大一微积分练习题及答案
《微积分（1）》练习题
一． 单项选择题
1．设()0
x f '存在，则下列等式成立的有（ ）
A ． ()()
()
0000
lim x f x
x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()
()
0000
lim
x f x x f x x f x '-=∆-∆-→∆ C ．
()()
()
0000
2lim
x f h
x f h x f h '=-+→
D ．()()()
0000
2
1
2lim
x f h x f h x f h '=-+→
2．下列极限不存在的有（ ） A ．
201
sin lim x x x → B ．1
2lim
2+-+∞
→x x x x
C ．
x
x e
1
lim → D ．()x
x x
x +-∞
→63
2
213lim
3．设)(x f 的一个原函数是x
e 2-，则=)(x
f （ ）
A ．x
e 22-- B ．x e 2- C ．x
e 24-
D ．
x
xe 22--
4．函数
⎪⎩
⎪⎨⎧>+=<≤=1,11
,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为
（ ）间断点。
A ．跳跃间断点；
B ．无穷间断点；
C ．可去间断点；
D ．振
荡间断点
5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ）
A ． 当()()0
B ． 对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξ
f x f x ；
C ． 当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；
D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ；
6． 已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim -=-'→a
x x f a
x ，则下列结论成立的有（ ）
A ．a x =是()x f 的极小值点；
B ．a x =是
()
x f 的极大值点；
C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；
D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点； 二． 填空：
1．设⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=x
f y 1arcsin ，f 可微，则()='x y
2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y
3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为
4．曲线()2142
-+=
x
x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f
三． 计算题：
（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛-x x x x
（3）x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy
（5）053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
四． 试确定a ，b ，使函数
()()⎩
⎨
⎧<-≥+++=0,10
,2sin 1x e x a x b x f ax 在0=x 处连
续且可导。
五． 试证明不等式：当1>x 时，(
)e xe 2
1
e x e x x
+<
<⋅
六． 设()()()()a x a
x a f x f x F >--=
,，其中()x f 在[)+∞,a 上连续，
()
x f ''在()+∞,a 内存在且大于零，求证()x F 在()+∞,a 内
单调递增。
《微积分》练习题参考答案
七． 单项选择题
1．（ B ）2．（ C ）3．（ A ）4．（ C ） 5．（ B ）6．（ B ）
八． 填空：（每小题3分，共15分） 1． ⎪⎭⎫ ⎝⎛
'--
x f x x 1arcsin 11
2
2． ()06=y 3． 12+=x y 4． 2-=y ， 0=x
5． ()x e x f +='1，()c
e x x
f x ++=
三,计算题：
（1）321lim 221-+-→x x x x （2）3
2lim +∞→⎪⎭
⎫
⎝⎛-x x x x
2
1222lim 3
21
lim
122
1=+=-+-→→x x x x x x x ()2
62lim 3223
)21(lim 2lim -+-
+⎪⎭
⎫
⎝⎛-•-∞→+∞→==-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∞→e e x
x x x x x x x x x x x （3）x
x x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]2
21ln x y -= 求dy
3
1
3lim 3sin )1ln(lim 2
020=
⋅=+→→x x x x x x x x ()[]()()[]dx x x dx x x dy 2121ln 4221121ln 2---=-⋅-⋅-= （5）053=-+x y e
xy
求
=x dx
dy
()xy
xy
xy xe y ye y y y y x y e +-='⇒=-'+'+2
235053
又10-=⇒=y x
