无锡市必修第一册第五单元《三角函数》检测(答案解析)

人教A 版必修1第5章三角函数：单元质量测评（练习） 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)等于( )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35答案 B解析 ∵r ＝42＋(－3)2＝5，∴cos θ＝45，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45. 2．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵－π2＜α＜0，∴tan α＜0，cos α＞0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限． 3．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )A ．3B ．6C ．18D ．36答案 C解析 根据题意，得该圆的半径为61＝6，由扇形的面积公式，得S 扇＝12×6×6＝18.故选C. 4．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A.23 B.13 C ．－23 D ．－13 答案 C解析 对sin θ＋cos θ＝43两边平方，得1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，因为0＜θ＜π4，所以sin θ－cos θ＜0，则有sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－sin 2θ＋cos 2θ－2sin θcos θ＝－1－79＝－23.故选C. 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32答案 C解析 ∵⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π， ∴3π4－α＝π－⎝⎛⎭⎫π4＋α， ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C . ①图象C 关于直线x ＝11π12对称； ②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上单调递增； ③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 以上三个论断中，正确论断的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝3sin 3π2＝－3， ∴直线x ＝11π12为对称轴，①正确； ②由－π12＜x ＜5π12⇒－π2＜2x －π3＜π2， 由于函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， 故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上单调递增，②正确； ③f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，而由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错误．7．函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π12的值域是( ) A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[－23，2]D ．[－3，1]答案 C解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π12，∴x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴y ＝2tan ⎝⎛⎭⎫x －π6∈[－23，2]，故选C. 8．若函数g (x )＝a sin x cos x (a >0)的最大值为12，则函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝0 B ．x ＝－3π4C ．x ＝－π4D ．x ＝－5π4答案 B解析 g (x )＝a 2sin2x (a >0)的最大值为12，所以a ＝1，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，令x ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z 得x ＝π4＋k π，k ∈Z .故选B. 9．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．－2D ．2 答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2，∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. 10．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫－π6≤x ≤π6的最大值与最小值之和为( ) A.32 B ．2 C ．0 D.34答案 A解析 f (x )＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －122＋54， ∵－π6≤x ≤π6，∴－12≤sin x ≤12. 当sin x ＝－12时，f (x )min ＝14； 当sin x ＝12时，f (x )max ＝54， ∴f (x )min ＋f (x )max ＝14＋54＝32. 11．已知tan θ和tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，那么a ，b 间的关系是( )A ．a ＋b ＋1＝0B ．a ＋b －1＝0C ．a －b ＋1＝0D ．a －b －1＝0答案 C解析 由已知条件，得tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－a ，tan θtan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝b .∴tan π4＝1＝tan ⎣⎡⎦⎤θ＋⎝⎛⎭⎫π4－θ＝tan θ＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ1－tan θtan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝－a 1－b .∴－a ＝1－b 即a －b ＋1＝0. 12．使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)为奇函数，且在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减的φ的一个值为( ) A.π3 B.5π3 C.2π3 D.4π3答案 C解析 f (x )＝sin(2x ＋φ)＋3cos(2x ＋φ)＝2⎣⎡⎦⎤12sin (2x ＋φ)＋32cos (2x ＋φ) ＝2⎣⎡⎦⎤sin (2x ＋φ)cos π3＋cos (2x ＋φ)sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3为奇函数， 所以φ＋π3＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π3(k ∈Z )，排除A ，D.当φ＝5π3时，y ＝2sin(2x ＋2π)＝2sin2x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递增，故B 错误．当φ＝2π3时，y ＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减，故C 正确．选C. 第Ⅰ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． 答案 －1＋32解析 因为π2＜α＜π，所以cos α＜0，sin α＞0， 所以cos α＝－cos 2α＝－cos 2αcos 2α＋sin 2α ＝－11＋tan 2α＝－11＋3＝－12. sin α＝32，所以cos α－sin α＝－1＋32.14．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35，则sin 2α2＋sin4αcos2α1＋cos4α的值为________． 答案 －350解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45. ∴sin 2α2＋sin4αcos2α1＋cos4α＝1－cos α2＋2sin2αcos 22α2cos 22α ＝1－cos α2＋2sin αcos α＝－350. 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧22－x ，x ≥2，sin πx 4，－2≤x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)解析 在同一坐标系中作出f (x )与y ＝k 的图象：观察图象知0<k <1.16．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，有下列说法： ①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝ 2 c os2x 的图象向左平移π24个单位长度后，将与已知函数的图象重合．其中正确的序号是________．(注：把你认为正确的说法的序号都填上)答案 ①②③解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－π2＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π12. ∴f (x )max ＝2，T ＝2π2＝π. x ∈⎝⎛⎭⎫π24，13π24时，2x ＋5π12∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，函数单调递减． y ＝2cos2x 向左平移π24个单位长度后得到 y ＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－2x －π12＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫－2x －π12 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π12与已知图象不重合．故①②③正确． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6以及tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． 解 因为cos θ＝1213，θ∈(π，2π)， 所以sin θ＝－513，tan θ＝－512， 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－513×32－1213×12＝－53＋1226， tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tan π41－tan θtan π4＝－512＋11－⎝⎛⎭⎫－512×1＝717. 18．(本小题满分12分)已知tan α＝－34. (1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin (4π－α)cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos (π－α)sin (3π－α)sin (－π－α)sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α 的值．解 (1)2＋sin αcos α－cos 2α＝2(sin 2α＋cos 2α)＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝⎛⎭⎫－342＋⎝⎛⎭⎫－34＋1⎝⎛⎭⎫－342＋1＝98－34＋11＋916＝2225. (2)原式＝(－sin α)(－cos α)(－sin α)cos ⎣⎡⎦⎤7π＋⎝⎛⎭⎫π2－α(－cos α)sin αsin αsin ⎣⎡⎦⎤6π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α＝－sin αcos α＝－tan α＝34. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos 2x 2－sin x 2·cos x 2－12. (1)求函数f (x )的最小正周期和值域；(2)若f (α)＝3210，求sin2α的值． 解 (1)f (x )＝cos 2x 2－sin x 2cos x 2－12＝12(1＋cos x )－12sin x －12＝22cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 所以f (x )的最小正周期为2π，值域为⎣⎡⎦⎤－22，22. (2)由(1)知f (α)＝22cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35. 所以sin2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1－1825＝725. 20．(本小题满分12分)某实验室一天的温度(单位：Ⅰ)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 Ⅰ，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 Ⅰ，最低温度为8 Ⅰ，最大温差为4 Ⅰ.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18. 在10时至18时实验室需要降温．21. (本小题满分12分)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω＞0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)把(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32.∵0≤θ≤π2，∴θ＝π6. ∵T ＝π，且ω＞0，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)∵点A ⎝⎛⎭⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫2x 0－π2，3. ∵点P 在y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象上， 且π2≤x 0≤π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6， ∴4x 0－5π6＝11π6或4x 0－5π6＝13π6， ∴x 0＝2π3或x 0＝3π4. 22．(本小题满分12分)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2＝23sin 2x －(1－2sin x cos x )＝3(1－cos2x )＋sin2x －1＝sin2x －3cos2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得 k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12 (k ∈Z )⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.。

全国通用2023高中数学必修一第五章三角函数题型总结及解题方法单选题1、已知函数f (x )=sin (2x +π3)，为了得到函数g (x )=cos (2x +π3)的图象只需将y =f (x )的图象（ ） A ．向左平移π4个单位B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位 答案：A分析：利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解. 解：因为sin (2x +π3+π2)=cos (2x +π3) 所以sin(2x +π3)→sin(2x +π2+π3)，只需将f (x )的图象向左平移π4个单位， 故选：A.2、已知α，β为锐角，sinα=45，cos(α+β)=−√22，则cosβ=（ ）A ．3√210B ．√210C ．7√210D ．9√210答案：B分析：利用同角三角函数基本关系式，求出cosα,sin(α+β)，再利用角变换β=α+β−α，利用两角差的余弦公式求得答案．由α是锐角，sinα=45，则cosα=√1−sin 2α=35，又α，β是锐角，得α+β∈(0,π)， 又cos (α+β)=−√22，则sin(α+β)=√22， 则cosβ=cos[(α+β)−α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =−√22×35+√22×45=−3√2+4√210= √210.故选：B ．3、中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是书画家唐寅（1470—1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇而的面积为（ ）A ．704cm 2B ．352cm 2C ．1408cm 2D ．320cm 2 答案：A解析：设∠AOB =θ，OA =OB =r ，由题意可得：{24=rθ64=(r +16)θ ，解得r ，进而根据扇形的面积公式即可求解．如图，设∠AOB =θ，OA =OB =r ， 由弧长公式可得：{24=rθ64=(r +16)θ ， 解得：r =485，所以，S 扇面=S 扇形OCD −S 扇形OAB =12×64×(485+16)−12×24×485=704cm 2．故选：A ．4、已知sin (π+α)=35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=（ ）A ．−45B ．45C ．−35D ．35答案：C解析：由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. ∵sin(π+α)=35=−sinα，∴sinα=−35，则sin(−α)cos(π−α)sin(π2−α)=−sinα⋅(−cosα)cosα=sinα=−35，故选：C5、已知tanθ=2，则sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)=（ ）A ．2B ．-2C ．0D ．23答案：B分析：根据tanθ=2，利用诱导公式和商数关系求解. 因为tanθ=2， 所以sin(π2+θ)−cos(π−θ)cosθ−sin(π−θ)，=2cosθcosθ−sinθ， =21−tanθ=−2，故选：B6、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +r sin∠BPO=5，所以r +r sin1=5，所以r =5sin11+sin1， 故选：C.7、若f (x )=cos (x −π3)在区间[−a,a ]上单调递增，则实数a 的最大值为（ ）A ．π3B ．π2C ．2π3D ．π 答案：A分析：先求出函数的增区间，进而建立不等式组解得答案即可.易知将函数y =cosx 的图象向右平移π3得到函数f (x )=cos (x −π3)的图象，则函数f (x )=cos (x −π3)的增区间为[−23π+2kπ,π3+2kπ](k ∈Z )，而函数又在[−a,a ]上单调递增，所以{−a ≥−23πa ≤π3 ⇒a ≤π3，于是0<a ≤π3，即a的最大值为π3.故选：A.8、若tanθ=2，则sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=（ ）A ．25B ．−25C ．65D ．−65 答案：A分析：由二倍角正弦公式和同角关系将sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ转化为含tanθ的表达式，由此可得其值. sinθ(1−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ−sin2θ)sinθ−cosθ=sinθ(sinθ−cosθ)2sinθ−cosθ=sin 2θ−sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ−tanθtan 2θ+1=25．故选：A.9、小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB ，AC 和优弧BC 围成，其中BC 连线竖直，AB ，AC 与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为74，则cos∠BAC =（ ）．A ．1725B ．4√37C ．45D ．57答案：A分析：设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如图，进而可得“水滴”的水平宽度为|OA |+R，竖直高度为2R ，根据题意求得OA =52R ，由切线的性质和正弦函数的定义可得sin∠BAO =25，结合圆的对称性和二倍角的余弦公式即可得出结果.设优弧BC 的圆心为O ，半径为R ，连接OA ，OB ，OC ，如下图所示易知“水滴”的水平宽度为|OA |+R ，竖直高度为2R ，则由题意知OA+R 2R=74，解得OA =52R ，AB 与圆弧相切于点B ，则OB ⊥AB ，∴在Rt △ABO 中，sin∠BAO =OB OA=R 52R=25，由对称性可知，∠BAO =∠CAO ，则∠BAC =2∠BAO ，∴cos∠BAC =1−2sin 2∠BAO =1−2×(25)2=1725， 故选：A ．10、若角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，则cosα=( ) A ．−1B ．−√22C ．√22D ．1 答案：C分析：根据任意角三角函数的定义即可求解.∵角α的终边上一点的坐标为(1，−1)，它与原点的距离r =√12+(−1)2=√2， ∴cosα=xr =√2=√22， 故选：C. 填空题11、已知cos (π6+α)=√33，则cos (5π6−α)=________.答案：−√33分析：本题可根据诱导公式得出结果.cos (5π6−α)=cos [π−(π6+α)]=−cos (π6+α)=−√33， 所以答案是：−√3312、若函数f(x)=sin(x +φ)+cosx 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________． 答案：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）分析：根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得f(x)=√cos 2φ+(sinφ+1)2sin(x +θ)，可得√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，即可解出.因为f(x)=cosφsinx +(sinφ+1)cosx =√cos 2φ+(sinφ+1)2sin(x +θ)， 所以√cos 2φ+(sinφ+1)2=2，解得sinφ=1，故可取φ=π2.所以答案是：π2（2kπ+π2,k ∈Z 均可）.小提示：本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.13、函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)的图象，则下列函数g(x)的结论：①一条对称轴方程为x=7π6；②点(5π6,0)是对称中心；③在区间(0,π3)上为单调增函数；④函数g(x)在区间[π2,π]上的最小值为−12.其中所有正确的结论为______.（写出正确结论的序号）答案：②③④解析：先求得g(x)，然后利用代入法判断①②，根据单调区间和最值的求法判断③④.函数f(x)=sinx的图象向左平移π6个单位得到函数g(x)=sin(x+π6)，g(7π6)=sin(7π6+π6)=sin4π3=sin(π+π3)=−sinπ3=−√32≠±1，所以①错误.g(5π6)=sin(5π6+π6)=sinπ=0，所以②正确.由2kπ−π2≤x+π6≤2kπ+π2，解得2kπ−2π3≤x≤2kπ+π3，k∈Z.令k=0得−2π3≤x≤π3，所以g(x)在区间(0,π3)上为单调增函数，即③正确.由π2≤x≤π得2π3≤x+π6≤7π6，所以当x=π,x+π6=7π6时，g(x)有最小值为sin7π6=sin(π+π6)=−sinπ6=−12，所以④正确.所以答案是：②③④小提示：解决有关三角函数对称轴、对称中心的问题，可以考虑代入验证法.考查三角函数单调区间的问题，可以考虑整体代入法.解答题14、已知函数f(x)=2cos2ωx−1+2√3sinωxcosωx(0<ω<1)，直线x=π3是函数f(x)的图象的一条对称轴. （1）求函数f(x)的单调递增区间;（2）已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g(2α+π3)=65,α∈(0,π2),求sinα的值.答案：（1）[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k∈Z；（2）4√3−310解析：（1）首先化简函数f(x)=2sin(2ωx+π6)，再根据x=π3是函数的一条对称轴，代入求ω，再求函数的单调递增区间；（2）先根据函数图象变换得到g(x)=2cos12x，并代入g(2α+π3)=65后，得cos(α+π6)=35，再利用角的变换求sinα的值.（1）f(x)=cos2ωx+√3sin2ωx=2sin(2ωx+π6)，当x =π3时，ω×2π3+π6=π2+kπ,k ∈Z ，得ω=12+3k 2,k ∈Z ，∵0<ω<1，∴ω=12，即f (x )=2sin (x +π6)，令−π2+2kπ≤x +π6≤π2+2kπ， 解得：−2π3+2kπ≤x ≤π3+2kπ，k ∈Z ，函数的单调递增区间是[−2π3+2kπ,π3+2kπ],k ∈Z ；（2）g (x )=2sin [12(x +2π3)+π6]=2cos 12x ， g (2α+π3)=2cos (α+π6)=65，得cos (α+π6)=35， ∵α∈(0,π2)，α+π6∈(π6,2π3)，sin (α+π6)=√1−cos 2(α+π6)=45， sinα=sin [(α+π6)−π6]=sin (α+π6)cos π6−cos (α+π6)sin π6=45×√32−35×12=4√3−310小提示：方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及y =Asin (ωx +φ)的性质，属于中档题型，y =Asin (x +φ)的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是y =Asin (ωx +φ)，若y =Asinωx 向右（或左）平移φ（φ>0）个单位，得到函数的解析式是y =Asin [ω(x −φ)]或y =Asin [ω(x +φ)].15、已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M .(1)求sinα−2cosα的值；(2)求sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)的值. 答案：(1)−2 (2)5221分析：（1）易知函数f (x )=−3−a x−3的定点M 的坐标为(3,−4)，利用三角函数的定义则可求出sinα=−45，cosα=35则可求出答案；（2）利用诱导公式化简，再将sinα=−45，cosα=35，tanα=−43代入，即可得出答案. （1）∵函数f (x )=−3−a x−3（a >0且a ≠1）的定点M 的坐标为(3,−4)， ∴角α的终边经过点M (3,−4)，∴OM =√32+(−4)2=5（O 为坐标原点）， 根据三角函数的定义可知sinα=−45，cosα=35，∴sinα−2cosα=−45−2×35=−2. （2）sin (π+α)+cos(π2+α)cos (2π+α)+sin (−α)−tan (5π+α)=−sinα−sinαcosα−sinα−tanα=−2sinαcosα−sinα−(−43) =−2×(−45)35−(−45)+43=87+43=5221.。

一、选择题1．已知()3sin 5πα+=，则sin()cos()sin 2απαπα--=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．45 C ．35 D ．352．若角α的终边过点(3,4)P -，则cos2=α（ ）A ．2425-B ．725C ．2425D ．725-3．7sin 6π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A． B．2C ．12-D ．124．计算cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒的结果是（ ）. A． B ．12-CD ．125．函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π6．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．18,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．要得到函数224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ）A ．先向右平移8π个单位长度，再向下平移2个单位长度 B ．先向左平移8π个单位长度，再向上平移2个单位长度C ．先向右平移4π个单位长度，再向下平移2个单位长度D ．先向左平移4π个单位长度，再向上平移2个单位长度8．已知函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=>⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，则A 等于（ ）． A ．1B ．2C ．2.5D ．49．sin34sin64cos34sin 206︒︒-︒︒的值为（ ） A ．12B ．22C ．3 D ．110．已知3πin 325s α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0απ<<，则tan α=（ ） A ．43-B ．34-C ．34D ．4311．已知函数()()()cos >0,0<<f x x ωθωθπ=+的最小正周期为π，且()()0f x f x -+=，若tan 2α=，则()f α等于（ ）A ．45-B ．45 C ．35D ．3512．函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到g()sin 34x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向左平移π2个单位长度 二、填空题13．已知锐角α满足1cos()35πα+=，则sin α=______． 14．已知()tan 3πα+=，则2tan 2sin αα-的值为_______.15．若()5sin 4513α︒+=，则()sin 225α︒+=________． 16．已知α是第一象限角，且4tan 3α=，则sin 2α=_______17．将函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后所得函数图像关于原点中心对称，则sin 2ϕ=_________．18．若3sin 5αα=，是第二象限角，则sin 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．19．已知0sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，tan α=__________. 20．某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论： （1）函数()f x 在[]π,0-上单调递增，在[]0,π上单调递减； （2）存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立；（3）点π,02⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图像的一个对称中心；（4）函数()y f x =图像关于直线πx =对称； 其中正确的是______（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案三、解答题21．已知()sin (sin )f x x x x =，ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若3()2f A =，2a =，求ABC ∆周长的最大值 22．函数[)()()sin()0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈的图象如图所示：（1）求()f x 的解析式； （2）若[]0,x π∈且6()2f x ≥，求x 的取值范围. 23．已知()()cos 0f x x ωω=>（1）若f (x )的周期是π，求ω，并求此时()12f x =的解集； （2）若()()()21,32g x fx x f x πω⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()g x 的值域. 24．已知函数()sin (sin 3)1f x x x x =+-. （1）若(0,)2πα∈，且1sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间. 25．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期． 26．已知函数()4cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π． （1）求函数()f x 在区间(0,)π上的单调递增区间； （2）求()f x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果. 【详解】 ∵3sin()sin 5παα+==-，∴3sin 5α=-， 则sin()cos()sin (cos )3sin cos 5sin 2απααααπαα---⋅-===-⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故选：C2．D解析：D 【分析】先利用任意角三角函数的定义求sin α和cos α，再利用二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】由角α的终边过点(3,4)P -知，4sin 5α，3cos 5α=-，故229167cos 2cos sin 252525ααα=-=-=-. 故选：D.3．D解析：D 【分析】直接利用诱导公式求解. 【详解】771sin sin sin sin 66662πππππ⎛⎫⎛⎫-=-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：D4．C解析：C 【分析】 直接化简求值即可. 【详解】解： cos21cos9sin 21sin9︒︒-︒︒()cos 219=︒+︒cos30=︒= 故选：C.5．B解析：B 【分析】按照三角函数的周期公式求最小正周期即可. 【详解】解：函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22T ππ==. 故选：B.6．B解析：B 【分析】由正弦函数的性质可得121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间列不等式组求ω解集即可. 【详解】由函数解析式知：()f x 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，()f x 单调递增， 又∵()f x 在区间2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴12(2)3412(2)33k k πππωπππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得8831320k k k Z ωωω⎧≤-⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪∈⎩，所以当0k =时，有102ω<≤，故选：B 【点睛】关键点点睛：利用整体代入法得到121(2)(2),33k x k k Z ππππωω-≤≤+∈，结合已知单调区间与所得区间的关系求参数范围.7．B解析：B 【分析】根据三角函数图像平移规则，进行平移即可 【详解】解：由函数222248y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以先向左平移8π个单位长度，得2())84y x x ππ=+=+的图像，再向上平移2个单位长度，得224y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图像，故选：B8．B解析：B 【分析】根据正弦型函数图象性质确定函数()f x 的最小正周期T ，再根据最高点与最低点的距离是55=，从而解得A 的值. 【详解】解：函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+的最小正周期2263T πππω=== 函数()()ππ36sin 0f x A x A ⎛⎫=> ⎪⎝⎭+在它的一个最小正周期内的图像上，最高点与最低点的距离是5，5=，解得2A =.故选：B. 【点睛】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为()sin y A ωx φ=+或()cos y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2T ωπ=，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x ω=的形式．9．C解析：C 【分析】利用诱导公式化简整理，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】()sin34sin64cos34sin 206sin34cos26cos34sin 26sin 3426sin60︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒=故选：C ．10．A解析：A 【分析】根据诱导公式，可得cos α的值，根据同角三角函数的关系，结合α的范围，可求得sin α的值，即可求得答案. 【详解】因为3πin 325s α⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以3cos 5α=-，所以4sin 5α===±， 又0πα<<，所以α为第二象限角，所以4sin 5α 所以sin tan s 43co ααα==-． 故选：A ．11．A解析：A 【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，进而求出()f α 【详解】 由2ππω=，得2ω=，又()()0f x f x -+=，()()()cos cos 2f x x x ωθθ=+=+为奇函数，()2k k Z πθπ∴=+∈，，又0θπ<<，得2πθ=，()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫∴=+=- ⎪⎝⎭，又由tan 2α=，可得()2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15f αααααααα-=-==-=-++故选：A 【点睛】关键点睛：解题关键在于通过三角函数性质得到()cos 2sin 22f x x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，难度属于基础题12．A解析：A 【分析】首先根据函数()f x 的图象得到()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数的平移变换即可得到答案. 【详解】 由题知：541246T πππ=-=，所以223T ππω==，解得3ω=. 3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以324k πϕππ+=+，k Z ∈，解得24k ϕπ=+π，k Z ∈. 又因为2πϕ<，所以4πϕ=，()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 因为4436πππ--=-，所以只需将()f x 的图象向右平移π6个单位长度.故选：A 二、填空题13．【分析】利用余弦的两角和公式展开结合代入计算即可【详解】解得根据代入计算解得故答案为：【分析】利用余弦的两角和公式展开，结合22sin cos 1αα+=，代入计算即可． 【详解】1cos cos 2513πααα⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭，解得2cos 5αα=+，根据22sin cos 1αα+=，代入计算，解得sin α=故答案为：10. 14．【分析】利用诱导公式求出再利用二倍角公式求出以及同角三角函数的基本关系求出即可得解；【详解】解：由题意所以所以所以故答案为：解析：3320-【分析】利用诱导公式求出tan α，再利用二倍角公式求出tan2α，以及同角三角函数的基本关系求出2sin α，即可得解； 【详解】解：由题意()tan 3πα+=，所以tan 3α=，所以22tan 3tan 21tan 4ααα==--，222222sin tan 9sin sin cos tan 110αααααα===++，所以23933tan 2sin 41020αα-=--=-. 故答案为：3320-15．【分析】直接利用诱导公式计算可得；【详解】解：因为故答案为： 解析：513-【分析】直接利用诱导公式计算可得； 【详解】解：因为()5sin 4513α︒+=，()()()5sin 225sin 45180sin 4513ααα︒+=︒++︒=-︒+=-⎡⎤⎣⎦ 故答案为：513-16．【分析】根据同角三角函数的关系解出根据二倍角公式即可求出【详解】是第一象限角且则解得故答案为： 解析：2425【分析】根据同角三角函数的关系解出43sin ,cos 55αα==，根据二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】α是第一象限角，且4tan 3α=， 则22sin 4cos 3sin cos 1αααα⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得43sin ,cos 55αα==，∴24sin 22sin cos 25ααα==. 故答案为：2425. 17．【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为再根据其图象关于原点中心对称得进而计算得【详解】解：根据题意得函数的图像向左平移个单位后得到的函数解析式为：由函数图象关于原点中心对称故即所以故答案为：【解析： 【分析】先根据函数平移变换得平移后的解析式为sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据其图象关于原点中心对称得,6k k Z πϕπ=-+∈，进而计算得sin 2ϕ=. 【详解】解：根据题意得函数sin(2)y x ϕ=+的图像向左平移12π个单位后得到的函数解析式为：sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数sin 26y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭图象关于原点中心对称， 故,6k k Z πϕπ+=∈，即,6k k Z πϕπ=-+∈所以sin 2sin 2sin 332k ππϕπ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为： 【点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数()k k Z ϕπ⇔=∈ ； 函数()sin ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈； 函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是奇函数2()k k Z πϕπ⇔=+∈；函数()cos ,y A x x R ωϕ=+∈是偶函数()k k Z ϕπ⇔=∈.18．【分析】根据条件分别求再代入求两角和的正弦【详解】且是第二象限角故答案为：解析：50-【分析】根据条件分别求cos α，sin 2α，cos2α，再代入求两角和的正弦 【详解】3sin 5α=，且α是第二象限角，4cos 5α∴==- 27cos 22cos 125αα∴=-=，3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，)sin 2sin 2cos 24250πααα⎛⎫+=+=-⎪⎝⎭.故答案为： 19．3【分析】由平方关系求出用两角和的正弦公式求得再得然后可得【详解】∵∴∴∴故答案为：3【点睛】关键点点睛：本题考查平方关系两角和的正弦公式三角函数求值问题需确定已知角和未知角的关系以确定先用的公式象解析：3 【分析】由平方关系求出cos 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭，用两角和的正弦公式求得sin α，再得cos α，然后可得tan α．【详解】 ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,444πππα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，cos 45πα⎛⎫-==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴cos 10α==， sin tan 3cos ααα==． 故答案为：3． 【点睛】 关键点点睛：本题考查平方关系，两角和的正弦公式．三角函数求值问题，需确定已知角和未知角的关系，以确定先用的公式．象本题观察得到44ππαα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，需要用用两角和的正弦（余弦）公式求值，因此先用平方关系求得cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，这就要确定4πα-的范围．以确定余弦值的正负．20．（2）【分析】根据奇偶性奇函数在关于原点对称区间单调性相同确定（1）错误；取M=2可判定（2）正确；可判断（3）不正确；取特殊值判定（3）错误【详解】定义域为R 所以是奇函数在关于原点对称的区间上单调解析：（2） 【分析】根据奇偶性，奇函数在关于原点对称区间单调性相同，确定（1）错误； 取M=2，可判定（2）正确；202f x f x ππ++-⎛⎫⎛⎫≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可判断（3）不正确；取2233f ππ⎛⎫⎪=- ⎝⎭，4433f ππ⎛⎫⎪=- ⎝⎭特殊值判定（3）错误. 【详解】()2cos f x x x =定义域为R ，()()2cos f x x x f x -=-=-，所以()2cos f x x x =是奇函数，在关于原点对称的区间上单调性相同，所以（1）错误；cos 1x ≤，令2M =，()f x M x ≤成立，所以（2）正确；()()2sin 2sin 4sin 022x x x x x x f x f x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+++-+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以点π,02⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()y f x =图像的一个对称中心，所以（3）不正确； 2422cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，4844cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭， 函数()y f x =图像不关于直线πx =对称，所以（4）不正确. 故答案为：（2） 【点睛】此题考查与三角函数性质相关命题的判定，需要熟练掌握奇偶性、单调性、对称性在解题中的处理方法.三、解答题21．（1）2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）23+. 【分析】（1）首先利用降幂公式和辅助角公式化简函数()1sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求函数的单调递增区间；（2）先求角A ，再根据余弦定理和基本不等式求周长的最大值. 【详解】（1）()2111sin cos (cos22)sin(2)2226f x x x x x x x π==-=-+， ∴()f x 在3222262k x k πππππ+≤+≤+上单调递增， ∴2[,]63x k k ππππ∈++，k Z ∈ （2）()13sin(2)262f A A π=-+=，得32262A k k Z πππ+=+∈，，即23A k ππ=+，0A π<<，则23A π=， 而2a =，由余弦定理知：2222cos 4a b c bc A =+-=，有22()()444b c b c bc ++=+≤+，所以03b c <+≤当且仅当b c =时等号成立， ∵周长2l a b c b c =++=++，∴周长最大值为23+ 【点睛】思路点睛：已知一边及一边所对角求解三角形面积或周长的最大值时，可利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求所需的两边和或乘积的最值，代入三角形周长或面积公式，求得结果.22．（1）()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）{}0,6ππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）由图可得：A =724123T πππω=-=可求ω的值，再令2(21)3k πϕπ⨯+=+()k Z ∈结合[)0,2ϕπ∈可求ϕ的值，进而可求()f x 的解析式；（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得sin 232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以结合正弦函数的图象和[]0,x π∈即可求解.【详解】（1）由题意知：A =741234T πππ=-=，所以2T ππω==即=2ω，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，02ϕπ≤<，所以=3πϕ，所以()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，（2232x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即sin 23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 所以()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 令0k =可得22333x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，令1k =可得2222333x πππππ+≤+≤+，解得：76x ππ≤≤， 因为[]0,x π∈，所以06x π≤≤或x π=，即{}0,6x ππ⎡⎤∈⋃⎢⎥⎣⎦ 【点睛】关键点点睛：利用五点法求函数解析式，关键是3x π=是下降零点，所以2(21)3k πϕπ⨯+=+，结合[)0,2ϕπ∈即可求ϕ23x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭()2222333k x k k Z πππππ+≤+≤+∈对k 取值，再与[]0,x π∈求交集即可. 23．（1）2ω=；{|,}6ππ=±∈x x k k Z ；（2）1[-,1]2. 【分析】（1）由条件求出2ω=，然后可得答案；（2）将()g x 化为()1cos(2)32g x x π=++，然后可算出其值域.【详解】 （1）由2T ππω==得2ω=；此时令1()cos22f x x ==得223x k ππ=±,6x k k Z ππ∴=±∈所求方程的解集为{|,}.6x x k k Z ππ=±∈（2）()2cos )cos()2g x x x x π=-+2cos sin x x x =1cos212cos(2)232x x x π+==++ 4022333x x ππππ≤≤∴≤+≤11cos(2)32x π∴-≤+≤ 11cos(2)1232x π∴-≤++≤即()g x 的值域为1[-,1]224．（1）12；（2）T π=；调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈. 【分析】先把函数()f x 化简，（1）根据条件即可求出角α的大小，代入解析式即可求解.（2）根据周期定义即可求出周期，再利用整体代换思想代入正弦函数的递增区间求出x 的范围即可求解. 【详解】21()sin (sin )1sin cos 1sin(2)62f x x x x x x x x π=-=-=--，（1）由(0,)2πα∈，1sin 2α=，可得6πα=，所以1()sin(2)sin 66662f ππππ=⨯-==，（2）函数周期为22T ππ==， 令2[2,2]622x k k πππππ-∈-+，k Z ∈， 解得[,]63x k k ππππ∈-+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+，k Z ∈.25．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值． 【分析】(I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值； 【详解】解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=． （Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以 当sin =1x -时，即π=2x -时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-．选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =2(22)22x x =+2)4x π=+（． 因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时，()f x在[,]26ππ-取得最小值．【点睛】本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk 的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.（3）换元转化为二次函数研究最值.26．（1）0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）1. 【分析】（1）利用两角和差的三角公式结合辅助角公式进行化简，结合周期公式求出ω的值，结合单调性进行求解即可； （2）根据3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得到7212612x πππ≤-≤可得()f x 最大值. 【详解】（1）1()4cos cos 22f x x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos 21x x x x x ωωωωω=-=--2sin 216x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以22T ππω==． 又0>ω，所以1ω=， 所以()2sin 216f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令222()262k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 在(0,)π上的单调递增区间为0,3π⎛⎤⎥⎝⎦和5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭． （2）当3,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，7212612x πππ≤-≤． 当226x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合两角和差的三角公式以及辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合的函数的性质是解决本题的关键，难度中等.。

第五章测试题一、单选题(每小题5分，共40分)1．电流I (A )随时间t (s )变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( ) A ．150 B ．50 C ．1100 D ．1002．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＞0)，规定：比值y －x r 叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝15 (0＜α＜π)，则tan α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．434．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α ＝( ) A ．－3 B ．－17 C ．－43D ．－75．已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 6．若sin (π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＋2sin (6π－α)的值为( ) A ．－23 mB ．－32 mC ．23mD ．32m7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A ．π2 B ．3π8 C ．π4 D ．5π88．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3 cos ωx (ω∈N *)在(0，π)上恰有两个不同的零点，则ω的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．若角α是第二象限角，则α2 不可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 10．下列说法错误的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α≤π2＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α11．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，则以下结论正确的是( ) A ．函数的最小正周期为π2B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 上为减函数12．关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论，其中正确的结论是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π 单调递增C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2三、填空题(每小题5分，共20分)13.sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α ＝________．14．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝34 ，则sin (π4 －α)＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)15．若sin α＝－45 ，且α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________．16．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos (2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 ，则f (x )的取值范围是________． 四、解答题(共70分) 17．(10分)已知tan α＝－34 .(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin （4π－α）cos （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α 的值．18．(12分)已知函数f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值． 19.(12分)如图，是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？20．(12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π).(1)若点Q 的坐标是(m ，45 )，其中m <0，求cos (π－α)＋sin (－α)的值；(2)设点P ⎝⎛⎭⎫32，12 ，函数f (α)＝sin (α＋β)，求f (α)的值域．21．(12分)设x ∈R ，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π2 <φ<0)的最小正周期为π，且f (π4 )＝32 .(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．22.(12分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 m ，点P 到MN 的距离为50 m ．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围．一、单选题(每小题5分，共40分)1．电流I (A )随时间t (s )变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( ) A ．150 B ．50 C ．1100 D ．100分析选A.T ＝2π100π ＝150.2．已知角α是第三象限角，则角－α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 分析选B.因为角α是第三象限角，所以k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ，所以－k ·360°－270°<－α<－k ·360°－180°，k ∈Z .所以角－α的终边在第二象限．3．在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＞0)，规定：比值y －x r 叫做α的正余混弦，记作sch α.若sch α＝15 (0＜α＜π)，则tan α＝( )A ．－34B ．34C ．－43D ．43分析选D.因为角α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＞0)， 规定：比值y －xr叫做α的正余混弦，记作sch α. 若sch α＝15 (0＜α＜π)＝y －x r ＝y －xx 2＋y2，所以25(y －x )2＝x 2＋y 2，即24⎝ ⎛⎭⎪⎫y x 2－50y x ＋24＝0，y ＞x .求得tan α＝y x ＝43 或tan α＝y x ＝910 (舍去).4．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α ＝( ) A ．－3 B ．－17 C ．－43 D ．－7分析选B.由α为锐角，cos α＝55 ，所以sin α＝255. 故tan α＝2，tan 2α＝2tan α1－tan 2α ＝41－4 ＝－43 ， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α ＝tan π4＋tan 2α1－tan π4tan 2α ＝1－431＋43＝－17 . 5．已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 或y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4 分析选C.由图象可知A ＝2，因为π8 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8 ＝π4 ＝T4 ，所以T ＝π，ω＝2.当x ＝－π8时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8·2＋φ ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π4 ＝1， 又|φ|<π，解得φ＝3π4 .故函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 .6．若sin (π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α ＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α ＋2sin (6π－α)的值为( ) A ．－23 mB ．－32 mC ．23mD ．32m分析选B.因为sin (π＋α)＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝－m ， 即－sin α－sin α＝－2sin α＝－m ，从而sin α＝m 2 ，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α ＋2sin (6π－α)＝－sin α－2sin α ＝－3sin α＝－32m .7．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的一个值是( ) A ．π2 B ．3π8 C ．π4 D ．5π8分析选D.由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期为T ＝2πω ＝π，可得ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 ，将y ＝f (x )的图象向左平移|φ|个单位长度得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋|φ|）＋π4 的图象，因为平移后图象关于y 轴对称，所以2|φ|＋π4 ＝k π＋π2 (k ∈Z )，所以|φ|＝k π2 ＋π8(k ∈Z )，k ＝1⇒φ＝±5π8. 8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3 cos ωx (ω∈N *)在(0，π)上恰有两个不同的零点，则ω的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4分析选B.f (x )＝sin ωx ＋3 cos ωx ＝2sin (ωx ＋π3)，又在(0，π)上恰有两个不同的零点，令ωx ＋π3 ＝2π可得，x ＝5π3ω ，令ωx ＋π3 ＝3π可得，x ＝8π3ω，由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧5π3ω<π，8π3ω≥π， 解得，53 ＜ω≤83 ，所以ω∈N *，则ω的值是2.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分) 9．若角α是第二象限角，则α2 不可能是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 分析选BD.因为α是第二象限角， 所以π2 ＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，所以π4 ＋k π<α2 <π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2 是第一象限角；当k 为奇数时，α2 是第三象限角．10．下列说法错误的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α≤π2＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α分析选ABC.对于A ，长度等于半径的弦所对的圆心角为π3弧度，命题错误；对于B ，若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )，命题错误；对于C ，若角α的终边过点P (3k ，4k )(k≠0)，则sin α＝±45 ，命题错误；对于D ，当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α，命题正确．11．已知函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 ，则以下结论正确的是( ) A ．函数的最小正周期为π2B ．函数为偶函数C ．函数图象的一条对称轴为直线x ＝π3D ．函数在⎣⎡⎦⎤2π3，5π6 上为减函数分析选AC.该函数的最小正周期T ＝π2 ，A 正确；因为f (－x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x －π6 ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 ，因此它是非奇非偶函数，B 错误；直线x ＝π3 是函数图象的一条对称轴，C 正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6 上是减函数，但y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6 上是增函数，D 错误．12．关于函数f (x )＝sin |x |＋|sin x |有下述四个结论，其中正确的结论是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π 单调递增 C ．f (x )在[－π，π]有4个零点 D ．f (x )的最大值为2分析选AD.f (－x )＝sin |－x |＋|sin (－x )|＝sin |x |＋|sin x |＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，故A 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π 时，sin |x |＝sin x ，|sinx |＝sin x ，则f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x 为减函数，故B 错误；当0≤x ≤π时，f (x )＝sin |x |＋|sin x |＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，由f (x )＝0得2sin x ＝0得x ＝0或x ＝π，由f (x )是偶函数，得在[－π，0)上还有一个零点x ＝－π，即函数f (x )在[－π，π]有3个零点，故C 错误；当sin |x |＝1，|sin x |＝1时，f (x )取得最大值2，故D 正确．三、填空题(每小题5分，共20分) 13.sin ⎝⎛⎭⎫15π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫α－π2sin ⎝⎛⎭⎫9π2－αcos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α ＝________．分析原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－cos α sin αcos α[－（－sin α）]＝－1.答案：－114．已知α为钝角，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝34 ，则sin (π4 －α)＝________，cos ⎝⎛⎭⎫α－π4 ＝________．(本题第一空2分，第二空3分)分析sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ，因为α为钝角，所以34 π<π4 ＋α<54 π.所以cos (π4 ＋α)<0.所以cos (π4＋α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342 ＝－74 .cos (α－π4 )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝34.答案：－74 3415．若sin α＝－45 ，且α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝________．分析1＋tan α21－tan α2 ＝1＋sinα2cosα21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2，因为α是第三象限角，所以α2 ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4 ，所以cos α2 －sin α2＜0，所以上式＝－（cos α2＋sinα2cos α2－sinα2）2＝－1＋sin α1－sin α＝－1－451＋45＝－13 . 答案：－1316．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos (2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2 ，则f (x )的取值范围是________．分析因为f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，所以f (x )与g (x )的最小正周期相等， 因为ω>0，所以ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ， 因为0≤x ≤π2 ，所以－π6 ≤2x －π6 ≤5π6 ，所以－12 ≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ≤1，所以－32 ≤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ≤3， 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 四、解答题(共70分) 17．(10分)已知tan α＝－34 .(1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求sin （4π－α）cos （3π＋α）cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫152π－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin ⎝⎛⎭⎫132π＋α 的值．分析(1)原式＝2（sin 2α＋cos 2α）＋sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋1 ＝98－34＋11＋916＝2225 .(2)原式＝（－sin α）（－cos α）（－sin α）cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α（－cos α）sin αsin αsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝sin 2αcos αsin α－cos αsin 2αcos α ＝－sin αcos α ＝－tan α＝34 . 18．(12分)已知函数f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R ). (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值． 分析(1)由f (x )＝23 sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3 (2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3 sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 .所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2 ≤2x ＋π6 ≤2k π＋π2，k ∈Z 得k π－π3 ≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6 ，k ∈Z . (2)因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 上为增函数，在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2 上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 ＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.19.(12分)如图，是函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0)的一段图象．(1)求此函数的解析式；(2)分析一下该函数的图象是如何通过y ＝sin x 的图象变换得来的？ 分析(1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322 ＝12 ，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322 ＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6 ＝π，所以ω＝2πT＝2.所以y ＝12sin (2x ＋φ)－1.当x ＝π6 时，2×π6 ＋φ＝π2 ，所以φ＝π6 .所以所求函数的解析式为y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －1. (2)把y ＝sin x 的图象向左平移π6 个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 的图象，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的图象，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12 ，得到y ＝12 sin (2x ＋π6 )的图象，最后把函数y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 的图象向下平移1个单位长度，得到y ＝12 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 －1的图象．20．(12分)如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，P ，Q 是单位圆上的两点，O 是坐标原点，且∠AOP ＝β，β∈(0，π2)，∠AOQ ＝α，α∈[0，π).(1)若点Q 的坐标是(m ，45 )，其中m <0，求cos (π－α)＋sin (－α)的值；(2)设点P ⎝⎛⎭⎫32，12 ，函数f (α)＝sin (α＋β)，求f (α)的值域．分析(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1m <0，得m ＝－35，所以cos α＝m ＝－35 ，sin α＝45 .所以cos (π－α)＋sin (－α)＝－cos α－sin α＝－15 .(2)由已知得β＝π6 ，因为α∈[0，π)，则α＋π6 ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，7π6 ，所以－12 <sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6 ≤1.故f (α)的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 .21．(12分)设x ∈R ，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)(ω>0，－π2 <φ<0)的最小正周期为π，且f (π4 )＝32 .(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象； (3)若f (x )>22，求x 的取值范围．分析(1)因为函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.因为f (π4)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ ＝cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ ＝－sin φ＝32 ，且－π2 <φ<0，所以φ＝－π3 . (2)由(1)知f (x )＝cos ⎛⎪⎫2x －π3 ，列表如下：x0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x －π3－π3π2π3π25π3f (x )121 0 －1 012作图象如图所示：(3)因为f (x )>22 ，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 >22 ， 所以2k π－π4 <2x －π3 <2k π＋π4 (k ∈Z )，则2k π＋π12 <2x <2k π＋7π12(k ∈Z )，即k π＋π24 <x <k π＋7π24 (k ∈Z ).所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π＋π24<x <k π＋7π24，k ∈Z .22.(12分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40 m ，点P 到MN 的距离为50 m ．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP ，要求A ，B 均在线段MN 上，C ，D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ.用θ分别表示矩形ABCD 和△CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围．分析如图所示，设PO 的延长线交MN 于点H ，则PH ⊥MN ，所以OH ＝10.过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE ＝θ，故OE ＝40cos θ，EC ＝40sin θ， 则矩形ABCD 的面积为2×40 cos θ(40sin θ＋10)＝800(4sin θcos θ＋cos θ)， △CDP 的面积为12 ×2×40cos θ(40－40sin θ)＝1 600(cos θ－sin θcos θ).过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK ＝KN ＝10.连接OG ，令∠GOK ＝θ0，则sin θ0＝14 <12 ，可知θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6 .当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤θ0，π2 时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 .故矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ＋cos θ)m 2，△CDP 的面积为1 600(cos θ－sinθcos θ)m 2，sin θ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 .。