 2d1xxx= d21x; 3 (11) 2d19xx= d(arctan3x); (12) 2d12xx= d(arctan2x);

(13) (32x-2)dx= d(2x-3x)； (14) cos(23x-1)dx= dsin(23x-1).

解 1(1)()(0)()ddddaxbaxaxaxba

22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)dd

dddd

dddd dddd dddeed eddedeexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx222222222221()2(1)251(8)(5ln)(5ln)51(9)(1arcsin)(1arcsin)111(10)1(2)121113(11)(arctan3)19d eddeddd dddd dddd dddd xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx222322231(arctan3)19321(12)(arctan2)(arctan2)12122(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323ddddd

ddd dddd dxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

2.求下列不定积分：

(1) 5edtt; (2) 3(32)xdx;

(3) d12xx; (4) 3d23xx;

(5) sindttt; (6) dlnlnlnxxxx;

(7) 102tansecdxxx; (8) 2edxxx; 4 (9) dsincosxxx; (10) 22dtan11xxxx;

(11) deexxx; (12) 2d23xxx;

(13) 343d1xxx; (14) 3sindcosxxx;

(15) 21d94xxx; (16) 32d9xxx;

(17) 2d21xx; (18) d(1)(2)xxx;

(19 2cos()dtt); (20) 2cos()sin()dttt;

(21) sin2cos3dxxx; (22) coscosd2xxx;

(23) sin5sin7dxxx; (24) 3tansecdxxx;

(25) arctand(1)xxxx; (26) 22d(arcsin)1xxx;

(27) lntandcossinxxxx; (28) 21lnd(ln)xxxx;

(29) 222d,0xxaax; (30) 23d(1)xx;

(31) 29dxxx; (32) 2d1xxx;

(33) 2d11xx; (34) d,0axxaax;

(35) 224dxxx; (36) 222dxxxx;

(37) 2sec()d1tanxxx; (38) (1)d(1e)xxxxx(提示：令xte).

解 5555111(1)5(5)555edededetttttttC 5 33411(2)(32)(32)(32)(32)28ddxxxxx

1223333111(3)(12)ln121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)332223sin1(5)2sin2sin()2cos2111(6)(lnln)lnlnllnlnlnlnlnlnlnlnddddddddddxxCxxxxxxxCxCxtttttttCttxxxxxxxxxx222210210112n1(7)tansectan(tan)tan11111(8)(2))222(9)22csc22sincos2sincossin2lnlncsc2cot2tansincddededed(-edddd

d 或xxxxCxxxxxxxCxxxxxCxxxxxxxxxxCCxxxxx2cos1tanlntanossincostanddxxxCxxxxx

222222222222234(10)tan1tan11lncos111(11)()arctan11()161(23)(12)6323232231123233333(13)14dddeddeeeeeeddd ddxxxxxxxxxxxxCxxxxCxxxxxxxxxxxCxxx344443233222224313(1)ln11414sinsin1(14)coscoscoscoscos211(15)94949411211(8)2382941()31121dddddddd dd xxxCxxxxxxxxxxCxxxxxxxxxxxxxxx1222221(94)(94)382()3d()d xxxx 6 2121arcsin94234xxC