1.2 数列的函数特性课后训练巩固提升1.已知数列{a n}的通项公式是a n=n-1n+1,那么这个数列是( ).A.递增数列B.递减数列C.常数列D.以上都不是a n+1-a n=nn+2−n-1n+1=n2+n-(n2+n-2)(n+1)(n+2)=2(n+1)(n+2)>0,∴a n+1>a n,∴{a n}是递增数列.2.给出下列说法:①已知数列{a n},a n=1n(n+2)(n∈N+),那么1120是这个数列的第10项,且最大项为第一项;②数列{a n}:√2,√5,2√2,√11,…的一个通项公式是a n=√3n-1;③已知数列{a n},a n=kn-5,且a8=11,则a17=29;④已知a n+1=a n+3,则数列{a n}是递增数列.其中正确的有( ).A.4个B.3个C.2个D.1个,令a n=1n(n+2)=1120⇒n=10(n=-12舍去),易知最大项为第一项.①正确.对于②,数列{a n}:√2,√5,2√2,√11,…即为√2,√5,√8,√11,…,亦为√3×1-1,√3×2-1,√3×3-1,√3×4-1,…,故a n=√3n-1.②正确.对于③,a n=kn-5,且a8=11⇒k=2⇒a n=2n-5⇒a17=29.③正确.对于④,由a n+1-a n=3>0,易知④正确.3.对任意的a1∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则函数y=f(x)的图象是( ).a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足y>x,结合图象,只有A满足,故选A.4.(多选题)对于数列{a n},若存在正整数k(k≥2),使得a k>a k-1,a k>a k+1,则称a k是数列{a n}的“峰值”,k是数列{a n}的“峰值点”.在数列{a n}中,若-9|,下面哪些数不能作为数列{a n}的“峰值点”().a n=|n+8nA.2B.3C.6D.12a n =|n +8n-9|,所以a 1=0,a 2=3,a 3=103,a 4=3,a 5=125,a 6=53,a 7=67,a 11=3011,a 12=113,a 13=6013,只有a 3>a 2,a 3>a 4,所以“3”是“峰值点”,其他选项不是.故选ACD.5.已知数列{a n },a n =a n +m(a>0,n ∈N +),满足a 1=2,a 2=4,则{a n }是 数列.(填“递增”或“递减”){a 1=a +m =2,a 2=a 2+m =4,∴{m =0,a =2,或{m =3,a =-1(舍去).∴a n =2n , ∴{a n }是递增数列.6.已知数列{a n },a n =n 2-kn(n ∈N +),且{a n }为递增数列,则k 的取值范围是 .n+1-a n =(n+1)2-k(n+1)-n 2+kn=2n+1-k,又{a n }为递增数列,故应有a n+1-a n >0,即2n+1-k>0恒成立,分离参数得k<2n+1,故只需k<3即可.∞,3)7.已知数列{a n }的通项a n ,画出数列的图象.(1)a n =(-1)n ×2; (2)a n =2n-4; (3)a n =(12)n -1.,(1)(2)(3)(第7题) 8.已知数列{a n },a n =1+1a+2(n -1)(n ∈N +,a ∈R,且a≠0).(1)若a=-7,求数列{a n }中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的n ∈N +,都有a n ≤a 6成立,求a 的取值范围.∵a=-7,∴a n =1+12n -9(n ∈N +).结合函数f(x)=1+12x -9的单调性,可知1>a 1>a 2>a 3>a 4,a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N +). ∴数列{a n }中的最大项为a 5=2,最小项为a 4=0.(2)a n=1+1a+2(n-1)=1+12n-2-a2,由对任意的n∈N+,都有a n≤a6成立,(1)∵a=-7,∴a n=1+(n∈N+).结合函数f(x)=1+的单调性,可知1>a1>a2>a3>a4,a5>a6>a7>?>a n>1(n∈N+).∴数列{a n}中的最大项为a5=2,最小项为a4=0.(2)a n=1+=1+,由对任意的n∈N+,都有a n≤a6成立,结合函数f(x)=1+的单调性,可知5<<6,即-10<a<-8,故a的取值范围为(-10,-8).。
