广东省六校2014届高三第一次联考数学试卷及答案(文科)
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第 1 页（共 4 页） 第5题图 广东省六校2014届高三第一次联考试题
文 科 数 学
命题：邓军民 审校：田立新、黄晓英
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：球的体积公式是343VR,其中R是球的半径．
棱锥的体积公式：13VSh．其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集UR，集合|23Axx≤≤，2|340Bxxx，那么()UACB
A．|24xx≤ B．|34xxx或≤≥ C．|21xx≤ D．|13xx≤≤
2．函数)22sin(2xy是
A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为2的偶函数 D．最小正周期为2的奇函数
3．已知命题p：1x，210x，那么p是
A．1x，210x B．1x，210x
C．1x，210x D．1x，210x
4．已知i是虚数单位，则复数3(12)zii的虚部为
A．2 B．2 C．1 D．1
5．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
A．4 B．133 C．143 D．5
6．设变量xy，满足约束条件：222yxxyx≥≤≥，则32zxy的
最小值为
A．2 B．4 C．6 D．8
第 2 页（共 4 页） 第9题图
BODAC第15题图 7．已知数列{}na的前n项和22nSnn，则218aa=
A．36 B．35 C．34 D．33
8．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若222abbc，sin3sinCB，则A
A．6
B．3
C．23 D．56
9．若右边的程序框图输出的S是126，则条件①可为
A．5n B．6n C．7n
D．8n
10．椭圆2243xy＝1的左右焦点分别为1F、2F，点P是椭圆上任意一点，
则12PFPF的取值范围是
A．(0,4] B．(0,3] C．[3,4) D．[3,4]
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只需选做其中一题，两题全答的，只以第一小题计分．）
11．设平面向量3,5,2,1ab，则2ab ．
12．若直线l与幂函数nyx的图象相切于点A(2,8)，则直线l的方程为 ．
13．已知函数cos(0)()(1)1(0)xxfxfxx≤，则44()()33ff ．
★（请考生在以下二个小题中任选一题作答，全答的以第一小题计分）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，设曲线1:2sinC与2:2cosC的交点分别为AB、，则线段AB的垂直平分线的极坐标方程为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O外一点A引圆
的切线AD和割线ABC，已知23AD，6AC，
圆O的半径为3，则圆心O到直线AC的距离为 ．
第 3 页（共 4 页） B D C
A A1 B1 C1 D1
第18题图 三、解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）
16．（本小题满分12分）
已知平面直角坐标系上的三点(0 1)A，，(2 0)B，，(cos sin)C，（(0,)），O为坐标原点，向量BA与向量OC共线．
（1）求tan的值；
（2）求sin24的值．
17．（本小题满分12分）
某小组共有ABCDE、、、、五位同学，他们的身高（单位:米）以及体重指标（单位:千克/米2）如下表所示：
A B C D E
身高 1．69 1．73 1．75 1．79 1．82
体重指标 19．2 25．1 18．5 23．3 20．9
（1）从该小组身高低于1．80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1．78以下的概率；
（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率．
18．（本小题满分14分）
如右图,在底面为平行四边形的四棱柱1111ABCDABCD中,1DD底面ABCD,1AD,2CD,60DCB．
（1）求证:平面11ABCD平面11BDDB；
（2）若1DDBD,求四棱锥11DABCD的体积．
第 4 页（共 4 页） 19．（本小题满分14分）
设}{na是各项都为正数的等比数列, nb是等差数列，且111ab，3513ab，5321ab．
（1）求数列}{na,nb的通项公式；
（2）设数列}{na的前n项和为nS，求数列{}nnSb的前n项和nT．
20． (本小题满分14分)
已知抛物线21:8Cyx与双曲线22222:1(0,0)xyCabab有公共焦点2F，点A是曲线12,CC在第一象限的交点，且25AF．
（1）求双曲线2C的方程；
（2）以双曲线2C的另一焦点1F为圆心的圆M与直线3yx相切，圆N：22(2)1xy．过点(1,3)P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线1l和2l，设1l被圆M截得的弦长为s，2l被圆N截得的弦长为t，问：st是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知,Pxy为函数1lnyx图象上一点，O为坐标原点，记直线OP的斜率kfx．
（1）若函数fx在区间1,3mm0m上存在极值，求实数m的取值范围；
（2）当 1x时，不等式1tfxx恒成立，求实数t的取值范围；
（3）求证：*1ln[(1)]2niiinnN．
第 1 页（共 5 页） 广东省六校2014届高三第一次联考文科数学参考答案
一．选择题（10小题，每小题5分，共50分）
二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分）
11．52 12．12160xy 13．1
14．2sin()42（与其等价的极坐标方程皆可） 15．5
三．解答题（本部分共计6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
解：（1）法1：由题意得：(2,1)BA，(cos,sin)OC， …………………2分
∵//BAOC，∴2sincos0，∴1tan2． …………………5分
法2：由题意得：(2,1)BA，(cos,sin)OC， …………………2分
∵//BAOC，∴BAOC，∴2cos1sin，∴1tan2．…………………5分
（2）∵1tan02，[0,)，∴(0,)2，…………………6分
由22sin1cos2sincos1，解得5sin5，25cos5， …………………8分
∴5254sin22sincos2555；…………………9分
22413cos2cossin555；…………………10分
∴42322sin(2)sin2coscos2sin444525210． …………………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）从身高低于1．80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D B C C B B D
第 2 页（共 5 页） 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．…………………………4分
选到的2人身高都在1．78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．
因此选到的2人身高都在1．78以下的概率为13162P．…………………………6分
（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，
(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．
由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．…………………………10分
选到的2人身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的事件有：
(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．
因此选到的2人的身高都在1．70以上且体重指标都在[18．5，23．9)中的概率为2310P．………12分
18．(本题满分14分)
解：（1）证明： 在ABD中,由余弦定理得：222cos3BDADABADABDCB，
所以222ADBDAB,所以90ADB,即ADBD，……………………………………3分
又四边形ABCD为平行四边形,所以BCBD，
又1DD底面ABCD,BC底面ABCD,所以1DDBC，……………………………………4分
又1DDBDD,所以BC平面11BDDB, ……………………………………5分
又BC平面11ABCD,所以平面11ABCD平面11BDDB．……………………………………6分
（2）法一：连结1BD，∵13DDBD，∴16BD
∵BC平面11BDDB，所以1BCBD，……………………………8分
所以四边形11ABCD的面积1111262ABCDSBCBD，…………10分
取1BD的中点M，连结DM，则1DMBD，且62DM，
又平面11ABCD平面1BDD,平面11ABCD平面1BDD1BD，
所以DM平面11ABCD，……………………………………13分
所以四棱锥11DABCD的体积：
11113ABCDVSDM． ……………………………………14分
法二: 四棱锥11DABCD的体积111DABDDBCDVVV，……………8分
