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安徽大学2011—2012 学年第一学期
《高等数学A（三）》考试试卷（A 卷）
（闭卷时间120 分钟）
考场登记表序号
题号一二三四五总分
得分
阅卷人
一、选择题（每小题2 分，共10 分）得分
1.设A为n阶可逆矩阵，则下列各式正确的是（）。
（A）(2A)−1 =2A−1 ；（B）(2A−1)T=(2A T)−1 ；（C）
((A−1)−1)T=((A T)−1)−1 ；（D）((A T)T)−1 =((A−1)−1)T。
2.若向量组1, 2 , , r
ααα可由另一向量组
（）。
βββ线性表示，则下列说法正确的
是
1, 2 , , sβββ线性表示，则下列说法
正确的是
（A）r≤s；（B）r≥s；
（C）秩( 1, 2 , , r1, 2 , , s1, 2 , , r
ααα)≤秩(βββ)；（D）秩(ααα)≥
秩(
ββ
β)。
1, 2 , , sββ
β)。
3.设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则下列说法正确的是（）。
（A）λE−A=λE−B；
（B）A与B有相同的特征值和特征向量；
（C）A与B都相似于一个对角矩阵；
（D）对任意常数k，kE−A与kE−B相似。
4.设1, 2 , 3
ααα为R3 的一组基，则下列向量组中，（）可作为R3 的另一组基。
（A）1, 1 2 ,3 1 2 1, 2 ,2 1 2
α+αα+αα+α。
αα−αα−α；（B）ααα+α；
（C） 1 2 , 2 3, 1 3
α+αα+αα−α；（D） 1 2 , 2 3, 1 3
5.设P(A) =0.8 ，P(B) =0.7 ，P(A| B) =0.8 ，则下列结论正确的是（）。
（A）事件A与B互不相容；（B）A⊂B；
（C）事件A与B互相独立；（D）P(A∪B) =P(A) +P(B) 。
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二、填空题（每小题2分，共10分）得分
6.设4 阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A* 的秩为。
7.设λ=2 是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵
−1
⎛1 ⎞
A
2
⎜⎟
⎝3 ⎠
必有一个特征值等
于。
8. 设离散型随机变量X的分布列为
k
P X=k=a⋅⎛⎜2 ⎞⎟
( )
⎝3 ⎠
，k=0,1, 2, 3，则
a=。
⎛−⎞
1 0 1
9. 设离散型随机变量X的分布列为，若
⎜⎟
⎝⎠
0.25 0.5 0.25
Y=X2 ，则P(Y=1) =。
10.某车间生产的滚珠直径X服从N(μ,σ 2 ) ,现从产品中随机抽取 6 件,测得平均直径为
x=,若已知方差σ 2 =0.06 ,则平均直径μ的置信度为95% 的置信区间
14.95
为。 (Φ(1.96) =0.975,Φ(1.645) =0.95)
三、计算题（每小题9分，共9分）
得分
11.计算下列行列式
a 1 1 1
1
1 a0 0
2
D=1 0 a0
n 3
1 0 0 a
n ，这里 2 3 n0
a a a≠。
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四、分析题（每小题13 分，共65 分）
12.已知线性方程组AX=β有无穷多解，其中
得分
⎛a 1 1⎞
⎜⎟
A=⎜0 a−1 0⎟
，
⎜⎟
1 1 a
⎝⎠
β
⎛−⎞
2
⎜⎟
=⎜1
⎟。
⎜⎟
1
⎝⎠
求：（1）a的值；
（2）方程组AX=β的通解。
13.设二次型f(X) =2x2 +3x2 +3x2 +4x x，
1 2 3 2 3
（1）求正交变换X=QY，并写出f(X) 的标准形；
（2）判定二次型f(X) 的正定性。
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14.玻璃杯成箱出售，每箱8 只，假设每箱含0 只和1 只残次品的概率分别为0.8 和0.2。一
位顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看2 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：
（1）顾客买下该箱的概率；
（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。
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15.设(X,Y) 服从以x轴、直线x=1以及y=x围成的三角区域上均匀分布，试判断X,Y的独
立性和相关性。
16.假设总体X的密度函数为
f(x;θ)
⎧≥
e x
−
(
x−θ
)
,
θ
−
(
x−θ
)
,
θ
e x
=⎨
⎩
0 , x<θ
其中，θ>0是未知参数，
( , , )
X X为取自X的样本，试求θ的矩估计量和最大似然估
1 n
计量。
