同济高等数学1归纳

高等数学归纳(第一章~第三章)

2010126137 彭伟奕

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一 、 集合

●集合概念：集合（集）是指具有某种特定性质的事物的总体。

●元素（元）：组成某个集合的事物称为该集合的元素（元）。

(a属于A,记作a∈A； a不属于A，记作aA。)

●表示集合的方法：

（1） 列举法：把集合的全体元素一一列举出来，例：A=123naaaa，，

（2） 描述法：集合M=xx︱具有性质P，例：M=210x︱x

●集合间关系：A包含于B（AB），A不包含于B（AB）

A是B的真子集（AB），A等于B（A=B）,空集是任何非空集合的真子集。

●集合的运算：并，交，差

AB|xxAxB或

AB|xxAxB且

A\B=|xxAxB且

I\A为A的余集或补集，亦记cA

●集合运算法则：

交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A

结合律：（A∪B）∪C=A∪(B∪C) A∩(B∩C)=(A∩B) ∩C

分配律：（A∪B）∩C=(A∩C) ∪(B∩C) (A∩B) ∪C=(A∪C) ∩(B∪C)

对偶律：cc(AB)ABc ｃｃｃ（ＡＢ）＝ＡＢ

直积（笛卡尔乘积）：AB={（x,y）|x∈A且x∈B}，例：R×R={(x,y)|x∈R,y∈B}为XOY面上全体点的集合，R×R记作２Ｒ。

● 区间与邻域：

（1）区间

开区间：（a,b）,a,b为开区间（a,b）的端点。

闭区间：[a,b]

半开区间：[a,b﹚, ﹙a,b]

（2）邻域：以a为中心的任何开区间称以点a为邻域，记作U（a）

点a的δ邻域，记U(a, δ)，其中δ为任一正数，

U(a, δ)={x|a-δ＜x＜a+δ}={x| |x-a|＜δ}

点a为邻域的中心，δ为邻域半径。 点a的去心δ邻域，０（ａ，）Ｕ，为把邻域中心去掉，０（ａ，）Ｕ={x|0＜|x-a|＜δ}

点a的左邻域：{a-δ，a}，点a的右邻域：{a,a+δ}

二、映射

●定义：X，Y两非空集合，如有一对应法则f使X中每一个元素x，按f，Y中有唯一确定的元素y一之对应，则称f为从X到Y的映射，f：XＹ，其中y为元素x（在映射f下）的像。

●构成映射的三要素：（1）定义域ｆＤ,ｆＤ=X;(2)值域ｆＲ，ｆＲY；（3）对应法则f，对于每个x∈X,有唯一确定的y=f（x）与之对应。

满射、单射、双射

 从X到Y上的满射：任一y都是x中某元素的像。

 f为x到y的单射：x中任１２ｘｘ，且１２ｆｘｆｘ

 双射：f为一一映射（或双射）：f既单射，又双射。

●逆映射与复合映射：

1）设f是X到Y的单射，则由定义，对每一个y∈ｆＲ，有唯一的x∈X，适合f（x）=y.于是，我们可以定义一个从ｆＲ到X的新映射g，即

g：ｆＲX

对每一个y∈ｆＲ，规定g（y）=x，这x满足f（x）=y.这个映射g称为f的逆映射，记作－１ｆ，其定义域－１ｆｆＤ＝Ｒ，值域－１ｆＲ＝Ｘ。

*只有单射才有逆映射。

●复合映射：设两个映射g: X１Ｙ， f：２ＹＺ,其中１２ＹＹ,则由映射g合f可以定义出一个从X到Z的对应法则，他将每一个x∈X映成f[g（x）] ∈Z.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g合f构成的复合函数，记作。ｆｇ，即

。ｆｇ：ＸＺ

。（ｆｇ）（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］，ｘＸ

*映射g与f成复合映射的条件：g的值域ｆＲ必须包含在f定义域内，即：ｆｆＲＤ

三、函数

●定义：设数集DＲ，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为

y=f（x），x∈D 其中x称为自变量，y因变量，记作ｆＤ，即ｆＤ＝Ｄ.

●值域：ｆＲ或f（D）即

ｆＲ＝ｆ（Ｄ）＝ｙ｜ｙ＝ｆ（ｘ），ｘＤ

f与f（x）的区别：f表示x与y的对应法则，f（x）表示x与对应的函数值。

●表示函数的方法：表格法；图形法；解析法（公式法）

●构成函数的要素：定义域ｆＤ及对应法则f。（如果两个函数定义域和对应法则都相同，那么这两个函数就是相同的）

●函数的几种特性

（1）函数的有界性：XＤ, １Ｋ使１ｆｘＫ则f(x)有上界

XＤ, ２Ｋ使f(x)２Ｋ则f(x)有下界

XＤ, Ｍ，使|f(x)|Ｍ则f(x)有界

如这样的M不存在则f(x)无界.

（2）函数的单调性：设ｆＤ＝Ｄ ,IＤ　,如I上任意１２ｘ，ｘ；当１２ｘｘ时,恒有１２ｆ（ｘ）＜ｆ（ｘ）则f(x)在I上单调增加,如I上任意１２ｘ，ｘ；当１２ｘｘ时,恒有１２ｆ（ｘ）＞ｆ（ｘ）则f(x)在I上单调减少。单调增加与单调减少的函数统称为单调函数。

（3）函数的奇偶性：前提ｆＤ关于原点对称，如果ｘＤ，f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数,如果ｘＤ，ｆ　－ｘ＝－ｆｘ则f(x)为奇函数

（4）函数的周期性：设ｆＤ=D，存在一正数L使任一x有（xL）D，且f（x+L）=f（x）恒成立，则称f（x）为周期函数，L为周期，通常说的周期是最小正周期。

●反函数与复合函数

（1）反函数：设函数f：Df（D）是单射，则它存在逆映射－１ｆ：ｆ（Ｄ）Ｄ，称此映射－１ｆ为f的反函数。于是－１ｆｙ＝ｘ。一般记为－１ｆｙ＝ｘ，xｆｘ。

F（x）称为直接函数，两函数关于y=x对称。

（2）复合函数：设y=f(u) u=g(x), ｇｆＲＤ则有

y=ｆｇ（ｘ）, xｇＤ

称为由函数u=g(x)与函数构成的复合函数,定义域gD,变量u称为中间变量 。（ｆｇ）（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ）］，ｘＸ

*构成条件：函数g的值域ｆｆＲＤ

●函数的运算：

设函数f(x)，g（x）的定义域依次为1212,,DDDDD，则可定义一函数

和（差）fg： ()(),fgxfxxD；

积fg： (),;fgxfxgxxD

商fg： ,\|0,fxfxxDxgxxDggx。

●初等函数

（1）幂函数：y=nx（R是常数），

（2）指数函数：(01),xyaaa且

（3）对数函数：log(01,y)ayxaa且特别当a=e时，记为=lnx

（4）三角函数：如y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx=1cosx,y=cscx=1sinx

（5）反三角函数：如y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx等。

基本初等函数：

有常数和基本初等函数经过有限次数的四则运算和有限次数的符合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数，例如

221,sin,cot2xyxyxy 等都是初等函数。

第二节 数列的极限

●数列极限的定义：设nx为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得当nN时，不等式 ||nxa 都成立，那么就称常数a是数列nx的极限，或者称数列nx收敛于a，记为 limnnxa ，或

nxan。如果不存在这样的常数a，就说数列nx没有极限，或者说数列nx是发散的，习惯上也说limnnx不存在。

定义表达为：limnnxan0,Nn>N|x|a正整数，当时，有

● 收敛数列的性质： 定理1（极限的唯一性） 如果数列nx收敛，那么它的极限唯一。

定理2（收敛数列的有界性） 如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界。、

定理3（收敛数列的保号性） 如果limnnxa，且a>0.（或a<0），那么存在整数N>0时，都有nx>0（或nx<0）。 推论 如果数列nx从某一项起有n0(0),limnnnxxxa或且，那么a0（或a0）。

定理4 （收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列nx收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

第二节 函数的极限

● 定义：在自变量的某一变化过程中,如果对应的函数值无限接近于某个确定的数,那么这个确定的数就叫做在这一变化过程中函数的极限.

1、 自变量趋于有限值时函数的极限

定义1 设函数f(x)在点0x的某一去心邻域内有定义,如果存在整数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在，使得当x满足不等式0||xx时，对应的函数值f（x）都满足不等式 |f（x）-A|< 那么常数A就叫做函数f（x）当0xx时的极限，记作 0limxxfxAfxA或 当（当0xx）

*左极限 ： 把0<|x-0x|<改为00xxx，那么A就叫做函数f（x）当0xx时的左极限，记作 00limxxfxAfxA或

*右极限 ： 把0<|x-0x|<改为00xxx，那么A就叫做函数f（x）当0xx时的右极限，记作 00limxxfxAfxA或

*左极限与右极限统称为单侧极限

*只有当左极限与右极限同时存在时，函数才有极限

2、 自变量趋于无穷大时函数的极限

定义2 .设函数f（x）当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在着正数X，使得当X满足不等式|x|>X

时，对应的函数值f（x）都满足不等式 |f（x）-A|<,那么常数A就叫做函数f（x）当x时的极限，记作 limxfxAfxAx或当

● 函数极限的性质

定理1（函数极限的唯一性） 如果0limxxfx存在，那么这极限唯一

定理2 （函数极限的局部有界性） 如果0limxxfx=A，那么存在常数M>0和>0,使得当