高中全程复习方略课时提能演练51数列(含函数特性

《全程复习》2014届高考物理全程复习方略（人教版-第一轮）课时提能演练（含详细解析）5.1功和功率(40分钟 100分)一、选择题(本题共8小题，每题9分，至少一个答案正确，选不全得5分，共72分) 1.在广州亚运会男子110米栏决赛中，刘翔以13.09秒的优异成绩获得冠军并打破之前创造的比赛记录.刘翔在比赛中，主要有起跑加速、途中匀速跨栏和加速冲刺三个阶段，他的脚与地面间不会发生相对滑动,以下说法正确的是( ) A.加速阶段地面对人的摩擦力做正功 B.匀速阶段地面对人的摩擦力做负功C.由于人的脚与地面间不发生相对滑动，所以不论加速还是匀速，地面对人的摩擦力始终不对人做功D.无论加速还是匀速阶段，地面对人的摩擦力始终做负功2.把动力装置分散安装在每节车厢上，使其既具有牵引动力，又可以载客，这样的客车车辆叫做动车.几节自带动力的车辆(动车)加几节不带动力的车辆(也叫拖车)编成一组，就是动车组，假设动车组运行过程中受到的阻力与其所受重力成正比，每节动车与拖车的质量都相等，每节动车的额定功率都相等.若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为120 km/h;则6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为( ) A.120 km/h B.240 km/h C.320 km/hD.480 km/h3.(2012·唐山模拟)质量为m 的物体静止在粗糙的水平地面上,现用一水平拉力使物体从静止开始运动，其运动的v-t 图象如图所示.下列关于物体的运动过程,分析正确的是( ) A.0～t 1内拉力逐渐减小 B.0～t 1内拉力对物体做负功 C.在t 1～t 2时间内拉力的功率为零 D.在t 1～t 2时间内合外力做功21mv 24.如图，用与水平方向成θ角的力F ，拉着质量为m 的物体沿水平地面匀速前进位移x,已知物体和地面间的动摩擦因数为μ.则在此过程中F 做的功为( ) A.mgxB.μmgxC.mgxcos sinμθ+μθD.mgx1tanμ+μθ5.(2012·临沂模拟)质量为1 kg的物体，放在动摩擦因数为0.2的水平面上，在水平拉力的作用下由静止开始运动，水平拉力做的功W和物体发生的位移x之间的关系如图所示，重力加速度取10 m/s2，则下列说法正确的是( )A.x=3 m时速度大小为32 m/sB.x=9 m时速度大小为32 m/sC.OA段加速度大小为3 m/s2D.AB段加速度大小为3 m/s26.低碳、环保是未来汽车的发展方向.某汽车研发机构在汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的.某次测试中，汽车以额定功率行驶一段距离后关闭发动机，测出了汽车动能E k与位移x的关系图象如图，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线.已知汽车的质量为1 000 kg,设汽车运动过程中所受地面阻力恒定，空气阻力不计.根据图象所给的信息可求出( )A.汽车行驶过程中所受地面的阻力为1 000 NB.汽车的额定功率为80 kWC.汽车加速运动的时间为22.5 sD.汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能为5×105 J7.(2012·盐城模拟)如图所示，一质量为M，长为L的木板，放在光滑的水平地面上，在木板的右端放一质量为m的小木块，用一根不可伸长的轻绳通过光滑的定滑轮分别与m、M连接，木块与木板间的动摩擦因数为μ，开始时木块和木板静止，现用水平向右的拉力F作用在M上，将m拉向木板左端的过程中，拉力至少做功为( )A.2μmgLB.12mgLC.μ(M+m)gLD.μmgL8.如图所示，细绳的一端绕过定滑轮与木箱相连，现以大小恒定的拉力F拉动细绳，将静置于A点的木箱经B点移到C点(AB=BC)，地面平直且与木箱的动摩擦因数处处相等.设从A到B和从B到C的过程中，F做功分别为W1、W2，克服摩擦力做功分别为Q1、Q2，木箱经过B、C时的动能和F的功率分别为E kB、E kC和P B、P C，则下列关系一定成立的有( )A.W1>W2B.Q1<Q2C.E kB>E kCD.P B>P C二、计算题(本大题共2小题，共28分，要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)9.(12分)如图所示，一质量为0.1 kg的小滑块以v 0=4 m/s的初速度滑上一个固定在地面上的足够长的斜面，经过t=0.6 s恰好经过斜面上的某点B，已知斜面的倾角α=37°，小滑块与斜面的动摩擦因数为μ=0.5，求小滑块在t=0.6 s经过B点时重力的功率.(g=10 m/s2)10.(16分)质量为1.0×103kg的汽车，沿倾角为30°的斜坡由静止开始向上运动，汽车在运动过程中所受摩擦阻力大小恒为2 000 N,汽车发动机的额定输出功率为5.6×104 W,开始时以a=1 m/s2的加速度做匀加速运动(g=10 m/s2).求:(1)汽车做匀加速运动的时间t1;(2)汽车所能达到的最大速率;(3)若斜坡长143.5 m,且认为汽车达到坡顶之前,已达到最大速率,则汽车从坡底到坡顶需多少时间?答案解析1.【解析】选C.由于人的脚与地面间不发生相对滑动，地面对人产生摩擦力的瞬间，力的作用点位移为零，所以地面对人的摩擦力不做功，选项C 正确.2.【解析】选C.若1节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为1Pv 4kmg=120 km /h =;则6节动车加3节拖车编成的动车组的最大速度为26Pv 9kmg== 1284v 120 km /h 320 km /h 33⨯=⨯=，故选项C 正确. 3.【解析】选A.由运动的v-t 图象可知,物体运动的加速度越来越小,水平拉力越来越小,所以0～t 1内拉力逐渐减小,选项A 正确;由于拉力与运动方向相同,所以0～t 1 内拉力对物体做正功,选项B 错误;由P=Fv 可知,在t 1～t 2时间内拉力等于摩擦力,速度不为零,所以拉力的功率大于零,选项C 错误;由于在t 1～t 2时间内物体速度不变,合外力做功为零,选项D 错误. 4.【解析】选D.物体受力平衡：Fsin θ+F N =mg,Fcos θ-μF N =0.在此过程中F 做的功mgxW Fxcos 1tan μ=θ=+μθ,所以D 正确.【变式备选】如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A 点自由滑下，然后在水平面上前进至B 点停下.已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ,滑雪者(包括滑雪板)的质量为m,A 、B 两点间的水平距离为L.在滑雪者经过AB 段运动的过程中，克服摩擦力做的功( ) A.大于μmgL B.等于μmgL C.小于μmgLD.以上三种情况都有可能【解析】选B.设斜面的倾角为θ，则对滑雪者从A 到B 的运动过程中摩擦力做的功为：f F W mgACcos mgCB =μθ+μ，由图可知ACcos θ+CB=L ，由两式联立可得：f F W mgL =μ,故B 正确.5.【解析】选A 、B 、C.由W=Fx 可知，水平拉力F 大小等于W-x 图线的斜率，故OA AB 152715F N 5 N,F N 2 N 393-====-,由F OA -μmg=ma OA 得：a OA =3 m/s 2,F AB =μmg,故a AB =0,C 正确，D 错误；由v 2=2ax 可得：A v /s /s ===,因物体由A 到B 做匀速直线运动，故B A v v /s ==,故A 、B 、C 均正确. 6.【解题指南】解答本题时应把握以下三点： (1)汽车的额定功率为汽车匀速行驶时的功率.(2)同时关闭发动机和储能装置时，汽车受到的阻力为地面对汽车的阻力. (3)开启储能装置后向蓄电池提供的电能与图中汽车运动位移的减少量相对应. 【解析】选B 、D.汽车行驶过程中，所受地面的阻力对应图线①的斜率大小，故阻力为()52810 N 2 000 N 11710⨯=-⨯,A 错误；汽车匀速行驶的速度v m 可由25m 1mv 810 J 2=⨯求得v m =40 m/s ，故P 额=F ·v=F f ·v m =80 kW ，B 正确；由2f m 1P t F x mv 2-=额g 21mv ,2- x 500 m =可求得：t=16.25 s,C 错误;开启储能装置后，汽车向前减速的位移减小(11-8.5)×102m=2.5×102m,对应的能量为2.5×102×2 000 J=5×105J ，故D 正确.7.【解析】选D.在拉力F 的作用下，m 、M 缓慢匀速运动，使m 被拉到木板的左端的过程中，拉力做功最少，设此时绳的拉力为F T ，则F T =μmg ，F T +μmg=F ，当m 到达M 左端时，M 向右运动的位移为L2,故拉力做功L W F mgL 2==μg ，故D 正确.8.【解析】选A.木箱由A 到B 的过程比木箱由B 到C 的过程拉力F 的作用点的位移大,故有W 1>W 2,A 正确；设左端绳子与水平方向夹角为θ,木箱向右运动的过程中,因Fsin θ的增大,木箱对地面的压力逐渐减小,由F f =μF N 可知,木箱受地面的滑动摩擦力逐渐减小,故Q 1>Q 2,B 错误;因木箱向右运动过程中,Fcos θ逐渐减小,无法确定木箱由B 到C 的过程速度是增大还是减小,故无法确定E kB 和E kC 及P B 和P C 的大小关系,C 、D 均错误. 9.【解析】上滑时，由受力分析得： mgsin α+μmgcos α=ma(2分)设滑到最高点用时t 1,由运动学公式： 0-v 0=-at 1(2分)联立代入数据得t 1=0.4 s(1分)t=0.6 s>t 1=0.4 s (1分)所以0.6 s 时滑块下滑0.2 s (1分)下滑时，由牛顿第二定律得： mgsin α-μmgcos α=ma ′(2分)由运动学公式：v ′=a ′t ′ (1分)由功率公式：P=mg ·v ′sin α (1分)代入解之得：P=0.24 W(1分)答案：0.24 W10.【解析】(1)根据牛顿第二定律有: F-mgsin30°-F f =ma(1分)设匀加速的末速度为v,则有:P=Fv(1分) v=at 1(1分)代入数值,联立解得匀加速的时间为:t 1=7 s(1分)(2)当达到最大速度v m 时,有: P=(mgsin30°+F f )v m(2分)解得汽车的最大速度为:v m =8 m/s(1分)(3)汽车匀加速运动的位移为:2111x at 24.5 m 2==(2分)在后一阶段牵引力对汽车做正功,重力和阻力做负功,根据动能定理有:222f 2m 11Pt (mgsin30F )x mv mv 22-︒+=-(2分)又有x 2=x-x 1(2分)代入数值,联立求解得:t 2=15 s(1分)所以汽车总的运动时间为:t=t 1+t 2=22 s (2分)答案：(1)7 s(2)8 m/s(3)22 s【总结提升】解答汽车启动问题时应注意的问题 (1)确定是匀加速启动还是恒定功率启动.(2)区别汽车所能达到的最大速度与匀加速运动的最大速度.(3)注意对汽车进行受力分析,汽车匀速时加速度为零,但不一定满足F=F f ,如本题时,汽车速度最大时,F=F f +mgsin α.。

课时提能演练(十二)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.(2011·福建高考)若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) (A)(－1,1) (B)(－2,2)(C)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (D)(－∞，－1)∪(1，＋∞)2.(2012·广州模拟)已知函数f(x)＝3x ＋x －9的零点为x 0，则x 0所在区间 为( )(A)[－32，－12] (B)[－12，12](C)[12，32] (D)[32，52]3.设f(x)＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x∈[1,2]上近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在的区间 为( )(A)[1,1.25] (B)[1.25,1.5] (C)[1.5,2] (D)不能确定4.设函数f(x)＝n －1，x∈[n，n ＋1)，n∈N，函数g(x)＝log 2x ，则方程f(x)＝g(x)的实数根的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)45.(预测题)若函数y ＝(12)|1－x|＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围 是( )(A)m≤－1 (B)m≥1 (C)－1≤m<0 (D)0<m≤16.已知函数f(x)＝(13)x－log 2x ，正实数a ，b ，c 依次成公差为正数的等差数列，且满足f(a)·f(b)·f(c)<0，若实数d 是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：①d<a；②d>b；③d<c；④d>c 中有可能成立的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2|x|＋12，x≤0|lgx|－1，x>0的零点个数为 .8.(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝3x ＋x －5的零点x 0∈[a，b]，且b －a ＝1，a ，b∈N *，则a ＋b ＝ .9.若函数f(x)＝(m －1)x 2＋2(m ＋1)x －1有且仅有一个零点，则实数m 的取值集合是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知y ＝f(x)是定义域为R 的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x.(1)写出函数y ＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围. 11.(2012·佛山模拟)设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c ，且f(1)＝－a2，3a>2c>2b ，(1)求证：a>0且－3<b a <－34；(2)求证：函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点； (3)设x 1，x 2是函数f(x)的两个零点，求|x 1－x 2|的取值范围. 【探究创新】(16分)已知二次函数f(x)＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a(1)判断命题“对于任意的a∈R(R 为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个零点，求实数a 的范围.答案解析1.【解析】选C.∵方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，需判别式Δ＝m 2－4>0，解得m>2或m<－2. 2.【解析】选D.f(32)＝332＋32－9＝27－152＝63－152＝3(23－5)2<0， f(52)＝352＋52－9＝93－132＝183－132>0， f(32)·f(52)<0， 故在[32，52]内至少有一个零点.【方法技巧】判断函数零点所在区间的方法一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论.此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断.3. 【解析】选B.由于f(1)<0，f(1.5)>0，则第一步计算中点值f(1.25)<0，又f(1.5)>0，则确定区间为[1.25,1.5]，故选B.4.【解题指南】在同一坐标系中作出函数f(x)和g(x)的图象，数形结合求解.【解析】选C.画出f(x)和g(x)的图象，如图所示，从图中不难看出方程f(x)＝g(x)有3个零点.5.【解析】选C.由已知函数y ＝(12)|1－x|＋m 有零点，即方程(12)|1－x|＋m＝0有解，此时m ＝－(12)|1－x|.∵|1－x|≥0，∴0<(12)|1－x|≤1，∴m ∈[－1,0).6.【解析】选C.由题意，f(x)＝(13)x －log 2x 在(0，＋∞)上是减函数，∵正数a ，b ，c 依次成公差为正数的等差数列， ∴a<b<c ，∴f(a)>f(b)>f(c)， 又f(a)·f(b)·f(c)<0， ∴f(c)<0，又f(d)＝0， ∴d<c ，③正确，若f(a)>0，f(b)>0，则a<d ，b<d ；故②正确. 若f(a)<0，f(b)<0，则a>d ，b>d.故①正确. 综上，有可能成立的为3个.【变式备选】已知函数f(x)＝(13)x －log 2x ，若实数x 0是方程f(x)＝0的解，且0<x 1<x 0，则f(x 1)( ) (A)恒为正值 (B)等于0 (C)恒为负值 (D)不大于0【解析】选A.∵f(x)＝(13)x －log 2x 在(0，＋∞)上为减函数，并且f(x 0)＝0,0<x 1<x 0，∴f(x 1)>f(x 0)＝0.7.【解题指南】作出函数f(x)的图象，数形结合求解.【解析】作出函数f(x)的图象，从图象中可知函数f(x)的零点有4个.答案：48.【解析】由已知x 0∈[a ，b]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *， ∴a ，b 的可能取值为a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝3，… 又f(1)＝3＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0， ∴f(1)f(2)<0，故a ＝1，b ＝2符合要求.又∵f(x)为增函数，当x 取大于或等于2的整数时，所对应的函数值都大于0，∴a ＝1，b ＝2. ∴a ＋b ＝1＋2＝3. 答案：39.【解析】当m ＝1时，f(x)＝4x －1＝0，得x ＝14，符合要求.当m ≠1时，依题意得Δ＝4(m ＋1)2＋4(m －1)＝0.即m 2＋3m ＝0，解得：m ＝－3或m ＝0，∴m 的取值集合是{－3,0,1}. 答案：{－3,0,1}【误区警示】本题求解过程中易忽视m ＝1而失误.根据原式将f(x)误认为二次函数.10.【解析】(1)当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)， ∵y ＝f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x) ＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x 2－2x ，∴f(x)＝⎩⎨⎧x 2－2x x ≥0－x 2－2x x<0.(2)当x ∈[0，＋∞)时，f(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，最小值为－1； 当x ∈(－∞，0)时，f(x)＝－x 2－2x ＝1－(x ＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y ＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象得，若方程f(x)＝a 恰有3个不同的解，则a 的取值范围是(－1,1).11.【解析】(1)f(1)＝a ＋b ＋c ＝－a2，∴3a ＋2c ＋2b ＝0.∵3a>2c>2b ，∴3a>0,2b<0，⎩⎨⎧ 3a>2c ＝－3a －2b a>0⇒b a>－3⎩⎨⎧3a>2b a>0⇒b a <32⎩⎨⎧2b<2c ＝－3a －2b a>0⇒ba <－34∴a>0且－3<b a <－34.(2)f(0)＝c ，f(2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c ，①当c>0时，∵a>0，∴f(0)＝c>0，f(1)＝－a2<0∴函数f(x)在区间(0,1)内至少有一个零点.②当c ≤0时，∵a>0，f(1)＝－a2<0，f(2)＝a －c>0，∴函数f(x)在区间(1,2)内至少有一个零点. (3)x 1，x 2是函数f(x)的两个零点， ∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a ＝－32－ba ，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝b 2a 2－4(－32－b a) ＝(ba＋2)2＋2. ∵－3<b a <－34，∴2≤|x 1－x 2|<574，即|x 1－x 2|的取值范围为[2，574).【探究创新】【解析】(1)“对于任意的a ∈R(R 为实数集)，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题.依题意：f(x)＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根， ∵Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R(R 为实数集)恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根. (2)依题意：要使y ＝f(x)在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f(－1)>0f(0)<0f(12)>0即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a>01－2a<034－a>0，解得12<a<34.。

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课后巩固作业（八）(30分钟50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.在△ABC中，三个内角A、B、C成等差数列，则角B等于（）（A）30°（B）60°（C）90°（D）120°2.等差数列的相邻4项是a+1,a+3,b,a+b,那么a,b的值依次为（）(A)2,7 (B)1,6(C)0,5 (D)无法确定3.（2011·重庆高考）在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10=( )(A)12 (B)14 (C)16 (D)184.已知a b==则a,b的等差中项为（）（D（A（B（C二、填空题(每小题4分，共8分)5.48,a,b,c,-12是等差数列中的连续5项，则a,b,c的值依次为______.6.等差数列的第3项是7，第11项是-1，则它的第7项是______.三、解答题(每小题8分，共16分)7.一个各项都是正数的无穷等差数列{a n}， a1和a3是方程x2-8x+7=0的两个根，求它的通项公式. 8.数列{a n }中, n a =,判断该数列是否为等差数列.【挑战能力】（10分）已知数列{a n }满足a 1=1,n 11a +,a n >0,求a n .答案解析1.【解析】选B.由于三个内角A 、B 、C 成等差数列，设三个内角为B-d ，B, B+d ，则（B-d ）+B+(B+d)=180°，则角B=60°.2.【解析】选A.由已知得2(a+3)=a+b+1,2b=a+3+a+b,所以a=2,b=7.3.【解题提示】先根据条件求出公差,然后再求a 10的值.【解析】选D.由题意知,公差d=4-2=2,知a 1=0,所以a 10=a 1+9d=18.故选D.4.【解题提示】利用等差中项的定义. 【解析】选A.∵a b ==则a,b的等差中项a bA 2+==5.【解析】设公差为d ，则4d=-12-48,d=-15,所以a=48+(-15)=33,b=33+(-15)= 18,c=18+(-15)=3. 答案：33,18,36.【解析】设首项为a 1，公差为d, 由a 3=7,a 11=-1得，a 1+2d=7, a 1+10d=-1,所以a 1=9,d=-1,则a 7=3. 答案：37.【解题提示】数列为正数无穷等差数列，则d>0,所以先求出a 1，a 3，再求d ，进而求a n .【解析】a 1+a 3=8, a 1a 3=7,又{a n }为正数等差数列，所以a 1=1，a 3=7，设公差为d,又∵a 3=a 1+2d, ∴7=1+2d,故d=3,a n =3n-2. 8.【解析】∵n 1n a a lg3,+-=-=-∴数列{a n }是等差数列. 【挑战能力】【解题提示】由已知条件，引入数列{2n1a }，并证明是等差数列，再求a n . 【解析】∵n 11a +=∴2222n 1n n 1n11112, 2.a a a a ++=+-= ∴数列{2n 1a }是以2111a =为首项，2为公差的等差数列， ∴()2n11n 122n 1.a =+-⨯=- 又a n >0,∴*n a N ).=∈ 【方法技巧】构造辅助数列巧求数列通项公式观察递推公式的特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题.常用方法有：平方法、开平方法、倒数法等.例如： 数列{a n }中，n1n 1n 2a a 1,a ,a 2+==+求a n . 此题可取倒数，构造辅助数列{n1a }来解.。

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课时提能演练(四十一)(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a (a≠1，n∈N *)”时，在验证n ＝1成立时，左边应该是( )(A)1 (B)1＋a(C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 32.若凸n(n≥4)边形有f(n)条对角线，则凸(n ＋1)边形的对角线条数f(n ＋1)为( )(A)f(n)＋n －2 (B)f(n)＋n －1(C)f(n)＋n (D)f(n)＋n ＋13.下列代数式(k∈N *)能被9整除的是( )(A)6＋6×7k (B)2＋6×7k －1(C)2(2＋2×7k ＋1) (D)3(2＋7k )4.某个命题与正整数n 有关，如果当n ＝k(k∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立.现已知当n ＝7时该命题不成立，那么可推得( )(A)当n ＝6时该命题不成立(B)当n ＝6时该命题成立(C)当n ＝8时该命题不成立(D)当n ＝8时该命题成立 5.(2019·济宁模拟)若S k ＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)，则S k ＋1＝( )(A)S k ＋(2k ＋2)(B)S k ＋(2k ＋3)(C)S k ＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)(D)S k ＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)＋(2k ＋4)6.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n －1＝3n (na －b)＋c 对一切n∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为( )(A)a ＝12，b ＝c ＝14 (B)a ＝b ＝c ＝14(C)a ＝0，b ＝c ＝14 (D)不存在这样的a 、b 、c 二、填空题(每小题6分，共18分)7.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k∈N *)命题为真时，进而需证n ＝ 时，命题亦真.8.f(n ＋1)＝2f(n)f(n)＋2，f(1)＝1(n∈N *)，猜想f(n)的表达式为 . 9.用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)用数学归纳法证明：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (1)2＞1(n∈N *，n ＞1). 11.(2019·肇庆模拟)在数列{a n }中，a 1＝a(a>2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n∈N *). (1)求证：a n >2；(2)求证：a n ＋1a n<1. 【探究创新】(16分)设函数y ＝f(x)，对任意实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)＝1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N *)的表达式并用数学归纳法证明.答案解析1.【解析】选C.当n ＝1时，左边＝1＋a ＋a 2，故选C.2.【解析】选B.新增加的一个顶点与另外的不相邻的(n －2)个顶点连成(n －2)条对角线，同时对应的这条边也变为一条对角线，故共增加n －2＋1＝n －1条对角线.3.【解析】选D.通过验证k ＝1可否定A 、B 、C.4.【解析】选A.命题“n ＝k(k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时命题也成立”的逆否命题为“n ＝k ＋1(k ∈N *)时命题不成立，那么可推得当n ＝k(k ∈N *)时命题也不成立”，故选A.【变式备选】f(x)是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若f(k)≥k 2成立，则f(k ＋1)≥(k ＋1)2成立，下列命题成立的是( )(A)若f(3)≥9成立，则对定义域内任意的k ≥1，均有f(k)≥k 2成立(B)若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k ≥4，均有f(k)<k 2成立(C)若f(7)≥49成立，则对定义域内任意的k<7，均有f(k)<k 2成立(D)若f(4)≥16成立，则对定义域内任意的k ≥4，均有f(k)≥k 2成立【解析】选D.命题n ＝k 时成立，则n ＝k ＋1时就成立，故若n ＝4时，f(4)≥16，则k ≥4时，f(k)≥k 2成立.5.【解析】选C.S k ＋1＝1＋2＋3＋…＋[2(k ＋1)＋1]＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋3)＝1＋2＋3＋…＋(2k ＋1)＋(2k ＋2)＋(2k ＋3)＝S k ＋(2k ＋2)＋(2k ＋3).6.【解题指南】由题意知，等式对一切n ∈N *都成立，可取n ＝1,2,3，代入后构成关于a 、b 、c 的方程组，求解即得.【解析】选A.令n ＝1,2,3分别代入已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3(a －b)＋c 1＋2×3＝32(2a －b)＋c1＋2×3＋3×32＝33(3a －b)＋c ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3b ＋c ＝118a －9b ＋c ＝781a －27b ＋c ＝34，解得：a ＝12，b ＝14，c ＝14. 7.【解析】因为n 为正奇数，所以与2k －1相邻的下一个奇数是2k ＋1. 答案：2k ＋18.【解析】f(2)＝2f(1)f(1)＋2＝23； f(3)＝2f(2)f(2)＋2＝2×2323＋2＝24； f(4)＝2f(3)f(3)＋2＝2×2424＋2＝25；…；猜想f(n)＝2n ＋1. 答案：f(n)＝2n ＋19.【解析】当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋ k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)即可.答案：k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋3)10.【解题指南】注意不等式左边的项数及n 的取值范围，根据数学归纳法的证明步骤，注意n ＝k ＋1时比n ＝k 时多出的项.【证明】(1)当n ＝2时，左边＝12＋13＋14＝1312， 右边＝1，不等式成立.(2)假设当n ＝k(k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋ (1)2＞1. 那么当n ＝k ＋1时， 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1(k ＋1)2 ＝(1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2)＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1k 2＋(2k ＋1)－1k＞1＋(2k ＋1)1k 2＋(2k ＋1)－1k＝1＋(2k ＋1)k －(k ＋1)2k(k ＋1)2＝1＋k 2－k －1k(k ＋1)2， ∵k ≥2，∴k 2－k －1 ＞0,1＋k 2－k －1k(k ＋1)2＞1， 这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式也成立.由(1)、(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数n 都成立.11.【证明】(1)①当n ＝1时，a 1＝a>2结论成立；②假设n ＝k(k ∈N *)时，a k >2成立，当n ＝k ＋1时，要证a k ＋1＝a 2k 2(a k －1)>2. 只要证a 2k －4a k ＋4>0.即证(a k －2)2>0.由a k >2知，(a k －2)2>0成立，所以a k ＋1>2.由①、②知，对于n ∈N *，a n >2.(2)由a n >2及a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)， 得a n ＋1a n ＝a n 2(a n －1)＝a n a n ＋(a n －2)， 因为a n －2>0，所以a n ＋(a n －2)>a n ，所以a na n ＋(a n －2)<1，故a n ＋1a n<1(n ∈N *). 【探究创新】【解题指南】(1)令x ，y 均为0可得f(0)；(2)利用递推条件可得f(2)，f(3)，f(4)；(3)证明时要利用n ＝k 时的假设及已知条件进行等式转化.【解析】(1)令x ＝y ＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)＋2×0×0，得f(0)＝0.(2)由f(1)＝1，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＋2×1×1＝4.f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＋2×2×1＝9.f(4)＝f(3＋1)＝f(3)＋f(1)＋2×3×1＝16.(3)由(2)可猜想f(n)＝n2，用数学归纳法证明：(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝12＝1显然成立.(ⅱ)假设当n＝k时，命题成立，即f(k)＝k2，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋f(1)＋2×k×1＝k2＋1＋2k＝(k＋1)2，故当n＝k＋1时命题也成立，由(ⅰ)，(ⅱ)可得，对一切n∈N*都有f(n)＝n2成立.。