3.1.2复数的概念

答案：0 0
(2)(1＋ 3 )i可看作0＋(1＋ 3 )i＝a＋bi， 所以实部a＝0，虚部b＝1＋ 3. 答案：0，1＋ 3 (3)(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)为实数的充要条件是a2－1＝0， 所以a＝〒1. 答案：〒1
【要点探究】 知识点1 数系的扩充与分类
1.数系扩充的脉络 自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.
2 m 【变式训练】m取何实数时，复数 z＝ m 6＋ m 2－2m－ 15 i. m3
(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？
m 2 2m 15 0， 【解析】(1)因为z为实数，所以 m 3 0， m 5或m 3， 所以 m 3，
(2)代数式中各字母的名称:
实部
虚部
虚数单位
(3)复数z=a+bi 的分类及满足条件
实数 _____b=0 ，
复数a＋bi(a，b∈R)
虚数 _____b≠ 0
纯虚数a=0,b≠0，
非纯虚数a≠0,b≠0.
2.复数的相等 a＝c且b＝d ，b，c，d∈R). a＋bi＝c＋di ___________(a 3.复数集
m 2 4 0, ③要使z为纯虚数，必有 2 m 3m 2 0, m 2且m 2, 所以 m 1或m 2.
所以m＝1，故m＝1时，z为纯虚数．
【延伸探究】把题(1)中的“纯虚数”改为“实数”,则结果如 何? 【解析】复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,而|a|=-a,所以 a≤0.
【误区警示】复数概念易错点 (1)注意虚部不是bi,而是b.还要特别注意,要保证实部、虚部 有意义.
(2)形如bi的数不一定是纯虚数,只有限定条件b∈R且b≠0时,

数学导数复数知识点总结在本文中，我们将对导数的复数知识点进行详细总结，包括复数的定义、复数函数的导数、复数函数的全微分与全导数，以及一些相关的应用和例题。

一、导数的复数定义1.1 复数的定义在正式介绍导数的复数知识点之前，我们有必要先来回顾一下复数的概念。

复数是由一个实数部分与一个虚数部分组成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i²=-1。

因此，复数可以看作是实数与虚数的结合，是一个具有一定规律和性质的数。

而复数函数就是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)=z²+1，其中z是复数。

1.2 复数的运算对于复数的运算，我们可以通过实部和虚部的运算，实现加减乘除等操作。

例如，对于复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的和、差、积、商分别为z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i，z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i，z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2²+b2²)+((a2b1-a1b2)/(a2²+b2²))i。

通过这些运算，我们可以得到两个复数的和、差、积、商，这为后续导数的复数知识点打下了基础。

1.3 导数的复数定义在实数情况下，我们知道导数的定义是函数在某一点的极限。

而对于复数函数，我们同样可以根据实数的导数定义来给出复数函数导数的定义。

设f(z)是z的一个函数，如果存在复数w，使得对于任意给定的ε>0，存在另一个正数δ，当|z-z0|<δ时，|f(z)-w|<ε成立，则称f(z)在z=z0处有极限w，记作limz→z0f(z)=w。

如果函数f(z)在z0处有极限w，且对于z0的任何邻域内的点z≠z0，都有limz→z0(f(z)-f(z0))/(z-z0)=w，则称f(z)在z0处可导，并称w是f(z)在z0处的导数。

3.1.1数系的扩充和复数的概念【学习目标】1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学习重点】1.对引入复数的必要性的认识。

2.理解复数的基本概念。

【学习难点】1.对了解从实数系扩充到复数系的过程。

2.对复数概念的理解。

【过程与方法】采取“阅读，探究，质疑，总结”的学习过程【情感态度与价值观】在掌握知识的同时，开阔自己的思维视野。

探究点一复数的概念【问题1】怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？【问题2】：试解下列方程：（1）x2＋4＝0 (2) x2＋x＋1＝0【复数概念的形成】复数的概念【问题3】：你说说虚数单位i 的一些性质吗?【问题4】说说你对复数集又有哪些认识？【例1】 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ① 2＋3i ；②－3＋i ；③＋i ；④π；⑤－i ；⑥0.小结:变式：下列几个命题：①1－ai(a ∈R)是一个复数；②虚数的平方不小于0；③－1的平方根只有一个，即为－i ；④i 是方程x 4－1＝0的一个根；⑤i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【例2】 当实数m 为何值时，复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．(1)m =1(2)m ≠1(3) m =−1小结:变式：实数m 为何值时，复数2m m+2Z=+m +2m-3m-1i （）（）是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．思考：①x 2＝-a 的根 ②a x 2 ＋b x ＋c=0的根（a ≠0）探究点二 两个复数相等【问题5】满足什么条件时复数Ｚ1=a +bi 与Ｚ2＝c +di (a,b,c,d ∈R )相等？例3已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y)i ， 求x 与y .小结: 变式：已知 ()()+1x x x x x x 2223R －－6－－－＝0i ，求x 的值．【课时小结】：1.数学知识：2.数学方法:3. 数学思想：【巩固过关】一、选择题1．设a，b∈R，若(a＋b)＋i＝－10＋abi (i为虚数单位)，则(－)2等于()A．－12 B．－8C．8 D．102．下列命题中：①两个复数不能比较大小；②若z＝a＋b i，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；③x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1；④若a＋bi＝0，则a＝b＝0.其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．33．已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a、b的值分别是() A. ，1 B. ，5 C．±，5 D．±，16 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i=4i {m 2−2m=0m2+m−2=4解得m=2二、填空题4．若(m2－5m＋4)＋(m2－2m)i>0，则实数m的值为________．5．给出下列几个命题：①若x是实数，则x可能不是复数；②若z是虚数，则z不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；④－1没有平方根；⑤若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；⑥两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．三、解答题6.已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，求实数m的值．能力提升7．已知复数z＝a2−7a+6a2−1＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数[答案]例1④⑥是实数①②③⑤是虚数其中⑤是纯虚数变式：B例2(1)m=1(2)m≠1(3) m=−1变式：(1)m=−3 (2)m≠1且m≠−3(3) m=0或m=−2例3{2x−1=−y1=−(3−y)得{x=−32 y=4变式： {x2−x−6=0x2−2x−3=0x≠−1得x=31B 2D 3C 4 0 5 16 (m2－2m)＋(m2＋m－2)i=4i {m 2−2m=0m2+m−2=4解得m=2 7(1)a=6 (2)a≠6且a≠±1(3) a=1。

2
π
6
,于是
探究一
探究二
探究三
探究四
当堂检测
复数三角形式的乘法运算
例2计算下列各式
(1) 2 cos
π
12
π
+ isin
π
· 3 cos
12
π
(2)3 cos 4 + isin 4 ·7 cos
π
π
(3) 2 cos 3 + isin 3
4
;
(4)(cos 36°+isin 36°)5.
3π
4
5π
且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.
π
3π
显然当a>0时,arg a=0,arg(-a)=π,arg(ai)=2 ,arg(-ai)= 2 .
如果z=0,那么与它对应的向量 缩成一个点(零向量),它的方向是
任意的,所以复数0的辐角也是任意的.
激趣诱思
知识点拨
名师点析(1)复数的三角形式的特征:
6
i= 2 -1 −
2
2
3
2
i = 2(-cos 60°-isin 60°)
= 2(cos 240°+isin 240°).将绕点 O 按顺时针方向旋转 120°,
然后将所得向量的模伸长到 2 倍,则所得向量对应的复数为:
1
2(cos 240°+isin 240°)÷2(cos 120°+isin 120°)
=3(0+i)=3i;
(2)原式=9(cos 360°+isin 360°)=9(1+0)=9.
激趣诱思
知识点拨
微练习2
2
设 z=- 2 −