带电粒子在匀强磁场中运动的多解和临界问题

1磁场中的旋转圆、放缩圆、平移圆、磁聚焦模型

1.高考命题中，带电粒子在有界磁场中的运动问题，常常涉及到临界问题或多解问题，粒子运动轨迹和磁场边

界相切经常是临界条件。带电粒子的入射速度大小不变，方向变化，轨迹圆相交与一点形成旋转圆。带电粒

子的入射速度方向不变，大小变化，轨迹圆相切与一点形成放缩圆。

2.圆形边界的磁场，如果带电粒子做圆周运动的半径如果等于磁场圆的半径，经常创设磁聚焦和磁发散模型。

一、分析临界极值问题常用的四个结论

(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.

(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长,

(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，

找出圆心，再根据几何关系求出半径及圆心角等

(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨远圆半径大于区域圆半径时，入射点和出射点为磁场直径的两个端点时轨迹

对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。

二、“放缩圆”模型的应用

适用

条件速度方向

一定，大

小不同粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁

场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化

轨迹圆圆

心共线如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动

半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨

迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上

界定

方法以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法

称为“放缩圆”法

三、“旋转圆”模型的应用

适用

条件速度大小

一定，方

向不同粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁

场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速

度为v0，则圆周运动半径为R=mv

0

qB。如图所示

轨迹圆圆心共圆带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为

2

圆心、半径R=mv

0

qB的圆上

界定

方法将一半径为R=mv

1 带电粒子在磁场中运动的临界极值多解问题分类汇编

一、基础题（圆周运动基本规律）

1.四川卷如图所示，长方形abcd 长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10－7kg、电荷量q=+2×10－3C的带电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C．从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边

D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边

2．在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向的轴O在匀强磁场中做逆时针方向的匀速圆周运动，磁场方向竖直向下，且范围足够大，其俯视图如图所示，若小球运动到某点时，绳子突然断开，则关于绳子断开后，对小球可能的运动情况的判断错误的是( )

A．小球仍做逆时针方向的匀速圆周运动，但半径减小

B．小球仍做逆时针方向的匀速圆周运动，半径不变

C．小球做顺时针方向的匀速圆周运动，半径不变

D．小球做顺时针方向的匀速圆周运动，半径减小

3金属小球质量m带电-q，由长L的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的O点，然后将小球拉到θ＝600处由静止释放，小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为0；求①磁场的磁感应强度B＝？②小球住复摆动中悬线上的最大张力多少？

二、临界、极值

1、刚好穿出磁场边界的临界条件------轨迹与边界相切

条形、矩形、三角形磁场临界

4. (2010年宿州模拟)一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，从A点射入宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场中，MN、PQ为该磁场的边界线，磁感线垂直于纸面向里，如图所示．带电粒子射入时的初速度与PQ成45°角，且粒子恰好没有从MN射出．(不计粒子所受重力)

1 带电粒子在匀强磁场中的运动（知识小结）

一．带电粒子在磁场中的运动

（1）带电粒子在磁场中运动时，若速度方向与磁感线平行，则粒子不受磁场力，做匀速直线运动；即

① 为静止状态。

② 则粒子做匀速直线运动。

（2）若速度方向与磁感线垂直，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力起向心力作用。

（3）若速度方向与磁感线成任意角度，则带电粒子在与磁感线平行的方向上做匀速直线运动，在与磁感

线垂直的方向上做匀速圆周运动，它们的合运动是螺线运动。

二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动

1．运动分析：洛伦兹力提供向心力，使带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．

(4)运动时间：

(Θ 用弧度作单位 )

1．只有垂直于磁感应强度方向进入匀强磁场的带电粒子，才能在磁场中做匀速圆周运动．

2．带电粒子做匀速圆周运动的半径与带电粒子进入磁场时速率的大小有关，而周期与速率、半径都无关．

三、带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动(往往有临界和极值问题)

(一)边界举例:

1、直线边界（进出磁场有对称性）

规律：如从同一直线边界射入的粒子，再从这一边射出时，速

度与边界的夹角相等。

速度与边界的夹角等于圆弧所对圆心角的一半，

并且如果把两个速度移到共点时，关于直线轴对称。

2、平行边界（往往有临界和极值问题）

（在平行有界磁场里运动，轨迹与边界相切时，粒子恰好不射出边界）

3、矩形边界

磁场区域为正方形，从a点沿ab方向垂直射入匀强磁场：

若从c点射出，则圆心在d处

若从d点射出，则圆心在ad连线中点处

4.圆形边界

（从平面几何的角度看，是粒子轨迹圆与磁场边界圆的两圆相交问题。）

特殊情形：在圆形磁场内,沿径向射入时，必沿径向射出

一般情形：磁场圆心O和运动轨迹圆心O′都在入射点和出射点连

带电粒子在匀强磁场中的运动

1．两种方法定圆心

方法一：已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示)。

方法二：已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示)。

2．几何知识求半径

利用平面几何关系，求出轨迹圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个重要的几何特点：

(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt。

(2)直角三角形的应用(勾股定理)。

找到AB的中点C，连接OC，则△AOC、△BOC都是直角三角形。

3．两个观点算时间

观点一：由运动弧长计算，t＝lv(l为弧长)；

观点二：由旋转角度计算，t＝α360°T或t＝α2πT。

4．三类边界磁场中的轨迹特点

(1)直线边界：进出磁场具有对称性。

(2)平行边界：存在临界条件。

(3)圆形边界：等角进出，沿径向射入必沿径向射出。

类型(一) 直线边界问题

[例1] (多选)如图所示，一单边有界磁场的边界上有一粒子源，以与水平方向成θ角的不同速率，向磁场中射入两个相同的粒子1和2，粒子1经磁场偏转后从边界上A点出磁场，粒子2经磁场偏转后从边界上B点出磁场，OA＝AB，则( )

A．粒子1与粒子2的速度之比为1∶2

B．粒子1与粒子2的速度之比为1∶4

C．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶1

D．粒子1与粒子2在磁场中运动的时间之比为1∶2

[解析] 粒子进入磁场时速度的垂线与OA的垂直平分线的交点为粒子1在磁场中做圆周运动的圆心，同理，粒子进入磁场时速度的垂线与OB的垂直平分线的交点为粒子2在磁场中做圆周运动的圆心，由几何关系可知，两个粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝1∶2，由r＝mvqB可知，粒子1与粒子2的速度之比为1∶2，A项正确，B项错误；由于粒子在磁场中做圆周运动的周期均为T＝2πmqB，且两粒子在磁场中做圆周运动的轨迹所对的圆心角相同，因此粒子在磁场中运动的时间相同，即C项正确，D项错误。