常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计

２００７年６月农业机械学报第３８卷第６期

常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计刘永平吴序堂李鹤岐 【摘要］根据非圆齿轮的啮合原理，针对椭圆、偏心圆和巴斯噶蜗线等几种常见的凸封闭节曲线及其共扼的非圆齿轮，推导了节曲线的计算公式，并可利用计算机进行精确求解和某些特性参数的修正计算。对三类齿轮副的传动性能和设计制造方面的优缺点进行了对比分析，为其后续设计和制造提供依据。关键词：非圆齿轮椭圆偏心圆中图分类号：ＴＨ１３２・４２４巴斯噶蜗线节曲线

文献标识码：Ａ

ＳｔｕｄｙｏｎＳｏｍｅＣｏｍｍｏｎＣｌｏｓｅＣｏｎｖｅｘＰｉｔｃｈＣｕｒｖｅｓｏｆＮｏｌｌＣｉｒＣｕｌａｒＧｅａｒＰａｉｒ

Ｌｉｕｙｏｎｇｐｉｎｇ１ＷｕＸｕｔａｎｇＺＬＩＨｅｑｉｌ（１．ＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔ夕ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏ舒２．Ｘｉ，ａｎｊｉａｏｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ）

ＡｂｓｔｒａＣｔＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｍｅｓｈｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｎｏｎｃｉｒｃｕ１ａｒｇｅａｒｓ，ｔｈｅｔｈｅｏｒｅｔｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓｏｆｐｉｔｃｈｃｕｒｖｅａｓｉｔａｎｄｉｔｓｃｏｎｊｕｇａｔｅｄｇｅａｒｓｏｆｓｏｍｅｃｏｍｍｏｎｃｌｏｓｅｃｏｎｖｅｘＰｉｔｃｈｃｕｒｖｅｓ，ｓｕｃｈｃｉｒｃｌｅａｎｄＰａｓｃａｌｃｕｒｖｅｗｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．ＴｈｅａｄｖａｎｔａｇｅｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｔｈａｔｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｃｏｍＰｕｔｅｒ，ａｎｄｔｈｅａｍｅｎｄｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｏｆｓｏｍｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｅｌｌｉＰｓｅ，ｅｃｃｅｎｔｒｉｃ

ｃａｎｂｅａｃｃｕｒａｔｅｌｙＰａｒａｍｅｔｅｒｓＯｆｌ

ＰａｌｒＳＣａｌｌｔｆａｌｌＳｌｌｌｌＳＳ１０ｌｌ

ｇａｉｎｅｄ，ａｎｄｆｏｒｄｉｆｆｅｒｅｎｔｄｅｓｉｇｎ

ｃａｐａｂｉｌｉｔｙａｎｄｄｅｓｉｇｎｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｒｅｑｕｌｒｅｍｅｎｔ

ｏｆｎｏｎｃｉｒｃｕｌａｒＣａｌｌ

ｂｅｓｅｔｔｌｅｄ．ｇｅａｒ ｔｈｅｂｅ

ｇｅａｆＰａｌｒｓｗｅｒｅＩｎａｄｄｉｔｉｏｎ，

ａｎａｌｙｚｅｄ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ

引言Ｎｏｎｃｉｒｃｕｌａｒｇｅａｒ，Ｅｌｌｉｐｓｅ，Ｅｃｃｅｎｔｒｉｃｃｉｒｃｌｅ，Ｐａｓｃａｌｃｕｒｖｅ，Ｐｉｔｃｈｃｕｒｖｅ

非圆齿轮是用来传递两轴间非匀速运动的，和其他非匀速比传动机构（如凸轮、连杆等）相比，具有传动平稳、结构紧凑、运动精度高等优点［ｌｊ。非圆齿轮的传动过程，实质上是两节曲线的相切纯滚动过程。当采用齿条形刀具加工非圆齿轮时，必须保证节曲线是全凸的〔２一３〕。用于传递回转运动的非圆齿轮副，其节曲线必须是封闭曲线。常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副主要有椭圆齿轮副、偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮副、巴斯噶蜗线及其共扼的非圆齿轮副。对于椭圆齿轮，现有的文献研究已很全面；对于偏心圆齿轮，文献［１，４一５］中也有涉及；巴斯噶蜗线最早是由前苏联学者提出，把该曲线用于非圆齿轮及非匀速比传动，至今还未见有相关研究文献。采用计算机辅助设计方法，对这几种凸节曲线非圆齿轮的节曲线设计及其传动性能做些探讨，旨在为其后续设计和制造提供理论基础和优选依据。１椭圆齿轮及其共扼的非圆齿轮 椭圆齿轮是最常见的节曲线封闭的非圆齿轮，其回转中心在椭圆的一个焦点处。当它们的节曲线方程满足一定的条件时，则可保证节曲线是全凸的。有关椭圆齿轮及其共扼的非圆齿轮的节曲线方程计算，文献［１」中已有详细推导过程。１．１外啮合传动 当主动轮１的节曲线为椭圆时，与之外啮合的从动轮２的节曲线可以是椭圆、也可以是高阶椭圆（ｎＺ）２），并且随着偏心率的不同，可得到不同的传动比变化曲线。由于椭圆齿轮的节曲线是封闭的，因

收稿日期：２００６一０２一１５刘永平兰州理工大学机电工程学院博士生吴序堂西安交通大学机械工程学院教授李鹤岐兰州理工大学机电工程学院教授，７３００５０兰州市博士生导师，７１ｏ０４９西安市博士生导师农业机械学报２００７年

‘Ｕ

Ａ琦

７一

Ｎ一药１霭半

此这种齿轮设计时应保证轮齿数为整数并在节曲线上均匀分布。一般来说，设一计时随意确定的节曲线参数，弧长计算结果很少能恰好满足此条件，因此必须通过改变节曲线的某些参数做适当的修正。对椭圆类齿轮，一般有２种修正方法川：一是保持椭圆的偏心率ｋ不变，而修正长轴半径Ａ；另一种方法是保持齿轮副的中心距ａ不变，而修正偏心率ｋ。 当主动轮的齿数２１＝３０、模数ｍ＝３，从动轮的阶数ｎＺ＝１时，分别取偏心率无，为０．３、０．５、０．７计算并绘制节曲线和传动比曲线１１２一仍，如图１所示。可以看出，随着偏心率的增大，椭圆齿轮副的传动比的变化范围明显增大。还可以用于偏心齿轮泵中。有关偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮的节曲线方程计算，文献［４一６］中从不同侧面进行了论述。２．１外啮合传动 若主动轮１的节曲线是一偏心圆，相对于其回转中心来说，是一个阶数ｎｌ＝１的非圆齿轮。当主动轮的齿数２，＝３０、模数ｍ＝３，从动轮的阶数ｎ：＝１时，分别取偏心圆的偏心率ｋｌ为０．３、０．５、０．７计算并绘制节曲线和传动比曲线八２一外，如图３所示。从图中可以看出，随着偏心率的增大，偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮副的传动比的变化范围明显增大。

ｋｌ＝０．７ ，一、一ｋｌ二住７／’＼一ｋｌ＝０５

、厂－ｋｌ＝。・３

一ｋ．—ｋｌ

， Ｉ ，／／

护多之

／‘、 ｝，’，・“一’、、、｝

＝住５

＝０３

一‘一’一、、＼

‘们

４，｝

创当山尽

半

．‘军９０１８０２７０３６０ 转角甲１／（。） （ａ）

９０１８０２７０胜 ３６（１转角沪．／（。）

（ａ）

图３外啮合偏心圆传动副图１外啮合椭圆传动副Ｆｉｇ．３Ｅｘｔｅｒｎａｌｅｃｃｅｎｔｒｉｃｃｉｒｃｌｅｇｅａｒｐａｉｒｓ

Ｆｉｇ．ＩＥｘｔｅｒｎａｌｅｌｌｉｐｓｅｇｅａｒ

（ａ）外传动椭圆的１１２一仰曲线（ｂ）走１＝０．ＰａｌｒＳ

５的椭圆齿轮副（ａ）外传动偏心圆的１１２一勿曲线（ｂ）ｋ、＝。．５的偏心圆齿轮副

日・到盛尽掌

１．２内啮合传动 当从动轮为内齿轮时，两椭圆齿轮形成内啮合传动，此时主、从动轮的阶数是不相等的，若主动轮为椭圆，则从动轮为高阶椭圆（ｎ２》２）。同理，根据节曲线的封闭性和轮齿在节曲线上的均布性，对内啮合传动的椭圆类齿轮，也有２种修正方法。 为便于对比起见，取外啮合椭圆齿轮传动副相同的参数，计算并绘制节曲线和传动比曲线八２一仍，如图２所示。和图１外啮合传动相比，内啮合传动更趋平稳。

２．２内啮合传动 当从动轮为内齿轮时，偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮形成内啮合传动。当主动轮１为偏心圆齿轮时，若从动轮２的阶数为ｎ：，同样取与外啮合偏心圆齿轮传动副相同的参数，其节曲线和传动比曲线１１２一外如图４所示。和图３相比，内啮合传动的偏心圆齿轮副其传动比变化范围要小得多。

一汤，，一、一汤！吮一二二二全屯一毛

＝住７＝仓５二０＿３

一ｋｌ－一ｋｌ

井１－－－－－－－－－－－－－－一竺９０１８０２７０３６０

４２八Ｕ

尹声三逐一ｋｌ卜、

２７０图４内啮合偏心圆传动副

少

・尸刁‘￣门￣。』，．乙ＵｎＵ

ｎＵ

八廿

１朴呀于

一，，

Ｎ一当山得掌

０９０１８０ 转角甲１／（。 （ａ）

Ｆｉｇ．４Ｉｎｔｅｒｎａｌｅｃｃｅｎｔｒｉｃｃｉｒｃｌｅｇｅａｒｐａｉｒｓ

（ａ）内传动偏心圆的１１２一驹曲线（ｂ）ｋ，＝。．３的偏心圆齿轮副

图２内啮合椭圆传动副Ｆｉｇ．Ｚｌｎｔｅｒｎａｌｅｌｌｉｐｓｅｇｅａｒｐａｉｓ（ａ）内传动椭圆的晚一驹曲线（ｂ）ｋｌ＝。．３的椭圆齿轮副

２偏心圆齿轮及其共扼的非圆齿轮

偏心圆齿轮即圆齿轮的回转中心不在圆心上，而有一个偏心距。与其共扼的非圆齿轮的特征完全由偏心圆齿轮的大小和偏心率所决定。偏心圆齿轮副除了可以作传动副用，以传递非匀速比的运动外，

３巴斯噶蜗线齿轮及其共扼的非圆齿轮 巴斯噶蜗线的定义：在极坐标系中，半径为ｂ／２，圆心为（ｂ／２，０）的发生圆上任一点的径向方向上，与该点距离为１的点的轨迹称为巴斯噶蜗线，其数学方程为：＝ｂｃｏｓ梦＋１，式中，ｂ为发生圆的直径，１为定长。当１）Ｚｂ时，巴斯噶蜗线为凸封闭节曲线，如图５所示。第６期刘永平等：常见的凸封闭节曲线非圆齿轮副设计３．１外啮合传动 若非圆齿轮副的主动轮１的节曲线是巴斯噶蜗线，则该节曲线方程为 八＝ｂｃｏｓ外＋１（１）设与其共扼的从动轮２的阶数为ｎＺ，则齿轮２节曲线封闭的条件为增大３．２内啮合传动当内啮合传动的主动轮１的节曲线为巴斯噶蜗线且为外齿轮时，齿轮２节曲线封闭的条件为２兀ｎ＿ｒ一＝乙兀一１

刀ＺＪ丁；五是丁不ｄ仍

“丁－、以七Ｕ。哟一「‘尸

图５Ｆｉｇ．５巴斯噶蜗线

Ｐａｓｃａｌｃｕｒｖｅ

齿轮副的中心距为

而猛而ｄ叭一２７ｔ（２， （ｎＺ一１）习（１一２ｎ２）ｂＺ＋１２ｎ姜＋１（ｎＺ一１）２ａ＝２ｎ２一１

此时齿轮副的中心距为 （二２＋１）丫（２，２＋１）。２＋２２。；＋，（。２＋１）２ ａ＝２ｎ２＋１

则从动轮２的节曲线方程为 ｒＺ＝ａ一（ｂｃｏｓ叭＋１）

（３）则从动轮２的节曲线方程为 ｒ：＝ａ＋ｒｌ＝ａ＋（ｂｃｏｓ仍＋１）。一户，奥掣些共ｄ。 Ｊｏａ十Ｌ口ｃｏｓ叭一ｔ）

ｆ几ｂｃｏｓ吸十１种今１二于五万二二丁下又Ｑ哟 ＪＯ“—、理夕、Ｕ。甲１一厂‘少

内啮合齿轮副的传动比为 ａ＋（ｂｃｏｓ妈＋１）ｂｃｏｓ叭＋１

（９）（１０）（１１）（１２）

（１３）、Ｊ

Ｚ

、．产

４尸ａ了

‘

／．、

外啮合齿轮副的传动比为 ａ一（ｂｃｏｓ叭＋１）ｂｃｏｓ叭＋１（６）

主动轮的节曲线弧长为ｂＺ＋１２＋Ｚｂｌｃｏｓ叭ｄ仍（７）

根据节曲线的封闭性和轮齿在节曲线上的均布性，其弧长还必须满足条件 Ｌ＝兀ｍｚｌ（８）因此设计时可通过改变节曲线的某些参数做适当的修正。对这类非圆齿轮来说，可保持２不变，而修正ｂ；或保持ｂ不变，而修正１，二者均可通过解非线性方程求得修正值。 为便于对比，取主动轮齿数２：＝３０、模数ｍ＝３，当从动轮的ｎＺ＝１时，分别取发生圆的直径ｂ＝１０、１５、２０，计算并绘制节曲线和传动比曲线１１２一外，如图６所示。从图中可以看出，随着发生圆直径的增大，巴斯噶蜗线传动副的传动比的变化范围在逐渐

同理，在实际应用中可根据节曲线的封闭性和轮齿均布条件对１或ｂ进行适当修正。 取外啮合巴斯噶蜗线齿轮相同的参数，其节曲线和传动比曲线１１２一外如图７所示。和图６相比，内啮合传动的巴斯噶蜗线齿轮副其传动比变化范围也要小得多。

＿＿＿ｂ＝２０ ＿。＿ｂ＝１５ —ｂ二正０二三注全。＿

：

『玉

俘半

９０１８０２７０３６０ 转角甲１／（。）

（ａ）

４２

八Ｕ

图７Ｆｉｇ．７内啮合巴斯噶蜗线传动副

ＩｎｔｅｒｎａｌＰａｓｃａｌｃｕｒｖｅｇｅａｒｐａｉｒｓ（ａ）内传动巴斯噶蜗线的１１２一叭曲线（ｂ）ｂ＝１０的巴斯噶蜗线副

－一ｂ＝２０一。一ｂ＝１５２［＿＿＿一少经星巡

４三类齿轮副的对比分析 根据上述计算分析，对三类齿轮副的传动特性进行对比。表１为三类外啮合传动非圆齿轮副的最大、最小传动比；表２为三类外啮合非圆齿轮副传动比１１２＜１的转角范围。 从表１可以看出：前两类齿轮副，当主动轮的偏心率增大时，其传动比的变化范围明显增大，而且在基本参数相同的情况下，偏心圆齿轮副的传动比变化范围比椭圆齿轮副的更为显著；而巴斯噶蜗线齿轮副，当ｂ在一定范围内增大时，其传动比的变化范围也逐渐增大，但变化的幅度相对较小。